Морфизмы схем

Соглашения

• Все кольца коммутативны, имеют единицу, а гомоморфизмы колец сохраняют единицу.
• $X,Y,Z,S$ обозначают рассматриваемые пространства. В первой части это окольцованные пространства; во всех последующих частях — схемы. Буква $\mathcal{O}$ обозначает структурный пучок; индекс у неё указывает пространство только тогда, когда без него возникает неоднозначность.
• Прямой и обратный образы пучков считаются известными из главы о пучках.

Морфизм окольцованных пространств

Рассмотрим на вещественной прямой функции $f(x)=x^2$ и $g(y)=y+1$. Подстановка $f(x)$ вместо $y$ превращает функцию $g$ в композицию

В общем случае пусть $f:X\to Y$ — непрерывное отображение, а $U\subseteq Y$ — открытое множество. Непрерывность гарантирует, что полный прообраз $f^{-1}(U)$ тоже открыт. Поэтому функцию $g$, заданную на $U$, можно перенести на $f^{-1}(U)$ с помощью композиции $g\circ f$. Композиция с $f$ сохраняет сумму, произведение и постоянную единицу, поэтому этот перенос является гомоморфизмом колец функций. Точки движутся из $X$ в $Y$, а функции — в противоположную сторону.

В произвольном окольцованном пространстве сечения не обязаны быть обычными функциями, поэтому буквальная композиция может не иметь смысла. Вместо неё нужно задать гомоморфизм колец сечений над каждым открытым множеством.

Определение

Морфизм окольцованных пространств

Морфизм из $(X,{\mathcal{O}}_X)$ в $(Y,{\mathcal{O}}_Y)$ состоит из непрерывного отображения $f:X\to Y$ и следующего обратного переноса сечений. Для каждого открытого множества $U\subseteq Y$ задаётся гомоморфизм колец

$${\mathcal{O}}_Y(U)⟶{\mathcal{O}}_X(f^{-1}(U))$$

Для открытых множеств $V\subseteq U$ оба способа получить сечение на $f^{-1}(V)$ должны совпадать. Можно сначала ограничить сечение с $U$ на $V$, а затем перенести его; можно сначала перенести сечение на $f^{-1}(U)$, а затем ограничить его на $f^{-1}(V)$. В обоих случаях получается один и тот же гомоморфизм

$${\mathcal{O}}_Y(U)⟶{\mathcal{O}}_X(f^{-1}(V))$$

Совместимые гомоморфизмы для всех открытых множеств вместе образуют морфизм пучков колец

$$f^{\mathrm{♯}}:{\mathcal{O}}_Y⟶f_{\ast }{\mathcal{O}}_X$$

Здесь прямой образ лишь собирает сечения на полных прообразах: $(f_{\ast }{\mathcal{O}}_X)(U)={\mathcal{O}}_X(f^{-1}(U))$. Для обычных функций заданный гомоморфизм переводит $g$ в $g\circ f$.

Результат

Точки идут вперёд, сечения — назад

Непрерывное отображение сообщает, куда переходят точки. Совместимые с ограничениями гомоморфизмы переносят сечения с каждого открытого множества цели на его полный прообраз в источнике.

Морфизм схем

Пусть $X$ и $Y$ — схемы, а пара $(f,f^{\mathrm{♯}})$ пока задаёт только морфизм их окольцованных пространств. Такой морфизм ещё не обязан правильно связывать сечение с его значением в точке.

Для обычных функций требуемая связь видна непосредственно. Пусть $x\in X$, $y=f(x)\in Y$, а функция $g$ определена в окрестности $y$. Тогда

Следовательно, функция обращается в нуль в $y$ тогда и только тогда, когда перенесённая функция обращается в нуль в $x$. Для сечения структурного пучка значение в точке определяется в два шага: сначала берётся росток, затем его класс в поле вычетов

Поскольку $X$ и $Y$ — схемы, кольца ${\mathcal{O}}_{X,x}$ и ${\mathcal{O}}_{Y,y}$ локальны. Обозначим их единственные максимальные идеалы через ${\mathfrak{m}}_x$ и ${\mathfrak{m}}_y$ соответственно. Поле вычетов в $y$ — это факторкольцо

Поэтому росток имеет нулевое значение в $y$ ровно тогда, когда он принадлежит максимальному идеалу ${\mathfrak{m}}_y$. Морфизм пучков $f^{\mathrm{♯}}$ переводит ростки на цели в ростки на источнике и индуцирует гомоморфизм локальных колец

Определение

Локальный гомоморфизм

Гомоморфизм локальных колец выше называется локальным, если ростки, переходящие в максимальный идеал ${\mathfrak{m}}_x$, образуют ровно максимальный идеал ${\mathfrak{m}}_y$:

$$(f_x^{\mathrm{♯}}{)}^{-1}({\mathfrak{m}}_x)={\mathfrak{m}}_y$$

Морфизм локально окольцованных пространств — это морфизм окольцованных пространств, для которого гомоморфизм локальных колец является локальным в каждой точке. Морфизм схем определяется как морфизм соответствующих локально окольцованных пространств.

Из локального условия следует, что $f_x^{\mathrm{♯}}({\mathfrak{m}}_y)\subseteq {\mathfrak{m}}_x$. Поэтому гомоморфизм локальных колец задаёт гомоморфизм их факторколец. Ненулевой класс не может перейти в нулевой, потому что полный прообраз ${\mathfrak{m}}_x$ равен ${\mathfrak{m}}_y$. Получаем вложение полей вычетов

Класс ростка в $\kappa (y)$ переходит в класс перенесённого ростка в $\kappa (x)$. Именно в этом точном смысле морфизм согласует значения функций в соответствующих точках.

Контрпример показывает, зачем локальность включена в определение. Возьмём кольцо рациональных функций, определённых при $t=0$, и его поле дробей. Обозначим включение через $\phi :A\to K$:

Отображение топологических пространств выберем отдельно: единственную точку $\mathrm{Spec}K$ отправим в замкнутую точку $(t)\in \mathrm{Spec}A$. Оно непрерывно, потому что прообраз любого открытого множества в одноточечном источнике либо пуст, либо совпадает со всем источником. На каждой окрестности выбранной точки сечение сначала переходит в свой росток в локальном кольце $A$, а затем по включению $\phi$ — в $K$. Ограничение сечения не меняет его росток, поэтому эти отображения совместимы с ограничениями. Если открытое множество не содержит выбранную точку, его полный прообраз пуст и отображение сечений единственно. Так получаем морфизм окольцованных пространств.

Важно, что отображение точек здесь выбрано независимо от гомоморфизма колец. Полный прообраз нулевого идеала поля не равен максимальному идеалу выбранной точки:

Иначе говоря, $t$ обращается в нуль в выбранной точке $\mathrm{Spec}A$, но его образ обратим в $K$. Поэтому построенный морфизм окольцованных пространств не локален и не является морфизмом схем.

Результат

Локальность согласует перенос сечений с их значениями

Морфизм схем переносит значения сечений через вложение полей вычетов. Локальное условие гарантирует, что сечение имеет нулевое значение в точке цели тогда и только тогда, когда перенесённое сечение имеет нулевое значение в соответствующей точке источника.

Морфизмы аффинных схем

Для $a\in k$ гомоморфизм $k[t]\to k$, который переводит $t$ в $a$, задаёт стрелку схем в противоположную сторону. Единственная точка $\mathrm{Spec}k$ переходит в точку $(t-a)$ аффинной прямой. В виджете это правило применяется ещё к возведению координаты в квадрат и к удалению её нуля.

Для каждого гомоморфизма сначала определите направление стрелки схем. Затем выберите пример и проследите, во что переходит простой идеал. Для возведения координаты в квадрат сопоставьте это с привычным отображением точек.

Для морфизма между аффинными схемами никакие дополнительные данные выбирать не требуется: морфизм полностью восстанавливается по гомоморфизму глобальных функций.

Теорема

Аффинный словарь морфизмов

$$\mathrm{Hom}(\mathrm{Spec}A,\mathrm{Spec}B)$$$$\cong \mathrm{Hom}(B,A)$$

Это каноническая биекция: морфизму $\mathrm{Spec}A\to \mathrm{Spec}B$ соответствует ровно один гомоморфизм координатных колец в противоположную сторону, и наоборот.

От колец к схемам

Пусть $\phi :B\to A$ — гомоморфизм колец. Для точки $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$ положим $\mathfrak{q}={\phi }^{-1}(\mathfrak{p})$. Идеал $\mathfrak{q}$ собственный, поскольку $\phi (1)=1\notin \mathfrak{p}$ и потому $1\notin \mathfrak{q}$. Если произведение двух элементов принадлежит $\mathfrak{q}$, то произведение их образов принадлежит простому идеалу $\mathfrak{p}$. Один из образов лежит в $\mathfrak{p}$, а значит, один из исходных элементов лежит в $\mathfrak{q}$. Следовательно, $\mathfrak{q}$ — простой идеал.

Поэтому получаем отображение $f:\mathrm{Spec}A\to \mathrm{Spec}B$, заданное правилом $\mathfrak{p}⟼\mathfrak{q}$.

Главные открытые множества образуют базу топологии спектра. Поэтому для непрерывности достаточно проверить их полные прообразы. Для элемента $h\in B$ выполняется равенство

На этих открытых множествах гомоморфизм структурных пучков задаётся локализацией:

Для $b\in B$ и $n\ge 0$ эта локализация действует на дробях по правилу

Ограничение с главного открытого множества на меньшее главное открытое множество является дальнейшей локализацией. Локализация сразу и локализация в два шага дают один и тот же гомоморфизм, поэтому построенные отображения совместимы с ограничениями и образуют морфизм структурных пучков.

В точке $\mathfrak{p}$ получаем гомоморфизм $B_{\mathfrak{q}}\to A_{\mathfrak{p}}$. Каждый элемент $B_{\mathfrak{q}}$ представляется дробью $b/h$ с $b\in B$ и $h\notin \mathfrak{q}$. Для такой дроби выполняется

Значит, полный прообраз максимального идеала $\mathfrak{p}{A}_{\mathfrak{p}}$ равен $\mathfrak{q}{B}_{\mathfrak{q}}$, и гомоморфизм локальных колец является локальным.

От схем к кольцам

Обратно, морфизм $f:\mathrm{Spec}A\to \mathrm{Spec}B$ индуцирует гомоморфизм глобальных сечений. Кольца глобальных сечений структурных пучков на $\mathrm{Spec}B$ и $\mathrm{Spec}A$ канонически отождествляются с $B$ и $A$ соответственно, поэтому получаем

Для $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$ локальность показывает, что элемент $b\in B$ принадлежит идеалу $f(\mathfrak{p})$ ровно тогда, когда $\phi (b)\in \mathfrak{p}$. Следовательно, $f(\mathfrak{p})={\phi }^{-1}(\mathfrak{p})$, и исходное отображение точек восстановлено.

Осталось восстановить морфизм пучков. На главном открытом множестве $\mathrm{D}(h)$ элемент $h$ обратим. Его перенос обратим на $f^{-1}(\mathrm{D}(h))=\mathrm{D}(\phi (h))$. Поэтому универсальное свойство локализации однозначно задаёт гомоморфизм $B_h\to A_{\phi (h)}$. Главные открытые множества образуют базу, поэтому эти гомоморфизмы однозначно восстанавливают исходный морфизм пучков. Обе конструкции взаимно обратны.

Результат

Гомоморфизм колец полностью определяет аффинный морфизм

Топологическое отображение и морфизм структурных пучков однозначно восстанавливаются по гомоморфизму колец, а локальность выполняется автоматически.

Глобальная и локальная модели

Аффинный словарь остаётся верен, когда только цель морфизма является аффинной. Для схемы $X$ и кольца $A$ существует каноническая биекция

Кольцо $\mathrm{\Gamma }(X,\mathcal{O})$ состоит из глобальных сечений структурного пучка; их можно понимать как функции, заданные сразу на всей схеме. Это соответствие даёт две аффинные модели: первая использует все глобальные сечения, вторая — данные в сколь угодно малых окрестностях одной точки.

Глобальная модель

В исходном соответствии оставим схему-источник $X$ без изменения, а вместо кольца $A$ подставим кольцо глобальных сечений. Тогда соответствие принимает вид

В правом множестве морфизмов выберем тождественный гомоморфизм ${\mathrm{id}}_{\mathrm{\Gamma }(X,\mathcal{O})}$. Соответствующий ему элемент левого множества — канонический морфизм

Точка $x\in X$ переходит в ядро гомоморфизма значений $\mathrm{\Gamma }(X,\mathcal{O})\to \kappa (x)$. Это идеал глобальных сечений с нулевым значением в $x$; он прост, поскольку цель гомоморфизма является полем. Две точки имеют разные образы ровно тогда, когда некоторое глобальное сечение имеет нулевое значение в одной из них и ненулевое — в другой. Если такого сечения нет, глобальная модель отождествляет точки.

Локальная модель

Выберем точку $x\in X$ и аффинную окрестность $U=\mathrm{Spec}B$. Пусть точке $x$ в этой окрестности соответствует простой идеал $\mathfrak{p}\subset B$. Тогда локальное кольцо канонически отождествляется с локализацией

Теперь снова применим исходное соответствие. В нём буква $X$ обозначает произвольную схему-источник; на этом шаге вместо неё подставим $\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_x$. Вместо кольца $A$ подставим кольцо $B$ выбранной аффинной окрестности. Получаем

В правом множестве выбирается канонический гомоморфизм локализации $B\to {\mathcal{O}}_x\cong B_{\mathfrak{p}}$. Соответствующий ему морфизм слева имеет вид $\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_x\to \mathrm{Spec}B=U$. Составим его с включением $U\hookrightarrow X$:

Простые идеалы $B_{\mathfrak{p}}$ соответствуют простым идеалам кольца $B$, содержащимся в $\mathfrak{p}$. Максимальный идеал $\mathfrak{p}{B}_{\mathfrak{p}}$ переходит в $x$, а остальные точки спектра локального кольца переходят в обобщения $x$ — точки, замыкания которых содержат $x$.

Хотя конструкция записана с помощью $U$, локальное кольцо ${\mathcal{O}}_x$ определяется всеми окрестностями точки. Для двух аффинных окрестностей внутри их пересечения найдётся меньшая аффинная окрестность точки. Любое открытое множество, содержащее $x$, содержит все обобщения этой точки. Поэтому морфизмы, построенные по двум исходным окрестностям, факторизуются через меньшую. На ней оба морфизма получаются из одного перехода от сечения к ростку и потому совпадают.

Результат

Глобальные сечения различают точки, локальное кольцо раскрывает одну точку

$$X⟶\mathrm{Spec}\mathrm{\Gamma }(X,\mathcal{O})$$$$\mathrm{Spec}{\mathcal{O}}_x⟶X$$

Первый морфизм показывает, какие точки различаются глобальными сечениями; второй собирает точки и алгебраические данные, видимые в сколь угодно малых окрестностях выбранной точки.

Биекция $\mathrm{Hom}(X,\mathrm{Spec}A)\cong \mathrm{Hom}(A,\mathrm{\Gamma }(X,\mathcal{O}))$ натуральна по схеме и кольцу. Это означает, что после учёта противоположного направления гомоморфизмов колец функтор глобальных сечений является левым сопряжённым к функтору спектра. Глобальная модель является единицей этого сопряжения, а локальная модель получается из той же сопряжённой биекции выбором гомоморфизма локализации.

Расслоенные произведения

Пусть схемы $Y$ и $Z$ отображаются в одну и ту же схему $X$, называемую базой. Требуется объединить данные из $Y$ и $Z$, сохранив только совместимые данные. Первое приближение дают обычные точки: совместимы точки с одним образом в базе. Отсюда происходит название «расслоенное произведение» — сопоставляются данные из слоёв над одной точкой. Для схем одной этой интуиции недостаточно, поэтому совместимость определяют через морфизмы.

Определение

Расслоенное произведение

Расслоенное произведение $Y{\times }_{X}Z$ снабжено проекциями в $Y$ и $Z$. Композиция первой проекции с морфизмом $Y\to X$ совпадает с композицией второй проекции с морфизмом $Z\to X$. Если два морфизма из произвольной схемы $S$ в $Y$ и $Z$ после композиции в $X$ совпадают, то они единственным образом проходят через $Y{\times }_{X}Z$.

Таким образом, задать морфизм из $S$ в расслоенное произведение — то же самое, что задать совместимые морфизмы из $S$ в оба его множителя. Это свойство определяет расслоенное произведение с точностью до единственного изоморфизма, сохраняющего обе проекции.

В аффинном случае это свойство выражается через тензорное произведение. Если $X=\mathrm{Spec}A$, $Y=\mathrm{Spec}B$ и $Z=\mathrm{Spec}R$, то

Действительно, гомоморфизм из $B{\otimes }_{A}R$ в произвольное кольцо равносилен паре гомоморфизмов из $B$ и $R$ в это кольцо, которые совпадают на $A$. Спектр обращает направления стрелок, поэтому эта совместимая пара становится морфизмом в расслоенное произведение. Для произвольных схем аффинные конструкции согласуются на пересечениях и склеиваются; поэтому расслоенные произведения схем всегда существуют.

Множества совместимых пар обычных точек недостаточно, чтобы восстановить расслоенное произведение. Например, схема $\mathrm{Spec}\mathbb{C}$ имеет одну точку, но её расслоенное произведение с собой над $\mathrm{Spec}\mathbb{R}$ имеет вид

Спектр произведения $\mathbb{C}\times \mathbb{C}$ состоит из двух точек, тогда как множество совместимых пар исходных точек состояло бы из одной. Две точки соответствуют двум автоморфизмам поля $\mathbb{C}$ над $\mathbb{R}$: тождественному отображению и комплексному сопряжению. Следовательно, расслоенное произведение определяет универсальное свойство морфизмов, а не множество обычных точек.

Результат

Расслоенное произведение представляет совместимые пары морфизмов

Для любой тестовой схемы морфизм в $Y{\times }_{X}Z$ равносилен паре морфизмов в $Y$ и $Z$ с одинаковой композицией в $X$. В аффинных координатах ту же совместимость представляет тензорное произведение колец.

Функтор точек

Предыдущий пример показывает, что множество обычных точек не определяет схему: оно не хранит поля вычетов, нильпотенты и зависимость координат от параметров. Чтобы сохранить эти данные, вместо одной точки в схему отображают целую тестовую схему.

Определение

Точки со значениями в схеме

Для схемы $X$ и тестовой схемы $S$ множество $X(S)$ точек $X$ со значениями в $S$ определяется как

$$X(S):=\mathrm{Hom}(S,X)$$

Иными словами, точка со значениями в $S$ — это морфизм $S\to X$. Если $S=\mathrm{Spec}A$, используют сокращение $X(A)$.

Морфизм $g:T\to S$ между тестовыми схемами превращает точку $f:S\to X$ в композицию $f\circ g:T\to X$. Поэтому замена тестовой схемы задаёт отображение в обратном направлении:

Последовательная замена тестовой схемы сначала на одну, а затем на другую даёт тот же результат, что и композиция двух замен. Замена вдоль тождественного морфизма ничего не меняет. Поэтому соответствие $S⟼X(S)$ называется функтором точек схемы $X$. Поскольку направление морфизма между тестовыми схемами обращается, этот функтор называют контравариантным.

Точка со значениями в поле $k$, или $k$-точка, является частным случаем: это морфизм $\mathrm{Spec}k\to X$. Более сложная тестовая схема задаёт семейство значений вместе с их зависимостью от параметров. Например, точка аффинной прямой со значениями в кольце $A$ — это просто элемент этого кольца:

Аффинная прямая имеет одну координату, а её образ можно выбрать произвольно в $A$. Если в кольце есть ненулевой нильпотент, он тоже может быть координатой такой точки. Обычное множество точек аффинной прямой этих данных не хранит.

Для расслоенного произведения функтор точек превращает универсальное свойство в множество совместимых пар. Для каждой тестовой схемы $S$ выполняется каноническая биекция

Таким образом, важны не только множества $X(S)$ для всех тестовых схем, но и отображения между ними, возникающие при замене тестовой схемы. Вместе они сохраняют всю информацию о $X$.

Результат

Функтор точек полностью определяет схему

$$S⟼X(S)=\mathrm{Hom}(S,X)$$

Если функторы точек схем $X$ и $Y$ изоморфны, то сами схемы изоморфны. Изоморфизм функторов означает, что для каждой тестовой схемы заданы биекции между $X(S)$ и $Y(S)$ и эти биекции совместимы с заменой тестовой схемы.

Тождественный морфизм $X\to X$ является точкой $X$ со значениями в самой $X$. Его образ при биекции даёт морфизм $X\to Y$. Обратная биекция тем же способом даёт морфизм $Y\to X$. Совместимость с заменой тестовой схемы показывает, что полученные композиции являются тождественными морфизмами. Следовательно, схемы изоморфны. Это рассуждение — следствие леммы Йонеды.