Справочник учебника

Обозначения

Единый перечень обозначений, зарегистрированных в этом учебнике.

Перечень обозначений

$f_{χ} (s)$ — Сумма одного характера

f_{χ} (s) = \sum_{p ∤ m} \frac{χ (p)}{p^{s}}

Взвешенная сумма значений характера по простым числам, не делящим модуль $m$ .

$F_{χ} (s)$ — Хвост простых степеней

F_{χ} (s) = \sum_{p ∤ m} \sum_{k \geq 2} \frac{χ (p)^{k}}{k p^{k s}}

Вклады квадратов, кубов и более высоких степеней простых чисел. Эта сумма остаётся ограниченной около $s = 1$ .

$g_{a} (s)$ — Общий вес одного класса

g_{a} (s) = \sum_{p \equiv a (\mod m)} \frac{1}{p^{s}}

Ненормированный общий вес простых чисел из класса $A_{a}$ . После деления на $H (s)$ получается масса $μ_{s} (A_{a})$ .

$H (s)$ — Нормирующая сумма

H (s) = \sum_{p \in P} p^{- s}

Сумма весов всех простых чисел. Деление на $H (s)$ превращает ненормированные веса в вероятностную меру.

$μ_{s}$ — Вероятностная мера при фиксированном s

μ_{s} (A) = \frac{\sum_{p \in A} p^{- s}}{H (s)}, s > 1

Масса множества простых чисел $A$ после нормировки весов $p^{- s}$ . Плотность Дирихле получается только после предела $s \to 1 +$ .

$I_{a} (p)$ — Индикатор класса вычетов

I_{a} (p) = {\begin{cases} 1, & p \equiv a (\mod m), \\ 0, & p ≢ a (\mod m) \end{cases}

Переключатель: равен $1$ , когда простое число $p$ принадлежит классу $a$ по модулю $m$ , и $0$ в противном случае.

$A_{a}$ — Целевой класс простых чисел

A_{a} = {p \in P ∣ p \equiv a (\mod m)}

Множество всех простых чисел, лежащих в классе $a$ по модулю $m$ .

$(\frac{d}{p})$ — Символ Лежандра

(\frac{d}{p}) = {\begin{cases} 1, & d — ненулевой квадрат по модулю p, \\ - 1, & d — неквадрат по модулю p, \\ 0, & p ∣ d \end{cases}

Для нечётного простого числа $p$ символ показывает, является ли $d$ квадратом по модулю $p$ .

$d (A)$ — Естественная плотность

d (A) = lim_{x \to \infty} \frac{# {p \in A ∣ p \leq x}}{π (x)}

Обычная предельная доля простых чисел из $A$ среди всех простых чисел, не превосходящих $x$ .

$ζ (s)$ — Дзета-функция Римана

ζ (s) = \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^{s}} = \prod_{p} \frac{1}{1 - p^{- s}}

Ряд Дирихле постоянной функции $1$ . При $s = 1$ имеет простой полюс.

$φ (s)$ — Регулярная часть дзета-функции

φ (s) = ζ (s) - \frac{1}{s - 1}

Поправка после отделения полюса. Она голоморфна при $Re s > 0$ ; это не функция Эйлера $φ (m)$ .

$ψ (s)$ — Хвост степеней простых чисел

ψ (s) = \sum_{p} \sum_{k \geq 2} \frac{1}{k p^{k s}}

Вклады квадратов, кубов и более высоких степеней простых чисел в $\log ζ (s)$ . Хвост ограничен около $s = 1$ .

$L (s, χ)$ — L-функция Дирихле

L (s, χ) = \sum_{n \geq 1} \frac{χ (n)}{n^{s}} = \prod_{p} \frac{1}{1 - χ (p) p^{- s}}

Ряд Дирихле, коэффициентами которого служат значения характера $χ$ .

$χ_{0}$ — Главный характер

χ_{0} (n) = {\begin{cases} 1, & gcd (n, m) = 1, \\ 0, & gcd (n, m) > 1 \end{cases}

Единичный характер по модулю $m$ , продолженный нулём на необратимые классы.

$G (m)$ — Группа обратимых классов

G (m) = (Z / m Z)^{\times}

Классы вычетов по модулю $m$ , взаимно простые с $m$ , с умножением по модулю $m$ .

$\hat{G (m)}$ — Все характеры по модулю m

\hat{G (m)} = Hom (G (m), C^{\times})

Двойственная группа: полный набор характеров группы обратимых классов.

$φ (m)$ — Функция Эйлера

φ (m) = | G (m) |

Число классов вычетов по модулю $m$ , взаимно простых с $m$ .

$f (p)$ — Порядок простого числа по модулю m

f (p) = min {r \geq 1 ∣ p^{r} \equiv 1 (\mod m)}

Порядок класса $p$ в группе $G (m)$ . Здесь $f$ уже не означает произвольную арифметическую функцию из первого раздела.

$g (p)$ — Кратность каждого корня

g (p) = \frac{φ (m)}{f (p)}

Сколько раз каждый корень степени $f (p)$ встречается среди значений $χ (p)$ всех характеров.

$Z_{m} (s)$ — Произведение L-функций одного модуля

Z_{m} (s) = \prod_{χ \in \hat{G (m)}} L (s, χ)

Общее произведение по всем характерам модуля $m$ . Его ряд Дирихле имеет неотрицательные коэффициенты.

$N (S)$ — Числа из разрешённых простых множителей

N (S) = {n \geq 1 : p ∣ n \Rightarrow p \in S}

Положительные целые числа, в разложении которых используются только простые числа из $S$ .

$gcd (m, n) = 1$ — Взаимно простые числа

gcd (n, m) = 1

У чисел $n$ и $m$ нет общего простого делителя. Иначе говоря, их наибольший общий делитель равен $1$ .

$A (x)$ — Производящая функция последовательности

A (x) = \sum_{n \geq 0} a_{n} x^{n}

Формальный степенной ряд, в котором коэффициент при $x^{n}$ равен $a_{n}$ .

$[x^{n}]$ — Извлечение коэффициента

[x^{n}] A (x) = a_{n}

Оператор $[x^{n}]$ берёт коэффициент при степени $x^{n}$ .

$a * b$ — Свёртка последовательностей

(a * b)_{n} = \sum_{i + j = n} a_{i} b_{j}

Новая последовательность: её $n$ -й элемент собирает произведения по всем разложениям $n = i + j$ .

$Φ$ — Представление последовательности

Φ (a) = \sum_{n} a_{n} e_{n}

Отображение, которое записывает коэффициенты в выбранном базисе и переводит подходящую свёртку в умножение.

$G_{λ, r}$ — Базовая рациональная функция

G_{λ, r} (x) = \frac{1}{(1 - λ x)^{r}}

Один базисный элемент разложения на простейшие дроби. Его коэффициенты имеют явную формулу.

$G_{Q}$ — Базис для знаменателя Q

G_{Q} = {G_{λ_{j}, r} : 1 \leq j \leq s, 1 \leq r \leq m_{j}}

Набор простейших дробей, соответствующих всем корням знаменателя $Q$ и их кратностям.

$ρ_{j, r}$ — Коэффициент простейшей дроби

\frac{R (x)}{Q (x)} = \sum_{j, r} ρ_{j, r} G_{λ_{j}, r} (x)

Координата рациональной функции в базисе $G_{Q}$ .

$\hat{G}$ — Двойственная группа

\hat{G} = Hom (G, C^{\times})

Группа всех характеров группы $G$ ; операция в ней — поточечное умножение.

$1$ — Тривиальный характер

1 (x) = 1 (x \in G)

Характер, который на каждом элементе группы равен единице.

$S_{χ}$ — Сумма значений характера

S_{χ} = \sum_{x \in G} χ (x)

Для нетривиального характера эта сумма равна нулю.

$\hat{f} (χ)$ — Коэффициент Фурье

\hat{f} (χ) = \frac{1}{| G |} \sum_{x \in G} f (x) \overset{―}{χ (x)}

Координата функции $f$ вдоль характера $χ$ .

$δ_{a} (n)$ — Индикатор класса вычетов

δ_{a} (n) = {\begin{cases} 1, & n \equiv a (\mod m), \\ 0, & n ≢ a (\mod m) \end{cases}

Фильтр на равенство по модулю: пропускает только числа из класса $a$ .

$χ_{a}$ — Квадратичный характер

χ_{a} (p) = (\frac{a}{p}) (p ∤ 4 | a |)

Характер, который кодирует, является ли $a$ квадратом по модулю простого числа $p$ .

$χ_{0, m}$ — Главный характер по модулю m

χ_{0, m} (n) = {\begin{cases} 1, & gcd (n, m) = 1, \\ 0, & gcd (n, m) > 1 \end{cases}

Равен единице на обратимых классах и нулю на остальных.

$(a, m) = 1$ — Взаимно простые числа

(a, m) = 1 ⟺ gcd (a, m) = 1

У чисел нет общего простого делителя.

$(\frac{a}{p})$ — Символ Лежандра

(\frac{a}{p}) = {\begin{cases} 1, & a — ненулевой квадрат по модулю p, \\ - 1, & a — неквадрат по модулю p, \\ 0, & p ∣ a \end{cases}

Для нечётного простого числа $p$ показывает, является ли число в числителе квадратом по модулю $p$ .

$a * b$ — Свёртка Дирихле

(a * b) (n) = \sum_{d ∣ n} a (d) b (n / d)

Сумма весов по всем факторизациям числа $n$ .

$1$ — Постоянная арифметическая функция

1 (n) = 1

На каждом положительном целом числе принимает значение $1$ .

$id$ — Тождественная арифметическая функция

id (n) = n

Возвращает само число $n$ .

$μ$ — Функция Мёбиуса

μ (n) = {\begin{cases} 0, & p^{2} ∣ n для некоторого простого числа p, \\ (- 1)^{r}, & n имеет r различных простых делителей \end{cases}

Она обратна постоянной функции $1$ относительно свёртки Дирихле.

$ε$ — Единица свёртки Дирихле

ε (n) = {\begin{cases} 1, & n = 1, \\ 0, & n > 1 \end{cases}

Для любой арифметической функции $a$ выполняется $ε * a = a$ .

$σ_{1}$ — Сумма делителей

σ_{1} (n) = \sum_{d ∣ n} d

Сумма всех положительных делителей числа $n$ .

$φ (n)$ — Функция Эйлера

φ (n) = # {1 \leq k \leq n ∣ gcd (k, n) = 1}

Число классов вычетов по модулю $n$ , взаимно простых с $n$ .

$E_{n}$ — Мультипликативный базис

E_{n} (s) = n^{- s}, E_{m} E_{n} = E_{m n}

Базисный символ с индексом $n$ ; умножение символов воспроизводит умножение индексов.

$D_{a} (s)$ — Ряд Дирихле

D_{a} (s) = \sum_{n \geq 1} a_{n} n^{- s}

Функция, в которой арифметические коэффициенты $a_{n}$ взвешены степенями $n^{- s}$ .

$F (z)$ — Общий ряд Дирихле

F (z) = \sum_{n \geq 1} a_{n} e^{- λ_{n} z}

Обобщение обычного ряда Дирихле: возрастающие числа $λ_{n}$ задают скорости затухания.

$λ_{n}$ — Показатель ряда Дирихле

0 < λ_{1} < λ_{2} < \dots, λ_{n} \to \infty

Положение $n$ -й массы в лапласовской интерпретации и скорость затухания соответствующего слагаемого.

$δ_{λ_{n}}$ — Единичная масса Дирака

δ_{λ_{n}} сосредоточена в точке λ_{n}

Мера, вся масса которой находится в одной точке $λ_{n}$ .

$A_{n}$ — Частичная сумма коэффициентов

A_{n} = a_{1} + \dots + a_{n}

Накопленная сумма первых $n$ коэффициентов. Её ограниченность фиксирует взаимное сокращение слагаемых.

$σ_{c}$ — Абсцисса сходимости

Re z > σ_{c}

Вертикальная граница: справа от неё ряд сходится, слева — нет.

$σ_{a}$ — Абсцисса абсолютной сходимости

\sum_{n} | a_{n} e^{- λ_{n} z} | < \infty при Re z > σ_{a}

Граница области, где сходится ряд из модулей слагаемых.

$Re z$ — Вещественная часть

s = σ + i t ⟹ Re s = σ

Горизонтальная координата комплексного числа.

$C$ — Комбинаторный класс

Градуированное множество рассматриваемых комбинаторных объектов.

$P$ — Класс примитивных объектов

Семейство допустимых строительных блоков комбинаторного разложения.

$Z$ — Целые числа

Кольцо целых чисел.

$C$ — Комплексные числа

Поле комплексных чисел.

$S_{n}$ — Симметрическая группа

Группа перестановок множества из указанного числа элементов.

$\overset{―}{z}$ — Комплексное сопряжение

Комплексное сопряжение значения, функции или характера.

$\mod$ — Сравнение по модулю

Текстовая метка модуля в арифметическом сравнении.

$A$ — Первый комбинаторный класс

Первый из двух переменных комбинаторных классов.

$B$ — Второй комбинаторный класс

Второй из двух переменных комбинаторных классов.

$Hom$ — Множество гомоморфизмов

Множество гомоморфизмов между указанными объектами.

$N$ — Натуральные числа

Множество натуральных чисел.

$Im z$ — Мнимая часть

Мнимая координата комплексного числа.

$\tilde{χ}$ — Продолженный характер

Характер группы единиц, продолженный нулём на необратимые классы.

$(-)^{*}$ — Свободный моноид слов

Операция Клини: множество всех конечных слов над заданным алфавитом.

$(-)^{\times}$ — Группа единиц

Подмножество обратимых элементов кольца или мультипликативной структуры.

Перечень обозначений

fχ(s) — Сумма одного характера

Fχ(s) — Хвост простых степеней

ga(s) — Общий вес одного класса

H(s) — Нормирующая сумма

μs — Вероятностная мера при фиксированном s

Ia(p) — Индикатор класса вычетов

Aa — Целевой класс простых чисел

(dp) — Символ Лежандра

d(A) — Естественная плотность

ζ(s) — Дзета-функция Римана

φ(s) — Регулярная часть дзета-функции

ψ(s) — Хвост степеней простых чисел

L(s,χ) — L-функция Дирихле

χ0 — Главный характер

G(m) — Группа обратимых классов

G(m)^ — Все характеры по модулю m

φ(m) — Функция Эйлера

f(p) — Порядок простого числа по модулю m

g(p) — Кратность каждого корня

Zm(s) — Произведение L-функций одного модуля

N(S) — Числа из разрешённых простых множителей

gcd(m,n)=1 — Взаимно простые числа

A(x) — Производящая функция последовательности

[xn] — Извлечение коэффициента

a∗b — Свёртка последовательностей

Φ — Представление последовательности

Gλ,r — Базовая рациональная функция

GQ — Базис для знаменателя Q

ρj,r — Коэффициент простейшей дроби

G^ — Двойственная группа

1 — Тривиальный характер

Sχ — Сумма значений характера

f^(χ) — Коэффициент Фурье

δa(n) — Индикатор класса вычетов

χa — Квадратичный характер

χ0,m — Главный характер по модулю m

(a,m)=1 — Взаимно простые числа

(ap) — Символ Лежандра

a∗b — Свёртка Дирихле

1 — Постоянная арифметическая функция

id — Тождественная арифметическая функция

μ — Функция Мёбиуса

ε — Единица свёртки Дирихле

σ1 — Сумма делителей

φ(n) — Функция Эйлера

En — Мультипликативный базис

Da(s) — Ряд Дирихле

F(z) — Общий ряд Дирихле

λn — Показатель ряда Дирихле

δλn — Единичная масса Дирака

An — Частичная сумма коэффициентов

σc — Абсцисса сходимости

σa — Абсцисса абсолютной сходимости

Re⁡z — Вещественная часть

C — Комбинаторный класс

P — Класс примитивных объектов

Z — Целые числа

C — Комплексные числа

Sn — Симметрическая группа

z― — Комплексное сопряжение

mod — Сравнение по модулю

A — Первый комбинаторный класс

B — Второй комбинаторный класс

Hom — Множество гомоморфизмов

N — Натуральные числа

Im⁡z — Мнимая часть

χ~ — Продолженный характер

(−)∗ — Свободный моноид слов

(−)× — Группа единиц