Алгебраическая геометрия · глава 5

Отделимость

Диагональ выражает равенство двух морфизмов в одну схему над общей базой. Если она является замкнутым вложением, морфизм называется отделимым. Аффинные вычисления объяснят это условие, обнаружат дефект прямой с двумя началами и докажут устойчивость отделимости при замене базы.

Начать с диагонали →

Соглашения

Все кольца коммутативны с единицей; гомоморфизмы сохраняют единицу. В примерах $k$ — произвольное поле.
Используются расслоенное произведение, функтор точек и замкнутые вложения из предыдущих глав. Точки со значениями в тестовой схеме — морфизмы из этой схемы.
База расслоенного произведения всегда указана: топологическое произведение пространств и произведение схем имеют разный смысл.

Диагональный морфизм

Чтобы сравнить два морфизма в схему над одной базой, их объединяют в морфизм в расслоенное произведение. Равенство двух исходных морфизмов означает, что полученный морфизм проходит через диагональ. Это определение работает для всех тестовых схем и сохраняет информацию, которую обычные точки могут не видеть.

Пусть $f : X \to S$ . Диагональный морфизм (diagonal morphism)

Δ_{f} : X ⟶ X \times_{S} X

— единственный морфизм, обе композиции которого с проекциями равны тождественному морфизму $X$ :

π_{1} \circ Δ_{f} = {id}_{X} = π_{2} \circ Δ_{f}

Существование и единственность следуют из универсального свойства расслоенного произведения, применённого к двум тождественным морфизмам. На точках со значениями в произвольной тестовой схеме диагональ отправляет морфизм в пару из двух его копий.

Например, для аффинной прямой над $k$ произведение с собой над $Spec k$ является аффинной плоскостью. Диагональ соответствует гомоморфизму

k [x, y] ⟶ k [t], x ⟼ t, y ⟼ t

Его ядро порождается $x - y$ , а сам гомоморфизм сюръективен. Поэтому диагональ является замкнутой подсхемой с уравнением $x = y$ .

Совместимая пара морфизмов проходит через диагональ тогда и только тогда, когда оба морфизма равны. В аффинном примере это равенство выражается уравнением разности координат.

Отделимые морфизмы

В топологии хаусдорфовость равносильна замкнутости диагонали в топологическом произведении. Для схем сохраняют идею диагонали, но используют произведение схем и замкнутое вложение. Это существенно другое условие: аффинная прямая отделима, хотя её непустые открытые множества всегда пересекаются.

Морфизм $f : X \to S$ называется отделимым (separated), если $Δ_{f}$ является замкнутым вложением. Схема называется отделимой, если отделим её единственный морфизм в $Spec Z$ .

Почему аффинный морфизм отделим

Пусть сначала $S = Spec R$ и $X = Spec A$ . Диагональ соответствует гомоморфизму умножения

A \otimes_{R} A ⟶ A, a \otimes b ⟼ a b

Он сюръективен: любой элемент $a$ является образом $a \otimes 1$ . Следовательно, диагональ — замкнутое вложение. Для аффинного морфизма над произвольной базой этот расчёт проводится над каждой аффинной картой базы; полученные произведения покрывают цель диагонали. Замкнутое вложение проверяется локально на цели, поэтому весь морфизм отделим. В частности, любая аффинная схема отделима.

Пересечения аффинных карт

Пусть схема $X$ отделима, а $U$ и $V$ — её аффинные открытые подсхемы. Прообраз открытого множества $U \times_{Spec Z} V$ при абсолютной диагонали есть $U \cap V$ . Поэтому пересечение замкнуто вложено в аффинную схему и само аффинно. Следующая часть покажет, что обратное утверждение неверно.

Умножение из тензорного произведения кольца в само кольцо сюръективно. Это доказывает отделимость аффинных морфизмов и даёт исходный пример для сравнения с неотделимой склейкой.

Прямая с двумя началами

Склеим две аффинные прямые $U = Spec k [x]$ и $V = Spec k [y]$ по проколотым прямым с отождествлением $y = x$ . Полученную схему обозначим $X$ . Начала не участвуют в склейке и остаются разными точками. В отличие от проективной прямой, здесь координату сохраняют, а не обращают.

Проверим диагональ морфизма $X \to Spec k$ на смешанной карте $U \times_{Spec k} V$ . Эта карта является аффинной плоскостью. Прообраз смешанной карты при диагонали — пересечение $U \cap V$ , то есть проколотая прямая. Соответствующий гомоморфизм колец имеет вид

k [x, y] ⟶ k [t, t^{- 1}], x ⟼ t, y ⟼ t

Этот гомоморфизм не сюръективен: его образ состоит из многочленов по $t$ и не содержит $t^{- 1}$ . Следовательно, диагональ на смешанной карте не является замкнутым вложением.

Геометрически на смешанной карте образ диагонали равен

V ((x - y)) \cap D (x)

Его замыкание — вся прямая $V ((x - y))$ . Действительно, проколотая прямая является непустым открытым подмножеством неприводимой прямой и потому плотна в ней. В замыкании появляется точка с обеими координатами, равными нулю. На смешанной карте она обозначает пару разных начал, поэтому не лежит на диагонали. Это доказывает неотделимость над $k$ .

Сравнение с обычной прямой полезно держать перед глазами:

Диагональ на аффинной плоскости
Схема	Образ диагонали на выбранной карте	Замкнутость
Аффинная прямая	$V ((x - y))$	Замкнута
Прямая с двумя началами	$V ((x - y)) \cap D (x)$	Отсутствует пара разных начал

Схема неотделима и в абсолютном смысле. На смешанной карте абсолютная диагональ соответствует гомоморфизму

k [x] \otimes_{Z} k [y] ⟶ k [t, t^{- 1}]

Обе координаты переходят в $t$ , а коэффициенты перемножаются. Образ снова состоит из многочленов и не содержит обратной координаты. Значит, абсолютная диагональ также не является замкнутым вложением.

При этом пересечения любых двух аффинных открытых подсхем здесь аффинны. Чтобы проверить это, заметим: аффинное открытое множество не может содержать оба начала. Иначе тот же расчёт в меньших окрестностях начал нарушил бы отделимость аффинной схемы. Поэтому каждое аффинное открытое множество содержится в одной из двух исходных карт. Пересечение двух таких множеств открыто в аффинной прямой; всякое её непустое открытое множество главное, поскольку собственное замкнутое множество задаётся одним ненулевым многочленом. Значит, пересечение аффинно; пустое пересечение также является аффинной схемой.

Диагональ содержит общую проколотую прямую, но не содержит пару разных начал из её замыкания. Причина неотделимости — этот дефект диагонали; пересечение окрестностей само по себе не является критерием.

Замена базы

Для устойчивости отделимости нужны два факта: замена базы сохраняет замкнутые вложения, а диагональ после замены базы получается из прежней диагонали тем же способом. Первый факт — вычисление с факторкольцами, второй — универсальное свойство произведения.

Замкнутое вложение после замены базы

На аффинных картах замкнутое вложение имеет вид $Spec (A / I) \to Spec A$ . При гомоморфизме $A \to B$ кольцо его прообраза равно

(A / I) \otimes_{A} B ≅ B / I B

Справа стоит фактор по идеалу, порождённому образами элементов $I$ . Поэтому полученный морфизм снова замкнутое вложение. Формула верна для любой замены скаляров. Для произвольных схем достаточно провести этот расчёт на аффинных картах.

Новая диагональ

Пусть $f : X \to S$ и $g : Z \to S$ . Обозначим $Y = X \times_{S} Z$ , а через $h : Y \to Z$ — новую проекцию. Две копии $Y$ над $Z$ имеют один и тот же образ в новой базе. Универсальное свойство даёт канонический изоморфизм

Y \times_{Z} Y ≅ (X \times_{S} X) \times_{S} Z

Проверим этот изоморфизм на морфизмах из произвольной тестовой схемы: слева и справа задаются два морфизма в $X$ и один в $Z$ с одинаковыми композициями в $S$ . При таком отождествлении следующий квадрат декартов:

Δ_{h}

Δ_{f}

π_{1} \times π_{1}

π_{1}

Квадрат декартов: новая диагональ получается заменой базы исходной диагонали.

Объекты и связи диаграммы

две копии игрек над новой базой зет: Два морфизма в новую схему с одинаковыми композициями в новую базу.
схема игрек после замены базы: Морфизм в эту схему задаётся морфизмами в исходную схему и в новую базу с одинаковыми композициями в S.
две копии икс над исходной базой эс: Два морфизма в исходную схему с одинаковой композицией в исходную базу.
исходная схема икс: Исходная схема над базой S, до её замены.
новая диагональ: От «схема игрек после замены базы» к «две копии игрек над новой базой зет».Повторяет морфизм в новую схему дважды; является прообразом исходной диагонали.
исходная диагональ: От «исходная схема икс» к «две копии икс над исходной базой эс».Повторяет морфизм в исходную схему при сохранении его образа в базе S.
проекция каждой из двух компонент: От «две копии игрек над новой базой зет» к «две копии икс над исходной базой эс».Проецирует обе компоненты в исходную схему; вдоль этого морфизма берётся прообраз диагонали.
проекция в исходную схему: От «схема игрек после замены базы» к «исходная схема икс».Забывает дополнительный морфизм в новую базу.

Действительно, условие прохождения через нижнюю диагональ требует равенства двух морфизмов в $X$ . Вместе с общим морфизмом в $Z$ получаем один морфизм в $Y$ . Исходная пара является его образом при верхней диагонали. Поэтому верхняя диагональ является заменой базы нижней.

Если $X \to S$ отделим, то для любого морфизма $Z \to S$ проекция $X \times_{S} Z \to Z$ также отделима.

Доказательство завершено: нижняя диагональ — замкнутое вложение по предположению, а верхняя получена заменой базы, которая сохраняет это свойство.

После замены базы равенство двух морфизмов по-прежнему проверяется исходной диагональю. Её прообраз задаёт новую диагональ. Вычисление с факторкольцами показывает, что замкнутое вложение при этом сохраняется.

Отделимость

Соглашения

Диагональный морфизм

Диагональ

Диагональ представляет равенство морфизмов

Отделимые морфизмы