Схемы

Соглашения

• Все кольца коммутативны, имеют единицу, а гомоморфизмы колец сохраняют единицу.
• $A,B,R$ обозначают кольца, $k$ — поле, а $\mathfrak{p},\mathfrak{q}$ — простые идеалы.
• Для $f\in A$ через $A_f$ обозначается локализация, в которой степени $f$ становятся обратимыми.

Локально окольцованные пространства

Начнём с обычной гладкой функции. Если её значение в точке $x$ отлично от нуля, то функция не обращается в нуль в некоторой окрестности $x$ и там имеет гладкую обратную. Если значение равно нулю, локальной обратной быть не может. Значит, ненулевое значение функции можно распознать по обратимости её ростка.

Эту связь между значением и обратимостью нужно сохранить для более общих пространств. Само топологическое пространство хранит точки и открытые области, а пучок колец указывает, какие функции разрешены на каждой области.

Определение

Окольцованное пространство

Окольцованное пространство — это пара $(X,\mathcal{O})$, где $X$ — топологическое пространство, а $\mathcal{O}$ — пучок коммутативных колец на $X$. Его называют структурным пучком.

Кольцо ${\mathcal{O}}_x$ состоит из ростков сечений в точке $x$. Два сечения задают один росток, если они совпадают в некоторой окрестности $x$. Поэтому росток хранит только поведение функции вблизи точки и не зависит от её значений вдали от неё.

Определение

Локальное кольцо

Коммутативное кольцо называется локальным, если оно имеет единственный максимальный идеал. В локальном кольце этот идеал состоит ровно из необратимых элементов: все элементы вне него обратимы.

Определение

Локально окольцованное пространство

Окольцованное пространство $(X,\mathcal{O})$ называется локально окольцованным, если кольцо ${\mathcal{O}}_x$ локально для каждой точки $x\in X$. Единственный максимальный идеал ${\mathfrak{m}}_x$ этого кольца состоит из ростков, которые считаются исчезающими в $x$.

Два ростка имеют одно значение в точке, если их разность исчезает в ней, то есть принадлежит ${\mathfrak{m}}_x$. Поэтому множество возможных значений получается факторизацией по этому идеалу. Поскольку идеал максимален, фактор является полем — полем вычетов точки:

Образ ростка в $\kappa (x)$ и есть его значение в точке. Росток исчезает в $x$ именно тогда, когда это значение равно нулю.

Рассмотрим алгебраический пример. Кольцо $A=k[t{]}_{(t)}$ состоит из дробей, знаменатель которых не обращается в нуль при $t=0$. Иными словами, это рациональные функции, определённые в нуле. Максимальный идеал $\mathfrak{m}=(t)$ состоит из функций, исчезающих в нуле, а подстановка $t=0$ задаёт поле вычетов $A/\mathfrak{m}\cong k$.

Для каждого из трёх элементов сначала найдите его значение в нуле и решите, допустима ли обратная дробь. Затем выберите элемент и сопоставьте свой ответ с показанным вычислением.

Для гладких вещественных функций поле вычетов в каждой точке равно $\mathbb{R}$, поэтому значение ростка является обычным вещественным числом. В алгебраической геометрии у разных точек могут быть разные поля вычетов. Поэтому точку нельзя всегда описать подстановкой значения из одного заранее выбранного поля; более гибкое понятие точки приведёт нас к простым идеалам и спектру кольца.

Результат

Обратимость проверяется в поле вычетов

$$f\in ({\mathcal{O}}_x{)}^{\times }⟺f\notin {\mathfrak{m}}_x$$

Эквивалентно, росток обратим тогда и только тогда, когда его значение в поле вычетов $\kappa (x)$ отлично от нуля.

Спектр кольца

В каждой точке часть функций обращается в нуль. Эти функции образуют идеал $\mathfrak{p}\subset A$. Если значения функций лежат в поле, то фактор $A/\mathfrak{p}$ не имеет делителей нуля. Поэтому алгебраической точке естественно сопоставить простой идеал.

Определение

Простые идеалы и спектр

Собственный идеал $\mathfrak{p}\subset A$ называется простым, если из $ab\in \mathfrak{p}$ следует $a\in \mathfrak{p}$ или $b\in \mathfrak{p}$. Равносильно, фактор $A/\mathfrak{p}$ является областью целостности.

$$\mathrm{Spec}A:=\{\mathfrak{p}\mid \mathfrak{p}\text{ — простой идеал }A\}$$

Пусть $\phi :A\to B$ — гомоморфизм колец, а $\mathfrak{q}\in \mathrm{Spec}B$ — точка спектра $B$. Полный прообраз ${\phi }^{-1}(\mathfrak{q})$ является простым идеалом в $A$. Действительно, фактор по нему изоморфен подкольцу области $B/\mathfrak{q}$ и потому сам не имеет делителей нуля.

Если ограничиться максимальными идеалами, эта конструкция перестанет работать. При включении $\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}$ максимальный идеал $(0)$ поля $\mathbb{Q}$ переходит в идеал $(0)$ кольца $\mathbb{Z}$, который прост, но не максимален.

Направление стрелки определяется подстановкой функций: элемент $a\in A$ превращается в $\phi (a)\in B$. Поэтому гомоморфизму координатных колец соответствует отображение спектров в противоположную сторону.

Результат

Спектр — контравариантная геометрия кольца

$$A⟶B⟹\mathrm{Spec}B⟶\mathrm{Spec}A$$

Простые идеалы — минимальный класс точек, замкнутый относительно полных прообразов при гомоморфизмах колец.

Топология Зарисского

Теперь превратим множество простых идеалов в топологическое пространство. В точке $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$ элемент $f\in A$ имеет нулевое значение ровно тогда, когда $f\in \mathfrak{p}$. Поэтому идеал можно понимать как систему уравнений, а содержащий его простой идеал — как их общее решение.

Определение

Топология Зарисского

Для идеала $I\subset A$ положим

$$\mathrm{V}(I):=\{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A\mid I\subseteq \mathfrak{p}\}$$

Множество $\mathrm{V}(I)$ состоит из точек, в которых исчезают все элементы идеала $I$. Множества такого вида объявляются замкнутыми.

Эти множества действительно задают топологию. Все элементы нулевого идеала исчезают во всех точках, поэтому $\mathrm{V}((0))=\mathrm{Spec}A$. Единица не исчезает ни в одной точке, поэтому $\mathrm{V}((1))=\varnothing$. Объединения и пересечения описываются операциями над идеалами:

Первая формула говорит, что в простом идеале произведение может исчезнуть только вместе хотя бы с одним множителем. Вторая объединяет несколько систем уравнений в одну: точка должна удовлетворять всем уравнениям сразу.

Топология Зарисского грубее привычной топологии: отдельная точка не обязана быть замкнутой. Наименьшее замкнутое множество, содержащее точку $\mathfrak{p}$, равно $\mathrm{V}(\mathfrak{p})$:

Точка $\mathfrak{q}$ называется специализацией точки $\mathfrak{p}$, если лежит в её замыкании. Поэтому включение $\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{q}$ означает, что $\mathfrak{p}$ — более общая точка, а $\mathfrak{q}$ — более специальная.

Например, в $\mathrm{Spec}k[x]$ точка $(x-a)$ замкнута, а замыкание точки $(0)$ равно всей аффинной прямой. Такая точка, замыкание которой совпадает со всем пространством или с одной его неприводимой компонентой, называется родовой.

Начните со спектра поля, затем перейдите к целым числам и кольцу многочленов. В каждом случае найдите замкнутые точки и точку, из которой идут стрелки специализации. Объясните, почему число нарисованных точек не обязано равняться числу точек спектра.

У приводимого пространства несколько неприводимых компонент, и у каждой есть своя родовая точка. Например, множество нулей уравнения $xy=0$ в комплексной аффинной плоскости состоит из двух координатных прямых:

Выберите по очереди две компоненты. Какое замкнутое множество содержится в обеих, а какое содержит их обе? Найдите эти два ответа в решётке; затем проверьте крайние случаи — пустое и всё пространство.

Здесь решётка — это диаграмма включений замкнутых множеств: ниже расположено меньшее множество, выше — большее. Пересечение движет вниз, а объединение — вверх. Виджет показывает только конечную часть полной решётки; в ней есть также конечные наборы замкнутых точек и их объединения с компонентами.

Теперь опишем стандартные открытые области. Для элемента $f\in A$ рассмотрим точки, в которых он не исчезает. Их множество называется главным открытым:

Первая формула удаляет множество нулей элемента $f$, а вторая выражает то же условие через простые идеалы. Каждое открытое множество является объединением главных открытых множеств, поэтому они служат стандартными строительными блоками топологии. Кроме того,

Эта формула говорит: произведение не исчезает ровно там, где не исчезает ни один из множителей. Главные открытые множества также квазикомпактны: из любого их открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.

Для покрытия $\mathrm{D}(f)$ главными открытыми множествами $\mathrm{D}(g_i)$ это имеет точный алгебраический смысл: конечное число элементов $g_i$ уже порождает идеал, содержащий некоторую степень $f$. Соответствующие области образуют конечное подпокрытие.

Результат

Главные открытые множества задают топологию

$$\mathrm{Spec}A=\mathrm{D}(1)$$$$\mathrm{D}(f)\cap \mathrm{D}(g)=\mathrm{D}(fg)$$

Каждое открытое множество является объединением областей $\mathrm{D}(f)$, каждая такая область квазикомпактна, а их конечные пересечения снова имеют тот же вид. Поэтому и топологию, и будущий структурный пучок достаточно задавать на главных открытых множествах.

Локализация

Начнём с аффинной прямой $\mathrm{Spec}k[x]$. Главное открытое множество $\mathrm{D}(x)$ получается из неё удалением точки $(x)$. Поскольку на нём координата $x$ нигде не обращается в нуль, естественно разрешить деление на $x$:

Такое кольцо дробей называется локализацией. Посмотрим, как один и тот же выбор элемента одновременно меняет пространство и локализованное кольцо.

Сначала выберите единицу, затем координату и произведение с двумя нулями. До переключения назовите удаляемые точки и новые допустимые знаменатели. Что должно произойти при попытке обратить нуль?

Определение

Локализация по элементу

Для кольца $A$ и элемента $f\in A$ локализация $A_f$ состоит из классов формальных дробей $h/f^n$, где $h\in A$, а $n$ — неотрицательное целое число. Сложение и умножение выполняются по обычным правилам для дробей. Канонический гомоморфизм $A\to A_f$ отправляет $h$ в $h/1$, а элемент $f$ становится обратимым с обратным $1/f$.

Локализацию можно построить, добавив к $A$ новый элемент $t$ и потребовав, чтобы он был обратным к $f$. Равенство $ft=1$ выражает это требование:

Этим объясняется универсальное свойство локализации. Пусть гомоморфизм $\phi :A\to B$ переводит $f$ в обратимый элемент. Тогда образ каждой дроби уже вынужденно равен

Поэтому существует единственный гомоморфизм $A_f\to B$ с таким правилом. Иными словами, любое отображение из $A$, в котором образ $f$ уже обратим, единственным образом продолжается на $A_f$.

Теперь сравним точки спектров. Главное открытое множество $\mathrm{D}(f)$ состоит из точек $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$, в которых $f$ не исчезает, то есть $f\notin \mathfrak{p}$. После обращения $f$ простой идеал, содержащий его, сохраниться не может. Все остальные простые идеалы сохраняются.

Точнее, простой идеал $\mathfrak{q}\in \mathrm{Spec}(A_f)$ сужается до своего прообраза в $A$. В обратную сторону идеал $\mathfrak{p}\in \mathrm{D}(f)$ продолжается до идеала $\mathfrak{p}{A}_f$:

Эти операции взаимно обратны. Кроме того, главное открытое множество, заданное образом любого элемента $g\in A$ в локализации, соответствует пересечению $\mathrm{D}(g)\cap \mathrm{D}(f)$. Значит, на обеих сторонах совпадают не только точки, но и базовые открытые множества. Полученная биекция является гомеоморфизмом:

Наконец, пусть $\mathrm{D}(g)\subseteq \mathrm{D}(f)$. Функцию с большей области можно ограничить на меньшую. Алгебраически образ $f$ обратим в $A_g$, и универсальное свойство даёт гомоморфизм в противоположном направлении:

Результат

Удалению нулей соответствует локализация

$$\mathrm{Spec}(A_f)\cong \mathrm{D}(f)$$$$\mathrm{D}(g)\subseteq \mathrm{D}(f)⟹A_f⟶A_g$$

Удаление множества нулей $f$ соответствует разрешению степеней $f$ в знаменателе. При переходе к меньшей области кольца функций отображаются в обратную сторону. В следующей части эти гомоморфизмы станут отображениями ограничения структурного пучка.

Структурный пучок

На главном открытом множестве $\mathrm{D}(f)$ элемент $f$ не исчезает, поэтому разрешёнными функциями на этой области естественно считать дроби из $A_f$. Получаем правило

Если $\mathrm{D}(g)\subseteq \mathrm{D}(f)$, то функцию с большей области можно ограничить на меньшую. В предыдущей части это ограничение было построено как гомоморфизм $A_f\to A_g$. Поэтому локализации вместе с этими гомоморфизмами образуют предпучок на базе главных открытых множеств.

Для пучка одного ограничения недостаточно. Пусть главные открытые множества покрывают некоторую область и на каждом из них задана локальная дробь. Если на всех попарных пересечениях эти дроби совпадают, они должны склеиваться в единственную функцию на всей области. Это и есть аксиома пучка.

Для локализаций аксиома выполняется. Главное открытое множество квазикомпактно, поэтому достаточно конечного подпокрытия. После приведения локальных дробей к подходящим знаменателям их совпадение на пересечениях позволяет собрать одну дробь; та же проверка гарантирует её единственность. Следовательно, правило на главных открытых множествах задаёт пучок.

Определение

Структурный пучок аффинного спектра

Пусть $X=\mathrm{Spec}A$. Структурный пучок $\mathcal{O}$ — пучок разрешённых функций на $X$, который на главных открытых множествах задаётся локализациями:

$$\mathcal{O}(\mathrm{D}(f))=A_f$$

На произвольном открытом подмножестве его сечения локально представляются такими дробями и совпадают на пересечениях. Эти условия определяют структурный пучок единственным образом с точностью до единственного изоморфизма.

Теперь зафиксируем точку $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$. Чтобы задать росток в этой точке, достаточно выбрать главную окрестность $\mathrm{D}(f)$ с $f\notin \mathfrak{p}$ и дробь, определённую на ней. При уменьшении окрестности в знаменателе можно использовать любой элемент кольца $A$, не принадлежащий $\mathfrak{p}$. Поэтому кольцо всех ростков в точке $\mathfrak{p}$ равно локализации $A_{\mathfrak{p}}$.

Например, для $A=k[x]$ и точки $\mathfrak{p}=(x-a)$ кольцо $A_{\mathfrak{p}}$ состоит из рациональных функций, знаменатели которых не обращаются в нуль при $x=a$. Это именно функции, определённые в некоторой окрестности выбранной точки.

Максимальный идеал $\mathfrak{p}{A}_{\mathfrak{p}}$ состоит из ростков, исчезающих в точке $\mathfrak{p}$, а фактор по нему оставляет только их значения в поле вычетов. На другом масштабе всё пространство равно $X=\mathrm{D}(1)$, а обращение единицы не меняет кольцо: $A_1\cong A$. Поэтому глобальные сечения восстанавливают исходное кольцо:

Результат

Пучок восстанавливает глобальное и локальные кольца

$$\mathcal{O}(X)\cong A$$$${\mathcal{O}}_{\mathfrak{p}}\cong A_{\mathfrak{p}}$$$${\mathfrak{m}}_{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}{A}_{\mathfrak{p}}$$

Структурный пучок хранит исходное кольцо на всём спектре и его локализацию в каждой точке. Поскольку каждое кольцо $A_{\mathfrak{p}}$ локально, пара $(\mathrm{Spec}A,\mathcal{O})$ является локально окольцованным пространством.

Аффинные схемы

Предыдущие части превратили кольцо $A$ в геометрический объект. Его точками служат простые идеалы пространства $X=\mathrm{Spec}A$, функции на главном открытом подмножестве $\mathrm{D}(f)$ образуют локализацию $A_f$, а кольцо ростков в точке $\mathfrak{p}$ равно $A_{\mathfrak{p}}$. Все эти данные собраны в локально окольцованном пространстве $(X,\mathcal{O})$.

Определение

Аффинная схема

Локально окольцованное пространство называется аффинной схемой, если для некоторого кольца $A$ оно изоморфно паре $(X,\mathcal{O})$, где $X=\mathrm{Spec}A$, а $\mathcal{O}$ — структурный пучок из локализаций кольца $A$. Иными словами, одна аффинная схема целиком описывается одним кольцом.

Не всякое геометрическое пространство можно целиком описать одним кольцом. Здесь действует тот же принцип, что и для многообразий: всё пространство может не иметь одной глобальной карты, но у каждой точки есть простая локальная модель. Для схем такими моделями служат спектры колец.

Определение

Схема

Схема — локально окольцованное пространство $(X,\mathcal{O})$, у каждой точки $x\in X$ которого есть открытая окрестность $U$ такая, что пара $(U,\mathcal{O}{|}_U)$ является аффинной схемой. Такие окрестности называются аффинными открытыми подмножествами. Эквивалентно, схема допускает покрытие аффинными открытыми подмножествами.

Посмотрим, как устроены аффинные окрестности внутри $X=\mathrm{Spec}A$. На главном открытом подмножестве $\mathrm{D}(f)$ элемент $f$ нигде не обращается в нуль, поэтому функции можно делить на его степени. Алгебраически это означает переход от $A$ к локализации $A_f$. Если $Y=\mathrm{Spec}(A_f)$, то

Следовательно, главные открытые подмножества аффинной схемы сами аффинны и образуют базу топологии на её пространстве. Вокруг любой точки можно выбрать такую аффинную окрестность.

Результат

Схемы локально аффинны

Одно кольцо задаёт одну аффинную карту. Общая схема покрывается такими картами, поэтому вблизи каждой точки она описывается некоторым кольцом. Чтобы восстановить глобальное пространство, необходимо дополнительно указать, как аффинные карты отождествляются на пересечениях.