Глава 3 · Подрасслоения, факторы и дополнения

Подрасслоения, факторы и дополнения

Предыдущая глава построила расслоения с помощью операций вроде прямой суммы и внешней степени: ранг результата каждой такой операции заранее определяется рангами исходных расслоений. Для ядра и образа конкретного морфизма это уже неверно — их размерности могут меняться от точки к точке. Здесь мы найдём точное условие, при котором семейство подпространств $F_{x} \subseteq E_{x}$ образует подрасслоение, построим фактор $E / F$ и применим результат к ядрам, образам и коядрам морфизмов локально постоянного ранга. Затем проекторы опишут уже выбранные глобальные дополнения, а эрмитова метрика выделит среди них ортогональное.

Векторные подрасслоения

Теперь сформулируем, какого условия не хватало в примере из конца предыдущей главы. Одного послойного включения $F_{x} \subseteq E_{x}$ недостаточно: подпространствам нужны локальные координаты, совместимые с топологией окружающего расслоения. Пусть $E \to X$ — векторное расслоение с проекцией $π : E \to X$ , а $F \subseteq E$ . Положим $F_{x} = F \cap E_{x}$ .

Подмножество $F \subseteq E$ называется векторным подрасслоением (vector subbundle), если с индуцированной из $E$ топологией и проекцией $π |_{F} : F \to X$ оно является векторным расслоением, а каждый слой $F_{x}$ — линейным подпространством $E_{x}$ .

Локальная тривиализация такого $F$ даёт непрерывные сечения $s_{1}, \dots, s_{r} : U \to E$ , значения которых в каждой точке $y \in U$ образуют базис $F_{y}$ . Поэтому вектор подрасслоения задаётся обычными непрерывными координатами:

(y, a_{1}, \dots, a_{r}) ⟼ \sum_{j = 1}^{r} a_{j} s_{j} (y) \in F_{y}

Например, если $W \subseteq C^{n}$ — фиксированное подпространство, то $X \times W$ является подрасслоением $X \times C^{n}$ : один и тот же базис этого подпространства работает над всей базой. Для семейства $\ker A_{t}$ такого локального базиса около нуля нет, поскольку число базисных векторов должно было бы измениться при $t = 0$ .

Для построения фактора нужны координаты на всём $E$ , в которых каждый вектор из $F$ имеет вид $(a_{1}, \dots, a_{s}, 0, \dots, 0)$ . Прибавление такого вектора меняет первые $s$ координат, но не меняет остальные; поэтому последние могут описывать класс по модулю $F$ . Чтобы получить такие координаты, нужно доказать, что около каждой точки у $F$ есть дополнение. Сначала установим более общий способ получить такое разложение.

Пусть морфизм расслоений $φ : D \to E$ над $X$ инъективен в каждом слое, то есть каждое $φ_{x} : D_{x} \to E_{x}$ инъективно. Тогда

im φ = \underset{x \in X}{∐} im φ_{x}

является подрасслоением $E$ , а морфизм $D \to im φ$ — изоморфизмом расслоений. Более того, около каждой точки существуют окрестность $U$ и подрасслоение $G \subseteq E |_{U}$ такое, что

E |_{U} ≅ im φ |_{U} \oplus G

Зафиксируем точку $x \in X$ и выберем общую окрестность $U$ , на которой $D$ и $E$ тривиальны. В слое $E_{x}$ выберем линейное дополнение $W$ к $φ_{x} (D_{x})$ . В выбранной тривиализации $E |_{U}$ это фиксированное пространство задаёт постоянное подрасслоение $G = U \times W$ . Поскольку $φ_{x}$ инъективно,

\dim W = \dim E_{x} - \dim D_{x}

\dim (D_{x} \oplus W) = \dim E_{x}

Поэтому следующий морфизм задаётся квадратной матрицей:

Ψ : D |_{U} \oplus G ⟶ E |_{U}, (d, g) ⟼ φ (d) + g

В слое над $x$ это изоморфизм по выбору $W$ . В локальных координатах его матрица непрерывно зависит от точки базы. Её определитель ненулевой в точке $x$ , а значит, после уменьшения $U$ остаётся ненулевым во всей окрестности. Поэтому $Ψ$ является изоморфизмом расслоений. Первое слагаемое его области отождествляется с $im φ |_{U}$ , что доказывает утверждение.

Теперь применим его к включению $F ↪ E$ . Это морфизм расслоений, инъективный в каждом слое, поэтому доказанная теорема даёт главный результат части.

Пусть $F \subseteq E$ и каждое $F_{x}$ является линейным подпространством $E_{x}$ . Тогда $F$ является подрасслоением в точности тогда, когда около каждой точки существует тривиализация $τ : E |_{U} \to U \times C^{n}$ и фиксированное подпространство $W \subseteq C^{n}$ такие, что

τ (F |_{U}) = U \times W

Для подрасслоения это условие равносильно существованию около каждой точки дополнения $G \subseteq E |_{U}$ и разложения

E |_{U} ≅ F |_{U} \oplus G

Именно это разложение понадобится дальше: дополнение $G$ даст локальные координаты фактору по $F$ .

Факторы по подрасслоениям

Пусть $F \subseteq E$ — подрасслоение. В одном слое будем считать векторы $e, e^{'} \in E_{x}$ эквивалентными, если их разность лежит в $F_{x}$ :

e \sim e^{'} ⟺ e - e^{'} \in F_{x}

Объединим послойные фактор-пространства в множество

E / F = \underset{x \in X}{∐} E_{x} / F_{x}

и обозначим класс вектора $e$ через $[e]$ . Сюръекция

q : E ⟶ E / F, q (e) = [e]

задаёт на $E / F$ фактор-топологию (quotient topology): множество $A \subseteq E / F$ открыто тогда и только тогда, когда $q^{- 1} (A)$ открыто в $E$ .

Эквивалентные векторы лежат в одном слое, поэтому проекция $π : E \to X$ принимает на них одно значение. Следовательно, она задаёт отображение

\bar{π} : E / F ⟶ X, \bar{π} ([e]) = π (e)

Оно непрерывно: равенство $\bar{π} \circ q = π$ и определение фактор-топологии сводят проверку непрерывности $\bar{π}$ к уже известной непрерывности $π$ . Пока мы получили топологическое пространство над $X$ , слой которого над $x$ равен $E_{x} / F_{x}$ . Остаётся доказать локальную тривиальность.

Зафиксируйте координату класса и двигайте представителя вдоль подпространства. Затем измените поперечную координату. Какое движение сохраняет образ в факторе? Отдельно проверьте нулевой класс.

q_{x} : E_{x} \to E_{x} / F_{x}

0,55

0,58

E_{x}

F_{x}

e + F_{x}

(E / F)_{x}

[e]

q_{x}

e

Описание текущего рисунка

Положение объектов можно менять с клавиатуры через параметры виджета: стрелками — на один шаг, Home и End — к границам диапазона.

Слой E икс: Область
Подпространство F икс: Прямая или отрезок
Смежный класс e плюс F икс: Прямая или отрезок
Фактор-пространство E икс по F икс: Прямая или отрезок
Фактор-отображение q икс: Стрелка. Начало: точка на объекте «Смежный класс e плюс F икс». Конец: Класс выбранного вектора.
Класс выбранного вектора: Точка
Выбранный представитель: Точка. Управление: Вдоль Fₓ и Координата класса.

q_{x} (e + f) = q_{x} (e), f \in F_{x}

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Если $F \subseteq E$ — подрасслоение, то построенная проекция $\bar{π} : E / F \to X$ является векторным расслоением. Его называют фактор-расслоением (quotient bundle), а $q : E \to E / F$ — каноническим сюръективным морфизмом расслоений.

Зафиксируем точку базы и выберем вокруг неё окрестность $U$ с разложением из предыдущей части:

E |_{U} ≅ F |_{U} \oplus G

В этих координатах определена непрерывная проекция на второе слагаемое

p_{G} : E |_{U} ⟶ G, p_{G} (f + g) = g

Она принимает одинаковые значения на векторах, которые отличаются на элемент $F$ . Поскольку $U$ открыто, а $\bar{π}$ непрерывно, множество $(E / F) |_{U} = {\bar{π}}^{- 1} (U)$ открыто в $E / F$ . Его полный прообраз при $q$ равен $E |_{U} = q^{- 1} ((E / F) |_{U})$ , ограничение $q_{U} : E |_{U} \to (E / F) |_{U}$ поэтому остаётся фактор-отображением. Для него отображение из $(E / F) |_{U}$ непрерывно в точности тогда, когда его композиция с $q_{U}$ непрерывна. Так как $p_{G}$ непрерывно и постоянно на классах эквивалентности, оно единственным образом задаёт непрерывное отображение

{\bar{p}}_{G} : (E / F) |_{U} ⟶ G, {\bar{p}}_{G} ([f + g]) = g

для которого ${\bar{p}}_{G} \circ q_{U} = p_{G}$ . Оно обратно к ограничению $q |_{G} : G \to (E / F) |_{U}$ , поскольку

{\bar{p}}_{G} \circ (q |_{G}) = {id}_{G}

Применяем определения
$(q |_{G}) ({\bar{p}}_{G} ([f + g])) = q (g)$
Результат: Возвращаем исходный класс
$q (g) = q (f + g) = [f + g]$

Следовательно, отображения ${\bar{p}}_{G}$ и $q |_{G} : G \to (E / F) |_{U}$ взаимно обратны и линейны в каждом слое. Значит, $q |_{G}$ переносит локальные координаты $G$ на $(E / F) |_{U}$ и доказывает локальную тривиальность фактор-расслоения.

Обозначим включение через $i : F ↪ E$ . В каждом слое $i_{x}$ инъективно, $q_{x}$ сюръективно и $\ker q_{x} = im i_{x} = F_{x}$ . Эти равенства записываются одной последовательностью:

0 ⟶ F \overset{i}{\to} E \overset{q}{\to} E / F ⟶ 0

Последовательность, точная в каждом слое, называется короткой точной последовательностью (short exact sequence). Из размерностей её членов следует

rk (E / F) (x) = rk E (x) - rk F (x)

Дополнение $G$ использовалось только для доказательства локальной тривиальности. Множество $E / F$ , его топология, проекция $\bar{π}$ и морфизм $q$ были определены до выбора $G$ и от этого выбора не зависят.

Чтобы так же собрать в расслоение послойные коядра произвольного морфизма, нужно сначала убедиться, что его послойный образ является подрасслоением. Следующая часть даст для этого проверяемое условие.

Ядра, образы и коядра морфизмов

Для морфизма $φ : E \to F$ определим послойное коядро формулой $coker φ_{x} = F_{x} / im φ_{x}$ . Размеры ядра, образа и коядра определяются одним числом:

\dim \ker φ_{x} = \dim E_{x} - rk φ_{x}

\dim im φ_{x} = rk φ_{x}

\dim coker φ_{x} = \dim F_{x} - rk φ_{x}

Морфизм $φ : E \to F$ имеет локально постоянный ранг, если функция $x \mapsto rk φ_{x}$ локально постоянна на $X$ . На разных связных компонентах её значения могут различаться.

Для произвольного морфизма положим

\ker φ = \underset{x \in X}{∐} \ker φ_{x}

im φ = \underset{x \in X}{∐} im φ_{x}

coker φ = \underset{x \in X}{∐} F_{x} / im φ_{x}

Ядро и образ получают топологии подпространств из $E$ и $F$ , а коядро — фактор-топологию из $F$ . Теперь можно сформулировать точный критерий.

Если $φ$ имеет локально постоянный ранг, то $\ker φ$ и $im φ$ являются подрасслоениями, а $coker φ$ — векторным расслоением. Обратно, если хотя бы одно из этих трёх послойных объединений является расслоением с указанной топологией, то ранг $φ$ локально постоянен. При выполнении этих условий отображение

\bar{φ} : E / \ker φ ⟶ im φ, [e] ⟼ φ (e)

является изоморфизмом векторных расслоений.

Докажем достаточность около точки $x \in X$ . Выберем окрестность $U$ с тривиализациями $E |_{U} ≅ U \times C^{m}$ и $F |_{U} ≅ U \times C^{n}$ . В них $φ$ задаётся непрерывной матрицей $A (y)$ . После уменьшения $U$ её ранг равен одному числу $r$ во всех точках.

Выберем невырожденный минор размера $r$ в точке $x$ . Поблизости он остаётся невырожденным. Исключение строк и столбцов с использованием обратной к этому минору матрицы непрерывно зависит от $y$ и приводит $A (y)$ к блочному виду. Нижний блок обязан быть нулевым, иначе ранг был бы больше $r$ :

A (y) \sim (\begin{matrix} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

Знак $\sim$ означает непрерывную смену базисов в области определения и области значений. В новых координатах послойные пространства не зависят от $y$ :

\ker A (y) = 0 \oplus C^{m - r}

im A (y) = C^{r} \oplus 0

coker A (y) ≅ C^{n - r}

Первые две постоянные координатные модели дают локальные тривиализации ядра и образа. Для коядра проекция на последние $n - r$ координат индуцирует, как в предыдущей части, локальную тривиализацию фактор-топологии. В тех же координатах $\bar{φ}$ является тождественным отображением на первых $r$ координатах, поэтому это изоморфизм расслоений.

Необходимость следует из формул размерностей в начале части. Если расслоением является ядро, образ или коядро, его ранг локально постоянен; соответствующая формула тогда заставляет $rk φ_{x}$ быть локально постоянным.

Сцена сравнивает семейство постоянного ранга

A_{t} = (\begin{matrix} 1 & t \\ 0 & 0 \end{matrix}), \ker A_{t} = ⟨ (- t, 1) ⟩

im A_{t} = ⟨ e_{1} ⟩, rk A_{t} = 1

с семейством $diag (1, t)$ , ранг которого падает при $t = 0$ . Коэффициенты обеих матриц непрерывны; различие состоит именно в локальном постоянстве ранга.

В каждом семействе сравните отрицательный параметр, ровно нуль и положительный параметр. До выбора нуля предскажите размерности ядра и образа. Объясните, почему непрерывности матричных коэффициентов недостаточно для постоянства этих размерностей.

0,55

E_{t}

F_{t}

e_{1}

e_{2}

A_{t}

a_{1}

a_{2}

k e r A_{t}

i m A_{t}

Описание текущего рисунка

Слой E t: Область
Слой F t: Область
Горизонтальная ось E t: Прямая или отрезок
Вертикальная ось E t: Прямая или отрезок
Горизонтальная ось F t: Прямая или отрезок
Вертикальная ось F t: Прямая или отрезок
Ядро A t: Прямая или отрезок
Образ A t: Прямая или отрезок. Начало: точка на объекте «Горизонтальная ось F t». Конец: точка на объекте «Горизонтальная ось F t».
Базисный вектор e один: Стрелка. Начало: точка на объекте «Горизонтальная ось E t». Конец: точка на объекте «Горизонтальная ось E t».
Базисный вектор e два: Стрелка. Начало: точка на объекте «Горизонтальная ось E t». Конец: точка на объекте «Вертикальная ось E t».
Линейное отображение семейства: Стрелка
Образ первого базисного вектора: Стрелка. Начало: точка на объекте «Горизонтальная ось F t». Конец: точка на объекте «Горизонтальная ось F t».
Образ второго базисного вектора: Стрелка

$A_{t} = (\begin{matrix} 1 & t \\ 0 & 0 \end{matrix})$
$rk A_{t} = 1$
$\dim \ker A_{t} = \dim coker A_{t} = 1$

ранг постоянен

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Проекторы и разложения в прямую сумму

Критерий локально постоянного ранга отвечает на вопрос, оставленный в конце предыдущей главы: когда послойные ядра, образы и коядра образуют расслоения. Теперь вернёмся к дополнениям. В первой части дополнение к подрасслоению строилось только над небольшой окрестностью и служило для получения локальных координат. Разложение $E = F \oplus G$ над всей базой — уже отдельный глобальный выбор. Чтобы работать с таким выбором без привязки к координатам, закодируем его эндоморфизмом $E \to E$ .

Пусть выбрано разложение $E = F \oplus G$ на подрасслоения. Каждый вектор $v \in E_{x}$ единственным образом записывается как $v = f + g$ , где $f \in F_{x}$ и $g \in G_{x}$ , поэтому можно оставить его компоненту в $F$ и отбросить компоненту в $G$ . Получается непрерывный морфизм

P_{F, G} : E ⟶ E

E \overset{≅}{\to} F \oplus G

F \oplus G \overset{{pr}_{F}}{\to} F ↪ E

P_{F, G} (f + g) = f

Повторное применение ничего не меняет, поэтому $P_{F, G}^{2} = P_{F, G}$ . Это равенство выделяет именно те эндоморфизмы, которые описывают разложения. Здесь эндоморфизмом называется морфизм $E \to E$ над $X$ , а тождественный эндоморфизм обозначается через $I$ .

Эндоморфизм $P : E \to E$ называется проектором (projection operator), если $P^{2} = P$ .

Проекторы на $E$ и упорядоченные разложения $E = F \oplus G$ на подрасслоения соответствуют друг другу. Точнее, отображения

P ⟼ (im P, \ker P)

(E = F \oplus G) ⟼ P_{F, G}

взаимно обратны. В частности, каждый проектор задаёт разложение

E = im P \oplus \ker P

Сначала проверим послойную линейную алгебру. Для каждого $v \in E_{x}$ имеем

v = P_{x} v + (I - P_{x}) v

P_{x} (I - P_{x}) v = P_{x} v - P_{x}^{2} v = 0

Значит, первое слагаемое лежит в $im P_{x}$ , а второе — в $\ker P_{x}$ . Если вектор лежит в их пересечении, то $P_{x} v = v$ и одновременно $P_{x} v = 0$ , следовательно, $v = 0$ . Поэтому сумма прямая в каждом слое. Кроме того,

im (I - P) = \ker P

\ker (I - P) = im P

Остаётся доказать, что слагаемые являются подрасслоениями. Зафиксируем $x \in X$ и тривиализуем $E$ в окрестности этой точки. Невырожденные миноры остаются невырожденными поблизости, поэтому для $y$ из некоторой окрестности

rk P_{y} \geq rk P_{x}

rk (I - P_{y}) \geq rk (I - P_{x})

Послойное разложение в прямую сумму даёт $rk P_{y} + rk (I - P_{y}) = \dim E_{y}$ , причём в выбранной окрестности $\dim E_{y} = \dim E_{x}$ . Поэтому оба неравенства могут быть только равенствами. Ранги $P$ и $I - P$ локально постоянны, а критерий предыдущей части превращает их образы в подрасслоения. Сложение

im P \oplus \ker P ⟶ E

является изоморфизмом в каждом слое и потому изоморфизмом расслоений.

В обратную сторону разложение $E = F \oplus G$ даёт уже построенный непрерывный проектор $P_{F, G}$ . Он единственен: проектор с образом $F$ и ядром $G$ обязан переводить $f + g$ в $f$ .

Таким образом, при фиксированном $F$ выбор дополнения $G$ равносилен выбору проектора с образом $F$ . Такой проектор не обязан быть ортогональным: он проектирует на $F$ вдоль выбранного $G$ .

Эрмитовы метрики и ортогональные дополнения

Само включение $F \subseteq E$ не выделяет конкретного дополнения. Чтобы получить единое правило выбора, добавим к расслоению метрику и в каждом слое возьмём векторы, ортогональные $F_{x}$ .

Эрмитовой метрикой (Hermitian metric) на $E \to X$ называется набор форм $h_{x} : E_{x} \times E_{x} \to C$ . Каждая форма $h_{x}$ сесквилинейна — линейна по первому аргументу и сопряжённо-линейна по второму — и удовлетворяет условиям

h_{x} (v, w) = \overset{―}{h_{x} (w, v)}

v \neq 0 ⟹ h_{x} (v, v) > 0

Непрерывность метрики означает, что в любой локальной тривиализации элементы матрицы $H (x)$ формы $h_{x}$ являются непрерывными функциями от $x$ . Расслоение вместе с выбранной метрикой называется эрмитовым.

После выбора метрики условие ортогональности имеет смысл во всех слоях. Пусть $F \subseteq E$ — подрасслоение. Его ортогональное дополнение определяется послойно:

F_{x}^{⟂} = {v \in E_{x} ∣ h_{x} (v, w) = 0 \forall w \in F_{x}}

F^{⟂} = \underset{x \in X}{∐} F_{x}^{⟂}

Семейство $F^{⟂}$ является подрасслоением $E$ . Метрика определяет разложение, а фактор-отображение ограничивается до изоморфизма

E = F \oplus F^{⟂}, q |_{F^{⟂}} : F^{⟂} \tilde{\to} E / F

Остаётся проверить непрерывность ортогонального выбора. На окрестности $U$ выберем непрерывные сечения $s_{1}, \dots, s_{r}$ , образующие базис $F_{x}$ в каждой точке. Их матрица Грама

H (x) = (h_{x} (s_{i} (x), s_{j} (x)))_{i, j = 1}^{r}

непрерывна и обратима. Для $v \in E_{x}$ коэффициенты ортогональной проекции

P_{x} (v) = \sum_{i = 1}^{r} a_{i} (v) s_{i} (x)

однозначно определяются системой

\sum_{i = 1}^{r} a_{i} (v) h_{x} (s_{i} (x), s_{j} (x)) = h_{x} (v, s_{j} (x))

j = 1, \dots, r

Правая часть системы $h_{x} (v, s_{j} (x))$ непрерывно зависит от пары $(x, v)$ , а обратная матрица $H (x)^{- 1}$ — от $x$ . Поэтому коэффициенты $a_{i} (v)$ непрерывно зависят от $(x, v)$ . Следовательно, отображения $P_{x}$ собираются в непрерывный проектор $P : E \to E$ с $im P = F$ и $\ker P = F^{⟂}$ . Результат предыдущей части даёт разложение, а построение фактор-расслоения отождествляет $F^{⟂}$ с $E / F$ .

В сцене зафиксированы $E_{x} = C^{2}$ и $F_{x} = ⟨ e_{1} ⟩$ . Параметр $| α | < 1$ меняет положительно определённую матрицу метрики, указанную под диаграммой.

Начните с нулевого параметра метрики, затем сравните положительное и отрицательное значения. Какие прямая и проектор меняются, а какое подпространство остаётся на месте? Объясните, почему разные дополнения могут представлять один фактор.

0,00

E_{x}

F_{x}

F^{⊥}

v

u

w

Описание текущего рисунка

Слой E икс: Область
Подпространство F икс: Прямая или отрезок
Ортогональное дополнение F икс по метрике h: Прямая или отрезок
Выбранный вектор: Стрелка. Начало: точка на объекте «Подпространство F икс». Конец: Выбранный вектор.
Составляющая u равна P альфа от v: Стрелка. Начало: точка на объекте «Подпространство F икс». Конец: Проекция P альфа v.
Составляющая w равна один минус P альфа от v: Стрелка. Начало: Проекция P альфа v. Конец: Выбранный вектор.
Выбранный вектор: Точка
Проекция P альфа v: Точка

$h_{α} = (\begin{matrix} 1 & α \\ α & 1 \end{matrix})$
$P_{α} = (\begin{matrix} 1 & α \\ 0 & 0 \end{matrix}), P_{α}^{2} = P_{α}$
$u = P_{α} v, w = v - u, v = u + w$

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Следовательно, ортогональное дополнение определяется не одним $F$ , а парой $(F, h)$ .

Критерии для подрасслоений, факторов и дополнений

семейство линейных подпространств $F_{x} \subseteq E_{x}$ является подрасслоением тогда и только тогда, когда в подходящей локальной тривиализации переходит в $U \times W$
фактор-топология задаёт топологию на множестве послойных классов $E / F$ без дополнительных выборов, а локальное дополнение доказывает его локальную тривиальность
послойные ядро, образ и коядро образуют расслоения точно при локально постоянном ранге морфизма
проектор с образом $F$ равносилен выбору дополнения к $F$ , а метрика выделяет ортогональное дополнение $F^{⟂}$

В следующей главе предположим, что база компактна и хаусдорфова. Конечное число глобальных сечений задаст послойно сюръективный морфизм из тривиального расслоения в $E$ . Критерий локально постоянного ранга превратит его ядро в подрасслоение, а метрика выделит ортогональное дополнение, изоморфное $E$ . Так $E$ станет прямым слагаемым тривиального расслоения.

Подрасслоения, факторы и дополнения

Векторные подрасслоения

Векторное подрасслоение

Образ послойно инъективного морфизма

Локальная форма подрасслоения

Факторы по подрасслоениям

Топологический фактор

Фактор забывает координату вдоль Fₓ

Фактор по подрасслоению

Ядра, образы и коядра морфизмов

Локально постоянный ранг

Критерий локально постоянного ранга

Ранг должен быть локально постоянным

Проекторы и разложения в прямую сумму

Проектор

Проекторы и разложения в прямую сумму

Эрмитовы метрики и ортогональные дополнения

Эрмитова метрика

Ортогональное дополнение

Метрика выбирает определённое дополнение

Критерии для подрасслоений, факторов и дополнений