Аналитическая теория чисел

Дзета-функция и L-функции

Эйлерово произведение раскладывает глобальную функцию на локальные множители, соответствующие простым числам. Для $ζ (s)$ их накопление создаёт полюс при $s = 1$ . Если коэффициенты взвесить характером $χ$ , возникает $L (s, χ)$ : колебания характера устраняют полюс, но необходимо доказать, что $L (1, χ) \neq 0$ . Именно эта ненулевость позволяет различать классы вычетов и подсчитывать вклад простых чисел в каждом из них.

Разложить глобальную сумму по простым числам

Ряд Дирихле складывает вклады всех положительных целых чисел. При этом каждое число единственным образом раскладывается на степени простых чисел: например, $12 = 2^{2} \cdot 3$ , а $18 = 2 \cdot 3^{2}$ . Значит, целое число можно задавать независимым выбором степени для каждого простого числа.

Поэтому для функции, согласованной с умножением взаимно простых чисел, вклад $n$ можно собрать независимо по каждому простому $p$ .

Арифметическая функция $f : N \to C$ называется мультипликативной, если $f (1) = 1$ и

f (m n) = f (m) f (n)

gcd (m, n) = 1

Зафиксируем одно простое число $p$ . В общем ряде оставим только члены с номерами $1, p, p^{2}, p^{3}, \dots$ :

1 + \frac{f (p)}{p^{s}} + \frac{f (p^{2})}{p^{2 s}} + \frac{f (p^{3})}{p^{3 s}} + \dots

Этот ряд называют локальным рядом при $p$ . Он учитывает только степени одного простого числа; номер степени $k = 0, 1, 2, \dots$ показывает, сколько экземпляров $p$ войдёт в итоговое число. Это не новый вид ряда Дирихле, а часть исходного ряда, оставшаяся после ограничения индексов числами $1, p, p^{2}, \dots$ .

Рассмотрим произведение локальных рядов при $2$ и $3$ :

L_{2} (s) = 1 + \frac{f (2)}{2^{s}} + \frac{f (2^{2})}{2^{2 s}} + \dots

L_{3} (s) = 1 + \frac{f (3)}{3^{s}} + \frac{f (3^{2})}{3^{2 s}} + \dots

L_{2} (s) L_{3} (s)

При раскрытии скобок каждое слагаемое произведения получается из одного слагаемого первой скобки и одного слагаемого второй. Выбор в первой скобке фиксирует степень $2^{a}$ , выбор во второй — степень $3^{b}$ , где $a, b \geq 0$ . Возьмём, например, $f (2^{2}) / 2^{2 s}$ и $f (3) / 3^{s}$ . Их произведение равно

\frac{f (4)}{4^{s}} \cdot \frac{f (3)}{3^{s}} = \frac{f (4) f (3)}{(4 \cdot 3)^{s}} = \frac{f (12)}{12^{s}}

Последнее равенство следует из мультипликативности, поскольку $gcd (4, 3) = 1$ . В общем случае из первой скобки берётся слагаемое $f (2^{a}) / (2^{a})^{s}$ , а из второй — $f (3^{b}) / (3^{b})^{s}$ . Их произведение равно

\frac{f (2^{a})}{(2^{a})^{s}} \cdot \frac{f (3^{b})}{(3^{b})^{s}} = \frac{f (2^{a} 3^{b})}{(2^{a} 3^{b})^{s}}

Таким образом, выбранная пара слагаемых даёт вклад того целого числа, которое равно $2^{a} 3^{b}$ . Единственность факторизации гарантирует, что одно и то же число не возникнет из двух разных пар. Поэтому произведение локальных рядов перечисляет ровно по одному разу все числа, составленные только из простых чисел $2$ и $3$ .

Теперь пусть $S$ — любое конечное множество простых чисел. В локальном ряде при каждом $p \in S$ выбираем степень $p^{k}$ . Один выбор из каждого ряда задаёт единственное произведение, а значит, единственное положительное целое число. Поэтому

\prod_{p \in S} (\sum_{k \geq 0} \frac{f (p^{k})}{p^{k s}}) = \sum_{n \in N (S)} \frac{f (n)}{n^{s}}

Здесь $N (S)$ состоит из положительных целых чисел, разложение которых использует только простые числа из $S$ . В виджете выбор множества $S$ сразу показывает, какие числа можно собрать из разрешённых простых множителей.

Начните с единственного разрешённого простого числа. До добавления следующего назовите число, которое станет допустимым, и число, которое всё ещё останется недопустимым. Проверьте оба ответа по их простым делителям.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Если $f$ ограничена, ряд сходится абсолютно при $Re s > 1$ . Поэтому можно устремить $S$ ко множеству всех простых чисел. Полученное бесконечное произведение локальных рядов называется эйлеровым произведением функции $f$ :

\prod_{p} (\sum_{k \geq 0} \frac{f (p^{k})}{p^{k s}})

Название произведения — определение. Равенство этого произведения исходному ряду Дирихле уже является следствием мультипликативности и единственности разложения целого числа на простые множители:

При $Re s > 1$ :

\sum_{n \geq 1} \frac{f (n)}{n^{s}} = \prod_{p} (\sum_{k \geq 0} \frac{f (p^{k})}{p^{k s}})

Если равенство $f (m n) = f (m) f (n)$ выполняется для любых $m, n$ , функция называется вполне мультипликативной. Тогда $f (p^{k}) = f (p)^{k}$ , поэтому $k$ -е слагаемое локального ряда после подстановки равно $(f (p) p^{- s})^{k}$ Следовательно, локальный ряд является геометрическим рядом со знаменателем $q = f (p) p^{- s}$ . При $| q | < 1$ применяется формула суммы геометрической прогрессии:

\sum_{k \geq 0} \frac{f (p^{k})}{p^{k s}} = \sum_{k \geq 0} q^{k} = \frac{1}{1 - q} = \frac{1}{1 - f (p) p^{- s}}

Подставляя эту сумму в каждый локальный множитель, получаем

\sum_{n \geq 1} \frac{f (n)}{n^{s}} = \prod_{p} \frac{1}{1 - f (p) p^{- s}}

От дискретной суммы к полюсу при s=1

Применим эйлерово произведение к постоянной функции $f (n) = 1$ . Получим дзета-функцию Римана и одновременно её разложение по простым числам:

При $Re s > 1$ :

ζ (s) = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{s}}

ζ (s) = \prod_{p} \frac{1}{1 - p^{- s}}

Ряд и произведение непосредственно задают $ζ (s)$ только при $Re s > 1$ . Если остаться внутри этой области, нельзя исследовать саму границу сходимости средствами комплексного анализа. Поэтому основная цель — найти другую формулу, совпадающую с рядом при $Re s > 1$ , но имеющую смысл и левее этой прямой. В конечном счёте дзета-функция продолжается мероморфно на всю комплексную плоскость; здесь мы сделаем первый шаг и продолжим её в полуплоскость $Re s > 0$ .

При больших вещественных $s$ веса $n^{- s}$ быстро убывают и сумма сходится. При приближении $s$ к $1$ убывание замедляется, поэтому $ζ (s)$ растёт. Наша задача — найти главную растущую часть и проверить, что останется после её вычитания.

Для сравнения дискретной суммы с площадью введём непрерывную вещественную переменную $t \geq 1$ . Запись $t^{- s}$ означает $1 / t^{s}$ ; при целом $t = n$ она даёт тот же вес $n^{- s}$ , что стоит в ряде. Слагаемое $n^{- s}$ можно считать площадью прямоугольника ширины $1$ и высоты $n^{- s}$ над промежутком $[n, n + 1]$ . Поэтому ряд задаёт ступенчатую площадь, а интеграл — площадь под проходящей через те же целые точки кривой $y = t^{- s}$ .

Начните с показателя два и определите, какая площадь больше на каждом единичном промежутке. Затем уменьшайте показатель к единице. Что происходит с общей площадью и что — с зазорами между ступеньками и кривой?

Сначала считаем $s > 1$ вещественным. Площадь под гладкой кривой вычисляется явно:

\int_{1}^{\infty} t^{- s} d t = \frac{1}{s - 1} (Re s > 1)

Формула справа сразу показывает особенность при $s = 1$ : знаменатель обращается в нуль. Чтобы отделить эту особенность от остальной части дзета-функции, вычтем из каждого прямоугольника площадь под кривой на том же промежутке. Полученная ошибка равна $n^{- s} - \int_{n}^{n + 1} t^{- s} d t$ . Кривая на коротком промежутке меняется медленно: по теореме о среднем модуль этой ошибки ограничен величиной порядка $n^{- Re s - 1}$ . Дополнительная степень $n^{- 1}$ делает сумму ошибок сходящейся уже при $Re s > 0$ :

Собираем сходящуюся сумму ошибок
$ζ (s) - \frac{1}{s - 1} = \sum_{n \geq 1} (n^{- s} - \int_{n}^{n + 1} t^{- s} d t)$
Результат: Обозначаем регулярную часть
$ζ (s) = \frac{1}{s - 1} + φ (s)$

Уменьшайте положительное расстояние до единицы. До каждого шага оцените рост полюсного слагаемого, затем сравните его с ростом самой функции. Почему разность полезнее для наблюдения, чем отношение двух больших значений?

Дзета-функция продолжается в полуплоскость $Re s > 0$ как мероморфная функция с единственным простым полюсом $s = 1$ и вычетом $1$ .

Полюс показывает, что $ζ (s)$ неограниченно растёт при $s \to 1 +$ . Теперь хотим понять, какая часть эйлерова произведения отвечает за этот рост. Для вещественного $s > 1$ все его множители положительны, поэтому можно взять логарифм. Он превращает произведение по простым числам в сумму:

\log ζ (s) = \sum_{p} - \log (1 - p^{- s})

Для $| x | < 1$ известен степенной ряд $- \log (1 - x) = x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + \dots$ Применим его сначала к одному простому числу. Например, множители при $p = 2$ и $p = 3$ дают две параллельные цепочки:

- \log (1 - 2^{- s}) = 2^{- s} + \frac{2^{- 2 s}}{2} + \frac{2^{- 3 s}}{3} + \dots

- \log (1 - 3^{- s}) = 3^{- s} + \frac{3^{- 2 s}}{2} + \frac{3^{- 3 s}}{3} + \dots

В каждой строке первое слагаемое относится к самому простому $p$ , а последующие — к его степеням $p^{2}, p^{3}, \dots$ . Складывая такие строки по всем простым числам, получаем

\log ζ (s) = \sum_{p} \frac{1}{p^{s}} + ψ (s)

ψ (s) = \sum_{p} \sum_{k \geq 2} \frac{1}{k p^{k s}}

Покажем явно, что вторая сумма не растёт при $s \to 1 +$ . Для $s \geq 1$ все её слагаемые положительны и

0 \leq ψ (s) \leq \sum_{p} \sum_{k \geq 2} \frac{1}{p^{k}}

\sum_{p} \sum_{k \geq 2} \frac{1}{p^{k}} = \sum_{p} \frac{p^{- 2}}{1 - p^{- 1}}

\sum_{p} \frac{p^{- 2}}{1 - p^{- 1}} \leq 2 \sum_{p} \frac{1}{p^{2}} \leq 2 \sum_{n \geq 2} \frac{1}{n^{2}} < \infty

Правая граница не зависит от $s$ , поэтому $ψ (s)$ остаётся ограниченной.

Теперь точно вычислим рост логарифма дзета-функции. Вынесем полюс за скобку:

ζ (s) = \frac{1}{s - 1} + φ (s)

ζ (s) = \frac{1 + (s - 1) φ (s)}{s - 1}

Функция $φ (s)$ ограничена около $1$ , поэтому выражение во вторых скобках стремится к $1$ , а его логарифм — к $0$ . Значит,

\log ζ (s) = \log \frac{1}{s - 1} + O (1)

Но $\log ζ (s) = \sum_{p} p^{- s} + ψ (s)$ , а $ψ (s)$ ограничена. Следовательно, весь неограниченный рост остаётся в сумме первых степеней простых чисел:

\sum_{p} \frac{1}{p^{s}} = \log \frac{1}{s - 1} + O (1), s \to 1 +

При $s \to 1 +$ правая часть стремится к бесконечности. Если бы $\sum_{p} 1 / p$ сходился, то $\sum_{p} p^{- s} \leq \sum_{p} 1 / p$ оставалась бы ограниченной при всех $s > 1$ . Полученное противоречие доказывает расходимость суммы обратных простых чисел.

\sum_{p} \frac{1}{p} = \infty

Различать классы вычетов внутри ряда Дирихле

Дзета-функция приписывает каждому положительному целому один и тот же коэффициент $1$ . Поэтому она видит простые числа в совокупности, но не различает, в каком классе вычетов по модулю $m$ лежит простое. Чтобы исследовать классы отдельно, нужен мультипликативный вес, меняющийся вместе с классом вычета.

Такой вес уже дают характеры. Пусть $χ$ — характер по модулю $m$ , продолженный нулём на числа, не взаимно простые с $m$ . Умножим обычный аналитический вес $n^{- s}$ на арифметический вес $χ (n)$ и сложим по всем $n$ . Полученная функция сохраняет сразу две структуры: зависимость от класса вычета хранится в $χ (n)$ , а мультипликативность позволяет по-прежнему разложить ряд в эйлерово произведение.

Механизм даёт второе соотношение ортогональности. Обозначим сумму через

I_{a} (n) = \frac{1}{φ (m)} \sum_{χ mod m} \overset{―}{χ (a)} χ (n)

I_{a} (n) = {\begin{cases} 1 & n \equiv a (\mod m) \\ 0 & n ≢ a (\mod m) \end{cases}

Здесь предполагается, что $a$ и $n$ взаимно просты с $m$ . Поэтому та же линейная комбинация функций, построенных с коэффициентами $χ (n)$ , оставит в ряде только числа одного класса вычетов. Именно для этого вводятся $L$ -функции.

L (s, χ) = \sum_{n \geq 1} \frac{χ (n)}{n^{s}} = \prod_{p} \frac{1}{1 - χ (p) p^{- s}}

Ряд и произведение сходятся абсолютно при $Re s > 1$ .

Для главного характера $χ_{0}$ остаются только числа, взаимно простые с $m$ . Поэтому из эйлерова произведения дзета-функции нужно удалить множители, соответствующие простым делителям $m$ :

L (s, χ_{0}) = ζ (s) \prod_{p ∣ m} (1 - p^{- s})

Конечное произведение справа не обращается в ноль при $s = 1$ . Значит, $L (s, χ_{0})$ наследует простой полюс дзета-функции.

Для нетривиального характера ситуация противоположна. Его сумма за полный период равна нулю, поэтому частичные суммы коэффициентов ограничены. В предыдущей части преобразование Абеля уже дало

L (s, χ) сходится при Re s > 0, χ \neq χ_{0}

В частности, $L (1, χ)$ конечно. Однако эйлерово произведение само по себе доказывает ненулевое значение только при $Re s > 1$ . На границе $s = 1$ нужен новый аргумент.

Получить ряд с неотрицательными коэффициентами

Следующая цель — доказать, что $L (1, χ) \neq 0$ для нетривиального характера. Теорема Ландау могла бы помочь, но она относится к рядам с неотрицательными коэффициентами, тогда как значения одного характера обычно комплексны. Поэтому попробуем перемножить $L$ -функции всех характеров по одному модулю $m$ : симметрия полного набора характеров должна устранить комплексные значения.

Сначала рассмотрим один простой индекс $p ∤ m$ . В эйлеровом произведении функции $L (s, χ)$ ему соответствует локальный множитель $\frac{1}{1 - χ (p) p^{- s}}$ . При перемножении функций по всем характерам нужно понять произведение этих множителей при фиксированном $p$ .

Класс $p$ является элементом конечной группы $G (m) = (Z / m Z)^{\times}$ . Обозначим через $f (p)$ его порядок: это наименьшее положительное $f$ , для которого $p^{f} \equiv 1 (\mod m)$ . Поэтому для любого характера $χ (p)^{f (p)} = χ (p^{f (p)}) = χ (1) = 1$ . Значит, $χ (p)$ всегда является корнем степени $f (p)$ из единицы.

Когда $χ$ пробегает все характеры группы, встречаются все такие корни, причём одинаковое число раз. Из теории двойственной группы это число равно

g (p) = \frac{φ (m)}{f (p)}

Теперь используется простое полиномиальное тождество. Числа $ω$ , для которых $ω^{f} = 1$ , являются всеми корнями многочлена $T^{f} - 1$ , поэтому $\prod_{ω^{f} = 1} (1 - ω T) = 1 - T^{f}$ . Каждый корень среди значений $χ (p)$ повторяется $g (p)$ раз, поэтому произведение по всем характерам равно

Сравните три доступных класса простого числа. Для каждого определите порядок класса, число разных значений характеров и число повторений каждого значения. Как эти два последних числа отражаются в итоговом множителе?

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

\prod_{χ \in \hat{G (m)}} (1 - χ (p) T) = (1 - T^{f (p)})^{g (p)}

В локальном множителе $L$ -функции переменная $T$ равна $p^{- s}$ . После подстановки и обращения произведения получаем локальное тождество:

\prod_{χ \in \hat{G (m)}} \frac{1}{1 - χ (p) p^{- s}} = \frac{1}{(1 - p^{- f (p) s})^{g (p)}}

Повторяя это для каждого простого числа $p ∤ m$ , собираем все $L$ -функции в одну:

Z_{m} (s) = \prod_{χ \in \hat{G (m)}} L (s, χ)

Z_{m} (s) = \prod_{p ∤ m} (1 - p^{- f (p) s})^{- g (p)}

Теперь причина конструкции видна непосредственно. Для целого $g = g (p) \geq 1$ используется разложение

\frac{1}{(1 - X)^{g}} = \sum_{r \geq 0} (\binom{r + g - 1}{g - 1}) X^{r}

Поэтому каждый локальный множитель $Z_{m} (s)$ имеет неотрицательные целые коэффициенты. Следовательно, всё произведение является рядом Дирихле с неотрицательными коэффициентами. Именно к нему в следующем разделе можно будет применить теорему Ландау.

Почему значение нетривиальной L-функции при единице не равно нулю

В произведении $Z_{m} (s)$ главный характер даёт ровно один простой полюс при $s = 1$ . Все остальные $L$ -функции голоморфны в этой точке. Если хотя бы одна из них обращалась бы в ноль, этот нуль уничтожил бы полюс, и $Z_{m} (s)$ стала бы голоморфной при $s = 1$ .

Более того, каждая нетривиальная $L$ -функция голоморфна в полуплоскости $Re s > 0$ , а у главной функции там есть только уже уничтоженный полюс. Значит, при таком предположении $Z_{m} (s)$ была бы голоморфна во всей полуплоскости $Re s > 0$ .

Но $Z_{m} (s)$ имеет неотрицательные коэффициенты. Для такого ряда голоморфное продолжение через вещественную границу невозможно: граница сходимости обязана быть особой точкой. Следовательно, его ряд должен был бы сходиться при каждом вещественном $s > 0$ .

Это противоречит явному нижнему ряду. Поскольку $f (p) \leq φ (m)$ , локальные множители $Z_{m}$ дают коэффициенты не меньше коэффициентов ряда

\sum_{\begin{matrix} n \geq 1 \\ gcd (n, m) = 1 \end{matrix}} \frac{1}{n^{φ (m) s}}

При $s = 1 / φ (m)$ это гармонический ряд по числам, взаимно простым с $m$ , и он расходится. Значит, $Z_{m} (s)$ не может быть голоморфной во всей полуплоскости $Re s > 0$ . Исходное предположение о нуле было неверно.

Для каждого нетривиального характера $χ$ :

L (1, χ) \neq 0

Это ключевой аналитический факт, необходимый для теоремы Дирихле о простых чисел в арифметических прогрессиях. В следующей части характеры выделят один класс вычетов, а логарифмы $L$ -функций превратят это выделение в утверждение о простых числах.

Дзета-функция и L-функции

Разложить глобальную сумму по простым числам

Мультипликативная функция

Какие числа перечисляет конечное произведение

Эйлерово произведение

Разложение мультипликативного ряда

От дискретной суммы к полюсу при s=1

Дзета-функция Римана

Сумма как ступенчатая площадь

Что именно растёт при $s \to 1 +$

Особенность при единице

Сумма обратных простых чисел

Различать классы вычетов внутри ряда Дирихле

L-функция Дирихле

Получить ряд с неотрицательными коэффициентами

Один простой множитель при модуле 5

Произведение при одном простом числе

Произведение L-функций одного модуля

Почему значение нетривиальной L-функции при единице не равно нулю

Ненулевое значение в единице

Разложить глобальную сумму по простым числам

Какие числа перечисляет конечное произведение

От дискретной суммы к полюсу при s=1

Сумма как ступенчатая площадь

Что именно растёт при s→1+

Различать классы вычетов внутри ряда Дирихле

Получить ряд с неотрицательными коэффициентами

Один простой множитель при модуле 5

Почему значение нетривиальной L-функции при единице не равно нулю

Что именно растёт при $s \to 1 +$