Аналитическая теория чисел

Свёртка Дирихле

Обычная производящая функция приспособлена к сложению индексов, тогда как арифметика делителей подчинена умножению. Поэтому слой $i + j = n$ мы заменим слоем $d m = n$ и получим свёртку Дирихле. Затем выберем представление, в котором она становится обычным произведением. Так естественно возникают ряды Дирихле и их основные тождества.

Умножение меняет слой

Напомним только общую конструкцию: свёртка суммирует веса пар по полному прообразу фиксированного значения операции. Для сложения и умножения соответствующие отображения имеют вид

α (i, j) = i + j α^{- 1} (n) = {(i, j) : i + j = n}

π (d, m) = d m π^{- 1} (n) = {(d, m) : d m = n}

Первый слой перечисляет аддитивные разложения $n$ , второй — его упорядоченные факторизации. Переключатель показывает, что меняется только операция над индексами; способ построения слоя остаётся прежним.

Сравните слой сложения с результатом три и слой умножения с результатом шесть. Перечислите их упорядоченные пары до выбора. Затем сравните произведения с результатами пять и двенадцать: от чего зависит размер слоя?

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Обычная свёртка суммирует веса $a_{i} b_{j}$ по слою $i + j = n$ . Если вместо этого паре $(d, m)$ приписать вес $a (d) b (m)$ и суммировать по слою $d m = n$ , получится свёртка Дирихле.

Пусть $a, b : N \to C$ — арифметические функции. Их свёртка Дирихле — сумма весов $a (d) b (m)$ по слою отображения умножения:

(a * b) (n) = \sum_{(d, m) \in π^{- 1} (n)} a (d) b (m)

(a * b) (n) = \sum_{d m = n} a (d) b (m)

(a * b) (n) = \sum_{d ∣ n} a (d) b (\frac{n}{d})

Эти записи описывают одну конечную сумму: сначала по всем упорядоченным факторизациям $n = d m$ , затем по положительным делителям $d$ , причём второй множитель однозначно равен $m = n / d$ . В отличие от слоя сложения, слой умножения определяется делителями числа $n$ . Поэтому многие естественные суммы по делителям оказываются значениями одной и той же операции.

Один слой — три арифметические функции

Слой $π^{- 1} (n)$ определяется только числом $n$ . Чтобы получить из него разные арифметические функции, достаточно менять вес пары $(d, n / d)$ . В сцене используются постоянная функция $1 (n) = 1$ , тождественная функция $id (n) = n$ и функция Мёбиуса $μ$ .

Функция $μ (n)$ равна нулю, если $n$ делится на квадрат простого числа; в остальных случаях $μ (n) = (- 1)^{r}$ , где $r$ — число различных простых делителей $n$ . Обозначим через $ε$ функцию, сосредоточенную в единице: $ε (1) = 1$ и $ε (n) = 0$ при $n > 1$ .

Зафиксируйте одну свёртку и пройдите все делители двенадцати. Для каждого сначала назовите парный делитель и вклад. Затем смените свёртку: набор пар тот же, но должна ли сохраниться их взвешенная сумма?

(1 * id) (n) = \sum_{d ∣ n} \frac{n}{d} = σ_{1} (n)

(μ * id) (n) = \sum_{d ∣ n} μ (d) \frac{n}{d} = φ (n)

(μ * 1) (n) = \sum_{d ∣ n} μ (d) = ε (n)

В первой строке замена $d \mapsto n / d$ превращает сумму $n / d$ в сумму делителей. Во второй веса $μ (d)$ оставляют ровно $φ (n)$ обратимых классов вычетов по модулю $n$ . Третья строка говорит, что $μ$ обратна к $1$ относительно свёртки Дирихле.

Если $n$ простое, его слой содержит только пары $(1, n)$ и $(n, 1)$ . Каждый дополнительный делитель составного числа добавляет в слой ещё одну пару и ещё одно слагаемое свёртки.

Почему ε — единица

В сумме $(ε * a) (n)$ ненулевым может быть только слагаемое с $d = 1$ . Поэтому слой сворачивается к одному весу:

(ε * a) (n) = \sum_{d ∣ n} ε (d) a (\frac{n}{d})

(ε * a) (n) = ε (1) a (n) = a (n)

Аналогично $a * ε = a$ . Теперь рассмотрим точечные функции: $δ^{(m)}$ равна единице в индексе $m$ и нулю во всех остальных. Их произведение непосредственно воспроизводит умножение индексов:

δ^{(m)} * δ^{(n)} = δ^{(m n)}

Это тождество подсказывает, какое представление нужно искать: образ $δ^{(m)}$ должен умножаться на образ $δ^{(n)}$ так же, как сами индексы $m$ и $n$ .

От формальных символов к функциям $n^{- s}$

В первой части точечная функция с индексом $n$ перешла в моном $x^{n}$ : сложение индексов стало умножением мономов. Теперь введём формальные символы $E_{n}$ , которые подчиняются мультипликативной версии того же правила:

δ^{(i)} * δ^{(j)} = δ^{(i + j)}, x^{i} x^{j} = x^{i + j}

δ^{(m)} * δ^{(n)} = δ^{(m n)}

E_{m} E_{n} = E_{m n}

Формальное представление арифметической функции тогда имеет вид

Φ (a) = \sum_{n \geq 1} a (n) E_{n}

E_{m} E_{n} = E_{m n}, E_{1} = 1

Эти символы можно реализовать как функции комплексной переменной $s$ : положим $E_{n} (s) = n^{- s} = e^{- s \log n}$ . Аддитивность логарифма даёт

E_{m} (s) E_{n} (s) = e^{- s (\log m + \log n)}

e^{- s (\log m + \log n)} = e^{- s \log (m n)} = E_{m n} (s)

Здесь важно различать две роли переменных. При изменении $n$ семейство $E_{n}$ даёт формальные базисные функции от $s$ . При фиксированном $s$ отображение $n \mapsto n^{- s}$ мультипликативно. В предыдущей главе это свойство изучалось для характеров групп; здесь достаточно того же закона умножения на моноиде положительных целых чисел.

Свёртка превращается в умножение

Сначала будем работать формально: символы $E_{n}$ перемножаются по правилу $E_{m} E_{n} = E_{m n}$ , а вопросы сходимости пока не возникают. После подстановки $E_{n} (s) = n^{- s}$ это формальное представление получает привычное название.

Формальным рядом Дирихле арифметической функции $a$ называется выражение

D_{a} (s) = \sum_{n \geq 1} a (n) n^{- s}

При умножении двух рядов базисные элементы объединяются по произведению индексов:

Перемножаем ряды
$D_{a} (s) D_{b} (s) = \sum_{d, m \geq 1} \frac{a (d) b (m)}{(d m)^{s}}$
Группируем по произведению индексов
$\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{s}} \sum_{d m = n} a (d) b (m)$
Результат: Распознаём свёртку коэффициентов
$D_{a} (s) D_{b} (s) = D_{a * b} (s)$

Формальное и аналитическое чтение

В формальной записи $[E_{n}] D_{a} = a (n)$ : это извлечение координаты при символе $E_{n}$ . Если же $s$ получает конкретное комплексное значение, ряд становится числовым и требуется сходимость. В области абсолютной сходимости двойную сумму можно перегруппировать по значениям $n = d m$ , поэтому то же вычисление становится аналитически корректным.

Три тождества превращаются в три формулы

Ряд постоянной функции называется дзета-функцией Римана: $ζ (s) = D_{1} (s) = \sum_{n \geq 1} n^{- s}$ . Для трёх базовых функций получаем

ε ⟷ 1 1 ⟷ ζ (s)

id ⟷ ζ (s - 1)

Теперь достаточно применить соответствие $D_{a * b} = D_{a} D_{b}$ к трём тождествам из раздела 2:

D_{σ_{1}} (s) = ζ (s) ζ (s - 1)

D_{μ} (s) = \frac{1}{ζ (s)}

D_{φ} (s) = \frac{ζ (s - 1)}{ζ (s)}

Первая формула следует из $1 * id = σ_{1}$ . Вторая — из $μ * 1 = ε$ , поскольку $D_{ε} = 1$ . Умножив вторую формулу на $D_{id} = ζ (s - 1)$ , получаем третью из $μ * id = φ$ . Сцена в разделе 2 показывает коэффициенты всех трёх произведений до перехода к рядам.

Связь с предыдущей главой

Характер Дирихле $χ$ , введённый в главе о характерах, является арифметической функцией. Поэтому к нему применяется та же конструкция:

L (s, χ) = D_{χ} (s) = \sum_{n \geq 1} χ (n) n^{- s}

Ортогональность характеров позволяет отбирать в суммах нужные классы вычетов, а ряды Дирихле переводят мультипликативные тождества их коэффициентов в произведения функций. Так характеры из предыдущей главы входят в аналитическую теорию чисел в виде семейства $L$ -функций.

Дальнейший шаг использует единственность разложения натуральных чисел на простые множители: она превращает ряды мультипликативных функций в произведения по простым числам.

Свёртка Дирихле

Умножение меняет слой

Слой сложения