Алгебраическая геометрия · глава 1

Пучки

Функции в алгебраической геометрии естественно задаются на открытых подмножествах пространства. Сначала мы выясним, когда локальные функции склеиваются, и придём к аксиоме пучка. Затем научимся склеивать сами пучки, перейдём от сечений к их росткам и построим пучковизацию, прямой и обратный образы.

Начать со склейки →

Соглашения

$X$ — топологическое пространство; множества $U, V, W, \dots$ открыты в $X$ .
В этой главе мы рассматриваем только пучки множеств, то есть пучки со значениями в категории $Set$ . На них уже видна вся логика ограничений и склейки.
Если функция $s$ задана на $U$ , то при $V \subseteq U$ её ограничение на $V$ обозначается $s |_{V}$ .

Склейка функций

Пусть $U = U_{1} \cup U_{2}$ , где $U_{1}$ и $U_{2}$ открыты. На каждом из них задано непрерывное отображение в топологическое пространство $Y$ :

s_{1} : U_{1} ⟶ Y

s_{2} : U_{2} ⟶ Y

Когда существует непрерывное отображение $s : U \to Y$ с ограничениями $s |_{U_{1}} = s_{1}$ и $s |_{U_{2}} = s_{2}$ ? Достаточно ли совпадения в одной точке или необходимо равенство на всём пересечении? В виджете полагаем $X = Y = R$ и сравниваем три ситуации.

Начните со случая совпадения в одной точке. Можно ли определить общую функцию на всём объединении? Затем сравните его с полным совпадением ограничений и укажите, где именно исчезает противоречие.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Пусть ограничения совпадают. Для $x \in U_{i}$ положим $s (x) = s_{i} (x)$ . Если точка лежит в обеих частях, обе формулы дают одно значение, поэтому $s$ определено корректно. В окрестности каждой точки отображение $s$ совпадает с одним из непрерывных отображений $s_{i}$ и потому непрерывно. Склейка единственна: на каждом $U_{i}$ она обязана совпадать с $s_{i}$ .

Обозначим через $C (U, Y)$ множество непрерывных отображений из $U$ в $Y$ .

Пусть $Match (U_{1}, U_{2})$ — множество пар $(s_{1}, s_{2}) \in C (U_{1}, Y) \times C (U_{2}, Y)$ таких, что $s_{1} |_{U_{1} \cap U_{2}} = s_{2} |_{U_{1} \cap U_{2}}$ . Такие пары называются совместимыми.

C (U, Y) \tilde{\to} Match (U_{1}, U_{2})

s ⟼ (s |_{U_{1}}, s |_{U_{2}})

Это каноническая биекция. Обратное отображение сопоставляет совместимой паре её склейку на $U$ .

Предпучок

В предыдущем примере каждая функция на открытом множестве имела ограничения на меньшие открытые множества. Сохраним только эту структуру.

Предпучок множеств $F$ на $X$ сопоставляет каждому открытому $U$ множество $F (U)$ , а каждому включению $V \subseteq U$ — отображение ограничения

F (U) ⟶ F (V)

s ⟼ s |_{V}

Ограничения удовлетворяют двум законам:

s |_{U} = s

(s |_{V}) |_{W} = s |_{W} (W \subseteq V \subseteq U)

Элементы $F (U)$ называются сечениями предпучка над $U$ .

Название пришло из геометрии расслоений. Над каждой точкой базы лежит слой, а геометрическое сечение выбирает в каждом слое ровно одну точку. Образ такого выбора пересекает все слои поперёк и выглядит как срез — сечение — всего расслоения.

В определении предпучка тотального пространства слоёв пока нет, но термин сохраняет тот же смысл: элемент $F (U)$ — единый объект, выбранный над всей областью $U$ . Для пучка эту аналогию можно сделать буквальной, построив пространство его слоёв; тогда элементы $F (U)$ действительно становятся сечениями соответствующей проекции.

Объекты категории $Open (X)$ — открытые множества, а морфизмы — включения. Ограничения направлены противоположно включениям, поэтому определение предпучка можно кратко записать как

F : Open (X)^{op} ⟶ Set

Верхний индекс $op$ напоминает, что ограничения обращают направление включений.

Зафиксируем топологическое пространство $Y$ и положим $C (U) := C (U, Y)$ . В качестве отображений ограничения возьмём обычные ограничения функций. Ограничение с $U$ на него же ничего не меняет, а ограничение сначала на $V$ , затем на $W$ совпадает с ограничением сразу на $W$ . Значит, $C$ — предпучок.

C : Open (X)^{op} ⟶ Set

Включению $V \subseteq U$ соответствует отображение ограничения $C (U) \to C (V)$ . Позже тем же способом получим предпучок регулярных функций.

Совместимые семейства

Пусть $U = {U_{i}}$ — открытое покрытие $U = ⋃_{i} U_{i}$ , а $F$ — предпучок. Выберем сечение $s_{i} \in F (U_{i})$ над каждым $U_{i}$ . Семейство $(s_{i})$ называется совместимым, если $s_{i} |_{U_{i} \cap U_{j}} = s_{j} |_{U_{i} \cap U_{j}}$ для всех $i, j$ .

Множество совместимых семейств обозначим через $Match (U)$ .

Каждому глобальному сечению сопоставим семейство его ограничений на множества покрытия. Это семейство совместимо, поэтому получаем каноническое отображение

r : F (U) ⟶ Match (U), s ⟼ (s |_{U_{i}})_{i}

Инъективность и сюръективность этого отображения могут нарушаться независимо. Если отображение не инъективно, разные глобальные сечения имеют одинаковые ограничения. Если оно не сюръективно, некоторое совместимое семейство локальных сечений не склеивается в глобальное сечение.

Инъективность $r$ означает, что каждое совместимое семейство имеет не более одной склейки.
Сюръективность $r$ означает, что каждое совместимое семейство имеет хотя бы одну склейку.

Аксиома пучка

Объединим два свойства из предыдущей части: потребуем, чтобы совместимое семейство всегда имело ровно одну склейку.

Пучок множеств на $X$ — предпучок $F$ , для которого отображение $r$ является биекцией для каждого открытого $U$ и каждого его покрытия $U = {U_{i}}$ . Эквивалентно:

если два сечения над $U$ совпадают после ограничения на каждый $U_{i}$ , то они равны;
если сечения $s_{i} \in F (U_{i})$ совпадают на всех попарных пересечениях, то существует сечение $s \in F (U)$ с $s |_{U_{i}} = s_{i}$ для всех $i$ .

Для покрытия из двух множеств аксиому удобно записать диаграммой. Две параллельные стрелки сопоставляют паре $(s_{1}, s_{2})$ ограничения $s_{1} |_{U_{1} \cap U_{2}}$ и $s_{2} |_{U_{1} \cap U_{2}}$ . Получается диаграмма уравнителя: $F (U)$ отождествляется с множеством пар, для которых эти ограничения равны.

r_{1}

r

r_{2}

Объекты и связи диаграммы

глобальные сечения на U: Сечения на открытом множестве U, покрытом множествами U один и U два.
пары локальных сечений: Все пары локальных сечений без условия их совпадения на пересечении.
сечения на пересечении U один и U два: Сечения на пересечении U один и U два. Здесь сравниваются ограничения локальных сечений.
ограничение первого локального сечения на пересечение: От «пары локальных сечений» к «сечения на пересечении U один и U два».Первому сечению пары сопоставляет его ограничение на пересечение открытых множеств.
отображение всех ограничений: От «глобальные сечения на U» к «пары локальных сечений».Глобальному сечению сопоставляет его ограничения на U один и U два.
ограничение второго локального сечения на пересечение: От «пары локальных сечений» к «сечения на пересечении U один и U два».Второму сечению пары сопоставляет его ограничение на то же пересечение.

Пустому покрытию пустого множества соответствует одно совместимое семейство — пустое. Единственность его склейки означает, что $F (\emptyset)$ должно состоять из одного элемента.

В определении существенно требовать аксиому для всех, а не только для конечных покрытий. Рассмотрим на $R$ предпучок ограниченных непрерывных вещественнозначных функций. На покрытии ${U_{n} = (- n, n)}_{n \geq 1}$ функции $s_{n} (x) = x$ ограничены и совместимы, но их единственная глобальная склейка $s (x) = x$ не ограничена. Склейка конечного семейства ограниченных функций, напротив, остаётся ограниченной: у конечного числа функций есть общая оценка. Итак, этот предпучок удовлетворяет аксиоме склейки для конечных покрытий, но не является пучком.

Проверим аксиому для предпучка $C$ непрерывных функций. Пусть $U = ⋃_{i} U_{i}$ и задано совместимое семейство $s_{i} \in C (U_{i}, Y)$ . Для $x \in U_{i}$ положим $s (x) = s_{i} (x)$ . Благодаря совместимости результат не зависит от выбора $i$ . У каждой точки есть окрестность $U_{i}$ , на которой $s = s_{i}$ ; следовательно, функция $s$ непрерывна. Любая другая склейка имеет те же значения в каждой точке и потому совпадает с $s$ . Позже тот же аргумент применим к регулярным функциям.

C : Open (X)^{op} ⟶ Set

C — пучок

Ограничение задаёт биекцию между глобальными непрерывными функциями и совместимыми семействами локальных непрерывных функций.

Локальная постоянность

Аксиома пучка не следует автоматически из законов ограничения. Пусть $P (U)$ — множество постоянных функций $U \to {0, 1}$ . Обычные ограничения превращают $P$ в предпучок.

Пусть $V$ , $W$ и $Z$ — непустые связные открытые множества, причём $V$ не пересекается с $W \cup Z$ , а $W \cap Z$ непусто и связно. Поскольку $W$ и $Z$ связны и пересекаются, их объединение связно. Положим $U = V ⊔ (W \cup Z)$ . Тогда $V$ и $W \cup Z$ — две компоненты связности $U$ . Возьмём сечение $0 \in P (V)$ и сечение $1 \in P (W \cup Z)$ . Они совместимы, поскольку $V \cap (W \cup Z) = \emptyset$ , но их склейка не постоянна на всём $U$ и потому не принадлежит $P (U)$ .

Обозначим через $L (U)$ множество функций $U \to {0, 1}$ , постоянных в некоторой окрестности каждой точки. Такие функции называются локально постоянными; обычные ограничения снова дают предпучок. В виджете выберите $s \in L (U)$ и проследите, как меняются его ограничения на $V, W, Z$ и $W \cap Z$ .

Измените значение только на одной компоненте связности. Какие ограничения должны измениться, а какие останутся прежними? Проверьте ответ, выбирая открытые множества и их пересечение.

Показанная функция принадлежит $L (U)$ . Для совместимого семейства определим склейку поточечно. Совместимость гарантирует, что значение не зависит от выбранного множества покрытия. В окрестности каждой точки склейка совпадает с одной из исходных функций и потому локально постоянна.

P в общем случае не пучок

L — пучок

Переход от постоянных функций к локально постоянным устраняет препятствие к склейке на несвязных открытых множествах.

База открытых множеств

Задавать сечения сразу на всех открытых множествах необязательно. Пусть $B$ — база открытых множеств пространства $X$ , замкнутая относительно конечных пересечений. Каждое открытое множество покрывается элементами базы, а пересечение двух элементов базы снова лежит в $B$ .

Пусть $F$ — предпучок на базе $B$ : каждому $V \in B$ сопоставлено множество сечений $F (V)$ , а включениям — отображения ограничения, удовлетворяющие законам из второй части. Предположим, что для каждого покрытия элемента базы элементами базы совместимые сечения склеиваются единственным образом.

Для произвольного открытого множества $U$ определим сечение над $U$ как семейство $(s_{V})$ сечений $s_{V} \in F (V)$ для каждого базового $V \subseteq U$ . Потребуем, чтобы эти сечения были совместимы:

s_{V} |_{W} = s_{W} (W \subseteq V \subseteq U, W, V \in B)

При ограничении на меньшее открытое множество остаются только $s_{V}$ для содержащихся в нём базовых $V$ . Если $U \in B$ , всё семейство определяется одним сечением $s_{U}$ : остальные сечения получаются его ограничением. Обратно, ограничения любого $s_{U} \in F (U)$ образуют совместимое семейство. Поэтому на элементах базы новое определение совпадает с исходным.

Проверим аксиому склейки. Пусть открытые множества $U_{i}$ покрывают $U$ и над каждым $U_{i}$ задано сечение; на пересечениях эти сечения совпадают. Возьмём элемент базы $V \subseteq U$ . Пересечения $V \cap U_{i}$ покрывают $V$ . Поскольку $B$ — база, можно выбрать покрытие $V$ элементами $W \in B$ , каждый из которых содержится в некотором $V \cap U_{i}$ . Ограничения исходных сечений на эти $W$ совместимы, поэтому они склеиваются в единственное сечение $s_{V} \in F (V)$ . Ограничивая $s_{V}$ на меньший элемент базы, мы получаем ту же склейку, что и при непосредственном построении на этом элементе. По единственности эти сечения совпадают. Таким образом, семейство $(s_{V})$ является единственной склейкой над $U$ .

Остаётся проверить единственность продолжения. В любом другом пучке с теми же данными на базе сечение над $U$ однозначно определяется своими ограничениями на элементы базы, содержащиеся в $U$ . И наоборот, всякое совместимое семейство таких ограничений склеивается по аксиоме пучка. Поэтому любой другой пучок с теми же данными на базе канонически отождествляется с построенным.

Применим этот принцип к спектру коммутативного кольца $A$ . Пространство $Spec A$ состоит из простых идеалов, а базу его топологии Зарисского образуют главные открытые множества. Для $f, g \in A$ главные открытые и их пересечения описываются формулами

D (f) := {p \in Spec A ∣ f \notin p}

D (f) \cap D (g) = D (f g)

Главные открытые образуют базу, замкнутую относительно пересечений. Поэтому структурный пучок можно сначала задать только на них правилом $D (f) \mapsto A_{f}$ . Здесь $A_{f}$ — локализация кольца $A$ , в которой элемент $f$ становится обратимым. После этого достаточно определить отображения ограничения и проверить склейку для покрытий главными открытыми множествами.

Пусть $F$ — предпучок на базе $B$ , удовлетворяющий аксиоме склейки для покрытий элемента базы элементами базы. Тогда описанная конструкция задаёт пучок на всех открытых множествах, единственный с точностью до канонического отождествления. Для спектра кольца построение начинается с правила

D (f) ⟼ A_{f}

Склейка пучков

До сих пор мы склеивали сечения одного пучка. Теперь предположим, что на множествах открытого покрытия заданы разные пучки, которые отождествлены на пересечениях. Сначала уточним, что понимается под морфизмом и ограничением пучка.

Морфизмом пучков $φ : F \to G$ называется семейство отображений $φ_{U} : F (U) \to G (U)$ для всех открытых $U$ , совместимых с ограничениями:

φ (s |_{V}) = φ (s) |_{V} (V \subseteq U)

Ограничение пучка $F$ на открытое $U$ обозначается $F |_{U}$ . На каждом открытом $V \subseteq U$ оно имеет те же сечения $F (V)$ .

Пусть открытые множества $U_{i}$ покрывают $X$ , на каждом $U_{i}$ задан пучок $F_{i}$ , а на попарных пересечениях — изоморфизмы

θ_{i j} : F_{i} |_{U_{i} \cap U_{j}} \tilde{\to} F_{j} |_{U_{i} \cap U_{j}}

На тройном пересечении переход из $F_{i}$ в $F_{k}$ не должен зависеть от того, идём ли мы прямо или через $F_{j}$ . Поэтому требуются равенства

θ_{i i} = id

θ_{j k} \circ θ_{i j} = θ_{i k}

Второе равенство называется условием коцикла. В виджете на каждом из трёх открытых множеств задан постоянный пучок $\underset{―}{Z}$ . Изменение одного перехода показывает, почему попарных изоморфизмов без условия коцикла недостаточно.

Сначала проследите согласованные переходы на тройном пересечении. Затем нарушьте один переход и сравните прямой путь с путём через второй пучок: на каком шаге один элемент получает два разных образа?

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Диаграмма записывает ту же проверку для произвольных пучков на $U_{i} \cap U_{j} \cap U_{k}$ .

θ_{i j}

θ_{i k}

θ_{j k}

Объекты и связи диаграммы

ограничение первого пучка на тройное пересечение: Первый локальный пучок, ограниченный на общее пересечение трёх открытых множеств.
ограничение второго пучка на тройное пересечение: Второй локальный пучок, ограниченный на то же тройное пересечение.
ограничение третьего пучка на тройное пересечение: Третий локальный пучок, ограниченный на то же тройное пересечение.
отождествление первого и второго пучков: От «ограничение первого пучка на тройное пересечение» к «ограничение второго пучка на тройное пересечение».Изоморфизм между ограничениями первого и второго локальных пучков.
прямое отождествление первого и третьего пучков: От «ограничение первого пучка на тройное пересечение» к «ограничение третьего пучка на тройное пересечение».Прямой изоморфизм между первым и третьим пучками; условие коцикла требует совпадения с композицией через второй пучок.
отождествление второго и третьего пучков: От «ограничение второго пучка на тройное пересечение» к «ограничение третьего пучка на тройное пересечение».Изоморфизм между ограничениями второго и третьего локальных пучков.

Рассмотрим базу, состоящую из открытых множеств $V$ , для которых $V \subseteq U_{i}$ при некотором $i$ . Если $V$ лежит сразу в нескольких множествах покрытия, изоморфизмы $θ_{i j}$ отождествляют множества сечений $F_{i} (V)$ . Условие коцикла гарантирует, что прямое отождествление совпадает с переходом через любой промежуточный пучок. Поэтому множества $F_{i} (V)$ канонически отождествляются и задают единое множество сечений над $V$ .

Ограничения внутри локальных пучков совместимы с $θ_{i j}$ и потому задают ограничения между полученными множествами сечений. Если $V \subseteq U_{i}$ , то для покрытия $V$ элементами выбранной базы аксиома склейки сводится к аксиоме пучка $F_{i}$ . Значит, мы получили пучок на базе. Лемма о базе продолжает его до пучка на $X$ и одновременно обеспечивает единственность продолжения.

Пучки $F_{i}$ на открытом покрытии вместе с изоморфизмами $θ_{i j}$ , удовлетворяющими условию коцикла, задают пучок $F$ на $X$ и изоморфизмы

F |_{U_{i}} \tilde{\to} F_{i}

Такой пучок единственен с точностью до единственного изоморфизма, совместимого с заданными локальными отождествлениями.

Ростки и слои

Сечение хранит данные на всём открытом множестве. Чтобы оставить только его поведение вблизи точки $x \in X$ , будем считать два локальных сечения одинаковыми, если они совпадают после перехода к меньшей окрестности.

Пусть $s \in F (U)$ и $t \in F (V)$ , где $x \in U \cap V$ . Они определяют один и тот же росток в точке $x$ , если существует окрестность $W \subseteq U \cap V$ , на которой

s |_{W} = t |_{W}

Это действительно отношение эквивалентности: рефлексивность и симметричность очевидны, а транзитивность проверяется после перехода к пересечению соответствующих окрестностей. Класс сечения $s$ обозначается $s_{x}$ и называется его ростком в точке $x$ . Множество всех ростков обозначается $F_{x}$ и называется слоем $F$ в точке $x$ .

Любые две окрестности точки содержат общую меньшую окрестность — их пересечение. Упорядочим окрестности обратным включением; при переходе к меньшей окрестности действует отображение ограничения. Поэтому слой является прямым пределом множеств сечений:

F_{x} = \underset{x \in U}{\lim_{\to}} F (U)

В этом прямом пределе два сечения отождествляются тогда и только тогда, когда они совпадают после ограничения на некоторую общую окрестность точки. Для каждого открытого $U$ с $x \in U$ имеется естественное отображение $F (U) \to F_{x}$ , отправляющее сечение в его росток.

Росток содержит больше информации, чем значение функции в точке. Например, на $R$ функции $s (t) = 0$ и $g (t) = t$ имеют одинаковое значение в точке $0$ , но разные ростки: они не совпадают ни в одной окрестности нуля.

s_{x} = t_{x}

s |_{W} = t |_{W}

Первое равенство выполнено тогда и только тогда, когда второе выполнено для некоторой окрестности $W$ точки $x$ . Слой не зависит от первоначальной области определения сечения и сохраняет всю информацию, видимую в некоторой окрестности точки.

Морфизмы на слоях

Морфизм пучков $φ : F \to G$ задаёт для каждой точки отображение слоёв $φ_{x} : F_{x} \to G_{x}$ :

φ_{x} (s_{x}) := (φ_{U} (s))_{x}

Совместимость морфизма с ограничениями гарантирует, что результат не зависит от представителя ростка $s_{x}$ .

Сравним свойства отображений $φ_{U}$ на сечениях со свойствами отображений $φ_{x}$ на слоях. Первый столбец показывает переход от всех $φ_{U}$ ко всем $φ_{x}$ , второй — обратный переход.

Переход между сечениями и слоями
Свойство	Сечения ⇒ слои	Слои ⇒ сечения
Инъективность	да	да
Сюръективность	да	нет
Биективность	да	да

Пусть все $φ_{x}$ инъективны. Два сечения с одинаковым образом имеют одинаковые ростки во всех точках и потому совпадают в некоторой окрестности каждой точки. Эти окрестности покрывают область определения сечений, поэтому аксиома единственности даёт их равенство на всей области.

Пусть теперь все $φ_{x}$ биективны. Любое сечение целевого пучка локально поднимается в $F$ . На пересечении двух окрестностей локальные подъёмы имеют один образ. Уже доказанная инъективность отображений на сечениях заставляет их совпадать; поэтому подъёмы склеиваются в глобальный прообраз.

Одна лишь сюръективность на слоях даёт локальные прообразы, но не гарантирует их совместимости. На $X = C^{\times}$ обозначим через $O$ пучок голоморфных функций, а через $O^{\times}$ — пучок нигде не обращающихся в нуль голоморфных функций. Возведение экспоненты задаёт морфизм

\exp : O ⟶ O^{\times}, f ⟼ e^{f}

У каждой ненулевой голоморфной функции локально существует логарифм, поэтому этот морфизм сюръективен на слоях. Однако функция $z \in O^{\times} (C^{\times})$ не имеет голоморфного логарифма на $C^{\times}$ . Если бы $e^{f} = z$ , то возникло бы противоречие:

Дифференцируем равенство
$f^{'} (z) = \frac{1}{z}$
Результат: Интегрируем по единичной окружности
$0 = \int_{| z | = 1} f^{'} (z) d z = \int_{| z | = 1} \frac{d z}{z} = 2 π i$

φ — изоморфизм

φ_{x} — биекция для каждого x \in X

Эти условия равносильны. Сюръективность на слоях означает только локальное существование прообразов; глобальной сюръективности на сечениях она не гарантирует.

Пучковизация

Предпучок может не удовлетворять аксиоме склейки. Тем не менее ему можно канонически сопоставить пучок с теми же слоями.

Для предпучка $F$ определим $F^{+} (U)$ как множество семейств ростков $(a_{x})_{x \in U}$ , которые локально представлены сечениями $F$ : для каждой точки $x \in U$ существуют окрестность $V \subseteq U$ и сечение $s \in F (V)$ такие, что

a_{y} = s_{y} для всех y \in V

Ростки предпучка $F_{x}$
Семейство ростков $(a_{x})_{x \in U}$
Локальная представимость $F^{+} (U)$

Ограничение такого семейства на меньшее открытое множество просто отбрасывает ростки в остальных точках. Проверим аксиому пучка. Пусть открытые множества $U_{i}$ покрывают $U$ , а семейства $a_{i} \in F^{+} (U_{i})$ совпадают на пересечениях. В каждой точке $x \in U$ возьмём компоненту любого семейства, определённого в этой точке: $a_{x} = (a_{i})_{x}$ при $x \in U_{i}$ . Совместимость на пересечениях гарантирует, что результат не зависит от выбора $U_{i}$ .

В окрестности каждой точки полученное семейство $a$ совпадает с одним из $a_{i}$ и потому представлено сечением $F$ . Значит, $a \in F^{+} (U)$ . Любые две склейки имеют одну и ту же компоненту в каждой точке и потому равны. Следовательно, $F^{+}$ является пучком.

Каждое сечение $s \in F (U)$ задаёт семейство своих ростков. Так возникает канонический морфизм $η : F \to F^{+}$ . Зафиксируем точку $x$ . Каждый элемент $F_{x}^{+}$ представлен некоторым семейством из $F^{+} (U)$ , а в окрестности $x$ это семейство представлено сечением $s \in F (V)$ . Поэтому выбранный элемент является образом ростка $s_{x}$ , и отображение на слоях сюръективно.

Если образы двух ростков $s_{x}, t_{x} \in F_{x}$ равны, то после сужения окрестности соответствующие семейства ростков совпадают. В частности, их компоненты в точке $x$ равны, то есть $s_{x} = t_{x}$ . Следовательно, отображение на слоях инъективно, а значит, биективно.

Наконец, пусть $G$ — пучок и задан морфизм $α : F \to G$ . Возьмём семейство $a \in F^{+} (U)$ и покрытие множества $U$ открытыми множествами $V_{i}$ , на которых его представляют сечения $s_{i} \in F (V_{i})$ . На пересечениях эти сечения имеют одинаковые ростки. Поэтому $α (s_{i})$ и $α (s_{j})$ также имеют одинаковые ростки и, как сечения пучка $G$ , совпадают на пересечениях. Они единственным образом склеиваются в сечение над $U$ .

Полученная склейка не зависит от выбора локальных представителей и задаёт морфизм $\tilde{α} : F^{+} \to G$ такой, что $\tilde{α} \circ η = α$ . На каждом $V_{i}$ любое продолжение обязано совпадать с $α (s_{i})$ ; поэтому аксиома единственности для $G$ не допускает другого продолжения.

F_{x} \tilde{\to} F_{x}^{+}

Hom (F^{+}, G) \tilde{\to} Hom (F, G)

Вторая биекция верна для любого пучка $G$ и задаётся композицией с $η : F \to F^{+}$ .

Прямой и обратный образы

Пусть $f : X \to Y$ — непрерывное отображение. Оно позволяет переносить пучки в обоих направлениях, но две конструкции устроены по-разному.

Пусть $F$ — пучок на $X$ . Значение его прямого образа $f_{*} F$ на открытом множестве $V \subseteq Y$ определяется формулой

(f_{*} F) (V) = F (f^{- 1} (V))

Полный прообраз сохраняет объединения и пересечения, поэтому аксиома пучка для $f_{*} F$ непосредственно следует из аксиомы для $F$ .

Пучок-небоскрёб

Пусть $i : {x} ↪ X$ — включение точки, а $S$ — множество, содержащее хотя бы два элемента. Возьмём на одноточечном пространстве постоянный пучок $\underset{―}{S}$ и рассмотрим его прямой образ. Пучок $i_{*} \underset{―}{S}$ называется пучком-небоскрёбом (skyscraper sheaf) в точке $x$ . Для открытого множества $U \subseteq X$ имеем

(i_{*} \underset{―}{S}) (U) = {\begin{cases} S, & x \in U, \\ {*}, & x \notin U \end{cases}

Между двумя окрестностями точки $x$ ограничением служит тождественное отображение множества $S$ . При ограничении на открытое множество, не содержащее $x$ , остаётся единственное отображение в ${*}$ . Аксиома пучка выполнена автоматически, поскольку эта конструкция является прямым образом пучка.

Пусть $Z$ — замыкание одноточечного множества ${x}$ в $X$ . Если $y \in Z$ , каждая окрестность точки $y$ содержит $x$ , поэтому в прямом пределе остаётся множество $S$ . Если $y \notin Z$ , найдётся окрестность $y$ , не содержащая $x$ , и слой становится одноточечным. Следовательно,

(i_{*} \underset{―}{S})_{y} ≅ {\begin{cases} S, & y \in Z, \\ {*}, & y \notin Z \end{cases}

Для пучка $G$ на $Y$ сначала определим на $X$ предпучок $P$ . Его значение на открытом множестве $U \subseteq X$ — прямой предел множеств $G (V)$ по всем открытым окрестностям $V \subseteq Y$ множества $f (U)$ :

P (U) := \underset{f (U) \subseteq V}{\lim_{\to}} G (V)

Этот предпучок может не быть пучком. Обратным образом $G$ называют его пучковизацию:

f^{- 1} G := P^{+}

Построим естественную биекцию между соответствующими множествами морфизмов. Пусть задан морфизм $β : G \to f_{*} F$ . Для открытых множеств $U \subseteq X$ и $V \subseteq Y$ , удовлетворяющих условию $f (U) \subseteq V$ , получаем композицию

G (V) ⟶ F (f^{- 1} (V)) ⟶ F (U)

Эти отображения согласованы с ограничениями и потому задают морфизм предпучков $P \to F$ . Поскольку $F$ — пучок, универсальность пучковизации единственным образом продолжает этот морфизм до отображения $f^{- 1} G \to F$ .

Обратно, морфизм $f^{- 1} G \to F$ после композиции с $P \to P^{+}$ даёт морфизм $P \to F$ . Для открытого $V \subseteq Y$ используем каноническое отображение $G (V) \to P (f^{- 1} (V))$ и получаем

G (V) ⟶ P (f^{- 1} (V)) ⟶ F (f^{- 1} (V))

Эти отображения образуют морфизм $G \to f_{*} F$ . Построенные соответствия между морфизмами взаимно обратны. Обозначим через $Sh (X)$ и $Sh (Y)$ категории пучков на $X$ и $Y$ соответственно. Тогда получаем естественную биекцию

{Hom}_{Sh (X)} (f^{- 1} G, F) ≅ {Hom}_{Sh (Y)} (G, f_{*} F)

f_{*}

f^{- 1}

Объекты и связи диаграммы

категория пучков на X: Пучки множеств на исходном пространстве и их морфизмы.
категория пучков на Y: Пучки множеств на целевом пространстве и их морфизмы.
прямой образ пучка: От «категория пучков на X» к «категория пучков на Y».Значение прямого образа на открытом множестве состоит из сечений исходного пучка над его полным прообразом.
обратный образ пучка: От «категория пучков на Y» к «категория пучков на X».Обратный образ получают из прямых пределов сечений над окрестностями образа с последующей пучковизацией.

Рассмотрим включение открытого подмножества $j : U ↪ X$ . Для пучка $G$ на $X$ обратный образ $j^{- 1} G$ совпадает с ограничением $G |_{U}$ . Если $F$ — пучок на $U$ , а $V \subseteq X$ открыто, то

(j_{*} F) (V) = F (V \cap U)

Обратный образ позволяет ограничить пучок и на произвольное подмножество. Если $F$ — пучок на $X$ и $i : Z ↪ X$ — включение подпространства, положим $F |_{Z} := i^{- 1} F$ . При $Z = {x}$ множество сечений полученного пучка совпадает со слоем $F_{x}$ .

f^{- 1} — левый сопряжённый к f_{*}

Прямой образ сопоставляет открытому множеству $V \subseteq Y$ множество сечений $F (f^{- 1} (V))$ . Обратный образ получают из данных над окрестностями $f (U)$ с помощью пучковизации.

Пучки

Соглашения

Склейка функций

Проверка на пересечении

Совместимые непрерывные функции склеиваются единственным образом

Предпучок

Предпучок

Ограничения непрерывных функций образуют предпучок

Совместимые семейства

Инъективность отвечает за единственность, сюръективность — за существование

Аксиома пучка

Пучок

Непрерывные функции образуют пучок

Локальная постоянность

Выберите открытое множество

Локально постоянные функции образуют пучок

База открытых множеств

Пучок восстанавливается по данным на базе

Склейка пучков

Морфизм пучков

Проверка на тройном пересечении

Пучки склеиваются при выполнении условия коцикла

Ростки и слои

Росток и слой

Равенство ростков проверяется на общей окрестности

Морфизмы на слоях

Изоморфизм пучков распознаётся по слоям

Пучковизация

Пучковизация сохраняет слои и универсальна

Прямой и обратный образы

Пучок-небоскрёб

Обратный образ сопряжён слева прямому