Аналитическая теория чисел

Характеры конечных абелевых групп

Как записать условие $n \equiv a (\mod m)$ в форме, совместимой с умножением? Характеры дают системе классов вычетов удобные координаты. Их ортогональность позволяет собрать точный фильтр: он равен единице на нужном классе и нулю на остальных. Эта конструкция станет связующим звеном между арифметическим условием и рядами Дирихле.

Функция, сохраняющая групповую операцию

Пусть $G$ — конечная абелева группа, записанная мультипликативно. Ищем числовую функцию, которая сохраняет закон композиции: произведению элементов должно соответствовать произведение их значений.

Характером группы $G$ называется гомоморфизм

χ : G ⟶ C^{\times}, χ (x y) = χ (x) χ (y)

Порядком элемента $x$ называется наименьшее целое $r \geq 1$ , для которого $x^{r} = e$ . В конечной группе такое $r$ существует. Применяя характер к равенству $x^{r} = e$ , получаем $χ (x)^{r} = χ (e) = 1$ . Поэтому значения характера конечной группы — корни из единицы; в частности, $| χ (x) | = 1$ .

Циклическая группа

В аддитивной группе $C_{n} = Z / n Z$ будем обозначать классы вычетов их представителями $0, 1, \dots, n - 1$ . Каждый элемент получается повторным сложением элемента $1$ с самим собой: $r = r \cdot 1$ . Поэтому $1$ называют образующей группы. Для любого характера $χ (r) = χ (1)^{r}$ , так что достаточно знать одно значение $χ (1)$ .

Поскольку $n \cdot 1 = 0$ , это значение удовлетворяет $χ (1)^{n} = 1$ . Положим $ζ_{n} = e^{2 π i / n}$ . Тогда $χ (1) = ζ_{n}^{k}$ для некоторого $k \in Z / n Z$ , и все характеры имеют вид

χ_{k} (r) = ζ_{n}^{k r}, k, r \in {0, 1, \dots, n - 1}

Индекс $k$ нумерует характеры, а $r$ — элементы исходной группы. Уже для циклической группы число характеров совпадает с числом её элементов.

Выберите образ образующей и восстановите остальные значения последовательным умножением. Затем сравните характер, принимающий только единицы, с характером, проходящим по всем шести корням. Почему в первом случае разные элементы имеют один образ?

Группа всех характеров

Один характер — это один способ отобразить элементы группы в комплексные числа, сохранив умножение. Чтобы гарантированно различать любые два элемента, нужно рассматривать всё семейство характеров одновременно. У этого семейства есть собственная групповая структура: характеры можно перемножать поточечно, $(χ ψ) (x) = χ (x) ψ (x)$ . Вместе с этой операцией они образуют двойственную группу

\hat{G} = Hom (G, C^{\times})

Если $H$ — подгруппа $G$ , то каждый характер $H$ продолжается до характера $G$ .

Механизм продолжения можно увидеть, добавляя к $H$ по одной образующей. Пусть $y \notin H$ , а $r$ — наименьшее положительное число, для которого $y^{r} \in H$ . Значение продолженного характера на $y$ должно быть числом $z$ , удовлетворяющим $z^{r} = χ (y^{r})$ . Такой корень существует в $C^{\times}$ . После его выбора формула $χ (h y^{k}) = χ (h) z^{k}$ задаёт характер на подгруппе, порождённой $H$ и $y$ . Поскольку $G$ конечна, повторение этого шага приводит ко всей группе.

Покажем, что характеры различают элементы группы. Пусть $x \neq e$ , а $r$ — порядок $x$ . Степени элемента $x$ образуют циклическую подгруппу $⟨ x ⟩ = {e, x, x^{2}, \dots, x^{r - 1}}$ . Положим $ζ_{r} = e^{2 π i / r}$ и определим на этой подгруппе характер $χ_{0} (x^{j}) = ζ_{r}^{j}$ . В частности, $χ_{0} (x) = ζ_{r} \neq 1$ .

По теореме о продолжении существует характер $χ$ всей группы $G$ , совпадающий с $χ_{0}$ на $⟨ x ⟩$ . Поэтому $χ (x) \neq χ (e) = 1$ : характер отличает $x$ от единичного элемента. Если же $x \neq y$ , применим тот же аргумент к $x y^{- 1}$ . Получим характер, для которого $χ (x) \neq χ (y)$ . Иными словами, характеры различают элементы группы.

Вернёмся к циклической группе $C_{n}$ . Построенные выше характеры перемножаются по правилу

(χ_{k} χ_{ℓ}) (r) = ζ_{n}^{k r} ζ_{n}^{ℓ r} = ζ_{n}^{(k + ℓ) r} = χ_{k + ℓ} (r)

Значит, отображение $k \mapsto χ_{k}$ переводит сложение в $C_{n}$ в умножение характеров. Оно биективно: все $n$ характеров уже перечислены, а разные $k$ дают разные значения на образующей $1$ . Поэтому $\hat{C_{n}} ≅ C_{n}$ .

Теперь перейдём от циклического случая к произвольной конечной абелевой группе. Структурная теорема представляет её в виде $G ≅ C_{n_{1}} \times \dots \times C_{n_{s}}$ . Характер произведения независимо задаётся характером на каждом множителе, поэтому

\hat{G} ≅ \hat{C_{n_{1}}} \times \dots \times \hat{C_{n_{s}}}

Для каждого циклического множителя число характеров равно его порядку; следовательно,

| \hat{G} | = | G |

Каждый $x \in G$ сам задаёт характер на $\hat{G}$ : характеру $χ$ сопоставляется число $χ (x)$ . Так возникает естественное отображение в двойственную к двойственной группе

ε : G ⟶ \hat{\hat{G}}, ε_{x} (χ) = χ (x)

Характеры различают элементы, поэтому $ε$ инъективно. Обе группы имеют один порядок, следовательно, $ε$ — изоморфизм. Возвращение $G ≅ \hat{\hat{G}}$ канонично, хотя изоморфизм $G ≅ \hat{G}$ обычно требует выбора образующих.

Почему сумма нетривиального характера равна нулю

Мы выяснили, что характеров столько же, сколько элементов группы, и что они различают эти элементы. Теперь найдём свойство, позволяющее строить из характеров индикатор заданного элемента: суммы значений нетривиальных характеров взаимно сокращаются.

Образ нетривиального характера — конечная подгруппа единичной окружности, то есть вершины некоторого правильного многоугольника. Каждое значение встречается одинаковое число раз: прообраз любого значения является смежным классом ядра $\ker χ$ , а все смежные классы имеют одинаковый размер.

Поэтому сумма значений характера — это сумма вершин правильного многоугольника, повторённых с одной и той же кратностью. Его центр масс находится в нуле, следовательно, равна нулю и сумма. У тривиального характера многоугольник вырождается в единственную точку $1$ , повторённую $| G |$ раз.

Ортогональность на циклической группеДля χ₁ шесть значений разбиваются на три пары противоположных вершин; сумма значений в каждой паре равна нулю.

Теперь запишем ту же симметрию алгебраически. Если $χ \neq 1$ , выберем $y \in G$ с $χ (y) \neq 1$ . Умножение всех элементов на $y$ только переставляет слагаемые, поэтому

Обозначаем сумму значений
$S_{χ} = \sum_{x \in G} χ (x)$
Переставляем слагаемые умножением
$S_{χ} = \sum_{x \in G} χ (y x) = χ (y) S_{χ}$
Результат: Используем нетривиальность характера
$(χ (y) - 1) S_{χ} = 0 ⟹ S_{χ} = 0$

\sum_{x \in G} χ (x) = {\begin{cases} | G | & χ = 1 \\ 0 & χ \neq 1 \end{cases}

Зафиксируем $x \in G$ . Отображение $χ \mapsto χ (x)$ является характером двойственной группы $\hat{G}$ . Оно тривиально при $x = e$ и нетривиально при $x \neq e$ , поскольку характеры различают элементы группы. Применяя первое соотношение ортогональности к $\hat{G}$ , получаем второе.

\sum_{χ \in \hat{G}} χ (x) = {\begin{cases} | G | & x = e \\ 0 & x \neq e \end{cases}

Для циклической группы оба соотношения видны в одной таблице: строки соответствуют характерам, а столбцы — элементам группы. Ортогональны не только разные строки, но и разные столбцы.

Сначала выберите строку с индексом нуль, затем любую другую. Перед подсветкой объясните, почему их суммы должны различаться. Повторите сравнение для столбцов и свяжите результат с ортогональностью.

выбрана строка

χ_{0}

Нажмите $χ_{k}$ слева или $r$ сверху: выделенные значения складываются под таблицей

$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$i$	$- 1$	$- i$
$1$	$- 1$	$1$	$- 1$
$1$	$- i$	$- 1$	$i$

Строка

χ_{0}

· сумма $1 + 1 + 1 + 1 = 4$ тривиальный случай — единственное исключение

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Характеры образуют базис функций на группе

Таблица характеров уже показала ортогональность строк и столбцов. Переведём это наблюдение на язык линейной алгебры. На пространстве функций $f : G \to C$ введём скалярное произведение

⟨ f, g ⟩ = \frac{1}{| G |} \sum_{x \in G} f (x) \overset{―}{g (x)}

Поскольку значения характеров лежат на единичной окружности, $\overset{―}{ψ (x)} = ψ (x)^{- 1}$ . Поэтому $χ \overset{―}{ψ}$ — характер, причём он тривиален ровно тогда, когда $χ = ψ$ . Если $χ \neq ψ$ , первое соотношение ортогональности даёт $⟨ χ, ψ ⟩ = 0$ .

При $χ = ψ$ каждое слагаемое равно $χ (x) \overset{―}{χ (x)} = | χ (x) |^{2} = 1$ . Поэтому

⟨ χ, χ ⟩ = \frac{1}{| G |} \sum_{x \in G} 1 = \frac{| G |}{| G |} = 1

Итак, разные характеры ортогональны, а норма каждого характера равна единице. Произвольная функция $f : G \to C$ независимо задаётся одним комплексным числом $f (x)$ для каждого $x \in G$ . Поэтому пространство всех таких функций имеет $| G |$ независимых координат и размерность $| G |$ . Характеров тоже ровно $| G |$ , так что ортонормированное семейство характеров уже является базисом.

\hat{f} (χ) = \frac{1}{| G |} \sum_{x \in G} f (x) \overset{―}{χ (x)}

f (x) = \sum_{χ \in \hat{G}} \hat{f} (χ) χ (x)

Свёртка диагонализуется

В первой части свёртка суммировала произведения $a_{i} b_{j}$ по всем парам индексов из слоя $i + j = n$ . Здесь применяется тот же принцип, но вместо сложения индексов берётся групповая операция. Для фиксированного $x \in G$ мы суммируем $f (y) g (z)$ по всем парам $(y, z)$ , для которых $y z = x$ . После выбора $y$ второй элемент определяется однозначно: $z = y^{- 1} x$ . Поэтому

(f * g) (x) = \sum_{y z = x} f (y) g (z) = \sum_{y \in G} f (y) g (y^{- 1} x)

Таким образом, групповая свёртка — прежняя сумма по слою операции, только аддитивный слой $i + j = n$ заменён слоем группового умножения $y z = x$ . Характеры переводят эту свёртку в покоординатное умножение. Однако выше коэффициент Фурье был нормирован множителем $1 / | G |$ , поэтому после преобразования возникает компенсирующий множитель $| G |$ :

Записываем групповую свёртку
$(f * g) (x) = \sum_{y z = x} f (y) g (z)$
Результат: Преобразуем по Фурье
$\hat{f * g} (χ) = | G | \hat{f} (χ) \hat{g} (χ)$

При ненормированном прямом преобразовании сумма в определении $\hat{f}$ записывается без $1 / | G |$ , и формула произведения — без множителя $| G |$ . Это две согласованные конвенции, а не разные свойства свёртки.

От классов вычетов к характерам по модулю

Наша цель — научиться выделять условие $n \equiv a (\mod m)$ с помощью функций, совместимых с умножением. Это понадобится при работе с рядами Дирихле: произведение целых чисел должно переходить в произведение значений функции.

В кольце $Z / m Z$ не каждый класс имеет обратный по умножению. Например, по модулю $8$ класс $3$ обратим, потому что $3 \cdot 3 \equiv 1 (\mod 8)$ , а класс $2$ необратим. Обратимы в точности классы чисел, взаимно простых с $m$ . Они образуют конечную абелеву группу

G (m) = (Z / m Z)^{\times}, | G (m) | = φ (m)

Верхний индекс $(-)^{\times}$ означает, что оставлены только обратимые элементы. Функция Эйлера $φ (m)$ считает числа $1 \leq r \leq m$ , взаимно простые с $m$ . Иными словами, она считает элементы группы $G (m)$ .

Это не новая конструкция: выше для любой конечной абелевой группы $G$ мы обозначили через $\hat{G}$ группу всех её характеров. Теперь просто подставляем $G = G (m)$ :

\hat{G (m)} = Hom (G (m), C^{\times})

Таким образом, $\hat{G (m)}$ — уже знакомая двойственная группа, только теперь её элементы действуют на обратимых классах вычетов.

От группового характера к арифметической функции

Новый шаг состоит только в расширении области определения. Пусть $\tilde{χ} \in \hat{G (m)}$ . Чтобы подставлять произвольное целое $a$ , продолжим $\tilde{χ}$ нулём на необратимые классы. Условие $(a, m) = 1$ означает, что $a$ и $m$ взаимно просты; именно тогда $a mod m$ является элементом $G (m)$ .

χ (a) = {\begin{cases} \tilde{χ} (a mod m) & (a, m) = 1 \\ 0 & (a, m) \neq 1 \end{cases}

Полученная функция зависит только от остатка $a$ и сохраняет умножение: $χ (a b) = χ (a) χ (b)$ . Далее, как обычно, исходный групповой характер и его продолжение обозначаются одной буквой $χ$ .

Например, $G (4) = {1, 3}$ . Его единственный нетривиальный характер принимает на этих двух классах значения $1$ и $- 1$ . После продолжения нулём получаем

χ_{4} (a) = {\begin{cases} 0 & a \equiv 0, 2 (\mod 4) \\ 1 & a \equiv 1 (\mod 4) \\ - 1 & a \equiv 3 (\mod 4) \end{cases}

Индекс $4$ в обозначении $χ_{4}$ напоминает, что функция зависит только от класса по модулю $4$ .

Индикатор класса вычетов из характеров

Теперь решим задачу, поставленную в начале раздела: построим из характеров функцию, проверяющую равенство по модулю. Для фиксированного обратимого класса $a$ нужна функция от $n$ , которая равна $1$ , когда $n$ лежит в том же классе, и $0$ во всех остальных случаях:

δ_{a} (n) = {\begin{cases} 1 & n \equiv a (\mod m) \\ 0 & n ≢ a (\mod m) \end{cases}

Пусть сначала $n$ также взаимно просто с $m$ , так что $a$ и $n$ являются элементами $G (m)$ . Умножение на $a^{- 1}$ переносит проверяемый класс в единицу группы. После этого второе соотношение ортогональности даёт требуемый индикатор:

Переносим проверяемый класс в единицу
$n \equiv a (\mod m) ⟺ n a^{- 1} = 1$
Суммируем характеры
$S (n) := \sum_{χ \in \hat{G (m)}} χ (n a^{- 1})$
Применяем ортогональность
$S (n) = {\begin{cases} | G (m) | & n \equiv a (\mod m) \\ 0 & n ≢ a (\mod m) \end{cases}$
Результат: Раскрываем значение произведения
$χ (n a^{- 1}) = χ (n) χ (a)^{- 1} = χ (n) \overset{―}{χ (a)}$

Последнее равенство верно потому, что значения характера лежат на единичной окружности: для них обратное число совпадает с комплексно сопряжённым. Кроме того,

| G (m) | = φ (m)

Поэтому индикатор нужного класса равен

I_{a} (n) = \frac{S (n)}{φ (m)}

I_{a} (n) = {\begin{cases} 1 & n \equiv a (\mod m) \\ 0 & n ≢ a (\mod m) \end{cases}

Виджет показывает этот результат для $G (5)$ . Выберите нужный класс $a$ и проверяемый класс $n$ : при совпадении четыре значения равны единице, а при несовпадении взаимно уничтожаются.

Зафиксируйте нужный класс и сначала выберите совпадающий проверяемый класс. Затем выберите несовпадающий: как должны сложиться четыре вектора? Поменяйте нужный класс и убедитесь, что правило сравнения сохраняется.

Если $n$ не взаимно просто с $m$ , каждый характер в сумме равен нулю по определению, а сравнение $n \equiv a (\mod m)$ невозможно, поскольку $a$ обратим. Поэтому та же формула верна для любого целого $n$ . Так условие сравнения превращается в линейную комбинацию мультипликативных функций.

Мы получили общий инструмент. Теперь рассмотрим содержательный источник конкретных характеров — вопрос о квадратичных вычетах.

Как квадратичные вычеты порождают характер

До сих пор характеры по модулю возникали как абстрактные элементы $\hat{G (m)}$ . Посмотрим, как такой характер появляется из конкретного арифметического вопроса. Зафиксируем целое $a$ и для каждого нечётного простого числа $p ∤ a$ спросим: является ли $a$ квадратом по модулю $p$ ?

Ответ кодирует символ Лежандра:

(\frac{a}{p}) = {\begin{cases} 1, & a \equiv x^{2} (\mod p), \\ - 1, & a ≢ x^{2} (\mod p) \end{cases}

При $a = - 1$ уже получается знакомый характер по модулю $4$ :

(\frac{- 1}{p}) = {\begin{cases} 1 & p \equiv 1 (\mod 4) \\ - 1 & p \equiv 3 (\mod 4) \end{cases} = χ_{4} (p)

Значит, естественно поставить общий вопрос: можно ли при фиксированном $a$ собрать все значения $(\frac{a}{p})$ , полученные для разных простых чисел $p$ , в один характер некоторого фиксированного модуля?

Почему достаточно модуля 4|a|

Квадратные множители в $a$ не несут информации: если $p ∤ b$ , то

(\frac{b^{2} a}{p}) = (\frac{a}{p})

Поэтому квадратные множители можно удалить и считать $a$ бесквадратным, то есть не делящимся на $q^{2}$ ни для какого простого числа $q$ .

Запишем $a = ε q_{1} \dots q_{s}$ , где $ε \in {1, - 1}$ , а $q_{j}$ — различные простые числа. Символ Лежандра мультипликативен по числителю, поэтому исходный вопрос распадается на вопросы об отдельных простых делителях $a$ :

(\frac{a}{p}) = (\frac{ε}{p}) \prod_{j = 1}^{s} (\frac{q_{j}}{p})

Для нечётного $q_{j}$ квадратичный закон взаимности даёт

(\frac{q_{j}}{p}) = (- 1)^{\frac{(p - 1) (q_{j} - 1)}{4}} (\frac{p}{q_{j}})

Теперь зависимость от $p$ видна явно. Последний символ Лежандра определяется остатком $p mod q_{j}$ , а знак перед ним — остатком $p mod 4$ . Если $a < 0$ , дополнительный множитель $(\frac{- 1}{p})$ также зависит от $p mod 4$ . Если $2 ∣ a$ , то

(\frac{2}{p}) = (- 1)^{\frac{p^{2} - 1}{8}}

и требуется знать $p mod 8$ . Таким образом, достаточно одновременно знать остаток $p$ по модулю каждого простого делителя $a$ , а также по модулю $4$ — или $8$ , когда $a$ чётно. Вся эта информация содержится в одном остатке $p mod 4 | a |$ .

Модуль $4 | a |$ не обязан быть наименьшим: это единый выбор, который всегда содержит всю необходимую информацию. Минимальный модуль характера, называемый его кондуктором, в отдельных случаях является собственным делителем $4 | a |$ .

Например, при $a = 15$ для простого числа $p ∤ 30$

(\frac{15}{p}) = (- 1)^{\frac{p - 1}{2}} (\frac{p}{3}) (\frac{p}{5})

Правая часть определяется остатками $p mod 4$ , $p mod 3$ и $p mod 5$ , а значит, одним классом $p mod 60$ . Здесь $60 = 4 | 15 |$ .

Пусть $a \neq 0$ — бесквадратное целое и $m = 4 | a |$ . Тогда существует единственный характер $χ_{a}$ по модулю $m$ , для которого

Для каждого простого числа $p ∤ m$ выполняется

χ_{a} (p) = (\frac{a}{p})

На группе $G (m)$ его квадрат равен единичному характеру. После продолжения на все целые это означает

χ_{a} (n)^{2} = χ_{0, m} (n)

Здесь $χ_{0, m}$ — главный характер по модулю $m$ : он равен $1$ на числах, взаимно простых с $m$ , и $0$ на остальных. При $a \neq 1$ характер $χ_{a}$ нетривиален.

Квадратичный закон взаимности даёт существование: он превращает исходный вопрос о квадратичности $a$ по модулю $p$ в функцию класса $p mod 4 | a |$ , совместимую с умножением. Единственность следует из того, что значения мультипликативной функции на простых числах определяют её на всех положительных целых, взаимно простых с $m$ .

Так семейство отдельных проверок $(\frac{a}{p})$ превращается в один квадратичный характер $χ_{a}$ . Это содержательный арифметический пример общей конструкции: характер кодирует мультипликативную информацию одним значением на каждом обратимом классе.

Все характеры конечной абелевой группы образуют двойственную группу. Ортогональность позволяет получить из их суммы индикатор заданного элемента, а преобразование Фурье переводит групповую свёртку в обычное умножение коэффициентов разложения.

Для группы обратимых классов характеры становятся характерами по модулю. Их сумма даёт индикатор сравнения $n \equiv a (\mod m)$ , а ряды Дирихле этих мультипликативных функций на следующем шаге дадут $L$ -функции.

Характеры конечных абелевых групп

Функция, сохраняющая групповую операцию