Приложение к K-теории · Инвариант Хопфа

Инвариант Хопфа

Для отображения $S^{n} \to S^{n}$ степень является коэффициентом клеточного дифференциала в его конусе. Для отображения $S^{m} \to S^{n}$ при $m > n$ клетки конуса уже не соседствуют по размерности, поэтому все клеточные дифференциалы равны нулю и группы когомологий конуса не зависят от приклеивающего отображения. При $m = 2 n - 1$ умножение в кольце когомологий может зависеть от приклеивающего отображения: квадрат образующего $α \in H^{n} (C_{f})$ является целым кратным образующего $β \in H^{2 n} (C_{f})$ . Этот коэффициент называется инвариантом Хопфа. Для классического отображения $S^{3} \to S^{2}$ он равен единице. Затем мы докажем аддитивность инварианта и сформулируем теорему Адамса об отображениях с инвариантом $\pm 1$ .

Соглашения

$H^{q} (X)$ обозначает $q$ -ю группу обычных целочисленных когомологий пространства $X$ . Это обозначение не следует смешивать с K-группой $K^{q} (X)$ .
Без доказательства используются стандартные теоремы о клеточной аппроксимации и клеточном вычислении обычных когомологий. Нужные свойства чашечного произведения сформулированы в части о размерности квадрата.
На каждой сфере выбраны базовая точка и ориентация; все рассматриваемые отображения сохраняют базовую точку.
Если явно не сказано обратное, $n \geq 2$ .

Степень отображения

Сначала выясним, какую информацию об отображении сохраняет клеточный цепной комплекс его конуса. Для сфер одной размерности степень возникает как коэффициент единственного потенциально ненулевого дифференциала; затем сравним этот случай с отображением между сферами разных размерностей.

Пусть сначала $f : S^{n} \to S^{n}$ . Снабдим обе сферы ориентациями и стандартными CW-структурами с одной клеткой размерности $0$ и одной клеткой размерности $n$ . Конус отображения получается добавлением к целевой сфере одной клетки размерности $n + 1$ :

C_{f} = S^{n} \cup_{f} D^{n + 1}

Для CW-комплекса $X$ группа клеточных цепей $C_{k}^{cell} (X)$ — свободная абелева группа на ориентированных клетках размерности $k$ . Клеточный дифференциал выражает границу клетки как целочисленную линейную комбинацию клеток размерности $k - 1$ . Обозначим ориентированную клетку конуса через $e_{n + 1}$ , клетку целевой сферы — через $e_{n}$ , а дифференциал между соответствующими группами — через $d_{n + 1}$ . Единственный фрагмент клеточного цепного комплекса $C_{f}$ , в котором приклеивающее отображение может дать ненулевой коэффициент, имеет вид

d_{n + 1}

Объекты и связи диаграммы

группа клеточных цепей размерности n плюс один: Группа порождена ориентированной клеткой $D^{n + 1}$ , приклеенной к целевой сфере по отображению $f$ .
группа клеточных цепей размерности n: Группа порождена ориентированной клеткой размерности $n$ в целевой сфере.
клеточный дифференциал размерности n плюс один: От «группа клеточных цепей размерности n плюс один» к «группа клеточных цепей размерности n».Дифференциал выражает границу приклеенной клетки через клетку целевой сферы. Его целый коэффициент равен степени $f$ .

Ориентируем диск так, чтобы граничная ориентация $\partial D^{n + 1}$ совпадала с выбранной ориентацией исходной сферы. Поскольку обе группы изоморфны $Z$ , дифференциал является умножением на единственное целое число. Это число называется степенью отображения $f$ и обозначается $\deg f$ :

d_{n + 1} (e_{n + 1}) = (\deg f) e_{n}

По теореме о клеточной аппроксимации отображение $f$ можно заменить гомотопным клеточным отображением. Оно индуцирует отображение клеточных цепей, которое переводит образующую группы клеточных цепей исходной сферы в $(\deg f) e_{n}$ . Двойственное отображение клеточных коцепей умножает ориентирующий класс на тот же коэффициент. Обозначим ориентирующие классы исходной и целевой сфер соответственно через $ω_{n}^{исх}$ и $ω_{n}^{цел}$ . Тогда эквивалентное описание степени имеет вид

f^{*} ω_{n}^{цел} = (\deg f) ω_{n}^{исх}

Теперь сравним этот комплекс со случаем $f : S^{m} \to S^{n}$ , где $m > n$ . Его конус определён в главе о кослоях и имеет вид

C_{f} = S^{n} \cup_{f} C S^{m} ≅ S^{n} \cup_{f} D^{m + 1}

В этом конусе есть клетки только размерностей $0, n, m + 1$ . Обозначим верхнюю клетку через $e_{m + 1}$ . Показанные ниже дифференциалы обозначим через $d_{m + 1}$ , $d_{n + 1}$ и $d_{n}$ . Дифференциал $d_{m + 1}$ принимает значения в $C_{m}^{cell} (C_{f}) = 0$ , а дифференциал $d_{n}$ из $C_{n}^{cell} (C_{f})$ — в $C_{n - 1}^{cell} (C_{f}) = 0$ . Весь фрагмент комплекса в положительных степенях выглядит так:

d_{m + 1}

d_{n}

d_{n + 1}

Объекты и связи диаграммы

группа цепей верхней клетки размерности m плюс один: Группа порождена клеткой $D^{m + 1}$ , приклеенной по отображению $f : S^{m} \to S^{n}$ .
группа цепей клетки целевой сферы размерности n: Группа порождена клеткой размерности $n$ в целевой сфере.
нулевая группа цепей размерности n минус один: В стандартной клеточной структуре сферы нет клетки размерности $n - 1$ .
нулевые группы цепей между размерностями n и m: В конусе нет клеток размерности $k$ при $n < k \leq m$ . Между верхней клеткой и клеткой целевой сферы расположен блок нулевых цепных групп.
дифференциал из верхней клеточной группы: От «группа цепей верхней клетки размерности m плюс один» к «нулевые группы цепей между размерностями n и m».Целевая группа равна нулю, поэтому $d_{m + 1} = 0$ независимо от приклеивающего отображения.
дифференциал из клеточной группы целевой сферы: От «группа цепей клетки целевой сферы размерности n» к «нулевая группа цепей размерности n минус один».Цель также равна нулю, поэтому $d_{n} = 0$ .
дифференциал из нулевой группы размерности n плюс один: От «нулевые группы цепей между размерностями n и m» к «группа цепей клетки целевой сферы размерности n».Последняя группа нулевого блока — $C_{n + 1}^{cell} (C_{f}) = 0$ , поэтому $d_{n + 1} = 0$ .

Все показанные дифференциалы равны нулю; других ненулевых групп клеточных цепей положительных степеней нет. Поэтому, в отличие от случая $m = n$ , клеточный цепной комплекс не содержит коэффициента, зависящего от $f$ .

Клеточные коцепи — это гомоморфизмы из клеточных цепей в $Z$ ; их дифференциал двойствен клеточной границе и потому также равен нулю. Теорема о клеточных когомологиях отождествляет когомологии этого коцепного комплекса с обычными когомологиями $C_{f}$ . Коцепные группы в степенях $0, n, m + 1$ изоморфны $Z$ , а остальные равны нулю. Отсюда

H^{q} (C_{f}) ≅ {\begin{cases} Z, & q = 0, n, m + 1, \\ 0, & иначе \end{cases}

При $m = n$ коэффициент клеточного дифференциала равен $\deg f$ . При $m > n$ ненулевые положительные цепные группы лежат в несоседних степенях, поэтому все дифференциалы равны нулю. Для всех отображений $S^{m} \to S^{n}$ группы когомологий конуса попарно изоморфны. Поэтому как градуированные группы они не различают приклеивающие отображения; далее проверим, может ли их различать чашечное произведение.

Размерность чашечного квадрата

В предыдущей части аддитивные группы когомологий конуса оказались попарно изоморфными для всех приклеивающих отображений. Теперь учтём чашечное произведение. Нам понадобятся три его свойства. Если $x \in H^{r} (X)$ , $y \in H^{s} (X)$ и $g : Y \to X$ , то

x ⌣ y \in H^{r + s} (X)

g^{*} (x ⌣ y) = g^{*} x ⌣ g^{*} y

x ⌣ y = (- 1)^{r s} y ⌣ x

Первое свойство показывает, в какой группе лежит произведение, второе выражает его естественность, а третье — градуированную коммутативность. Для образующего $α$ группы $H^{n} (C_{f})$ его квадрат удовлетворяет

α^{2} \in H^{2 n} (C_{f})

Единственная ненулевая группа положительной степени, кроме $H^{n} (C_{f})$ , — $H^{m + 1} (C_{f}) ≅ Z$ . Обозначим через $β$ её образующий, представленный коцепью, двойственной клетке размерности $m + 1$ . Чтобы представить класс $α^{2}$ как целое кратное $β \in H^{m + 1} (C_{f})$ , оба класса должны принадлежать одной группе когомологий. Виджет показывает, когда это происходит.

Зафиксируйте нижнюю степень и подберите разность степеней, при которой квадрат нижнего класса может попасть в верхнюю группу. Сдвиньте разность на единицу в обе стороны, где это позволяет диапазон. Совпадение степеней доказывает ненулевой квадрат или только допускает его?

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Степени совпадают ровно при условии

2 n = m + 1 ⟺ m = 2 n - 1

Поэтому только для отображений

f : S^{2 n - 1} ⟶ S^{n}

класс $α^{2}$ может быть ненулевым кратным $β$ . В следующей части зафиксируем знаки образующих и определим этот целый коэффициент.

Инвариант Хопфа

Зафиксируем отображение $f : S^{2 n - 1} \to S^{n}$ . Группы $H^{n} (C_{f})$ и $H^{2 n} (C_{f})$ изоморфны $Z$ . Выразим квадрат образующего степени $n$ через образующий степени $2 n$ и проверим гомотопическую инвариантность полученного коэффициента. Конус имеет вид

C_{f} = S^{n} \cup_{f} D^{2 n}

Чтобы коэффициент квадрата был однозначным целым числом, зафиксируем знаки образующих групп $H^{n} (C_{f})$ и $H^{2 n} (C_{f})$ . Получим эти образующие из выбранных ориентаций сфер. Обозначим включение через $i : S^{n} ↪ C_{f}$ , а схлопывание этой сферы — через

q : C_{f} ⟶ C_{f} / S^{n} ≅ S^{2 n}

На клеточных коцепях ограничение $i^{*}$ переводит коцепь, двойственную клетке размерности $n$ в $C_{f}$ , в коцепь, двойственную клетке сферы $S^{n}$ . Обратный образ $q^{*}$ переводит коцепь, двойственную клетке сферы $S^{2 n}$ , в коцепь, двойственную верхней клетке конуса. Поэтому клеточное вычисление из первой части даёт изоморфизмы

i^{*} : H^{n} (C_{f}) \overset{≅}{\to} H^{n} (S^{n})

q^{*} : H^{2 n} (S^{2 n}) \overset{≅}{\to} H^{2 n} (C_{f})

Ориентация $S^{n}$ задаёт образующий $ω_{n}$ и единственный класс $α \in H^{n} (C_{f})$ с $i^{*} α = ω_{n}$ . Ориентируем приклеенный диск $D^{2 n}$ так, чтобы граничная ориентация совпадала с уже выбранной ориентацией исходной сферы $S^{2 n - 1}$ . Эта ориентация задаёт ориентацию фактор-сферы $D^{2 n} / \partial D^{2 n} ≅ S^{2 n}$ и её образующий $ω_{2 n}$ ; положим

β = q^{*} ω_{2 n} \in H^{2 n} (C_{f})

Поскольку $q^{*}$ — изоморфизм, $β$ порождает $H^{2 n} (C_{f})$ . Класс $α^{2} = α ⌣ α$ принадлежит той же бесконечной циклической группе, поэтому его коэффициент относительно $β$ определён однозначно.

Инвариантом Хопфа отображения $f : S^{2 n - 1} \to S^{n}$ называется целое число $H (f)$ , определённое равенством

α ⌣ α = H (f) β

Теперь проверим зависимость этого коэффициента от ориентаций и гомотопии. Смена ориентации сферы $S^{n}$ заменяет $α$ на $- α$ и не меняет $α^{2}$ ; смена ориентации исходной сферы $S^{2 n - 1}$ меняет согласованную с ней ориентацию верхнего диска и заменяет $β$ на $- β$ и потому меняет знак $H (f)$ .

Если $f ≃ g$ , по стандартной лемме о приклеивании по гомотопным отображениям существует гомотопическая эквивалентность $Φ : C_{f} \to C_{g}$ , которая совпадает с тождественным отображением на $S^{n}$ . На относительной верхней клетке она индуцирует тождество, поэтому на фактор-сфере $C_{f} / S^{n} ≅ S^{2 n}$ имеет степень $+ 1$ . Лемму используем без доказательства. Поэтому, если $α, β$ — выбранные классы в $C_{g}$ , то $Φ^{*} α, Φ^{*} β$ удовлетворяют тем же условиям нормировки в $C_{f}$ . Обратный образ сохраняет чашечное произведение:

Φ^{*} (α^{2}) = (Φ^{*} α)^{2}

Применив $Φ^{*}$ к определяющему равенству для $g$ , получаем определяющее равенство для $f$ с тем же коэффициентом. Поэтому $H (f) = H (g)$ .

Выбранные выше ориентации однозначно определяют образующие $α$ и $β$ , а значит, и целое число $H (f)$ . Если $f ≃ g$ , то

H (f) = H (g)

Следовательно, инвариант Хопфа определяется гомотопическим классом отображения между сферами с выбранными ориентациями.

Когда инвариант Хопфа равен нулю

Перед поиском ненулевого примера установим два условия, при которых инвариант обязательно равен нулю. Сначала рассмотрим постоянное отображение $c : S^{2 n - 1} \to S^{n}$ . Его конус отождествляется с букетом

C_{c} ≅ S^{n} \lor S^{2 n}

Пусть $r : S^{n} \lor S^{2 n} \to S^{n}$ — ретракция на первое слагаемое, а $i : S^{n} ↪ S^{n} \lor S^{2 n}$ — включение первого слагаемого. Поскольку $r \circ i = {id}_{S^{n}}$ , выполняется $i^{*} r^{*} ω_{n} = ω_{n}$ . Из определяющего условия $i^{*} α = ω_{n}$ и изоморфности $i^{*}$ получаем $α = r^{*} ω_{n}$ .

Квадрат $ω_{n}^{2}$ равен нулю, поскольку $H^{2 n} (S^{n}) = 0$ . Естественность произведения даёт $α^{2} = r^{*} (ω_{n}^{2}) = 0$ , поэтому $H (c) = 0$ .

Если $f ≃ c$ , то гомотопическая инвариантность из предыдущей части даёт $H (f) = H (c) = 0$ .

Второе условие зависит только от размерности. Если $n$ нечётно, градуированная коммутативность даёт

α^{2} = (- 1)^{n^{2}} α^{2} = - α^{2}

Значит, $2 α^{2} = 0$ . Но $H^{2 n} (C_{f}) ≅ Z$ не содержит ненулевых элементов конечного порядка, поэтому $α^{2} = 0$ . В определяющем равенстве $α^{2} = H (f) β$ класс $β$ порождает эту группу. Следовательно, $H (f) = 0$ .

f ≃ c ⟹ H (f) = 0

n нечётно ⟹ H (f) = 0

Следовательно, ненулевой инвариант Хопфа доказывает, что отображение не гомотопно постоянному. Инвариант может быть ненулевым только при чётном $n$ .

Так как всюду предполагается $n \geq 2$ , первый ещё не исключённый случай — $n = 2$ . Теперь построим отображение $S^{3} \to S^{2}$ с ненулевым инвариантом Хопфа.

Классическое отображение Хопфа

Рассмотрим единичную сферу в $C^{2}$ . Каждая её точка — ненулевой вектор $(z_{0}, z_{1}) \in C^{2}$ , порождающий единственную комплексную прямую. Сопоставляя вектору эту прямую, получаем отображение

π : S^{3} ⟶ {CP}^{1} ≅ S^{2}, π (z_{0}, z_{1}) = [z_{0} : z_{1}]

Иными словами, $S^{3}$ является пространством единичных векторов тавтологического линейного расслоения над ${CP}^{1}$ , а $π$ — проекцией этого расслоения. Слой над каждой прямой состоит из её единичных векторов и является окружностью. Отображение $π$ называется классическим отображением Хопфа.

Чтобы вычислить $H (π)$ , отождествим конус $C_{π}$ с ${CP}^{2}$ , кольцо когомологий которого известно. Комплексная проективная плоскость имеет по одной клетке размерностей $0, 2, 4$ . Характеристическим отображением верхней клетки называется отображение $D^{4} \to {CP}^{2}$ , переводящее внутренность диска гомеоморфно на открытую клетку размерности $4$ . На единичном диске $D^{4} \subset C^{2}$ такое отображение задаётся формулой

D^{4} ⟶ {CP}^{2}

(z_{0}, z_{1}) ⟼ [\sqrt{1 - | z_{0} |^{2} - | z_{1} |^{2}} : z_{0} : z_{1}]

При строгом неравенстве $| z_{0} |^{2} + | z_{1} |^{2} < 1$ первая однородная координата положительна. Поэтому образ внутренности диска лежит в открытой клетке, состоящей из точек с ненулевой первой однородной координатой.

Каждая точка этой клетки имеет единственного представителя с положительной вещественной первой координатой и нормой $1$ . Нормировка однородных координат указанным образом задаёт непрерывное обратное отображение. Следовательно, внутренность $D^{4}$ отображается гомеоморфно на открытую клетку.

На границе $S^{3} = \partial D^{4}$ первая координата равна нулю. Поэтому ограничение характеристического отображения на границу имеет вид $(z_{0}, z_{1}) \mapsto [0 : z_{0} : z_{1}]$ . После отождествления проективной гиперплоскости ${[0 : z_{0} : z_{1}]} ≅ {CP}^{1}$ это в точности отображение $π$ . Значит, граница верхней клетки приклеивается к ${CP}^{1} ≅ S^{2}$ именно по $π$ . Поэтому

C_{π} ≅ {CP}^{2}

Используем без доказательства стандартное вычисление кольца целочисленных когомологий проективной плоскости:

H^{*} ({CP}^{2}) ≅ Z [a] / (a^{3}), a \in H^{2} ({CP}^{2})

Класс $a$ порождает $H^{2} ({CP}^{2})$ , а $a^{2}$ порождает $H^{4} ({CP}^{2})$ . Поэтому модуль коэффициента в равенстве $α^{2} = H (π) β$ равен $1$ . Выберем ориентации так, чтобы в определении инварианта $α = a$ и $β = a^{2}$ . Тогда

α^{2} = β

H (π) = 1

По результату предыдущей части отображение $π : S^{3} \to S^{2}$ не гомотопно постоянному.

Теперь центральное различие можно увидеть на двух отображениях $c, π : S^{3} \to S^{2}$ . Их конусы имеют изоморфные аддитивные группы когомологий, но разные чашечные квадраты. В каждой колонке $α$ и $β$ обозначают образующие, выбранные по ориентациям в определении инварианта Хопфа для соответствующего конуса.

Одинаковые аддитивные группы, разное чашечное произведение
Данные	Постоянное $c$	Отображение Хопфа $π$
Конус	$C_{c} ≅ S^{2} \lor S^{4}$	$C_{π} ≅ {CP}^{2}$
$H^{2}$	$Z$	$Z$
$H^{4}$	$Z$	$Z$
Остальные положительные степени	$0$	$0$
Чашечный квадрат	$α^{2} = 0$	$α^{2} = β$
Инвариант Хопфа	$H (c) = 0$	$H (π) = 1$

Мы сравнили два отображения и получили первый ненулевой пример. Теперь введём сложение гомотопических классов и докажем аддитивность инварианта Хопфа.

Аддитивность инварианта Хопфа

Пусть $f, g : S^{2 n - 1} \to S^{n}$ — отображения, сохраняющие выбранную базовую точку; далее будем называть их базированными. Обозначим через $p$ отображение, схлопывающее экватор в базовую точку. Каждое полушарие при этом превращается в копию $S^{2 n - 1}$ ; оба отождествления выбираем сохраняющими ориентацию. Отображение $f \lor g$ действует как $f$ на первом слагаемом и как $g$ на втором. Наконец, $\nabla$ на каждой копии $S^{n}$ совпадает с тождественным отображением:

\nabla

p

f \lor g

Объекты и связи диаграммы

букет двух копий исходной сферы: Две ориентированные копии исходной сферы, полученные из полушарий после схлопывания экватора.
исходная сфера суммы отображений: Исходная сфера отображений $f$ и $g$ с выбранными базовой точкой и ориентацией.
целевая сфера суммы отображений: Общая целевая сфера; складывающее отображение переводит в неё оба слагаемых букета тождественно.
букет двух копий целевой сферы: На первую копию исходной сферы действует $f$ , на вторую — $g$ .
складывающее отображение букета сфер: От «букет двух копий целевой сферы» к «целевая сфера суммы отображений».На каждой копии $S^{n}$ совпадает с тождественным отображением общей целевой сферы.
схлопывание экватора: От «исходная сфера суммы отображений» к «букет двух копий исходной сферы».Схлопывает экватор в базовую точку. Отождествления обоих полушарий с фактор-сферами сохраняют ориентацию.
букет отображений f и g: От «букет двух копий исходной сферы» к «букет двух копий целевой сферы».На первом слагаемом действует $f$ , на втором — $g$ .

Отображением $f + g$ назовём композицию

f + g := \nabla \circ (f \lor g) \circ p

Примем без доказательства стандартный факт: гомотопический класс $f + g$ зависит только от классов $f$ и $g$ , а эта операция превращает множество гомотопических классов базированных отображений $S^{2 n - 1} \to S^{n}$ в абелеву группу, обозначаемую $π_{2 n - 1} (S^{n})$ . Чтобы вычислить $H (f + g)$ , построим пространство $C_{f, g}$ : к одной общей сфере $S^{n}$ , которую далее будем называть нижней, отдельно приклеиваются две клетки размерности $2 n$ — по $f$ и по $g$ . Ориентируем эти клетки так, чтобы граничная ориентация каждой совпадала с ориентацией фактор-сферы, полученной из соответствующего полушария отображением $p$ .

Выберем классы $β_{f}, β_{g}$ , представленные клеточными коцепями, двойственными двум ориентированным клеткам. Коцепь, представляющая $β_{f}$ , принимает значение $1$ на клетке, приклеенной по $f$ , и $0$ на клетке, приклеенной по $g$ ; коцепь, представляющая $β_{g}$ , принимает на этих клетках соответственно значения $0$ и $1$ . Поэтому

H^{2 n} (C_{f, g}) ≅ Z ⟨ β_{f} ⟩ \oplus Z ⟨ β_{g} ⟩

Как и для одного конуса, ограничение $H^{n} (C_{f, g}) \to H^{n} (S^{n})$ является изоморфизмом, поскольку приклеенные клетки имеют размерность $2 n$ . Поэтому существует единственный класс $α_{f, g}$ , ограничение которого на нижнюю сферу равно $ω_{n}$ .

Обозначим включения отдельных конусов через $j_{f} : C_{f} ↪ C_{f, g}$ и $j_{g} : C_{g} ↪ C_{f, g}$ . В следующих формулах символы $α, β$ обозначают нормированные классы соответствующего конуса. Для ограничения на $C_{f}$ имеем

j_{f}^{*} α_{f, g} = α

j_{f}^{*} β_{f} = β

j_{f}^{*} β_{g} = 0

Для ограничения на $C_{g}$ аналогично получаем

j_{g}^{*} α_{f, g} = α

j_{g}^{*} β_{f} = 0

j_{g}^{*} β_{g} = β

Квадрат $α_{f, g}^{2}$ имеет единственное разложение по базису $β_{f}, β_{g}$ . Применяя $j_{f}^{*}$ к этому разложению, получаем в $C_{f}$ равенство $α^{2} = H (f) β$ . Поэтому коэффициент при $β_{f}$ равен $H (f)$ .

Аналогично, после применения $j_{g}^{*}$ коэффициент при $β_{g}$ равен $H (g)$ . Следовательно,

α_{f, g}^{2} = H (f) β_{f} + H (g) β_{g}

Разделим диск $D^{2 n}$ , задающий верхнюю клетку $C_{f + g}$ , на два полудиска. Их разделяет диск размерности $2 n - 1$ , границей которого служит экватор $S^{2 n - 2}$ . Схлопывание разделяющего диска задаёт отображение $ρ : C_{f + g} \to C_{f, g}$ , тождественное на нижней сфере. Обозначим схлопывания нижней сферы через $q_{f + g} : C_{f + g} \to S^{2 n}$ и $q_{f, g} : C_{f, g} \to S^{2 n} \lor S^{2 n}$ , а индуцированное схлопывание экватора фактор-сферы — через $p_{2 n} : S^{2 n} \to S^{2 n} \lor S^{2 n}$ . Эти отображения образуют коммутативный квадрат:

q_{f, g}

ρ

q_{f + g}

p_{2 n}

Объекты и связи диаграммы

пространство с двумя клетками, приклеенными по f и g: К одной сфере $S^{n}$ отдельно приклеены две клетки размерности $2 n$ — по $f$ и $g$ .
букет двух фактор-сфер пространства с двумя клетками: После схлопывания общей нижней сферы две верхние клетки дают букет двух фактор-сфер.
конус суммы отображений: К нижней сфере $S^{n}$ приклеена одна клетка размерности $2 n$ по отображению $f + g$ .
фактор конуса суммы по нижней сфере: После схлопывания нижней сферы одна верхняя клетка превращается в $S^{2 n}$ .
схлопывание общей нижней сферы пространства с двумя клетками: От «пространство с двумя клетками, приклеенными по f и g» к «букет двух фактор-сфер пространства с двумя клетками».Схлопывает общую нижнюю сферу и превращает две верхние клетки в два слагаемых букета.
разделение верхней клетки конуса суммы: От «конус суммы отображений» к «пространство с двумя клетками, приклеенными по f и g».Верхний диск представлен как объединение двух полудисков; отображение схлопывает разделяющий диск и тождественно на нижней сфере.
схлопывание нижней сферы конуса суммы: От «конус суммы отображений» к «фактор конуса суммы по нижней сфере».Схлопывает вложенную нижнюю сферу и оставляет фактор-сферу верхней клетки.
схлопывание экватора верхней фактор-сферы: От «фактор конуса суммы по нижней сфере» к «букет двух фактор-сфер пространства с двумя клетками».Схлопывает экватор. Композиция с ретракцией на каждое слагаемое имеет степень $+ 1$ .

Обозначим нормированные классы конуса $C_{f + g}$ так же, как в определении инварианта Хопфа. Через $α_{f + g}$ обозначим единственный класс, ограничение которого на нижнюю сферу равно $ω_{n}$ , а через $β_{f + g}$ — класс, представленный коцепью, двойственной ориентированной верхней клетке.

Поскольку $ρ$ тождественно на нижней сфере, единственность нормировки даёт первое равенство. Композиция $p_{2 n}$ с ретракцией букета на каждое слагаемое имеет степень $+ 1$ , поэтому естественность $q^{*}$ даёт второе:

ρ^{*} α_{f, g} = α_{f + g}

ρ^{*} β_{f} = ρ^{*} β_{g} = β_{f + g}

Используем естественность произведения
$α_{f + g}^{2} = ρ^{*} (α_{f, g}^{2})$
Подставляем два коэффициента
$α_{f + g}^{2} = H (f) ρ^{*} β_{f} + H (g) ρ^{*} β_{g}$
Результат: Используем образы верхних классов
$α_{f + g}^{2} = (H (f) + H (g)) β_{f + g}$

H (f + g) = H (f) + H (g)

Следовательно, инвариант Хопфа сохраняет сложение и задаёт гомоморфизм

H : π_{2 n - 1} (S^{n}) ⟶ Z

При $n = 2$ равенство $H (π) = 1$ и аддитивность показывают, что этот гомоморфизм сюръективен:

im H = Z при n = 2

Остаётся спросить, в каких других размерностях образ содержит $\pm 1$ .

Три отображения Хопфа

Построим кватернионный и октонионный аналоги классического отображения $π$ и вычислим их инварианты. Эти отображения дадут примеры с инвариантом $1$ при $n = 4$ и $n = 8$ ; в следующей части теорема Адамса исключит значения $\pm 1$ в остальных размерностях.

Пусть $F \in {C, H, O}$ , где $H$ обозначает алгебру кватернионов, а $O$ — алгебру октонионов. Положим $d = \dim_{R} F$ , так что $d = 2, 4, 8$ соответственно. Для $F = C, H$ ненулевой вектор в $F^{2}$ порождает одномерное правое $F$ -подпространство. Пространство таких подпространств обозначается $F P^{1}$ и гомеоморфно $S^{d}$ . Поэтому получаем отображение

π_{F} : S^{2 d - 1} ⟶ F P^{1} ≅ S^{d}

При $F = C$ это уже построенное отображение $π_{C} = π : S^{3} \to S^{2}$ .

Октонионы неассоциативны, поэтому октонионное отображение определим отдельно. Добавим к $O$ точку $\infty$ и рассмотрим одноточечную компактификацию $O \cup {\infty}$ . Для $(z_{0}, z_{1}) \in S^{15} \subset O^{2}$ положим

π_{O} : S^{15} ⟶ O \cup {\infty} ≅ S^{8}

π_{O} (z_{0}, z_{1}) = z_{0} z_{1}^{- 1} при z_{1} \neq 0

π_{O} (z_{0}, 0) = \infty

Мультипликативность октонионной нормы даёт $| z_{0} z_{1}^{- 1} | = | z_{0} | / | z_{1} |$ . При $z_{1} \to 0$ эта норма стремится к бесконечности, поэтому $π_{O} (z_{0}, z_{1})$ стремится к точке $\infty$ в $O \cup {\infty}$ . Следовательно, отображение непрерывно и в точках с $z_{1} = 0$ .

Будем использовать единое обозначение $π_{F}$ также для отдельно определённого октонионного отображения $π_{O}$ .

В обозначениях определения инварианта здесь $n = d$ . Для $F = C$ выше уже доказано $C_{π_{C}} ≅ {CP}^{2}$ .

Для двух остальных случаев примем без доказательства гомеоморфизмы $C_{π_{H}} ≅ H P^{2}$ и $C_{π_{O}} ≅ O P^{2}$ . Пространство $O P^{2}$ называется плоскостью Кэли.

Без доказательства используем также вычисление колец когомологий всех трёх пространств:

H^{*} (F P^{2}) ≅ Z [a] / (a^{3})

a \in H^{d} (F P^{2})

Класс $a$ порождает группу в степени $d$ , а $a^{2}$ — группу в степени $2 d$ . Следовательно, при любом выборе образующих модуль коэффициента равен $1$ : $| H (π_{F}) | = 1$ .

Теперь выберем ориентации так, чтобы $α = a$ и $β = a^{2}$ . Тогда знак фиксируется равенством $α^{2} = β$ .

Начните с комплексных чисел, затем перейдите к кватернионам и октонионам. Перед переключением восстановите размерности сфер и степени двух классов из размерности алгебры. Какое соотношение степеней сохраняется во всех трёх случаях?

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Итак, при $n = 2, 4, 8$ существуют отображения с инвариантом Хопфа $1$ . Остаётся выяснить, возможны ли значения $\pm 1$ в других размерностях.

Теорема Адамса об инварианте ±1

Пусть $σ : S^{2 n - 1} \to S^{2 n - 1}$ — отражение степени $- 1$ . В стандартной групповой структуре на $π_{2 n - 1} (S^{n})$ композиция $f \circ σ$ представляет класс $- f$ . По аддитивности $H (- f) = - H (f)$ , поэтому отображение с инвариантом $1$ существует тогда и только тогда, когда существует отображение с инвариантом $- 1$ . Доказательство следующей теоремы выходит за рамки приложения и здесь не приводится.

Пусть $n \geq 2$ . Если существует отображение $f : S^{2 n - 1} \to S^{n}$ с $H (f) = \pm 1$ , то

n \in {2, 4, 8}

\pm 1 \in im H ⟺ n \in {2, 4, 8}

Условие $H (f) = \pm 1$ означает, что квадрат образующего $H^{n} (C_{f})$ порождает $H^{2 n} (C_{f})$ . Комплексное, кватернионное и октонионное отображения Хопфа дают примеры для трёх допустимых значений $n$ , а теорема Адамса исключает остальные.

Инвариант Хопфа — коэффициент чашечного квадрата

Для отображения $S^{2 n - 1} \to S^{n}$ гомоморфизм $f^{*} : H^{n} (S^{n}) \to H^{n} (S^{2 n - 1})$ равен нулю, поскольку $H^{n} (S^{2 n - 1}) = 0$ . Аддитивные группы когомологий конуса также не зависят от $f$ . Умножение в кольце когомологий определяет дополнительное целое число: для образующих $α \in H^{n} (C_{f})$ и $β \in H^{2 n} (C_{f})$ оно определяется равенством $α^{2} = H (f) β$ .

C_{f} = S^{n} \cup_{f} D^{2 n}

α^{2} = H (f) β

H (f + g) = H (f) + H (g)

H (π) = 1

\pm 1 \in im H ⟺ n \in {2, 4, 8}

Мы сопоставили отображению $f$ конус $C_{f}$ и рассмотрели не только группы $H^{q} (C_{f})$ , но и чашечное произведение между их элементами. Полученный коэффициент $H (f)$ зависит только от гомотопического класса $f$ и удовлетворяет равенству $H (f + g) = H (f) + H (g)$ . Классическое отображение $π$ имеет инвариант $1$ , а теорема Адамса утверждает, что при $n \geq 2$ значение $\pm 1$ возможно ровно для $n = 2, 4, 8$ . Определение, пример и формулировка теоремы изложены по § 4.B книги Аллена Хатчера «Algebraic Topology».

Инвариант Хопфа

Соглашения

Степень отображения

Группы когомологий не зависят от приклеивающего отображения

Размерность чашечного квадрата

Совпадение степеней двух классов

Условие на размерности: m = 2n − 1

Инвариант Хопфа

Инвариант Хопфа

Инвариант Хопфа зависит только от гомотопического класса

Когда инвариант Хопфа равен нулю

Два достаточных условия для нуля

Классическое отображение Хопфа

Классическое отображение Хопфа имеет инвариант 1

Аддитивность инварианта Хопфа

Инвариант Хопфа является гомоморфизмом

Три отображения Хопфа

Комплексный случай

Теорема Адамса об инварианте ±1

Теорема Адамса об отображениях с инвариантом Хопфа ±1

Отображение с инвариантом ±1 существует ровно при n = 2, 4, 8

Инвариант Хопфа — коэффициент чашечного квадрата