Глава 1 · Векторные расслоения

Векторные расслоения

В K-теории каждой точке $x \in X$ сопоставляют векторное пространство $E_{x}$ . Одного набора пространств ${E_{x}}_{x \in X}$ недостаточно: их объединению нужна топология, в которой около каждой точки базы оно линейно отождествляется с произведением $U \times C^{n}$ . Мы построим это определение, опишем склейку локальных координат, сечения, морфизмы и обратный образ, а затем разберём тавтологическое линейное расслоение.

Соглашения

Все векторные пространства конечномерны и комплексны.
$X$ — произвольное топологическое пространство.

Слои и проекция

В геометрии и топологии мы хотим изучать векторные поля: над каждой точкой $x \in X$ выбирается вектор $v_{x}$ . Значения такого поля не обязаны быть касательными векторами или лежать в одном фиксированном пространстве.

Попробуем формализовать такой выбор. Каждой точке $x$ должен быть сопоставлен вектор $v_{x}$ , поэтому поле должно быть отображением с областью определения $X$ . Однако значение $v_{x}$ лежит в векторном пространстве $E_{x}$ , которое зависит от $x$ . Чтобы получить одно пространство значений, соберём все эти пространства в дизъюнктное объединение

E = \underset{x \in X}{∐} E_{x}

Каждый вектор в $E$ помнит, из какого пространства $E_{x}$ он взят. Это задаёт проекцию из объединения обратно в $X$ :

π : E ⟶ X, π (v) = x для v \in E_{x}

E_{x} = π^{- 1} (x)

Сначала двигайте вектор внутри одного слоя, не меняя точку базы. Затем меняйте точку базы при фиксированной координате в слое. В каком из этих опытов должна двигаться проекция?

E = X \times C

0,38

0,45

E

E_{x}

e = (x, v)

π

x

X

Описание текущего рисунка

Положение объектов можно менять с клавиатуры через параметры виджета: стрелками — на один шаг, Home и End — к границам диапазона.

Тотальное пространство E: Область
Выбранный слой E икс: Прямая или отрезок. Управление: Координата x на базе.
База X: Прямая или отрезок
Проекция пи из слоя на базу: Стрелка
Выбранная точка e тотального пространства: Точка. Управление: Координата v в слое.
Точка x на базе: Точка

$e = (x, v), π (e) = x$
$E_{x} = π^{- 1} (x) = {x} \times C$

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Теперь векторное поле записывается одним отображением

s : X ⟶ E, s (x) = v_{x}

π \circ s = {id}_{X}

Равенство $π \circ s = {id}_{X}$ означает, что $s (x)$ действительно лежит в пространстве $E_{x}$ над исходной точкой $x$ . После того как на $E$ будет задана топология, непрерывное отображение такого вида будет называться сечением (section) проекции $π$ .

Итак, выбор векторов из разных пространств $E_{x}$ удалось записать одним отображением в их объединение. Чтобы различать непрерывно и разрывно меняющиеся выборы, осталось понять, какую топологию следует задать на $E$ .

Векторные расслоения

Теперь наша цель — добиться, чтобы в окрестности каждой точки векторное поле задавалось обычной функцией со значениями в одном фиксированном векторном пространстве, а непрерывность поля была равносильна непрерывности этой функции. Сначала рассмотрим случай, где общие координаты заданы сразу на всём $X$ .

Пусть $V$ — одно фиксированное векторное пространство. В произведении $X \times V$ координата $v \in V$ имеет один смысл над каждой точкой $X$ . Проекция забывает эту координату:

π : X \times V ⟶ X, π (x, v) = x

(X \times V)_{x} = {x} \times V ≅ V

Произведение даёт образец пространства, в котором все слои имеют общие линейные координаты. Требовать такую систему координат сразу на всём $X$ слишком жёстко. В определении расслоения мы потребуем те же координаты лишь в окрестности каждой точки.

Отображение $π : E \to X$ называется комплексным векторным расслоением, если для каждой точки $x \in X$ существуют открытая окрестность $U$ , число $n \geq 0$ и гомеоморфизм

τ_{U} : π^{- 1} (U) \overset{≅}{\to} U \times C^{n}

который коммутирует с проекциями на $U$ и на каждом слое задаёт линейный изоморфизм $E_{y} ≅ C^{n}$ .

Пространство $X$ называется базой расслоения, $E$ — его тотальным пространством, а $π$ — проекцией.

Такой гомеоморфизм называется локальной тривиализацией (local trivialization). Обозначение $E |_{U} = π^{- 1} (U) \to U$ означает ограничение расслоения на $U$ . В локальной тривиализации вектор из $E_{y}$ получает координату в $C^{n}$ , но при переходе в другую тривиализацию эта координата может измениться.

Для поля $s$ над $U$ локальная тривиализация даёт единственную координатную функцию $f_{U} : U \to C^{n}$ такую, что

τ_{U} (s (x)) = (x, f_{U} (x))

s |_{U} непрерывно ⟺ f_{U} непрерывна

Именно это свойство нам было нужно: локально непрерывное поле становится обычной непрерывной функцией со значениями в одном векторном пространстве.

Число $\dim_{C} E_{x}$ локально постоянно: в одной тривиализующей окрестности оно равно одному и тому же $n$ . Эта локально постоянная функция называется рангом расслоения:

rk E (x) = \dim_{C} E_{x}

На связной базе ранг постоянен. На разных связных компонентах он может различаться. Фраза «расслоение ранга $n$ » означает, что все его слои имеют комплексную размерность $n$ .

Функции перехода

Тривиализации расслоения ранга $n$ над областями $U_{i}$ и $U_{j}$ отождествляют его ограничения с двумя локальными произведениями. На пересечении $U_{i j} = U_{i} \cap U_{j}$ эти произведения описывают одни и те же векторы, поэтому нужно определить, какие координаты в них соответствуют друг другу. Сравним тривиализации $τ_{i}$ и $τ_{j}$ : отображение $τ_{j} \circ τ_{i}^{- 1}$ сохраняет точку $x$ и линейно меняет координату $v$ , поэтому имеет вид

τ_{j} τ_{i}^{- 1} (x, v) = (x, g_{j i} (x) v)

g_{j i} : U_{i j} ⟶ G L_{n} (C)

Непрерывное отображение $g_{j i}$ называется функцией перехода (transition function) из координат $i$ в координаты $j$ . Его значения обратимы, поскольку $τ_{j} \circ τ_{i}^{- 1}$ является линейным изоморфизмом на каждом слое.

{id}_{U_{i j}}

g_{j i}

≅

π

π

Объекты и связи диаграммы

пересечение карт под первой тривиализацией: Общая область базы, на которой одновременно определены обе системы координат.
пересечение карт под второй тривиализацией: Та же область базы: смена координат не перемещает точку основания.
локальные координаты в карте i: Описание ограничения расслоения в координатах тривиализации $τ_{i}$ .
локальные координаты в карте j: То же ограничение расслоения в координатах тривиализации $τ_{j}$ .
тождественное отображение пересечения карт: От «пересечение карт под первой тривиализацией» к «пересечение карт под второй тривиализацией».Функция перехода меняет только координаты внутри слоя.
смена локальных координат: От «локальные координаты в карте i» к «локальные координаты в карте j».Оператор $g_{j i} (x)$ переводит координаты одного и того же вектора из карты $i$ в карту $j$ .
проекция первой локальной модели: От «локальные координаты в карте i» к «пересечение карт под первой тривиализацией».Забывает координату вектора и оставляет точку базы.
проекция второй локальной модели: От «локальные координаты в карте j» к «пересечение карт под второй тривиализацией».После смены координат возвращает ту же точку базы.

Коммутативность диаграммы выражает главное свойство смены координат: она не перемещает точку базы.

Тождественный переход, обратный переход и последовательная смена трёх систем координат должны согласовываться с обычными операциями над отображениями. Поэтому функции перехода удовлетворяют условиям

g_{i i} (x) = I

g_{i j} (x) = g_{j i} (x)^{- 1}

g_{k i} (x) = g_{k j} (x) g_{j i} (x)

Последнее равенство выполняется на тройном пересечении и называется условием коцикла. Оно говорит, что переход из карты $i$ в карту $k$ не зависит от того, прошли ли мы через карту $j$ .

Склейка по функциям перехода

Обратно, пусть даны открытое покрытие ${U_{i}}$ и непрерывные функции $g_{j i}$ , удовлетворяющие трём условиям выше. Склеим дизъюнктное объединение локальных произведений по правилу

(x, v)_{i} \sim (x, g_{j i} (x) v)_{j}

E = (\underset{i}{∐} U_{i} \times C^{n}) / \sim

Три условия делают $\sim$ отношением эквивалентности: тождественный переход даёт рефлексивность, обратный — симметричность, а условие коцикла — транзитивность. Пусть $E$ — множество классов эквивалентности. Наделим его фактор-топологией: множество в $E$ открыто тогда и только тогда, когда его полный прообраз в дизъюнктном объединении открыт.

Над каждой областью $U_{i}$ класс эквивалентности имеет единственного представителя в координатах $i$ . Это отождествляет $E |_{U_{i}}$ с $U_{i} \times C^{n}$ и даёт локальную тривиализацию построенного расслоения.

При замене тривиализаций функции перехода меняются, но новая склейка даёт изоморфное расслоение. Поэтому сами функции перехода — координатные данные, а не канонический инвариант расслоения.

Итак, выбранные тривиализации любого расслоения дают функции перехода, удовлетворяющие трём условиям согласованности. Обратно, любая такая система функций склеивает локальные произведения в расслоение. Значит, функции перехода содержат ровно те данные, которые нужны для отождествления локальных координат на пересечениях.

В следующей части применим это описание к расслоению, в котором слой определяется самой точкой базы.

Тавтологическое линейное расслоение

Пусть $V = C^{m}$ , где $m \geq 1$ . Комплексное проективное пространство $P (V)$ состоит из одномерных комплексных подпространств $ℓ \subseteq V$ . Прямую, порождённую ненулевым вектором $z = (z_{1}, \dots, z_{m})$ , обозначают $[z_{1} : \dots : z_{m}]$ . Обычную топологию на $P (V)$ задают проективные карты: при $z_{i} \neq 0$ отношения $z_{j} / z_{i}$ служат координаты точки.

Раз точка базы уже является прямой, естественно взять эту же прямую в качестве слоя.

H = {(ℓ, v) \in P (V) \times V ∣ v \in ℓ}

π (ℓ, v) = ℓ, H_{ℓ} = ℓ

На $H$ берётся топология подпространства в $P (V) \times V$ .

Проверим, что эта конструкция действительно локально тривиальна. В однородных координатах положим

U_{i} = {[z_{1} : \dots : z_{m}] \in P (V) ∣ z_{i} \neq 0}

У каждой прямой $ℓ \in U_{i}$ есть единственный вектор $u_{i} (ℓ) \in ℓ$ с $i$ -й координатой, равной единице. В проективной карте его координаты равны

u_{i} (ℓ) = (\frac{z_{1}}{z_{i}}, \dots, 1, \dots, \frac{z_{m}}{z_{i}})

Отображение $(ℓ, λ) \mapsto (ℓ, λ u_{i} (ℓ))$ задаёт гомеоморфизм $U_{i} \times C ≅ H |_{U_{i}}$ и линейно отождествляет каждый слой с $C$ . Обратное отображение отправляет $(ℓ, v)$ в $(ℓ, v_{i})$ , где $v_{i}$ — $i$ -я координата $v$ ; оно непрерывно. Следовательно, построенные отображения являются взаимно обратными локальными тривиализациями.

На пересечении двух карт координата вектора меняется по правилу

λ_{j} = \frac{z_{j}}{z_{i}} λ_{i}

Множитель $z_{j} / z_{i}$ является функцией перехода со значениями в $C^{\times} = G L_{1} (C)$ . На тройном пересечении выполняется $(z_{k} / z_{j}) (z_{j} / z_{i}) = z_{k} / z_{i}$ , поэтому функции перехода удовлетворяют условию коцикла. Итак, $H \to P (V)$ является комплексным линейным расслоением.

Сечения

Сечение $s : X \to E$ является глобальным отображением, тогда как тривиализации расслоения заданы лишь локально. Поэтому нужно определить, когда набор локальных координат задаёт одно сечение на всём $X$ . Пусть расслоение $E \to X$ задано тривиализациями $τ_{i}$ над областями $U_{i}$ . В каждой такой области сечение $s$ записывается в виде $τ_{i} (s (x)) = (x, v_{i} (x))$ для непрерывной функции $v_{i} : U_{i} \to C^{n}$ . На пересечении карт координаты одного глобального сечения обязаны удовлетворять

v_{j} (x) = g_{j i} (x) v_{i} (x)

Обратно, семейство непрерывных функций $v_{i}$ , удовлетворяющих этому равенству, задаёт единственное глобальное сечение: на $U_{i}$ положим $s (x) = τ_{i}^{- 1} (x, v_{i} (x))$ . Условие согласованности гарантирует, что на пересечениях областей эти определения совпадают.

Итак, задать глобальное сечение равносильно тому, чтобы задать на каждой области $U_{i}$ непрерывную функцию $v_{i} : U_{i} \to C^{n}$ и выполнить на всех пересечениях условие $v_{j} = g_{j i} v_{i}$ . Набор всех сечений обозначается $Γ (E)$ .

Если все $v_{i}$ тождественно равны нулю, условие согласованности выполняется автоматически, поскольку функции перехода линейны. Так получается каноническое нулевое сечение $0_{X} (x) = 0 \in E_{x}$ .

Сложение и умножение на скаляр определяются в каждом слое. В локальных координатах это обычные операции над функциями:

(s + t) (x) = s (x) + t (x)

(λ s) (x) = λ s (x)

Линейность функций перехода гарантирует, что результаты снова удовлетворяют условию согласованности. Поэтому $Γ (E)$ является комплексным векторным пространством. Таким образом, сечения можно строить и проверять локально, если их координатные функции согласованы переходами расслоения.

Морфизмы векторных расслоений

Пусть $E \to X$ и $F \to X$ — векторные расслоения над одной базой. Семейство линейных отображений $φ_{x} : E_{x} \to F_{x}$ должно собираться в одно непрерывное отображение тотальных пространств. После определения такого отображения выясним, достаточно ли обратимости всех $φ_{x}$ , чтобы получить изоморфизм расслоений.

Морфизмом $φ : E \to F$ над $X$ называется непрерывное отображение, для которого

π_{F} \circ φ = π_{E}

φ_{x} : E_{x} ⟶ F_{x}

Отображение $φ_{x}$ линейно для каждого $x$ .

Изоморфизм расслоений — это морфизм, имеющий обратный морфизм.

В локальных тривиализациях рангов $r$ и $s$ такой морфизм задаётся непрерывным отображением в пространство матриц:

φ (x, v) = (x, A (x) v)

A : U ⟶ Hom (C^{r}, C^{s}) непрерывно

Глобальной матрицы без глобальных тривиализаций обычно нет. Но локальные матрицы описывают один и тот же $φ$ и потому согласуются с функциями перехода исходного и целевого расслоений.

Морфизм конечномерных векторных расслоений $φ : E \to F$ над $X$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда каждое отображение

φ_{x} : E_{x} \overset{≅}{\to} F_{x}

является линейным изоморфизмом.

Действительно, в совместимых локальных координатах матрица $A (x)$ тогда обратима для каждого $x$ . Множество обратимых матриц открыто, а отображение $A \mapsto A^{- 1}$ непрерывно. Поэтому локальные обратные матрицы непрерывно зависят от точки и склеиваются в обратный морфизм $F \to E$ .

Итак, для конечномерных векторных расслоений непрерывность обратного отображения не нужно проверять отдельно: морфизм является изоморфизмом ровно тогда, когда он является линейным изоморфизмом на каждом слое.

Обратный образ векторного расслоения

До сих пор морфизм сравнивал расслоения над одной базой и сопоставлял слои с одинаковым индексом. Если база меняется, сначала нужно определить, какой старый слой должен оказаться над каждой новой точкой.

Пусть $f : Y \to X$ непрерывно и $E \to X$ — векторное расслоение. Мы хотим получить расслоение над $Y$ , слой которого в точке $y$ является канонической копией $E_{f (y)}$ . Для этого запомним одновременно новую точку и старый вектор.

f^{*} E = {(y, e) \in Y \times E ∣ f (y) = π (e)}

На $f^{*} E$ берётся топология подпространства в $Y \times E$ и проекция $p (y, e) = y$ . Векторные операции выполняются над фиксированным $y$ во второй координате.

Кроме проекции $p : f^{*} E \to Y$ , есть каноническое отображение $\tilde{f} : f^{*} E \to E$ , заданное формулой $\tilde{f} (y, e) = e$ . По определению обратного образа выполняется $π \circ \tilde{f} = f \circ p$ , поэтому следующий квадрат коммутативен.

f

\tilde{f}

p

π

Объекты и связи диаграммы

новая база: Пространство, над которым строится $f^{*} E$ .
исходная база: База исходного расслоения $E$ .
тотальное пространство обратного образа: Над точкой $y$ содержит копию слоя $E_{f (y)}$ .
тотальное пространство исходного расслоения: Расслоение, слои которого переносятся на новую базу.
отображение смены базы: От «новая база» к «исходная база».Определяет, какой исходный слой поставить над каждой точкой новой базы.
каноническое отображение обратного образа в исходное расслоение: От «тотальное пространство обратного образа» к «тотальное пространство исходного расслоения».Забывает новую метку $y$ и сохраняет вектор $e \in E_{f (y)}$ .
проекция обратного образа: От «тотальное пространство обратного образа» к «новая база».Забывает вектор и возвращает точку новой базы.
проекция исходного расслоения: От «тотальное пространство исходного расслоения» к «исходная база».Забывает вектор исходного расслоения.

Отображение $e \mapsto (y, e)$ даёт канонический линейный изоморфизм

(f^{*} E)_{y} ≅ E_{f (y)}

Если $E |_{U} ≅ U \times C^{n}$ , то над $f^{- 1} (U)$ та же координата вектора задаёт тривиализацию $(f^{*} E) |_{f^{- 1} (U)} ≅ f^{- 1} (U) \times C^{n}$ . Поэтому обратный образ векторного расслоения снова является векторным расслоением.

Конструкция согласована с последовательной сменой базы. Если $g : Z \to Y$ непрерывно, то

g^{*} (f^{*} E) \overset{≅}{\to} (f \circ g)^{*} E

(z, (g (z), e)) ⟼ (z, e)

Для включения $i : Y ↪ X$ получаем канонический изоморфизм $i^{*} E ≅ E |_{Y}$ . Таким образом, ограничение на подпространство — частный случай обратного образа.

Морфизмы над разными базами

Теперь можно сравнить расслоения над разными базами без нового принципа. Пусть $E \to X$ , $F \to Y$ и непрерывное отображение $h : X \to Y$ . Морфизм над $h$ — это непрерывное отображение $φ : E \to F$ с двумя свойствами:

π_{F} \circ φ = h \circ π_{E}

φ_{x} : E_{x} ⟶ F_{h (x)} линейно

h

π_{E}

π_{F}

φ

Объекты и связи диаграммы

исходная база: Пространство, над точками которого расположены исходные слои.
тотальное пространство исходного расслоения: Исходное векторное расслоение с проекцией $π_{E}$ .
целевая база: Пространство, над точками которого расположены целевые слои.
тотальное пространство целевого расслоения: Целевое векторное расслоение с проекцией $π_{F}$ .
отображение баз: От «исходная база» к «целевая база».Указывает, в какой целевой слой должен попасть исходный слой.
проекция исходного расслоения: От «тотальное пространство исходного расслоения» к «исходная база».Возвращает точку, над которой лежит исходный вектор.
проекция целевого расслоения: От «тотальное пространство целевого расслоения» к «целевая база».Возвращает точку, над которой лежит образ вектора.
отображение тотальных пространств: От «тотальное пространство исходного расслоения» к «тотальное пространство целевого расслоения».Переводит слой $E_{x}$ линейно в слой $F_{h (x)}$ .

Первое условие отправляет каждый исходный слой в правильный целевой слой; второе задаёт там линейный оператор. Эквивалентно, такой морфизм является морфизмом над $X$ из $E$ в обратный образ $h^{*} F$ :

e ⟼ (π_{E} (e), φ (e)) \in h^{*} F

Обратно, морфизм $ψ : E \to h^{*} F$ даёт морфизм над $h$ после композиции с каноническим отображением $\tilde{h} : h^{*} F \to F$ . Подъём $φ \mapsto (π_{E}, φ)$ и композиция $ψ \mapsto \tilde{h} \circ ψ$ взаимно обратны.

При $X = Y$ и $h = {id}_{X}$ это ровно уже определённый морфизм над одной базой.

Векторные расслоения

Соглашения

Слои и проекция

Слой как полный прообраз

Векторные расслоения

Векторное расслоение (vector bundle)

Функции перехода

Склейка по функциям перехода

Тавтологическое линейное расслоение

Тавтологическое линейное расслоение (tautological line bundle)

Сечения

Морфизмы векторных расслоений

Морфизм векторных расслоений

Послойный критерий изоморфизма

Обратный образ векторного расслоения

Обратный образ (pullback)

Морфизмы над разными базами