Пучки модулей

Соглашения

• Все кольца коммутативны с единицей; гомоморфизмы колец и алгебр сохраняют единицу. Буква $k$ обозначает произвольное поле.
• Пучки, ростки, пучковизация, схемы и их морфизмы известны из предыдущих глав. Из алгебры используются модули, локализация и универсальное свойство тензорного произведения.
• При работе на одной схеме её структурный пучок обозначается $\mathcal{O}$. Индекс схемы добавляется при сравнении структурных пучков разных схем. Множества морфизмов пучков модулей всегда состоят из линейных морфизмов.

Модули над структурным пучком

Пусть $X$ — схема. На её открытом множестве $U$ регулярные функции образуют кольцо $\mathcal{O}(U)$. При ограничении на меньшее открытое множество меняются и функции, и допустимые скаляры. Поэтому один модуль над одним фиксированным кольцом не описывает локальный линейный объект: на каждом открытом множестве нужен свой модуль, а ограничения должны быть совместимы с заменой скаляров.

Определение

Пучок модулей

Пучок абелевых групп $\mathcal{F}$ называется пучком $\mathcal{O}$-модулей (sheaf of modules), если для каждого открытого множества $U$ множество сечений $\mathcal{F}(U)$ снабжено структурой модуля с тем же сложением над кольцом $\mathcal{O}(U)$. Пусть $V\subseteq U$, функция $f\in \mathcal{O}(U)$ и сечение $s\in \mathcal{F}(U)$. Ограничение должно удовлетворять равенству

$$(f\cdot s){|}_V=f{|}_V\cdot s{|}_V,V\subseteq U$$

Морфизм пучков модулей — это морфизм пучков, который на каждом открытом множестве является линейным над соответствующим кольцом функций.

Структурный пучок является модулем над собой. На каждом $U$ кольцо $\mathcal{O}(U)$ действует на себе умножением, а требуемая совместимость следует из того, что ограничение функций сохраняет произведение.

В кольце $\mathcal{O}(U)$ каждая функция $f$ имеет вид $f\cdot 1$. Поэтому морфизм $\alpha :\mathcal{O}\to \mathcal{F}$ должен определяться образом единицы. Пусть $s:={\alpha }_X(1)$ — её образ на всём пространстве. Совместимость с ограничениями означает, что ${\alpha }_U(1)=s{|}_U$, а линейность даёт

Следовательно, морфизм $\alpha$ полностью определяется одним глобальным сечением $s$. Обратно, для заданного сечения $s\in \mathcal{F}(X)$ формула

задаёт линейное отображение $\mathcal{O}(U)\to \mathcal{F}(U)$ для каждого открытого множества $U$. Равенство совместимости из определения показывает, что эти отображения сохраняются при ограничении на меньшее открытое множество. Поэтому вместе они образуют морфизм пучков. Две конструкции взаимно обратны, и мы получаем каноническую биекцию

Результат

Глобальное сечение — это морфизм из структурного пучка

Морфизм $\mathcal{O}\to \mathcal{F}$ определяется образом единицы, то есть одним глобальным сечением $\mathcal{F}$. Обратно, сечение задаёт такой морфизм умножением на свои ограничения.

Пучок, ассоциированный модулю

На аффинной схеме структурный пучок строится из локализаций кольца. Тот же способ работает для модуля. Пусть $X=\mathrm{Spec}A$ и $M$ — модуль над $A$. На главном открытом множестве $\mathrm{D}(f)$ функция $f$ обратима, поэтому она должна обратимо действовать и на сечениях.

Определение

Ассоциированный пучок

Пучок, ассоциированный модулю (associated sheaf), обозначается $\tilde{M}$. На главных открытых множествах его сечения задаются локализациями:

$$\tilde{M}(\mathrm{D}(f))=M_f$$

Ограничения — канонические отображения локализаций, совместимые с ограничениями функций.

Модуль, сосредоточенный в начале прямой

Возьмём $A=k[t]$ и $M=A/(t)$. Глобально этот модуль ненулевой. Но на $\mathrm{D}(t)$ координата обратима и одновременно уничтожает весь модуль. Поэтому

Действительно, для любого элемента локализации умножение на координату даёт нуль, а умножение на обратную координату возвращает сам элемент. В начале прямой модуль ростков равен $k$, во всех остальных точках он нулевой. Множество точек с ненулевым модулем ростков называется носителем (support) пучка; в этом примере носитель состоит из начала.

Теперь возьмём модуль с двумя точками носителя: $M=k[t]/(t(t-1))$. По китайской теореме об остатках он раскладывается в сумму $k[t]/(t)\oplus k[t]/(t-1)$. Локализация действует на каждое слагаемое отдельно.

Начните с обращения единицы, когда сохраняются оба слагаемых. Затем по отдельности удалите нуль и единицу: какое слагаемое исчезнет в каждом случае? Нажмите на строку, чтобы проверить причину, и завершите опытом с удалением обеих точек.

Проверка склейки

Вернёмся к произвольным кольцу и модулю и проверим аксиомы пучка. Для проверки склейки можно заменить кольцо и модуль их локализациями и рассмотреть покрытие всего спектра главными открытыми множествами. Из него выбирается конечное подпокрытие $\mathrm{D}(f_1),\dots ,\mathrm{D}(f_n)$. Покрытие означает, что элементы $f_1,\dots ,f_n$ порождают единичный идеал.

1. Если элемент модуля обращается в нуль во всех локализациях покрытия, его уничтожает некоторая степень каждого элемента покрытия. Эти степени также порождают единичный идеал: иначе все они лежали бы в одном максимальном идеале, который содержал бы и исходные элементы. Поэтому исходный элемент модуля равен нулю. Это даёт единственность склейки.
2. Пусть заданы совместимые дроби. Умножением на достаточно высокие степени элементов покрытия можно одновременно убрать их знаменатели и обратить в нуль расхождения на пересечениях. Для одной общей степени выберем коэффициенты, выражающие единицу через эти степени. Линейная комбинация полученных числителей с теми же коэффициентами даёт искомую склейку.

Запишем второй шаг точнее. Пусть $s_i\in M_{f_i}$ — согласованные дроби на множествах покрытия, где индексы пробегают числа от единицы до $n$. Выбирают степень $l$ и элементы $m_i\in M$ так, чтобы на каждом $\mathrm{D}(f_j)$ образ элемента $m_i$ совпадал с $f_i^l{s}_j$. Тогда равенство $\sum _i{a}_i{f}_i^l=1$ показывает, что $\sum _i{a}_i{m}_i$ при ограничении даёт соответствующую исходную дробь. Конечность покрытия позволяет выбрать одну степень для всех знаменателей и пересечений.

Главные открытые множества образуют базу топологии, поэтому пучок на этой базе однозначно продолжается на все открытые множества. Вся схема соответствует обращению единицы, а модуль ростков в простом идеале получается обращением всех элементов вне этого идеала:

Результат

Локализация показывает, где остаются модульные данные

Переход от модуля к пучку сохраняет глобальные сечения, но при ограничении часть модуля может исчезнуть. Для $k[t]/(t)$ данные остаются только там, где координата равна нулю.

Квазикогерентные пучки

Конструкция $M⟼\tilde{M}$ описывает пучок одним модулем на аффинной схеме. На общей схеме потребуем такого описания локально.

Определение

Квазикогерентный пучок

Пучок модулей $\mathcal{F}$ называется квазикогерентным (quasi-coherent), если у каждой точки есть аффинная открытая окрестность $U=\mathrm{Spec}A$ и $A$-модуль $M$, для которых существует изоморфизм пучков модулей

$$\mathcal{F}{|}_U\cong \tilde{M}$$

Структурный пучок квазикогерентен: на каждой аффинной карте он соответствует самому кольцу. Пучок из модуля $k[t]/(t)$ также квазикогерентен. В отличие от структурного пучка, он имеет ненулевые ростки только в одной точке. Квазикогерентность требует модульного описания, но не требует базиса или конечного числа образующих.

Определение даёт такое описание лишь на некотором покрытии. Следующая лемма позволяет восстановить его на всей аффинной схеме. Именно здесь существенно, что схема аффинна.

Лемма

Локализация сечений

Пусть $X=\mathrm{Spec}A$, пучок $\mathcal{F}$ квазикогерентен и $f\in A$. Каноническое отображение является изоморфизмом:

$$\mathrm{\Gamma }(X,\mathcal{F}{)}_f⟶\mathcal{F}(\mathrm{D}(f))$$

Оно переводит дробь с числителем $s$ и знаменателем $f^n$, где $n\ge 0$, в ограничение сечения, умноженное на обратную степень функции.

Почему лемма верна

Выберем конечное покрытие $X$ главными открытыми множествами, на каждом из которых пучок ассоциирован модулю. Здесь используется лемма об общих главных окрестностях: у двух аффинных окрестностей одной точки есть меньшая окрестность, главная в обеих. Квазикомпактность даёт конечное подпокрытие. На пересечении двух множеств этого покрытия сечения снова получаются локализацией соответствующего модуля.

1. Инъективность. Если глобальное сечение равно нулю после ограничения на $\mathrm{D}(f)$, то на каждой карте его уничтожает некоторая степень $f$. Карт конечное число, поэтому можно взять одну степень. Она уничтожает сечение на всех картах, а значит, и глобально. Это ровно условие обращения сечения в нуль в локализации.
2. Сюръективность. Сечение на $\mathrm{D}(f)$ на каждой карте представляется дробью. Общая степень $f$ убирает все знаменатели и даёт сечения на картах. Их разности на пересечениях обращаются в нуль после локализации. Ещё одна общая степень уничтожает все эти разности. Полученные сечения склеиваются в глобальное сечение, ограничение которого равно исходному, умноженному на степень $f$.

Таким образом, локальная дробь имеет глобальный числитель после увеличения знаменателя. Это и позволяет восстановить пучок из глобальных сечений.

Результат

На аффинной схеме локальные сечения — дроби глобальных

Для квазикогерентного пучка ограничение на главное открытое множество совпадает с локализацией модуля глобальных сечений. Произвольный пучок модулей этого свойства иметь не обязан.

Аффинный словарь

Пусть $X=\mathrm{Spec}A$. Из модуля мы уже умеем получать пучок, а из пучка — брать глобальные сечения. Проверим, что для квазикогерентных пучков эти операции взаимно обратны и сохраняют морфизмы.

Для $\tilde{M}$ глобальные сечения равны $M$, поскольку вся схема есть $\mathrm{D}(1)$. В другом направлении положим $M=\mathrm{\Gamma }(X,\mathcal{F})$. Ограничение глобальных сечений и деление на обратимую функцию задают канонический морфизм

Если $\mathcal{F}$ квазикогерентен, лемма о локализации сечений говорит, что этот морфизм является изоморфизмом на каждом главном открытом множестве. Поэтому он является изоморфизмом пучков.

Гомоморфизм модулей $M\to N$ локализуется на каждом главном открытом множестве и задаёт морфизм ассоциированных пучков. Обратно, морфизм этих пучков определяется действием на глобальных сечениях: его действие на дробях вынуждено линейностью и совместимостью с ограничениями. Следовательно, два перехода взаимно обратны и для морфизмов.

Теорема

Эквивалентность на аффинной схеме

Для $X=\mathrm{Spec}A$ категория $\mathbf{Mod}(A)$ модулей и категория $\mathrm{QCoh}(X)$ квазикогерентных пучков модулей эквивалентны:

$$\mathbf{Mod}(A)\simeq \mathrm{QCoh}(X)$$

Взаимно обратные с точностью до канонических изоморфизмов функторы — ассоциированный пучок и глобальные сечения.

Применяя теорему к любой аффинной открытой подсхеме, получаем полезное усиление определения: квазикогерентный пучок имеет модульное описание на каждой аффинной карте. Если $U=\mathrm{Spec}A$ и $V=\mathrm{Spec}B\subseteq U$, то модуль на меньшей карте получается заменой скаляров:

Эту формулу проверяют на общей базе главных открытых множеств обеих карт: там она является обычной формулой локализации модуля. Для $V=\mathrm{D}(f)$ кольцо $B$ равно $A_f$, и мы возвращаемся к доказанной лемме.

Результат

На аффинной карте достаточно одного модуля

Квазикогерентный пучок и все его морфизмы восстанавливаются из глобальных сечений. Поэтому дальнейшие операции с такими пучками можно вычислять в модулях и проверять после локализации.

Локально свободные пучки

Квазикогерентный пучок локально описывается модулем. Если этот модуль свободен, его сечения можно записывать в координатах относительно базиса. Но базисы на разных картах могут не складываться в один глобальный базис.

Определение

Свобода и локальная свобода

Пусть $n\ge 0$. Пучок $\mathcal{F}$ свободен ранга $n$, если изоморфен прямой сумме ${\mathcal{O}}^n$ из $n$ копий структурного пучка. Он локально свободен ранга $n$ (locally free), если у каждой точки есть открытая окрестность $U$ с изоморфизмом

$$\mathcal{F}{|}_U\cong (\mathcal{O}{|}_U{)}^n$$

Пучок ${\mathcal{O}}^n$ свободен: его базис составляют векторы с одной единицей и остальными нулями. Любой локально свободный пучок квазикогерентен, поскольку на достаточно малой аффинной карте соответствует свободному модулю. Обратное неверно: у пучка из $k[t]/(t)$ ненулевой модуль ростков в начале уничтожается координатой, что невозможно для ненулевого свободного модуля над $k[t{]}_{(t)}$.

Локальная свобода без глобального базиса

Проективная прямая $X={\mathbb{P}}_k^1$ склеивается из $U=\mathrm{Spec}k[x]$ и $V=\mathrm{Spec}k[y]$ по правилу $y=x^{-1}$ на пересечении. Возьмём свободный пучок ранга один на каждой карте. Отождествим их на пересечении так, чтобы коэффициент сечения во второй карте равнялся коэффициенту в первой, умноженному на $x$. Координата на пересечении обратима, поэтому это изоморфизм и пучки склеиваются.

Полученный пучок $\mathcal{F}$ локально свободен ранга один по построению. Его глобальное сечение — пара многочленов $a(x)$ и $b(y)$ с условием

Слева стоят только неположительные степени $x$, справа — только положительные. Равенство многочленов Лорана возможно лишь тогда, когда оба равны нулю. Значит, $\mathcal{F}(X)=0$. Свободный пучок ранга один имеет ненулевое глобальное сечение, соответствующее единице, поэтому $\mathcal{F}$ не свободен. Этот же пример показывает, почему в аффинном словаре нельзя убрать аффинность: на проективной прямой ненулевой квазикогерентный пучок может не иметь ненулевых глобальных сечений.

Сначала выберите единичный переход и найдите общий одночлен двух карт. Затем сравните два неединичных перехода: сколько степеней допускают обе карты одновременно? Проверьте граничные степени ползунком.

Пусть теперь $\mathcal{F}$ — произвольный локально свободный пучок ранга $n$. Переход к росткам сохраняет локальный базис:

Геометрический слой (fiber) в точке получается дальнейшим переходом к полю вычетов:

Модуль ростков хранит поведение около точки, а геометрический слой — значения в самой точке. Приведённые изоморфизмы зависят от выбора локального базиса. В общем определении локальной свободы конечный ранг может различаться на разных связных компонентах; здесь рассматривается фиксированный ранг.

Результат

Локальные базисы могут не давать глобального

Локально свободный пучок имеет свободные модули ростков и векторные пространства значений. Глобальная свобода дополнительно требует, чтобы локальные базисы можно было согласовать на пересечениях.

Тензорное произведение

Тензорное произведение объединяет два модуля над одним кольцом. Для пучков кольцо скаляров зависит от открытого множества. Поэтому сначала строят тензорное произведение сечений на каждом открытом множестве, а затем обеспечивают склейку.

Определение

Тензорное произведение пучков

Тензорное произведение (tensor product) двух пучков модулей $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ над $\mathcal{O}$ — пучковизация предпучка

$$U⟼\mathcal{F}(U){\otimes }_{\mathcal{O}(U)}\mathcal{G}(U)$$

Она обозначается $\mathcal{F}{\otimes }_{\mathcal{O}}\mathcal{G}$. Ограничения исходного предпучка переводят тензоры сечений в тензоры их ограничений.

Например, умножение функции на сечение даёт $\mathcal{O}{\otimes }_{\mathcal{O}}\mathcal{F}\cong \mathcal{F}$. Обратное отображение переводит сечение в его тензор с единицей. Эти отображения взаимно обратны уже на сечениях и совместимы с ограничениями.

Зачем нужна пучковизация

Вернёмся к пучку $\mathcal{F}$ на проективной прямой из предыдущей части: его переходная функция равна $x$, а ненулевых глобальных сечений нет. Склеим пучок $\mathcal{G}$ с обратной переходной функцией $x^{-1}$. При тензорном произведении локальных базисов переходные функции перемножаются. Их произведение равно единице, поэтому локальные тензорные базисы склеиваются и

На всей проективной прямой тензорное произведение модулей сечений равно нулю, поскольку первый множитель нулевой. Но пучковое тензорное произведение имеет ненулевое глобальное сечение — единицу. Значит, исходный предпучок не был пучком: согласованные локальные тензоры не имели глобальной склейки.

Сначала рассмотрите два пучка по отдельности и решите, можно ли получить ненулевой тензор их глобальных сечений. Затем выполните тензорное произведение и проверьте, склеиваются ли локальные единицы нового пучка.

Вычисление по росткам и на аффинной карте

Для произвольных $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ пучковизация сохраняет модули ростков. Тензорное произведение совместимо с прямыми пределами по окрестностям, поэтому

В частности, для модулей $M$ и $N$ над $A$ имеется канонический изоморфизм на $\mathrm{Spec}A$:

Канонический морфизм задаётся тензорами локальных сечений. На каждом модуле ростков он является изоморфизмом, поскольку локализация коммутирует с тензорным произведением. Критерий изоморфизма по росткам завершает проверку. Следовательно, тензорное произведение квазикогерентных пучков снова квазикогерентно.

Результат

Тензоры вычисляются локально, а затем склеиваются

На аффинной карте тензорное произведение квазикогерентных пучков соответствует тензорному произведению модулей. На произвольном открытом множестве брать лишь тензор глобальных сечений недостаточно — пример на проективной прямой показывает недостающую склейку.

Прямой и обратный образы

Пусть $f:X\to Y$ — морфизм схем. Чтобы сравнивать модульные данные на $X$ и $Y$, нужны две конструкции: прямой образ выражает сечения пучка через открытые множества целевой схемы, а обратный образ переносит пучок с цели на источник.

Сначала возьмём пучок модулей $\mathcal{F}$ на $X$. Для открытого множества $U\subseteq Y$ его прямой образ (direct image) использует сечения над полным прообразом $f^{-1}(U)\subseteq X$:

Функция на $U$ переходит в функцию на $f^{-1}(U)$. На уровне пучков этот переход задаёт морфизм ${\mathcal{O}}_Y\to f_{\ast }{\mathcal{O}}_X$. Поэтому сечения прямого образа становятся модулями над функциями на $U$, и $f_{\ast }\mathcal{F}$ является пучком ${\mathcal{O}}_Y$-модулей.

В обратном направлении возникает дополнительная задача: на источнике другое кольцо функций. Это видно в аффинном случае. Пусть $Y=\mathrm{Spec}A$, $X=\mathrm{Spec}B$, а морфизму $f$ соответствует гомоморфизм $A\to B$. Возьмём $A$-модуль $M$. После перехода к $X$ скаляры должны принадлежать $B$, поэтому замена скаляров даёт модуль

Кольцо $B$ действует на первый множитель. Если $a,b\in B$ и $m\in M$, то действие имеет вид

Общий случай повторяет эту замену скаляров локально. Для пучка $\mathcal{G}$ на $Y$ обычный обратный образ $f^{-1}\mathcal{G}$ переносит сам пучок на $X$. Его локальный смысл задают ростки: для каждой точки $x\in X$ выполняется канонический изоморфизм

Таким образом, $f^{-1}\mathcal{G}$ уже является пучком, но пока лишь модулем над $f^{-1}{\mathcal{O}}_Y$. Структурный морфизм $f^{-1}{\mathcal{O}}_Y\to {\mathcal{O}}_X$ позволяет заменить скаляры. Так получается обратный образ пучка модулей (pullback):

В этой формуле объекты занимают те же места, что и в аффинном случае: ${\mathcal{O}}_X$ играет роль $B$, $f^{-1}{\mathcal{O}}_Y$ — роль $A$, а $f^{-1}\mathcal{G}$ — роль $M$. Поэтому тензорное произведение в определении является пучковым аналогом $B{\otimes }_{A}M$.

Аффинный словарь делает эту формулу вычислимой. Для $Y=\mathrm{Spec}A$, $X=\mathrm{Spec}B$ и гомоморфизма $A\to B$ получаем

После перехода к росткам канонический морфизм становится обычным изоморфизмом замены скаляров. Значит, он является изоморфизмом пучков. Например, для $A=k[t]$ и $M=A/(t)$ переход к $B=A_t$ даёт нулевой модуль. Переход к $B=k$ с образом координаты, равным нулю, даёт $k$. Ограничение вне носителя и значение в начале вычисляются одной операцией.

Для прямого образа при морфизме аффинных схем происходит обратное: модуль над $B$ рассматривается как модуль над $A$ через заданный гомоморфизм. Это проверяется на главных открытых множествах, прообразы которых тоже главные. Поэтому прямой образ вдоль аффинного морфизма сохраняет квазикогерентность. Для произвольного морфизма такого вывода без дополнительных условий делать нельзя. Обратный образ сохраняет квазикогерентность для любого морфизма схем, поскольку приведённую тензорную формулу можно применить на аффинных картах источника и цели.

Сопряжение

Пусть $\mathcal{F}$ задан на $X$, а $\mathcal{G}$ — на $Y$. Универсальное свойство замены скаляров отождествляет линейные морфизмы из $f^{\ast }\mathcal{G}$ в $\mathcal{F}$ с линейными морфизмами из $f^{-1}\mathcal{G}$ в $\mathcal{F}$ над $f^{-1}{\mathcal{O}}_Y$. Сопряжение обычных образов пучков, введённое в первой главе, переводит последние морфизмы в морфизмы на цели. Получаем

Здесь оба множества состоят из морфизмов пучков модулей над соответствующими структурными пучками. Два использованных соответствия каноничны и совместимы с композициями, поэтому биекция естественна: обратный образ является левым сопряжённым к прямому.

Результат

Перенос пучка согласует кольца скаляров

В аффинных координатах прямой образ ограничивает скаляры, а обратный образ расширяет их тензорным произведением. Сопряжение выражает универсальное свойство этого расширения.