Группа Гротендика и K(X)

Классы расслоений складываются, но не вычитаются

В главе 4 мы обозначили через $\mathrm{Vect}(X)$ множество классов изоморфизма конечномерных комплексных расслоений над компактным хаусдорфовым пространством $X$. Глава 5 показала, что расслоение можно снабдить формой или другим структурным изоморфизмом. В этой главе забудем дополнительные данные и вернёмся к обычным комплексным расслоениям: прямая сумма уже позволяет складывать их классы, но ещё не позволяет вычитать. На $\mathrm{Vect}(X)$ определена операция

Нулевым элементом служит нулевое расслоение $0_X$. Ассоциативность и коммутативность прямой суммы заданы каноническими изоморфизмами; после перехода к классам изоморфизма они становятся обычными равенствами.

Определение

Коммутативный моноид Vect(X)

Множество $\mathrm{Vect}(X)$ с операцией прямой суммы и нулём $[0_X]$ является коммутативным моноидом (commutative monoid):

$$([E]+[F])+[G]=[E]+([F]+[G])$$$$[E]+[F]=[F]+[E]$$

Обратных элементов у этого моноида обычно нет. Если $E\ne 0_X$, настоящего расслоения $F$ с $E\oplus F\cong 0_X$ не существует: ранги неотрицательны и складываются. Уже над точкой имеем $\mathrm{Vect}(\ast )\cong \mathbb{N}$, а натуральные числа не замкнуты относительно вычитания.

Значит, вычитание нельзя определить, оставаясь среди настоящих расслоений. Нужна группа, содержащая формальные разности классов и не отождествляющая их без причины, следующей из прямой суммы.

Вычитание должно сохранять только отношения прямой суммы

Для точки моноид расслоений равен $\mathbb{N}$, а ранг — обычное включение $\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$. Вычитание размерностей уже живёт в группе $\mathbb{Z}$. Мы хотим повторить эту конструкцию для произвольного коммутативного моноида $A$. Такая конструкция называется групповым пополнением (group completion). Она не должна добавлять отношений, которые не следуют из сложения в $A$.

Чтобы не ввести лишних равенств, потребуем от новой группы следующее: любое правило, совместимое со сложением в $A$, должно продолжаться на формальные разности единственным способом. Аддитивным правилом со значениями в абелевой группе $G$ назовём отображение $\phi :A\to G$, сохраняющее ноль и сложение: $\phi (0)=0$ и $\phi (a+a^{\prime })=\phi (a)+\phi (a^{\prime })$. Для расслоений такие правила называют аддитивными инвариантами (additive invariants). Первый пример — ранг: $\mathrm{rk}(E\oplus F)=\mathrm{rk}E+\mathrm{rk}F$.

Обозначим через забывающий функтор$U:\mathbf{Ab}\to \mathbf{CMon}$, который рассматривает абелеву группу только как коммутативный моноид.

Определение

Группа Гротендика моноида

Группой Гротендика (Grothendieck group) $K(A)$ называется абелева группа вместе с гомоморфизмом моноидов ${\iota }_A:A\to U(K(A))$, обладающая следующим свойством: для любой абелевой группы $G$ и любого гомоморфизма моноидов $\phi :A\to U(G)$ существует единственный гомоморфизм групп $\bar{\phi }:K(A)\to G$, для которого

$$\phi =U(\bar{\phi })\circ {\iota }_A$$

На диаграмме $\phi$ — уже заданное аддитивное правило, а ${\iota }_A$ отправляет элементы $A$ в групповое пополнение. Это отображение не обязано быть инъективным: если сложение в $A$ уже вынуждает два элемента совпасть после разрешения вычитания, их образы совпадут. Пунктирная стрелка не является дополнительным выбором: существует ровно один гомоморфизм $\bar{\phi }:K(A)\to G$, делающий треугольник коммутативным. Это означает, что оба пути из $A$ в $U(G)$ дают одно и то же отображение.

Иными словами, $K(A)$ добавляет ровно столько обратных элементов, сколько нужно для продолжения любого аддитивного правила. Значение продолжения на формальной разности уже вынуждено равняться $\bar{\phi }({\iota }_A(a)-{\iota }_A(b))=\phi (a)-\phi (b)$.

Одного перекрёстного равенства может быть недостаточно

В $\mathbb{N}$ пары $(5,2)$ и $(4,1)$ обе записывают число $3$; это видно из перекрёстного равенства $5+1=4+2$. Поэтому в общем моноиде пара $(a,b)\in A\times A$ служит записью формальной разности $a-b$. Если сокращение в $A$ не работает, одного перекрёстного равенства может быть недостаточно. Разрешим добавить к обеим его сторонам один и тот же элемент $c\in A$:

Итак, $(a,b)\sim (a^{\prime },b^{\prime })$ тогда и только тогда, когда для некоторого $c\in A$ выполнено

Зачем здесь нужен $c$? Рассмотрим моноид $A=\{0,1,2\}$, в котором сложением называется максимум: $p+q=max(p,q)$. Сравним пары $(0,1)$ и $(1,2)$. Без дополнительного элемента перекрёстные суммы различны:

Но после добавления одного и того же $c=2$ они совпадают:

Почему именно это равенство должно учитываться? В группе из $1+1=1$ можно вычесть $1$ и получить $1=0$; аналогично $2=0$. Поэтому при групповом пополнении все элементы этого моноида становятся нулём, а пары $(0,1)$ и $(1,2)$ обязаны задавать один класс. Элемент $c$ делает пары эквивалентными, хотя исходный моноид не разрешает сокращение. На классах формальных разностей операции задаются формулами

Теорема

Существование и единственность пополнения

Классы пар с указанными операциями образуют абелеву группу и удовлетворяют универсальному свойству. Поэтому группа $K(A)$ определена однозначно с точностью до единственного изоморфизма, совместимого с ${\iota }_A$.

Формальной разности не нужно расслоение отрицательной размерности

Абстрактная конструкция становится K-теорией, когда $A=\mathrm{Vect}(X)$. Групповое пополнение не строит тотального пространства отрицательной размерности: оно добавляет записи, с которыми можно складывать и вычитать классы настоящих расслоений.

Определение

Группа K(X)

Комплексной K-группой (complex K-group) пространства $X$ называется группа Гротендика моноида комплексных векторных расслоений:

$$K(X)=K(\mathrm{Vect}(X))$$

Образ настоящего расслоения $E$ при каноническом гомоморфизме по-прежнему обозначается через $[E]$. Произвольный элемент имеет вид $[E]-[F]$ и называется виртуальным векторным расслоением (virtual vector bundle), или виртуальным K-классом.

У $-[F]$ нет отдельного тотального пространства. Смысл имеет вся разность $[E]-[F]$ как элемент группы: её сумма с $[F]$ равна $[E]$, а любое аддитивное правило принимает на ней значение $\phi ([E])-\phi ([F])$.

Ранг — первый пример такого аддитивного правила. На связном $X$ он единственным образом продолжается до гомоморфизма

Если база несвязна, результатом служит локально постоянная целочисленная функция на $X$. Равенство рангов необходимо для равенства K-классов, но обычно недостаточно: расслоения одного ранга могут быть неизоморфны из-за различного способа склейки слоёв.

Чтобы понять равенство виртуальных классов, подставим в отношение на парах $a=[E]$, $b=[F]$ и $c=[H]$. Сложение в моноиде становится прямой суммой расслоений, а равенство элементов моноида — изоморфизмом. Поэтому отношение на формальных разностях принимает геометрический вид

Равенство $[E]-[F]=[E^{\prime }]-[F^{\prime }]$ эквивалентно существованию $H$ такого, что

В частности, для двух настоящих расслоений получаем ключевой критерий:

Классы $[E]$ и $[F]$ равны в $K(X)$ тогда и только тогда, когда существует $H$ и

Здесь $H$ — обычное вспомогательное расслоение, одно и то же с обеих сторон. Оно не является отрицанием $E$ или $F$. Пока критерий требует искать произвольное $H$. Компактность базы позволит заменить его стандартным тривиальным слагаемым.

Компактность заменяет произвольное общее слагаемое тривиальным

Критерий равенства требует найти произвольное расслоение $H$ и изоморфизм $E\oplus H\cong F\oplus H$. Геометрический тип вспомогательного $H$ ничем не ограничен. Однако в главе 4 конечные глобальные порождающие дали для любого расслоения дополнение $H^{\prime }$ с $H\oplus H^{\prime }\cong {\underset{―}{\mathbb{C}}}^n$. Поэтому произвольное общее слагаемое можно заменить тривиальным. Следующее определение фиксирует именно эту ситуацию.

Определение

Стабильно эквивалентные расслоения

Обозначим через ${\underset{―}{\mathbb{C}}}^n=X\times {\mathbb{C}}^n$ тривиальное расслоение ранга $n$. Расслоения $E$ и $F$ называются стабильно эквивалентными (stably equivalent), если одно и то же тривиальное расслоение можно добавить к обеим сторонам и получить изоморфизм:

То есть для некоторого $n\ge 0$:

$$E\oplus {\underset{―}{\mathbb{C}}}^n\cong F\oplus {\underset{―}{\mathbb{C}}}^n$$

Теорема

Равенство классов — это стабильное равенство

Для векторных расслоений над компактным хаусдорфовым пространством выполняется эквивалентность:

$$[E]=[F]\text{в }K(X)⟺E{\simeq }_{\mathrm{st}}F$$

Докажем нетривиальную импликацию. Из равенства классов получаем $E\oplus H\cong F\oplus H$. По теореме о конечном дополнении из главы 4 выбираем $H^{\prime }$ так, что $H\oplus H^{\prime }\cong {\underset{―}{\mathbb{C}}}^n$. После добавления $H^{\prime }$ к обеим сторонам получаем

Последняя строка и есть стабильная эквивалентность. Обратная импликация следует сразу из отношения, задающего равенство в групповом пополнении: достаточно взять $H={\underset{―}{\mathbb{C}}}^n$.

Результат

Нормальная форма виртуального класса

Применим лемму к вычитаемому $F$ и выберем $G$ так, что $F\oplus G\cong {\underset{―}{\mathbb{C}}}^n$. Тогда любую виртуальную разность удаётся записать с тривиальным вычитаемым:

$$[E]-[F]=[E\oplus G]-[F\oplus G]$$$$[E]-[F]=[E\oplus G]-[{\underset{―}{\mathbb{C}}}^n]$$

Нормальная форма не сводит класс к одному числу. Уже для линейного расслоения $L$ разность $[L]-[{\mathbb{1}}_X]$, где ${\mathbb{1}}_X=X\times \mathbb{C}$, имеет ранг ноль. Этот класс равен нулю ровно тогда, когда $L$ стабильно эквивалентно тривиальной прямой. После вычитания ранга может сохраниться ненулевой стабильный класс; на сфере он появится в конце главы.

Сложение и равенство виртуальных классов теперь определены геометрически. Осталось проверить, переносится ли на них вторая операция из главы 2 — тензорное произведение расслоений.

Дистрибутивность тензорного произведения превращает K(X) в кольцо

Прямая сумма дала сложение в $K(X)$. Тензорное произведение должно дать умножение, но сначала его нужно продолжить с настоящих расслоений на разности. Для фиксированного $E$ операция $F\mapsto E\otimes F$ аддитивна, поскольку $\otimes$ дистрибутивно относительно прямой суммы:$E\otimes (F\oplus G)\cong (E\otimes F)\oplus (E\otimes G)$. Универсальное свойство сначала продолжает эту операцию по одному аргументу, затем по другому. Получается билинейное произведение формальных разностей.

Определение

Произведение в K(X)

$$P=[E\otimes E^{\prime }]+[F\otimes F^{\prime }]$$$$N=[E\otimes F^{\prime }]+[F\otimes E^{\prime }]$$$$([E]-[F])([E^{\prime }]-[F^{\prime }])=P-N$$

Единицей кольца является класс тривиального линейного расслоения ${\mathbb{1}}_X=X\times \mathbb{C}$.

Канонические изоморфизмы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности тензорного произведения переходят в равенства K-классов. Поэтому это произведение делает $K(X)$ коммутативным кольцом.

Ранг сохраняет и прямую сумму, и тензорное произведение. На связном $X$ он поэтому является гомоморфизмом колец $K(X)\to \mathbb{Z}$; в общем случае его значения — локально постоянные целочисленные функции с поточечными операциями. Виртуальный класс ранга $0$ может быть ненулевым: ранг видит только размерности слоёв и не различает способы их склейки.

Итак, каждой базе $X$ сопоставлено кольцо $K(X)$. Теперь нужно связать кольца разных баз: определить, какое отображение K-колец порождает непрерывное отображение пространств, и проверить, что гомотопные отображения действуют одинаково.

Обратный образ разворачивает направление отображения

Чтобы сравнивать K-группы разных пространств, используем операцию над расслоениями, уже совместимую и с прямой суммой, и с тензорным произведением. Пусть $X$ и $Y$ — компактные хаусдорфовы пространства, $f:X\to Y$, а $E$ — расслоение над $Y$. Его обратный образ $f^{\ast }E$ является расслоением над $X$: над точкой $x$ лежит тот же векторный слой, который у $E$ лежал над $f(x)$, то есть $(f^{\ast }E{)}_x=E_{f(x)}$. Эта конструкция сохраняет нулевое и единичное расслоения, прямые суммы и тензорные произведения:

Сохранение нуля и прямой суммы позволяет по универсальному свойству единственным образом продолжить обратный образ до гомоморфизма абелевых групп:

Две оставшиеся формулы показывают, что это продолжение сохраняет произведение и единицу. Следовательно, $f^{\ast }$ является гомоморфизмом колец.

Теорема

K — контравариантный функтор

Если $Z$ — компактное хаусдорфово пространство и $g:Y\to Z$, то следующие тождества означают, что $K$ является контравариантным функтором (contravariant functor): композиция отображений баз превращается в композицию обратных образов в противоположном порядке.

$${\mathrm{id}}_X^{\ast }={\mathrm{id}}_{K(X)},(g\circ f{)}^{\ast }=f^{\ast }\circ g^{\ast }$$

Теорема

Гомотопическая инвариантность

Если $f_0,f_1:X\to Y$ гомотопны, то $f_0^{\ast }=f_1^{\ast }$. В главе 4 мы доказали более сильное утверждение: для каждого настоящего расслоения $E$ расслоения $f_0^{\ast }E$ и $f_1^{\ast }E$ изоморфны. После перехода к формальным разностям их K-классы поэтому совпадают. В частности, гомотопическая эквивалентность пространств индуцирует изоморфизм их K-колец.

Направление стрелки меняется потому, что у расслоения над $Y$ можно взять обратный образ на $X$, но канонического прямого переноса произвольного расслоения с $X$ на $Y$ нет. Гомотопическая инвариантность теперь позволит вычислять K-группы пространств, которые можно деформировать в более простые.