Аналитическая теория чисел

Сходимость рядов Дирихле

Формальный ряд хранит арифметические коэффициенты, но ещё не даёт права рассуждать о значениях, нулях и особенностях функции. Сначала нужно понять, где бесконечная сумма сходится и насколько устойчив её предел. Преобразование Абеля свяжет сходимость с взаимным сокращением коэффициентов, после чего область определения окажется правой полуплоскостью, а сама функция сохранит всю исходную последовательность.

Зачем формальному ряду становиться функцией

В предыдущей части символы $n^{- s}$ служили формальным базисом. После выбора $s \in C$ они становятся комплексными числами, и выражение $D_{a} (s) = \sum_{n \geq 1} a_{n} n^{- s}$ уже нельзя понимать безусловно: нужно исследовать предел его частичных сумм.

Этот переход нужен не ради самой сходимости. Арифметика заключена в коэффициентах ряда, а комплексный анализ умеет исследовать функцию: её нули, полюсы и поведение у границы области определения. Например, дальнейшее доказательство теоремы Дирихле использует поведение $ζ (s)$ и $L (s, χ)$ около $s = 1$ . Чтобы такой аргумент имел смысл, нужно ответить на три вопроса:

Нужно установить область сходимости, доказать голоморфность суммы внутри неё и проверить, что полученная функция однозначно определяет коэффициенты.

Общий механизм лучше виден для возрастающей последовательности $0 < λ_{1} < λ_{2} < \dots$ , стремящейся к бесконечности:

F (z) = \sum_{n \geq 1} a_{n} e^{- λ_{n} z}

Обычный ряд Дирихле получается при $λ_{n} = \log n$ , поскольку $e^{- z \log n} = n^{- z}$ . При $λ_{n} = n$ замена $t = e^{- z}$ превращает тот же ряд в степенной $\sum a_{n} t^{n}$ .

Эту конструкцию можно читать как преобразование Лапласа дискретной меры. Если каждой точке $λ_{n}$ приписать массу $a_{n}$ , то есть положить $μ = \sum_{n} a_{n} δ_{λ_{n}}$ , получим

F (z) = \int_{0}^{\infty} e^{- z t} d μ (t) = \sum_{n \geq 1} a_{n} e^{- λ_{n} z}

Таким образом, показатели $λ_{n}$ задают расположение масс, а коэффициенты $a_{n}$ — их величины. Обычный ряд Дирихле соответствует массам, расположенным в точках $\log n$ .

Для степенного ряда область сходимости задаётся условием $| t | < R$ . После замены $t = e^{- z}$ имеем $| t | = e^{- Re z}$ , поэтому

| t | < R ⟺ e^{- Re z} < R

e^{- Re z} < R ⟺ Re z > - \log R

Круг в плоскости $t$ тем самым превращается в правую полуплоскость в плоскости $z$ . Для обычного ряда Дирихле показатели равны $λ_{n} = \log n$ , но усиление затухания по-прежнему определяется только величиной $Re z$ . Поэтому и его область сходимости имеет форму правой полуплоскости.

Как использовать сокращение коэффициентов

Сходимость может возникать не потому, что коэффициенты малы, а потому, что соседние слагаемые сокращают друг друга. Простейший пример — $a_{n} = (- 1)^{n - 1}$ . Сами коэффициенты имеют модуль $1$ , зато их частичные суммы принимают только значения $0$ и $1$ .

Поэтому хотим переписать взвешенный ряд $\sum a_{n} b_{n}$ не через отдельные коэффициенты $a_{n}$ , а через их частичные суммы. Тогда сокращение коэффициентов войдёт в формулу как ограниченность этих сумм. Введём обозначение

A_{n} = a_{1} + \dots + a_{n}, A_{0} = 0

Из определения следует $a_{n} = A_{n} - A_{n - 1}$ . Подставим эту разность во взвешенную сумму и сдвинем индекс во второй части:

Подставляем разность частичных сумм
$\sum_{n = 1}^{N} a_{n} b_{n} = \sum_{n = 1}^{N} (A_{n} - A_{n - 1}) b_{n}$
Сдвигаем индекс во второй сумме
$\sum_{n = 1}^{N} A_{n} b_{n} - \sum_{n = 1}^{N - 1} A_{n} b_{n + 1}$
Результат: Собираем общие частичные суммы
$A_{N} b_{N} + \sum_{n = 1}^{N - 1} A_{n} (b_{n} - b_{n + 1})$

Полученное конечное тождество называется формулой частичного суммирования, или преобразованием Абеля.

Исходные коэффициенты $a_{n}$ исчезли: вместо них стоят частичные суммы $A_{n}$ , в которых уже учтено взаимное сокращение. За это вес $b_{n}$ заменился меньшей величиной $b_{n} - b_{n + 1}$ .

Если $A_{n}$ ограничены, $b_{n} \to 0$ , а $\sum_{n} | b_{n} - b_{n + 1} | < \infty$ , то правая часть имеет предел. Значит, сходится и исходная взвешенная сумма.

Начните со случая, где выполнены все условия. По очереди уберите каждое из них; перед просмотром контрпримера укажите, какой шаг оценки Абеля теперь нельзя выполнить. Не считайте нарушение условия доказательством расходимости любого такого ряда.

сходится к ln 2

A_{N} \in {0, 1}

b_{N} = 1 / N

S_{N} \to \log 2

Все три условия выполнены $A_{N} \in {0, 1}$ , $b_{N} = 1 / N$ ⇒ $A_{N} b_{N} \to 0$ Оба члена преобразования Абеля контролируются.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Для рядов Дирихле берётся $b_{n} = n^{- s}$ , причём $n^{- s} - (n + 1)^{- s} \sim s n^{- s - 1}$ . Частичное суммирование тем самым даёт дополнительную степень затухания. Поэтому ограниченность $A_{n}$ сможет обеспечить сходимость уже при $Re s > 0$ , хотя ряд модулей обычно требует $Re s > 1$ .

Одна точка порождает правую полуплоскость

Пусть ряд

F (z) = \sum a_{n} e^{- λ_{n} z}

сходится в точке $z_{0}$ . При переходе к $z = z_{0} + w$ каждый член получает дополнительный вес $e^{- λ_{n} w}$ . Если $w$ направлен вправо и не приближается к мнимой оси, эти веса убывают достаточно согласованно, чтобы сохранить сокращение коэффициентов.

Если ряд сходится в $z_{0}$ , то для каждого $0 \leq θ < π / 2$ он сходится равномерно в секторе

Re (z - z_{0}) \geq 0, | \arg (z - z_{0}) | \leq θ

В частности, ряд сходится локально равномерно во всей полуплоскости $Re z > {Re z}_{0}$ .

Ключевая оценка объясняет роль сектора. Если $0 < u < v$ , $w = x + i y$ и $x > 0$ , то

| e^{- u w} - e^{- v w} | \leq (1 + \frac{| y |}{x}) (e^{- u x} - e^{- v x})

Внутри фиксированного сектора отношение $| y | / x$ ограничено. Поэтому после преобразования Абеля разности соседних экспоненциальных весов оцениваются одной телескопической суммой — равномерно по $z$ .

Локально равномерный предел голоморфных частичных сумм голоморфен, и ряд можно дифференцировать почленно любое число раз:

F^{(k)} (z) = \sum_{n \geq 1} (- λ_{n})^{k} a_{n} e^{- λ_{n} z}

Равномерность в секторе даёт также граничную непрерывность: если $z \to z_{0}$ внутри любого такого сектора, то $F (z) \to F (z_{0})$ . Ограничение на угол исключает почти касательное приближение вдоль границы полуплоскости.

Сравните самый узкий и самый широкий доступные секторы. Где возрастает константа оценки? Объясните, почему ни один из показанных углов не позволяет сделать вывод о касательном подходе вдоль границы.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Поэтому существует граница $σ_{c}$ : справа от неё ряд сходится, а слева — нет. Для ряда из модулей существует граница абсолютной сходимости $σ_{a}$ , причём всегда $σ_{c} \leq σ_{a}$ . Между ними возможна условная сходимость, вызванная сокращением коэффициентов. Значения $\pm \infty$ отвечают вырожденным случаям, когда ряд сходится всюду или не сходится ни в одной открытой правой полуплоскости.

Для степенных рядов, то есть при $λ_{n} = n$ , границы обычной и абсолютной сходимости совпадают. Для общих рядов Дирихле это уже неверно.

Сначала найдите обе границы сходимости дзета-ряда, затем выберите ряд с характером. Какая граница сдвинется благодаря сокращениям? Назовите область, где ряд сходится, а ряд модулей — нет.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

У дзета-ряда сокращения нет, и обе границы совпадают. У ряда $1 - 3^{- s} + 5^{- s} - 7^{- s} + \dots$ знаки чередуются: сам ряд сходится уже при $Re s > 0$ , но ряд модулей — только при $Re s > 1$ .

Восстановить коэффициенты по значениям функции

Ряд задаётся коэффициентами $a_{n}$ , но после суммирования мы видим только функцию $F$ . Не потерялась ли при этом исходная последовательность? Для степенного ряда коэффициенты можно извлекать производными в одной точке. У общего ряда Дирихле такого выделенного центра нет, поэтому нужен другой способ.

Механизм виден уже на конечной сумме $F (σ) = 2 e^{- σ} - 3 e^{- 2 σ} + 5 e^{- 4 σ}$ . При $σ \to + \infty$ медленнее всех убывает первый член. Если умножить всю функцию на $e^{σ}$ , его экспонента исчезнет, а два остальных члена всё равно устремятся к нулю:

e^{σ} F (σ) = 2 - 3 e^{- σ} + 5 e^{- 3 σ} ⟶ 2

Так значение функции далеко справа обнаруживает коэффициент при самой медленно убывающей экспоненте. После вычитания найденного члена тем же способом обнаруживается следующий. Теперь применим этот приём к общей функции $F (z) = \sum_{n \geq 1} a_{n} e^{- λ_{n} z}$ с известными возрастающими показателями $0 < λ_{1} < λ_{2} < \dots$ .

Рассмотрим значения на вещественной оси $z = σ$ при $σ \to + \infty$ . Слагаемое с показателем $λ_{1}$ затухает медленнее всех остальных. Умножение на $e^{λ_{1} σ}$ убирает его собственное затухание:

Нормируем самый медленный член
$e^{λ_{1} σ} F (σ) = a_{1} + \sum_{n \geq 2} a_{n} e^{- (λ_{n} - λ_{1}) σ}$
Устремляем аргумент к бесконечности
$λ_{n} - λ_{1} > 0 ⟹ e^{- (λ_{n} - λ_{1}) σ} ⟶ 0$
Результат: Считываем оставшийся коэффициент
$a_{1} = lim_{σ \to + \infty} e^{λ_{1} σ} F (σ)$

Начните с первого коэффициента и назовите множитель, снимающий его затухание. Для второго и третьего коэффициентов сначала определите, что нужно вычесть. Почему одного изменения нормирующего множителя недостаточно?

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

После нахождения $a_{1}$ вычтем из $F$ член $a_{1} e^{- λ_{1} σ}$ . В остатке самым медленно затухающим станет член с коэффициентом $a_{2}$ ; тот же приём извлечёт его. Повторяя операцию, получаем общий шаг:

Извлекаем очередной коэффициент
$a_{N} = lim_{σ \to + \infty} e^{λ_{N} σ} (F (σ) - \sum_{n < N} a_{n} e^{- λ_{n} σ})$
Результат: Подставляем обычные показатели
$\begin{aligned} λ_{n} & = \log n, \\ a_{N} & = lim_{σ \to + \infty} N^{σ} (D_{a} (σ) - \sum_{n < N} a_{n} n^{- σ}) \end{aligned}$

При фиксированных показателях $(λ_{n})$ функция $F$ , заданная рядом

F (z) = \sum a_{n} e^{- λ_{n} z}

однозначно определяет все коэффициенты $a_{n}$ . В частности, если она тождественно равна нулю в своей полуплоскости сходимости, то все $a_{n}$ равны нулю.

Без сокращения граница становится особенностью

Если $a_{n} \geq 0$ , условная сходимость за счёт взаимного уничтожения слагаемых невозможна. Это делает вещественную точку на границе сходимости жёсткой.

Пусть ряд с неотрицательными коэффициентами имеет конечную абсциссу сходимости $σ_{c}$ . Тогда его сумма не может быть голоморфно продолжена в окрестность вещественной точки $s = σ_{c}$ .

Идея доказательства от противного такова. Если функция была бы голоморфна около границы, её ряд Тейлора из точки справа достигал бы немного левее. После подстановки производных возникает двойная сумма с неотрицательными членами; её можно перегруппировать, и исходный ряд тоже сходился бы левее $σ_{c}$ . Это противоречит определению границы.

Положительность нужна именно для свободной перегруппировки. При меняющихся знаках аналитическая функция может существовать за пределами полуплоскости, где сходится исходный ряд.

Два критерия, которые будут использоваться дальше

Вернёмся к $D_{a} (s) = \sum a_{n} n^{- s}$ . Общая теория сразу даёт два практических достаточных условия.

Два критерия сходимости
Что ограничено	Условие	Что получаем
Коэффициенты	$\| a_{n} \| \leq M$	Абсолютная сходимость при $Re s > 1$
Частичные суммы	$\| A_{N} \| \leq M$	Сходимость при $Re s > 0$ , возможно условная

Нулевая сумма по периоду ограничивает частичные суммы

Во втором критерии ограничены не сами коэффициенты, а их накопленные суммы. Для нетривиального характера $χ$ по модулю $m$ это условие возникает из периодичности. За один полный период значения характера дают нуль:

\sum_{a = 1}^{m} χ (a) = 0

Запишем $N = q m + r$ , где $0 \leq r < m$ , и обозначим $A_{N} = \sum_{n \leq N} χ (n)$ . Первые $q m$ слагаемых разбиваются на $q$ полных периодов, каждый с нулевой суммой. Поэтому от всей суммы остаётся только неполный период:

A_{N} = q \sum_{a = 1}^{m} χ (a) + \sum_{a = 1}^{r} χ (a) = \sum_{a = 1}^{r} χ (a)

Двигайте индекс от одного до конца полного периода, а затем ещё на один период. Сравните суммы при одинаковом положении внутри разных периодов. Какие слагаемые исчезают при таком сравнении?

Здесь $r$ принимает лишь значения $0, 1, \dots, m - 1$ . Значит, возможны лишь конечное число остатков суммы, и последовательность $(A_{N})$ ограничена. Именно это условие стоит во второй строке таблицы.

Теперь применим преобразование Абеля к весам $n^{- s}$ :

S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} χ (n) n^{- s}

Δ_{n} = n^{- s} - (n + 1)^{- s}

S_{N} = A_{N} N^{- s} + \sum_{n = 1}^{N - 1} A_{n} Δ_{n}

Если $σ = Re s > 0$ , то первый член стремится к нулю, поскольку $A_{N}$ ограничены. Разность соседних весов имеет порядок $n^{- σ - 1}$ , поэтому ряд в правой части сходится абсолютно. Так ограниченность частичных сумм характера превращается в сходимость исходного ряда:

Итак, при $Re s > 0$ сходится ряд

L (s, χ) = \sum_{n \geq 1} χ (n) n^{- s}

Сам ряд при этом может сходиться условно. Для абсолютной сходимости сокращение значений характера уже не помогает: после взятия модулей оно исчезает. Поэтому абсолютная сходимость начинается при $Re s > 1$ .

Предыдущая часть объяснила, почему характер естественно помещать в ряд Дирихле. Теперь ясно, почему для нетривиального характера этот ряд определён даже в точке $s = 1$ . Следующая задача существенно глубже: доказать, что $L (1, χ) \neq 0$ .

Сходимость рядов Дирихле

Зачем формальному ряду становиться функцией

Ряд Дирихле с показателями

Как использовать сокращение коэффициентов

Следствие преобразования Абеля

Почему нужны все три условия

Одна точка порождает правую полуплоскость

Лемма Абеля

Почему в лемме Абеля появляется сектор

Две границы сходимости

Восстановить коэффициенты по значениям функции

Извлечение коэффициента

Единственность коэффициентов

Без сокращения граница становится особенностью

Теорема Ландау

Два критерия, которые будут использоваться дальше

Нулевая сумма по периоду ограничивает частичные суммы

Периодичность $χ_{4}$

Зачем формальному ряду становиться функцией

Как использовать сокращение коэффициентов

Почему нужны все три условия

Одна точка порождает правую полуплоскость

Почему в лемме Абеля появляется сектор

Две границы сходимости

Восстановить коэффициенты по значениям функции

Извлечение коэффициента

Без сокращения граница становится особенностью

Два критерия, которые будут использоваться дальше

Нулевая сумма по периоду ограничивает частичные суммы

Периодичность χ4

Периодичность $χ_{4}$