Глава 5 · Дополнительные структуры на расслоениях

Дополнительные структуры на расслоениях

До сих пор расслоение хранило только непрерывное семейство комплексных векторных пространств. Но на каждом слое можно согласованно выбрать ещё одно правило линейной алгебры: спаривание двух векторов, комплексное сопряжение или изоморфизм между двумя конструкциями из этого слоя. Мы выясним, как записывать такие данные без координат, почему квадрат антилинейного оператора оставляет два разных знака и как эти знаки ведут себя при тензорном произведении. В конце станет видно, почему для расслоения с выбранным изоморфизмом обычного изоморфизма исходных расслоений уже недостаточно.

Дополнительное правило должно непрерывно меняться вместе со слоем

Главы 2 и 3 построили над расслоениями линейные операции и эрмитовы метрики. В обоих случаях одна и та же конструкция выполнялась во всех слоях и согласовывалась со сменой локальных координат. Теперь отделим общий принцип от конкретного примера: исходное расслоение остаётся прежним, а частью объекта становится выбранное на нём правило линейной алгебры.

Начнём с правила, которое каждой паре векторов одного слоя ставит в соответствие комплексное число. Обозначим тривиальное линейное расслоение через $1 = X \times C$ . Тогда нужное семейство можно записать одним сечением уже построенного Hom-расслоения.

B \in Γ Hom (E \otimes E, 1)

Иными словами, над каждой точкой $x \in X$ задана комплексно-билинейная форма

B_{x} : E_{x} \times E_{x} ⟶ C

а её матричные коэффициенты непрерывно зависят от $x$ в любой локальной тривиализации.

У одного и того же тривиального расслоения ранга два могут быть разные формы. Например, на каждом слое $C^{2}$ положим

B_{+} (z, w) = z_{1} w_{1} + z_{2} w_{2}

B_{-} (z, w) = z_{1} w_{2} - z_{2} w_{1}

Исходное расслоение в обеих строках совпадает, но выбранные правила различны. Поэтому, если на расслоении $F$ выбрана форма $C$ , изоморфизм $u : E \to F$ между расслоениями с формами должен сохранять не только линейную структуру слоёв, но и их значения:

C_{x} (u_{x} v, u_{x} w) = B_{x} (v, w)

Форма $B$ называется невырожденной, если из условия $B_{x} (v, w) = 0$ для всех $w \in E_{x}$ следует $v = 0$ в каждом слое. Следующий раздел переведёт это условие в уже знакомый язык морфизмов расслоений.

Невырожденность отождествляет расслоение с двойственным

Зафиксируем первый аргумент формы. Вектор $v \in E_{x}$ тогда определяет линейный функционал $w \mapsto B_{x} (v, w)$ . Во всех слоях эти функционалы собираются в морфизм

β_{B} : E ⟶ E^{*}, β_{B, x} (v) (w) = B_{x} (v, w)

Ядро $β_{B, x}$ состоит ровно из векторов, которые форма не отличает от нуля. Поэтому невырожденность означает, что это ядро нулевое. Область и цель имеют одинаковую конечную размерность, так что послойная инъективность равносильна обратимости.

Записываем невырожденность
$B_{x} (v, -) = 0 ⟹ v = 0$
Читаем её как условие на ядро
$\ker β_{B, x} = 0$
Результат: Используем равенство размерностей
$β_{B, x} : E_{x} \overset{≅}{\to} E_{x}^{*}$

Расслоение $E$ вместе с выбранным изоморфизмом $β_{B} : E \overset{≅}{\to} E^{*}$ называется самодвойственным (self-dual bundle). Эквивалентно, оно снабжено невырожденной билинейной формой $B$ .

Слово «выбранным» существенно: существование какого-либо изоморфизма $E ≅ E^{*}$ не фиксирует форму. Дополнительная структура включает сам морфизм $β_{B}$ и требует, чтобы последующие изоморфизмы его сохраняли.

Перестановка аргументов оставляет два устойчивых знака

У формы есть транспонированная форма $B^{T}$ , полученная перестановкой аргументов:

B^{T} (v, w) = B (w, v)

Нас будут интересовать два случая, в которых перестановка не создаёт новую форму, а лишь умножает исходную на знак.

B^{T} = B

B^{T} = - B

В первой строке форма симметрична, во второй — кососимметрична. В обоих случаях она предполагается невырожденной.

Пусть комплексный ранг симплектического расслоения равен $r$ . В локальном репере его форма задаётся обратимой матрицей $A$ размера $r \times r$ , причём $A^{T} = - A$ . Если $r$ нечётно, то

Транспонирование не меняет определитель
$det A = det A^{T}$
Используем кососимметричность
$det A = det (- A) = (- 1)^{r} det A$
Результат: При нечётном размере получаем противоречие
$det A = - det A ⟹ det A = 0$

Комплексное сопряжение позволяет записывать антилинейные данные линейно

Форма сравнивала расслоение с двойственным. Другая естественная операция меняет только действие комплексных скаляров. Для комплексного расслоения $E$ возьмём те же точки и те же суммы векторов, но сопряжём умножение на число.

Сопряжённое расслоение (complex conjugate bundle) обозначается $\overset{―}{E}$ . Вектору $v \in E_{x}$ соответствует вектор $\overset{―}{v} \in {\overset{―}{E}}_{x}$ , а новое умножение задаётся формулой

λ \cdot \overset{―}{v} = \overset{―}{\overset{―}{λ} v}

Если функции перехода $E$ равны $g_{j i}$ , то функции перехода $\overset{―}{E}$ равны $\overset{―}{g_{j i}}$ .

Пусть дан комплексно-линейный изоморфизм $τ : E \to \overset{―}{E}$ . Определим оператор $J : E \to E$ равенством $τ (v) = \overset{―}{J v}$ . Линейность $τ$ с учётом изменённого действия скаляров в $\overset{―}{E}$ означает, что

J (λ v) = \overset{―}{λ} J (v)

Поэтому комплексно-линейный изоморфизм $E \to \overset{―}{E}$ — это то же самое, что обратимый антилинейный оператор $E \to E$ .

Пара $(E, τ)$ с изоморфизмом $τ : E \overset{≅}{\to} \overset{―}{E}$ называется самосопряжённым расслоением (self-conjugate bundle). Эквивалентно, на $E$ выбран обратимый антилинейный оператор $J$ .

Композиция двух антилинейных операторов снова комплексно-линейна, поэтому $J^{2}$ является обычным автоморфизмом $E$ . То же самое можно записать, не возвращаясь к антилинейным отображениям. Сопрягая морфизм $τ$ , получаем $\overset{―}{τ} : \overset{―}{E} \to \overset{―}{\overset{―}{E}}$ , а двойное сопряжение канонически отождествляется с исходным расслоением: $\overset{―}{\overset{―}{E}} ≅ E$ . Поэтому квадрат имеет линейную запись $\overset{―}{τ} \circ τ : E \to E$ . Для произвольной самосопряжённой структуры он не обязан быть скаляром. Два особенно жёстких случая возникают, когда квадрат равен $id$ или $- id$ .

Два знака квадрата задают вещественный и кватернионный случаи

J^{2} = id — вещественная структура

J^{2} = - id

Комплексное расслоение с первой структурой называется вещественным (real bundle), со второй — кватернионным (quaternionic bundle). Эти названия описывают дополнительные данные на комплексном расслоении, а не смену соглашения для всей книги.

Пусть сначала $J^{2} = id$ . Неподвижные векторы образуют вещественное подрасслоение

W = E^{J} = {v \in E ∣ J v = v}

Если забыть комплексное умножение и рассматривать слои как вещественные пространства, оператор $(id + J) / 2$ является непрерывным проектором на $W$ . Поэтому его образы образуют вещественное подрасслоение. Каждый вектор $v$ единственным образом записывается как $a + i b$ , где оба вектора $a$ и $b$ неподвижны относительно $J$ . Для этого достаточно положить

a = \frac{v + J v}{2}, J a = a

b = \frac{v - J v}{2 i}, J b = b

v = a + i b

E ≅ W \otimes_{R} C

Обратно, комплексификация вещественного расслоения несёт стандартное сопряжение, тождественное на $W$ и меняющее знак у $i W$ .

Если $J^{2} = - id$ , неподвижных ненулевых векторов нет. Зато умножение на мнимую единицу $i$ и действие $j v = J v$ удовлетворяют кватернионным соотношениям

i^{2} = j^{2} = - 1, i j = - j i

Антикоммутация следует из антилинейности: $J (i v) = - i J (v)$ . Поэтому каждый слой становится модулем над кватернионами, а его комплексная размерность чётна.

На $C^{2}$ оба знака видны в явных формулах:

J_{R} (z_{1}, z_{2}) = ({\overset{―}{z}}_{1}, {\overset{―}{z}}_{2}), J_{R}^{2} = id

J_{H} (z_{1}, z_{2}) = (- {\overset{―}{z}}_{2}, {\overset{―}{z}}_{1}), J_{H}^{2} = - id

Эрмитова метрика переводит антилинейное описание в билинейное

Самодвойственность и самосопряжённость пока выглядят как разные типы данных. Эрмитова метрика связывает их, потому что при принятом в главе 3 соглашении — линейность по первому аргументу и сопряжённая линейность по второму — она задаёт комплексно-линейный изоморфизм

ι_{h} : \overset{―}{E} \overset{≅}{\to} E^{*}, ι_{h} (\overset{―}{v}) (w) = h (w, v)

Если дана самосопряжённая структура $τ : E \to \overset{―}{E}$ , композиция с $ι_{h}$ даёт самодвойственную структуру. В антилинейной записи соответствующая билинейная форма имеет вид

β_{B} = ι_{h} \circ τ : E \overset{≅}{\to} E^{*}

B (v, w) = h (w, J v)

При фиксированной метрике этот переход обратим: из любого изоморфизма $β : E \to E^{*}$ получаем $τ = ι_{h}^{- 1} \circ β$ . Дополнительная трудность возникает лишь тогда, когда требуется сопоставить симметрию формы со знаком $J^{2}$ .

Чтобы знак квадрата $J^{2} = ε id$ перешёл в тот же знак симметрии формы, метрику выбирают совместимой с $J$ . Такая метрика существует: из любой метрики $h_{0}$ её можно получить симметризацией

h_{J} (v, w) = h_{0} (v, w) + \overset{―}{h_{0} (J v, J w)}

Совместимость выражается явной формулой

h_{J} (J v, J w) = \overset{―}{h_{J} (v, w)}

Из неё и равенства $J^{2} = ε id$ следует тот же знак симметрии соответствующей билинейной формы:

B (w, v) = ε B (v, w), ε \in {+ 1, - 1}

Знак $+ 1$ связывает вещественную структуру с ортогональной, а знак $- 1$ — кватернионную с симплектической.

Переход слева направо с сохранением знака мы построили явно. Для обратного перехода используется стандартный факт о матричных группах. Группа $O (r, C)$ непрерывно деформируется к своей компактной подгруппе $O (r)$ . Если ранг равен $2 n$ , комплексная симплектическая группа аналогично деформируется к компактной группе $S p (n)$ . Поэтому ортогональную структуру можно после такой деформации описывать вещественной структурой, а симплектическую — кватернионной. Канонического соответствия между отдельными выбранными структурами это не даёт.

В тензорном произведении знаки структур перемножаются

Предыдущий раздел позволяет выбирать описание, удобное для конкретной операции. Для тензорного произведения проще работать с билинейными формами. Пусть $E$ и $F$ — расслоения над одной базой $X$ , снабжённые формами $B_{E}$ и $B_{F}$ . На их тензорном произведении форма задаётся правилом

Положим $u = v \otimes w$ и $u^{'} = v^{'} \otimes w^{'}$ . Тогда

(B_{E} \otimes B_{F}) (u, u^{'}) = B_{E} (v, v^{'}) B_{F} (w, w^{'})

Эта формула на простых тензорах единственным образом продолжается по билинейности на весь слой $(E \otimes F)_{x}$ . Если исходные формы невырождены, новая форма тоже невырождена: в локальных базисах её матрица является тензорным произведением двух обратимых матриц.

Обозначим знак симметрии формы через $ε_{E}$ или $ε_{F}$ , где $+ 1$ означает симметрию, а $- 1$ — кососимметрию. При перестановке двух аргументов каждая форма вносит свой знак:

Переставляем аргументы
$(B_{E} \otimes B_{F}) (u^{'}, u) = B_{E} (v^{'}, v) B_{F} (w^{'}, w)$
Применяем два знака
$(B_{E} \otimes B_{F}) (u^{'}, u) = ε_{E} ε_{F} (B_{E} \otimes B_{F}) (u, u^{'})$
Результат: Получаем знак произведения
$ε_{E \otimes F} = ε_{E} ε_{F}$

То же вычисление работает для антилинейных структур $J_{E}$ и $J_{F}$ . На простом тензоре положим $(J_{E} \otimes J_{F}) (v \otimes w) = J_{E} (v) \otimes J_{F} (w)$ . Это правило продолжается до антилинейного оператора на комплексном тензорном произведении. Оно корректно относительно балансирующего соотношения, потому что

J_{E} (λ v) \otimes J_{F} (w) = J_{E} (v) \otimes J_{F} (λ w)

Его квадрат снова вычисляется перемножением знаков:

(J_{E} \otimes J_{F})^{2} = J_{E}^{2} \otimes J_{F}^{2} = ε_{E} ε_{F} id

Переключите два исходных знака. Одна и та же таблица одновременно описывает симметрию форм и квадрат антилинейного оператора.

Зафиксируйте отрицательный знак первой структуры и смените знак второй. Затем измените оба знака одновременно. Предскажите знак тензорной структуры в каждом случае и объясните, почему два изменения могут компенсироваться.

ε_{E} ε_{F} = + 1

Первая $ε_{E} = - 1$ симплектическая / кватернионная

Вторая $ε_{F} = - 1$ симплектическая / кватернионная

Произведение $ε_{E \otimes F} = + 1$ ортогональная / вещественная

Получается знак +1 $ε_{E \otimes F} = ε_{E} ε_{F} = + 1$ Два минуса компенсируются: две кососимметрические формы дают симметрическую, а две кватернионные структуры — вещественную.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Следовательно, тензорное произведение двух симплектических расслоений ортогонально. Параллельно тензорное произведение двух кватернионных расслоений несёт вещественную структуру. Это не два независимых правила, а одно умножение знаков.

Разные дополнительные данные укладываются в один структурный изоморфизм

Самодвойственность задавалась изоморфизмом $E \to E^{*}$ , а самосопряжённость — изоморфизмом $E \to \overset{―}{E}$ . В обоих случаях исходное расслоение сравнивается с результатом послойной операции над ним. Глава 2 позволяет записать этот общий механизм через два непрерывных функтора $F$ и $G$ . Дополнительная структура может состоять в явном отождествлении двух результатов.

$F$ – $G$ -расслоением называется пара $(E, θ)$ , где $E$ — векторное расслоение, а

θ : F (E) \overset{≅}{\to} G (E)

— выбранный изоморфизм расслоений. Он относится к конкретному $E$ и не является естественным преобразованием функторов на всех векторных пространствах.

Изоморфизм $u : E \to E^{'}$ сохраняет структуры $θ$ и $θ^{'}$ только при условии

θ^{'} \circ F (u) = G (u) \circ θ

Самосопряжённое расслоение получается при $F (E) = E$ и $G (E) = \overset{―}{E}$ . Общая запись полезна не только для объединения названий: она отделяет исходное расслоение от изоморфизма, который сам несёт дополнительную информацию. Простейший пример, где это видно без новых операций, получается при $F (E) = G (E) = m E$ , где $m$ — целое число, $m \geq 1$ :

m E = \underset{m слагаемых}{\underset{⏟}{E \oplus \dots \oplus E}}

$m$ -расслоением называется пара $(E, θ)$ с автоморфизмом $θ \in Aut (m E)$ . Оно называется тривиальным, если существует $s \in Aut (E)$ такое, что

θ = m s = \underset{m раз}{\underset{⏟}{s \oplus \dots \oplus s}}

Тривиальность здесь не означает $θ = id$ . Она означает, что автоморфизм $m E$ не смешивает копии новым способом, а повторяет один и тот же автоморфизм $s$ на каждом слагаемом.

Когда изоморфизм является частью объекта, эквивалентность должна помнить путь

Для обычных расслоений глава 4 доказала: гомотопные отображения базы дают изоморфные обратные образы. Но построенный там изоморфизм сравнивает только расслоения после забывания дополнительной структуры. Для пар $(E, θ)$ он не обязан удовлетворять дополнительному равенству с $θ$ . Поэтому гомотопия базы сама по себе не гарантирует изоморфизм структурированных пар.

Различие заметно уже над точкой. Рассмотрим $1$ -расслоения $(C, λ id)$ при $λ \neq 0$ . Их исходное расслоение одно и то же. Однако структурный изоморфизм между случаями $λ$ и $μ$ должен удовлетворять равенству $μ u = u λ$ ; для обратимого $u$ это возможно лишь при $λ = μ$ . Поэтому пары с $λ = 1$ и $λ = 2$ не изоморфны как структурированные объекты. Вместе с тем путь $θ_{t} = (1 + t) id$ непрерывно соединяет их и всё время остаётся обратимым. Чтобы считать именно такие деформации эквивалентностями, нужно хранить непрерывное семейство всей структуры.

Два $F$ – $G$ -расслоения $(E_{0}, θ_{0})$ и $(E_{1}, θ_{1})$ над $X$ называются эквивалентными, если существует структурированное расслоение $(W, Θ)$ над $X \times I$ для которого

(W, Θ) |_{X \times {0}} ≅ (E_{0}, θ_{0})

(W, Θ) |_{X \times {1}} ≅ (E_{1}, θ_{1})

Такое семейство называют конкордантностью (concordance). Обычный изоморфизм структурированных расслоений задаёт конкордантность: на $X \times I$ берётся обратный образ одного из объектов, а на втором конце используется данный изоморфизм. Обратное утверждение для произвольных дополнительных структур не обязано выполняться: именно поэтому путь включён в определение.

Для $m$ -расслоений это означает, что вместе с исходным расслоением над $X \times I$ непрерывно меняется и автоморфизм его $m$ -кратной суммы. В каждой точке интервала этот оператор обязан оставаться обратимым. В этой форме дополнительная структура становится пригодной для гомотопических построений.

Дополнительные структуры на расслоениях

Дополнительное правило должно непрерывно меняться вместе со слоем

Билинейная форма на расслоении

Невырожденность отождествляет расслоение с двойственным

Самодвойственное расслоение

Перестановка аргументов оставляет два устойчивых знака

Ортогональная и симплектическая структуры

Комплексное сопряжение позволяет записывать антилинейные данные линейно

Сопряжённое расслоение

Самосопряжённое расслоение

Два знака квадрата задают вещественный и кватернионный случаи

Два знака самосопряжённой структуры

Вещественная структура восстанавливает вещественное расслоение

Эрмитова метрика переводит антилинейное описание в билинейное

В тензорном произведении знаки структур перемножаются

Как тензорное произведение перемножает знаки структур

Разные дополнительные данные укладываются в один структурный изоморфизм

Расслоение со структурным изоморфизмом

Повторённая структура

Когда изоморфизм является частью объекта, эквивалентность должна помнить путь

Эквивалентность структурированных расслоений