Глава 16 · Внешние степени и λ-операции

Внешние степени и λ-операции

Почленное применение внешней степени к формальной разности зависит от её представления и потому не задаёт операции на K-теории. Главный вопрос главы — как всё же продолжить внешние степени с настоящих расслоений на $K (X)$ . Мы соберём все степени в один формальный ряд, который переводит прямую сумму в произведение и поэтому продолжается через группу Гротендика. Симметрические степени опишут обратный ряд, а принцип расщепления сведёт вычисления к линейным расслоениям. В эпилоге замена переменной даст γ-операции. В следующей главе из λ-ряда будут извлечены аддитивные операции Адамса, способные различать выражения с разным числом γ-множителей и после рационализации расщепить соответствующую фильтрацию.

Соглашения

$X$ — конечный CW-комплекс.
Индексы внешних степеней — неотрицательные целые числа.
В формулах с $K (X)$ символ $1 = [\underset{―}{C}]$ обозначает класс тривиального линейного расслоения и единицу кольца; $0$ — нулевое расслоение или его класс по контексту.

Внешние степени не продолжаются почленно на K-теорию

Пусть $E, F \to X$ — комплексные векторные расслоения. Внешняя степень $Λ^{k} E$ строится послойно. Так возникает стандартное отображение

E ⟼ Λ^{k} E

Для формальной разности его естественно попытаться применить почленно:

[E] - [F] ⟼ [Λ^{k} E] - [Λ^{k} F]

Однако один и тот же класс может быть представлен разными парами $(E, F)$ . В частности, для любого расслоения $G \to X$ добавление общего слагаемого к обеим частям не меняет разность:

[E] - [F] = [E \oplus G] - [F \oplus G]

Следовательно, почленная формула корректна только в том случае, если её правые части для пар $(E, F)$ и $(E \oplus G, F \oplus G)$ совпадают.

Для аддитивной конструкции это равенство выполняется автоматически: вклад общего слагаемого $G$ появляется с обоих концов и сокращается. Именно поэтому универсальное свойство группы Гротендика непосредственно продолжает операции, сохраняющие прямую сумму.

При $k \geq 2$ внешняя степень этому условию не удовлетворяет. Это видно уже над точкой. Один и тот же класс в $K (pt) ≅ Z$ имеет две записи

[C^{k - 1}] - [0] = [C^{k}] - [C]

но почленная формула даёт разные ответы:

[Λ^{k} C^{k - 1}] - [Λ^{k} (0)] = 0

[Λ^{k} C^{k}] - [Λ^{k} C] = 1

Действительно, $Λ^{k} C^{k - 1} = 0$ , тогда как $Λ^{k} C^{k} ≅ C$ и $Λ^{k} C = 0$ . Значит, значение $[Λ^{k} E] - [Λ^{k} F]$ может зависеть от выбранной пары, представляющей класс: такая зависимость уже возникает над точкой.

Этот контрпример опровергает только почленную формулу, а не возможность определить на $K (X)$ корректные операции, продолжающие внешние степени. Для их построения нужно учесть слагаемые, возникающие во внешней степени прямой суммы.

Внешняя степень прямой суммы

Зафиксируем точку $p \in X$ . Каждый вектор из $E_{p} \oplus F_{p}$ имеет вид $e + f$ , где $e \in E_{p}$ и $f \in F_{p}$ . Рассмотрим клин из $k$ таких векторов:

(e_{1} + f_{1}) \land \dots \land (e_{k} + f_{k})

Раскроем его по полилинейности. Каждый полученный член содержит некоторое число $i$ множителей из $E_{p}$ и $j$ множителей из $F_{p}$ , причём $i + j = k$ . Такие клинья порождают всё пространство $Λ^{k} (E_{p} \oplus F_{p})$ .

Канонические включения обоих слагаемых в $E_{p} \oplus F_{p}$ позволяют считать все множители векторами одного пространства. Переставив их с учётом знака, сначала поставим векторы из $E_{p}$ , а затем все векторы из $F_{p}$ . Для каждой пары $(i, j)$ с $i + j = k$ произведение клиньев задаёт линейное отображение

Λ^{i} E_{p} \otimes Λ^{j} F_{p} \overset{\land}{\to} Λ^{k} (E_{p} \oplus F_{p})

Взяв прямую сумму этих отображений по всем $i + j = k$ , получим изоморфизм. Чтобы это проверить, выберем базисы в $E_{p}$ и $F_{p}$ . Расположим в объединённом базисе сначала векторы из $E_{p}$ , затем из $F_{p}$ . Клинья из $k$ различных векторов объединённого базиса образуют базис $Λ^{k} (E_{p} \oplus F_{p})$ . Каждый такой клин содержит однозначно определённое число $i$ базисных векторов из $E_{p}$ и $j$ из $F_{p}$ , поэтому является образом ровно одного базисного тензора в соответствующем слагаемом.

Λ^{k} (E \oplus F) ≅ ⨁_{i + j = k} Λ^{i} E \otimes Λ^{j} F

Слагаемое с индексами $(i, j)$ состоит из клиньев с $i$ векторами из $E$ и $j$ векторами из $F$ . Базисы понадобились только для доказательства. Само отображение задано каноническими включениями и произведением клиньев, поэтому послойные разложения согласуются с локальными координатами и образуют изоморфизм расслоений.

При фиксированном $k$ ненулевые слагаемые расположены вдоль диагонали $i + j = k$ . Виджет показывает это разложение на векторных пространствах $V$ и $W$ размерностей $3$ и $2$ .

Для степени два распределите базисные клинья по числу множителей из каждого слагаемого. Затем сравните степени нуль и пять. Почему некоторые группы исчезают и почему в обоих крайних случаях остаётся ровно один базисный клин?

\dim V = 3, \dim W = 2

Λ^{2} (V \oplus W) ≅ ⨁_{i + j = 2} Λ^{i} V \otimes Λ^{j} W

пара степеней (2, 0) $\dim = 3$ например:

v_{1} \land v_{2}

v_{1} \land v_{3}

и ещё 1

пара степеней (1, 1) $\dim = 6$ например:

v_{1} \otimes w_{1}

v_{1} \otimes w_{2}

и ещё 4

пара степеней (0, 2) $\dim = 1$ базис:

w_{1} \land w_{2}

Проверка размерности $3 + 6 + 1 = 10 = (\binom{5}{2})$ В сумму размерностей входят только ненулевые пары степеней.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

При $k = 2$ формула уже содержит смешанное слагаемое:

Λ^{2} (E \oplus F) ≅ Λ^{2} E \oplus (E \otimes F) \oplus Λ^{2} F

Именно член $E \otimes F$ объясняет неаддитивность, обнаруженную в предыдущей части. Он мешает отдельной операции $[E] \mapsto [Λ^{2} E]$ быть аддитивной.

Вернёмся к общей степени. После перехода к классам расслоений теорема о прямой сумме принимает вид

[Λ^{k} (E \oplus F)] = \sum_{i + j = k} [Λ^{i} E] [Λ^{j} F]

Это именно формула свёртки Коши: последовательность для $E \oplus F$ получается свёрткой последовательностей

(1, [E], [Λ^{2} E], \dots)

(1, [F], [Λ^{2} F], \dots)

Произведение коэффициентов происходит в кольце $K (X)$ и означает тензорное произведение расслоений. Известный приём превращает такую свёртку в обычное произведение: последовательности заменяют их производящими функциями.

Производящая функция внешних степеней

Свёртку из предыдущей части удобно записать одним формальным производящим рядом. Для расслоения $E$ соберём в него классы всех внешних степеней. Ряды будем рассматривать в кольце $K (X) [[t]]$ : его коэффициенты лежат в $K (X)$ , а переменная $t$ служит только для учёта их номеров.

λ_{t} (E) = \sum_{k \geq 0} [Λ^{k} E] t^{k} \in 1 + t K (X) [[t]]

Постоянный коэффициент равен $[Λ^{0} E] = [\underset{―}{C}] = 1$ , поэтому ряд принадлежит указанному подмножеству.

Для настоящего расслоения этот формальный ряд на самом деле является многочленом. Функция ранга локально постоянна, а у конечного CW-комплекса лишь конечное число компонент. Поэтому ранги слоёв ограничены и все достаточно высокие внешние степени равны нулю.

Если ранг $E$ постоянен и равен $r$ , то многочлен имеет вид

λ_{t} (E) = 1 + [E] t + \dots + [det E] t^{r}

Для линейного расслоения $L$ это особенно просто. В одномерном слое любые два вектора линейно зависимы, поэтому их внешний квадрат равен нулю и все внешние степени начиная со второй исчезают:

λ_{t} (L) = 1 + [L] t

Таким образом, линейное расслоение даёт линейный множитель тотального λ-класса. После расщепления именно из таких множителей будет собираться класс произвольного расслоения.

При перемножении тотальных классов коэффициент при $t^{k}$ собирает все пары внешних степеней с суммой индексов $k$ . Формула из предыдущей части поэтому даёт

Перемножаем ряды
$λ_{t} (E) λ_{t} (F) = \sum_{k \geq 0} (\sum_{i + j = k} [Λ^{i} E] [Λ^{j} F]) t^{k}$
Используем разложение прямой суммы
$λ_{t} (E) λ_{t} (F) = \sum_{k \geq 0} [Λ^{k} (E \oplus F)] t^{k}$
Результат: Узнаём тотальный класс
$λ_{t} (E) λ_{t} (F) = λ_{t} (E \oplus F)$

Для нулевого расслоения $Λ^{0} (0) = \underset{―}{C}$ , а все положительные внешние степени равны нулю. Следовательно,

λ_{t} (0) = 1

Множество $1 + t K (X) [[t]]$ состоит из всех формальных рядов с постоянным коэффициентом $1$ . Каждый такой ряд имеет единственный формальный обратный, поэтому всё это множество образует абелеву группу относительно умножения. Отображение

λ_{t} : Vect (X) ⟶ 1 + t K (X) [[t]]

переводит нулевой класс в единицу и прямую сумму в произведение. Значит, это гомоморфизм из аддитивного моноида классов изоморфизма расслоений в мультипликативную группу формальных рядов.

λ-класс виртуального элемента

Предыдущая часть построила моноидный гомоморфизм $λ_{t}$ со значениями в группе формальных рядов. По универсальному свойству группового пополнения он единственным образом продолжается до группового гомоморфизма

λ_{t} : (K (X), +) ⟶ (1 + t K (X) [[t]], \cdot)

Продолжение совпадает с уже определённым тотальным классом настоящего расслоения. Поэтому для виртуального элемента $x = [E] - [F]$ оно обязано иметь следующий вид.

λ_{t} (x) = λ_{t} (E) λ_{t} (F)^{- 1}

Добавление общего расслоения к обеим частям не меняет этот ряд: отвечающий ему множитель сокращается. Для общего слагаемого будем снова использовать обозначение $G \to X$ .

Числитель
$λ_{t} (E \oplus G) = λ_{t} (E) λ_{t} (G)$
Знаменатель
$λ_{t} (F \oplus G) = λ_{t} (F) λ_{t} (G)$
Результат: Сокращение
$\frac{λ_{t} (E) λ_{t} (G)}{λ_{t} (F) λ_{t} (G)} = \frac{λ_{t} (E)}{λ_{t} (F)}$

Каждый коэффициент продолженного ряда является элементом $K (X)$ . Обозначим его через $λ^{k} (x)$ :

λ_{t} (x) = \sum_{k \geq 0} λ^{k} (x) t^{k}

λ^{k} : K (X) ⟶ K (X)

Для $x, y \in K (X)$ мультипликативность тотального класса даёт основные свойства его коэффициентов:

λ^{0} (x) = 1

λ^{1} (x) = x

λ^{k} (x + y) = \sum_{i + j = k} λ^{i} (x) λ^{j} (y)

Последняя формула заменяет обычную аддитивность: отдельная $λ^{k}$ нелинейна, но все коэффициенты вместе подчиняются одному правилу.

Теперь вернёмся к двум представлениям класса $[C^{k - 1}] \in K (pt)$ из первой части. Тотальный класс даёт для них один и тот же результат:

λ_{t} (C^{k - 1}) = (1 + t)^{k - 1}

λ_{t} (C^{k}) λ_{t} (C)^{- 1} = \frac{(1 + t)^{k}}{1 + t} = (1 + t)^{k - 1}

При $k \geq 2$ коэффициент при $t^{k}$ в обоих рядах равен нулю. Поэтому $λ^{k} ([C^{k - 1}]) = 0$ , тогда как почленная формула из первой части давала два разных ответа.

Пусть теперь $f : Y \to X$ — непрерывное отображение конечных CW-комплексов и $x \in K (X)$ . Обратный образ согласуется с внешними степенями настоящих расслоений, а единственность продолжения переносит это свойство на виртуальные элементы. Применяя $f^{*}$ к коэффициентам ряда, получаем

f^{*} (λ_{t} (x)) = λ_{t} (f^{*} x)

f^{*} (λ^{k} (x)) = λ^{k} (f^{*} x)

Для каждого $k \geq 0$ теперь определена естественная операция $λ^{k} : K (X) \to K (X)$ с условием

λ^{k} ([E]) = [Λ^{k} E]

Тем самым основная задача главы решена. Оставшиеся части дают геометрическое описание обратного ряда и способы вычислять построенные операции.

Если ранги слоёв расслоения $E$ не превосходят $r$ , то все $[Λ^{k} E]$ с $k > r$ равны нулю. Однако для виртуальной разности нужно обратить тотальный класс вычитаемого расслоения, и это может создать бесконечный ряд. У линейного расслоения $L$ как числитель $1 + [L] t$ , так и тотальный λ-класс вычитаемой тривиальной прямой $1 + t$ линейны, но их частное уже обычно не является многочленом:

λ_{t} ([L] - 1) = \frac{1 + [L] t}{1 + t}

λ^{k} ([L] - 1) = (- 1)^{k - 1} ([L] - 1), k \geq 1

Чтобы понимать коэффициенты обратного ряда геометрически, нужно определить, какие настоящие расслоения их представляют.

Обратный ряд тотального λ-класса

Для векторного пространства $V$ симметрическая степень $S^{k} V$ получается из тензорной степени $V^{\otimes k}$ , если отождествить тензоры, отличающиеся перестановкой множителей. Выполнив эту конструкцию в каждом слое расслоения $E$ , получим расслоение $S^{k} E$ . Соберём его классы в ряд

S_{t} (E) = \sum_{k \geq 0} [S^{k} E] t^{k} \in 1 + t K (X) [[t]]

Для прямой суммы работает то же распределение множителей, что и для внешних степеней. После раскрытия тензора каждый член содержит $i$ множителей из $E$ и $j$ из $F$ , где $i + j = k$ . Теперь перестановки не создают знаков, и группировка членов даёт

S^{k} (E \oplus F) ≅ ⨁_{i + j = k} S^{i} E \otimes S^{j} F

S_{t} (E \oplus F) = S_{t} (E) S_{t} (F)

На линейном расслоении особенно ясно различие двух конструкций. Внешняя степень запрещает повторять единственное линейное направление, поэтому $λ_{t} (L) = 1 + [L] t$ обрывается после первой степени. Симметрическая степень, напротив, разрешает повторять один и тот же множитель сколько угодно раз. Поэтому для линейного расслоения $L$ при каждом $k \geq 0$ имеем

S^{k} L ≅ L^{\otimes k}

Поэтому каждый следующий коэффициент тотального симметрического класса получается умножением предыдущего на $[L]$ . Это обычная формальная геометрическая прогрессия:

λ_{- t} (L) = 1 - [L] t

S_{t} (L) = \sum_{k \geq 0} [L]^{k} t^{k}

S_{t} (L) = (1 - [L] t)^{- 1}

Каждый коэффициент $[L]^{k}$ имеет ранг $1$ , поэтому не исчезает: симметрический ряд действительно бесконечен. Так линейный внешний ряд $λ_{- t} (L) = 1 - [L] t$ и бесконечный симметрический ряд оказываются взаимно обратными.

Остаётся перейти от линейных расслоений к произвольному $E$ . Равенство можно проверять отдельно на каждой компоненте базы, поэтому достаточно считать, что $E$ имеет постоянный ранг $r$ . По принципу расщепления существует отображение $π : Y \to X$ для которого

π^{*} : K (X) ⟶ K (Y) инъективно

π^{*} E ≅ L_{1} \oplus \dots \oplus L_{r}

Обратный образ согласуется как с внешними, так и с симметрическими степенями:

π^{*} (Λ^{k} E) ≅ Λ^{k} (π^{*} E)

π^{*} (S^{k} E) ≅ S^{k} (π^{*} E)

На формальные ряды отображение $π^{*}$ действует покоэффициентно. После обратного образа оба тотальных класса раскладываются в произведения линейных множителей, которые попарно сокращаются:

π^{*} (λ_{- t} (E)) = \prod_{a = 1}^{r} (1 - [L_{a}] t)

π^{*} (S_{t} (E)) = \prod_{a = 1}^{r} (1 - [L_{a}] t)^{- 1}

π^{*} (λ_{- t} (E) S_{t} (E)) = 1

Отображение $π^{*}$ остаётся инъективным: если образ ряда равен нулю, инъективность на $K (X)$ обращает в нуль каждый его коэффициент. Поэтому последнее равенство уже выполняется над исходной базой.

λ_{- t} (E) S_{t} (E) = 1

Для настоящего расслоения теорема отождествляет $S_{t} (E)$ с обратным к $λ_{- t} (E)$ . Правая часть имеет смысл для любого $x \in K (X)$ , поэтому положим

S_{t} (x) = λ_{- t} (x)^{- 1}

λ_{t} (- x) = λ_{t} (x)^{- 1} = S_{- t} (x)

Теперь λ-класс виртуальной разности выражается через внешние и симметрические степени настоящих расслоений:

λ_{t} ([E] - [F]) = λ_{t} (E) S_{- t} (F)

λ^{k} ([E] - [F]) = \sum_{i + j = k} (- 1)^{j} [Λ^{i} E \otimes S^{j} F]

При $k = 2$ общая формула принимает особенно наглядный вид:

λ^{2} ([E] - [F]) = [Λ^{2} E] - [E \otimes F] + [S^{2} F]

В отвергнутой почленной формуле стояло слагаемое $- [Λ^{2} F]$ . В корректной операции вместо него появляются смешанное слагаемое $- [E \otimes F]$ и симметрическая степень $[S^{2} F]$ .

Знак $(- 1)^{j}$ появляется из подстановки $- t$ в симметрический ряд. Поэтому коэффициент обычно является виртуальной чередующейся суммой, а не классом одного настоящего расслоения. Весь ряд может быть бесконечным, но для вычисления одного коэффициента требуется лишь конечное число слагаемых.

Принцип расщепления для λ-операций

В предыдущей части принцип расщепления использовался для доказательства равенства рядов. Теперь извлечём из него способ вычислять отдельные λ-операции. Равенства можно проверять отдельно на каждой компоненте, поэтому в этой части считаем $X$ связным. Пусть $rk E = r$ и $π : Y \to X$ — отображение, для которого $π^{*} : K (X) \to K (Y)$ инъективно, а обратный образ расслоения $E$ раскладывается в сумму линейных расслоений:

π^{*} E ≅ L_{1} \oplus \dots \oplus L_{r}

Обратный образ согласуется с λ-операциями, а прямую сумму тотальный класс переводит в произведение. Поэтому

π^{*} (λ_{t} (E)) = λ_{t} (π^{*} E) = \prod_{a = 1}^{r} (1 + [L_{a}] t)

Коэффициент при $t^{k}$ получается выбором $k$ различных множителей из этого произведения:

π^{*} (λ^{k} ([E])) = \sum_{1 \leq a_{1} < \dots < a_{k} \leq r} [L_{a_{1}}] \dots [L_{a_{k}}]

Правая часть является $k$ -м элементарным симметрическим многочленом от классов $[L_{1}], \dots, [L_{r}]$ : это сумма всех произведений по $k$ различным индексам.

Тот же приём вычисляет и виртуальный элемент $x = [E] - [F]$ , где $rk F = m$ . Последовательно применив принцип расщепления к обоим расслоениям, получим общее для них отображение. Его и его область будем снова обозначать через $π : Y \to X$ . Обратный образ остаётся инъективным, а над $Y$ оба расслоения раскладываются в суммы линейных расслоений $L_{a}$ и $M_{b}$ :

π^{*} E ≅ ⨁_{a = 1}^{r} L_{a}

π^{*} F ≅ ⨁_{b = 1}^{m} M_{b}

π^{*} (λ_{t} (x)) = λ_{t} (π^{*} E) λ_{t} (π^{*} F)^{- 1}

π^{*} (λ_{t} (x)) = \frac{\prod_{a = 1}^{r} (1 + [L_{a}] t)}{\prod_{b = 1}^{m} (1 + [M_{b}] t)}

Так принцип расщепления сводит вычисление λ-операций виртуального класса к умножению и обращению линейных множителей.

Таким образом, принцип расщепления не определяет λ-операции, а сводит их вычисление к линейным расслоениям. Основным классом нулевого ранга в таком вычислении становится $[L] - 1$ . Его λ-ряд обычно бесконечен. Далее изменим переменную в тотальном классе так, чтобы эта основная разность задавалась многочленом первой степени. Коэффициенты полученного ряда называются γ-операциями.

γ-операции

До сих пор мы работали с абсолютной группой $K (X)$ . В ней сохраняется вклад функции ранга. λ-операции приспособлены именно к этой абсолютной модели: на классе настоящего расслоения они восстанавливают его внешние степени.

В приведённой $K$ -теории целочисленную часть, задаваемую рангом, удаляют. После выбора базовой точки на связном $X$ её элементы можно рассматривать как классы нулевого ранга. Простейший такой класс строится из линейного расслоения вычитанием тривиальной прямой: $[L] - 1$ .

Исходная λ-координата не приспособлена к такой разности: её тотальный λ-класс, вообще говоря, является бесконечным рядом. Для работы с приведённой частью нужна другая координата того же ряда — такая, в которой $[L] - 1$ даёт линейный многочлен. Эту замену координат и задают γ-операции. Они определены на всей $K (X)$ , но их форма выбрана специально для классов нулевого ранга. В следующей главе степень γ-операции будет измерять глубину таких классов.

Выведем нужную замену переменной из условия, что класс $[L] - 1$ должен давать линейный многочлен. Если временно обозначить переменную λ-ряда через $u$ , то

λ_{u} ([L] - 1) = \frac{1 + [L] u}{1 + u}

\frac{1 + [L] u}{1 + u} = 1 + \frac{u}{1 + u} ([L] - 1)

Чтобы коэффициент при $[L] - 1$ стал новой переменной $t$ , потребуем $t = u / (1 + u)$ . Решая это равенство относительно $u$ , получаем $u = t / (1 - t)$ . Эта замена и определяет новый ряд.

Для $x \in K (X)$ положим

γ_{t} (x) = λ_{t / (1 - t)} (x) = \sum_{k \geq 0} γ^{k} (x) t^{k}

По построению основная линейная разность теперь имеет только один ненулевой коэффициент положительной степени:

γ_{t} ([L] - 1) = 1 + t ([L] - 1)

Для $x, y \in K (X)$ замена переменной сохраняет мультипликативность тотального класса. Поэтому

γ_{t} (x + y) = γ_{t} (x) γ_{t} (y)

γ^{0} (x) = 1

γ^{1} (x) = x

γ^{k} (x + y) = \sum_{i + j = k} γ^{i} (x) γ^{j} (y)

Для доказательства конечности ряда далее считаем, что $X$ связно. Тогда ранг задаёт гомоморфизм в $Z$ . Его ядро — приведённая группа:

\tilde{K} (X) = \ker (rk : K (X) \to Z)

Эта подгруппа является идеалом классов нулевого ранга. Возьмём $x \in \tilde{K} (X)$ и представим его как $x = [A] - [B]$ . Поскольку ранг $x$ равен нулю, расслоения $A$ и $B$ имеют одинаковый ранг. Выберем дополнение $C$ и целое число $n \geq 0$ так, чтобы

B \oplus C ≅ {\underset{―}{C}}^{n}

Положив $E = A \oplus C$ , получаем $rk E = n$ и запись

x = [E] - [{\underset{―}{C}}^{n}]

Используем уже найденную замену $u = t / (1 - t)$ . Для тривиального расслоения ранга $n$ имеем $λ_{u} ({\underset{―}{C}}^{n}) = (1 + u)^{n}$ , а $1 + u = (1 - t)^{- 1}$ . Поэтому

Используем формальную разность
$γ_{t} (x) = λ_{u} (E) λ_{u} ({\underset{―}{C}}^{n})^{- 1}$
Обращаем тривиальное слагаемое
$γ_{t} (x) = λ_{u} (E) (1 - t)^{n}$
Результат: Раскрываем внешние степени
$γ_{t} (x) = \sum_{i = 0}^{n} [Λ^{i} E] t^{i} (1 - t)^{n - i}$

Последняя формула является многочленом степени не выше $n$ . Поэтому для выбранного представления

γ^{i} (x) = 0 при i > n

Число $n$ зависит от выбранного дополнения и не является инвариантом $x$ . Для конечности важно лишь существование хотя бы одной такой границы. Сами γ-операции определены через уже корректный λ-класс и от выбора представления не зависят.

Итак, γ-операции превращают класс нулевого ранга в конечный набор поправок, пронумерованных их индексом. В следующей главе произведения, у которых сумма этих индексов достаточно велика, образуют последовательные ступени фильтрации. Сначала, однако, нужно построить операции, способные различать эти ступени: ими станут операции Адамса.

Исходное препятствие устраняется переходом от одной внешней степени ко всему тотальному классу:

λ_{t} (E \oplus F) = λ_{t} (E) λ_{t} (F)

λ_{t} ([E] - [F]) = \frac{λ_{t} (E)}{λ_{t} (F)}

λ_{t} ([E] - [F]) = λ_{t} (E) S_{- t} (F)

γ_{t} ([L] - 1) = 1 + t ([L] - 1)

Первая формула делает возможным групповое пополнение, две следующие определяют λ-операции виртуального класса, а последняя переводит классы нулевого ранга в координаты, из которых строится γ-фильтрация. На этом внешние степени продолжены на $K (X)$ . Следующая задача — извлечь из λ-ряда аддитивные операции и с их помощью различить будущие ступени γ-фильтрации.

Внешние степени и λ-операции

Соглашения

Внешние степени не продолжаются почленно на K-теорию

Внешняя степень прямой суммы

Каноническое разложение

Разложение по парам степеней

Производящая функция внешних степеней

Тотальный λ-класс

λ-класс виртуального элемента

Формальная разность

Продолжение построено

Обратный ряд тотального λ-класса

Симметрические степени дают обратный ряд

Принцип расщепления для λ-операций

γ-операции

Тотальный γ-класс

γ-ряд отдельного класса конечен

Итог главы