Справочник учебника

Обозначения

Единый перечень обозначений, зарегистрированных в этом учебнике.

Перечень обозначений

$G L_{n} (C)$ — Полная линейная группа

G L (V) = {A : V \to V ∣ A — обратимое линейное отображение}, G L_{r} (C) = G L (C^{r})

После выбора базиса элементы $G L_{r} (C)$ — обратимые комплексные матрицы размера $r \times r$ . Функция со значениями в $G L_{r} (C)$ непрерывна, если непрерывны коэффициенты соответствующей матрицы.

$φ$ — Изоморфизм векторных расслоений

φ : E ⟶ F, π_{F} \circ φ = π_{E}

Изоморфизм над базой $X$ — линейный по слоям непрерывный морфизм, для которого существует обратный морфизм $ψ : F \to E$ того же типа. Для конечномерных расслоений это равносильно обратимости каждого $φ_{x} : E_{x} \to F_{x}$ .

$U$ — Забывающий функтор

U : Ab ⟶ CMon

Функтор $U$ рассматривает абелеву группу только как коммутативный моноид: сохраняет множество, ноль и сложение, но забывает, что у каждого элемента есть противоположный.

$i^{*}$ — Ограничение на точку

i_{x}^{*} ([E] - [F]) = [E_{x}] - [F_{x}]

Здесь $i_{x} : {x} ↪ X$ включает одноточечное подпространство в $X$ . Оператор $i_{x}^{*}$ ограничивает K-класс на эту точку. После такого ограничения от расслоений $E$ и $F$ остаются их слои $E_{x}$ и $F_{x}$ ; поэтому $i_{x}^{*} a = 0$ означает равенство их размерностей.

$π^{*}$ — Пуллбэк вдоль проекции

q^{*} E = {(z, e) ∣ q (z) = π_{E} (e)}, (q^{*} E)_{z} ≅ E_{q (z)}

Пуллбэк вдоль проекции переносит расслоение на пространство, из которого проецируют. Для $q : A \times B \to A$ он повторяет слой $E_{a}$ вдоль всего направления $B$ ; для проекции $q : A \to *$ превращает векторное пространство над точкой в тривиальное расслоение над $A$ .

$f^{*} E$ — Смена базы вдоль отображения

f : Y ⟶ X, E ⟶ X, f^{*} E ⟶ Y

Отображение $f$ задаёт смену базы с $X$ на $Y$ . Над точкой $y \in Y$ у обратного образа стоит прежний слой над её образом: $(f^{*} E)_{y} ≅ E_{f (y)}$ .

$j_{X}^{*}$ — Ограничение на координатное сечение

j_{X} : X ↪ X \times Y, j_{X} (x) = (x, y_{0})

Оператор $j_{X}^{*}$ ограничивает класс на сечение $X \times {y_{0}}$ декартова произведения $X \times Y$ : координата $y$ зафиксирована в точке $y_{0}$ а $x$ продолжает меняться. Симметрично, $j_{Y}^{*}$ ограничивает класс на сечение ${x_{0}} \times Y$ с фиксированной координатой $x = x_{0}$ .

$\tilde{K} (X)$ — Редуцированная K-группа

\tilde{K} (X) = \ker (i^{*} : K (X) \to K (x_{0}))

Подгруппа виртуальных классов, чьё ограничение на выбранную базовую точку $x_{0}$ равно нулю. Она удаляет разность рангов и сохраняет стабильное различие способов склейки.

${\underset{―}{C}}^{m}$ — Тривиальное слагаемое

(E \oplus {\underset{―}{C}}^{m})_{x} = E_{x} \oplus C^{m}

Над каждой точкой $x$ к слою $E_{x}$ добавляется одна и та же копия $C^{m}$ . Если исходные функции перехода равны $g_{U V}$ , то у прямой суммы они имеют блочный вид

g_{U V} ⟼ (\begin{matrix} g_{U V} & 0 \\ 0 & I_{m} \end{matrix})

Блок $I_{m}$ склеен тождественно: он увеличивает ранг на $m$ , но не добавляет собственной топологической информации.

$X \land Y$ — Смэш-произведение

X \land Y = (X \times Y) / (X \lor Y)

Фактор произведения, в котором подпространство $X \lor Y = X \times {y_{0}} \cup {x_{0}} \times Y$ схлопнуто в одну базовую точку.

$μ_{b}^{X}$ — Умножение на фиксированный класс сферы

μ_{b}^{X} : \tilde{K} (X) ⟶ \tilde{K} (S^{2} \land X) ≅ \tilde{K} (Σ^{2} X), a ⟼ b * a

Класс $b \in \tilde{K} (S^{2})$ фиксирован, а $a$ меняется. Символ $*$ обозначает редуцированное внешнее произведение. Верхний индекс $X$ на $μ_{b}^{X}$ называет пространство, для которого построено отображение, а не степень.

Эта формула сама по себе не говорит, что отображение обратимо. Например, при $b = 2 β$ и $X = S^{0}$ она становится умножением $Z \to Z$ на $2$ и не является сюръективной.

При $b = β$ сюръективность означает: для каждого $c \in \tilde{K} (S^{2} \land X)$ существует $a \in \tilde{K} (X)$ такое, что $c = β * a$ . Теорема Ботта утверждает существование и единственность такого $a$ .

$β$ — Элемент Ботта

β = [H] - [1] \in \tilde{K} (S^{2})

Редуцированный класс канонического линейного расслоения над $S^{2} ≅ {CP}^{1}$ . Выбор двойственного линейного расслоения меняет знак генератора, но не теорему периодичности.

$Σ X$ — Приведённая надстройка

Σ X = S^{1} \land X, Σ^{2} X ≅ S^{2} \land X

Пространство, полученное из цилиндра над $X$ схлопыванием его концов и линии над базовой точкой. Двойная надстройка — сдвиг пространства на две топологические размерности.

$T$ — Функтор T

V ⟼ T (V), (a : V \to W) ⟼ (T (a) : T (V) \to T (W))

Непрерывный функтор, который переносит выбранную операцию линейной алгебры с отдельных пространств на слои расслоения. Примеры: прямая сумма, тензорное произведение и внешняя степень.

$T_{V, W}$ — Непрерывный функтор

T_{V, W} : Hom (V, W) ⟶ Hom (T (V), T (W))

Функтор непрерывен, если его действие на линейных отображениях непрерывно по матричным коэффициентам. Для нескольких переменных это условие выполняется совместно по всем аргументам; контравариантный аргумент меняет направление соответствующей стрелки.

$Hom (E, F)$ — Hom-расслоение

Hom (E, F)_{x} = Hom (E_{x}, F_{x})

Векторное расслоение над той же базой $X$ . Его слой над $x$ состоит из линейных отображений $E_{x} \to F_{x}$ ; сечение задаёт непрерывное семейство таких отображений.

$ω_{r}$ — Ориентирующий класс сферы

H^{r} (S^{r}) ≅ Z ⟨ ω_{r} ⟩

Выбор ориентации сферы $S^{r}$ задаёт один из двух образующих её группы когомологий в степени $r$ . Этот образующий обозначается $ω_{r}$ ; смена ориентации заменяет его на $- ω_{r}$ . Метки «исх» и «цел» различают ориентирующие классы исходной и целевой сфер.

$α$ — Образующий степени n в конусе

H^{n} (C_{f}) ≅ Z ⟨ α ⟩

Пусть $i : S^{n} ↪ C_{f}$ — включение нижней сферы, а $ω_{n}$ — её ориентирующий класс. Образующий $α \in H^{n} (C_{f})$ однозначно задаётся условием $i^{*} α = ω_{n}$ .

$a$ — Образующий кольца когомологий проективной плоскости

H^{*} ({CP}^{2}; Z) ≅ Z [a] / (a^{3}), a \in H^{2} ({CP}^{2}; Z)

В комплексной проективной плоскости класс $a$ — выбранный образующий группы $H^{2} ({CP}^{2}; Z)$ , а $a^{2}$ порождает $H^{4} ({CP}^{2}; Z)$ .

Здесь $C, H, O$ обозначают соответственно комплексные числа, кватернионы и октонионы. Для $F \in {C, H, O}$ положим $d = \dim_{R} F$ ; тогда $d = 2, 4, 8$ соответственно.

H^{*} (F P^{2}; Z) ≅ Z [a] / (a^{3}), a \in H^{d} (F P^{2}; Z)

Во всех трёх случаях буква $a$ обозначает выбранный образующий группы $H^{d} (F P^{2}; Z)$ . Пространство $O P^{2}$ называется плоскостью Кэли.

$ψ^{k}$ — Операции Адамса

\sum_{k \geq 1} ψ^{k} (x) t^{k} = - t (λ_{- t} (x))^{'} λ_{- t} (x)^{- 1}

Коэффициент $ψ^{k}$ при $k \geq 1$ — естественный эндоморфизм кольца $K (X)$ . На линейном расслоении $L$ он действует как тензорная степень: $ψ^{k} ([L]) = [L^{\otimes k}]$ .

$C$ — Комплексные числа

Поле комплексных чисел.

$Z$ — Целые числа

Кольцо целых чисел.

$id$ — Тождественное отображение

Отображение, сохраняющее каждую точку.

${Top}_{*}$ — Категория пространств с базовой точкой

Категория топологических пространств с отмеченной точкой и сохраняющих её отображений.

$im$ — Образ отображения

Подобъект значений, достигаемых отображением.

$rk$ — Ранг расслоения

Размерность слоя векторного расслоения.

${CP}^{n}$ — Комплексное проективное пространство

Пространство комплексных прямых в комплексном векторном пространстве.

$Q$ — Рациональные числа

Поле рациональных чисел.

$1$ — Единичный класс

Единица рассматриваемого кольца или моноидального произведения.

$Vect$ — Векторные расслоения

Категория или множество классов векторных расслоений над фиксированной базой.

$O$ — Октонионы

Нормированная восьмимерная алгебра октонионов.

$H$ — Кватернионы

Четырёхмерная вещественная алгебра кватернионов.

$Ab$ — Категория абелевых групп

Категория абелевых групп и гомоморфизмов.

$R$ — Вещественные числа

Поле вещественных чисел.

$fh$ — Стабильный сферический класс

Метка стабильного класса сферического расслоения в рассматриваемом контексте.

$F$ — Нормированная алгебра деления

Одна из алгебр комплексных чисел, кватернионов или октонионов.

$coker$ — Коядро

Фактор целевого объекта по образу отображения.

$Gr$ — Грассманиан

Пространство подпространств фиксированной размерности.

$Tot$ — Тотальное пространство

Полное пространство расслоения над заданной базой.

$N$ — Натуральные числа

Множество натуральных чисел.

$pt$ — Одноточечное пространство

Пространство, состоящее из одной точки.

${RP}^{n}$ — Вещественное проективное пространство

Пространство вещественных прямых в вещественном векторном пространстве.

$CMon$ — Категория коммутативных моноидов

Категория коммутативных моноидов и их гомоморфизмов.

$odd$ — Нечётная часть

Метка нечётной компоненты или нечётной степени.

$P$ — Проективное пространство

Проективное пространство над указанным полем.

$ev$ — Отображение вычисления

Отображение вычисления функции или сечения в точке.

$supp$ — Носитель

Замыкание множества точек, где функция или сечение ненулевы.

$diag$ — Диагональ

Диагональное отображение или диагональная подгруппа.

$codim$ — Коразмерность

Разность размерностей объемлющего пространства и подпространства.

$wind$ — Индекс наматывания

Целое число оборотов отображения вокруг начала координат.

$Vect$ — Категория векторных пространств

Категория конечномерных векторных пространств и линейных отображений.

$colim$ — Прямой предел

Колимит направленной системы объектов.

$tr$ — След

След линейного оператора.

$Aut$ — Группа автоморфизмов

Группа обратимых эндоморфизмов объекта.

$Irr$ — Неприводимые представления

Множество классов неприводимых представлений.

$pr$ — Проекция

Каноническая проекция на указанный сомножитель.

$span$ — Линейная оболочка

Минимальное линейное подпространство, содержащее заданные векторы.

$End$ — Алгебра эндоморфизмов

Множество эндоморфизмов объекта с естественными операциями.

$Iso$ — Пространство изоморфизмов

Пространство обратимых отображений между объектами.

$rel$ — Относительная конструкция

Метка относительной версии группы или отображения.

$\overset{―}{E}$ — Сопряжённый объект

Объект с комплексно-сопряжённой структурой.

$\tilde{E}$ — Поднятый объект

Подъём или редуцированная версия рассматриваемого объекта.

$\hat{α}$ — Преобразованный класс альфа

Образ класса альфа после указанного преобразования.

$F$ — Семейство F

Переменное геометрическое или функциональное семейство.

$G$ — Семейство G

Второе переменное геометрическое или функциональное семейство.

$\bar{π}$ — Проекция фактор-расслоения

Отображение фактор-расслоения на общую базу.

$\bar{φ}$ — Индуцированный морфизм фактора

Морфизм, индуцированный на факторе по ядру исходного отображения.

$\overset{―}{φ}$ — Продолжение на групповое пополнение

Единственный гомоморфизм из группы Гротендика, продолжающий исходное моноидальное отображение.

${\overset{―}{σ}}^{, k}$ — Индуцированный сферический инвариант

Инвариант, индуцированный на факторе, определяющем J-группу.

$*$ — Звёздочный индекс

Контекстный индекс для пуллбэка, двойственного объекта, полной градуировки или итерации внешнего произведения; конкретный смысл задаётся формулой.

$\times$ — Индекс обратимых элементов

Верхний индекс, выделяющий группу обратимых элементов кольца или мультипликативного объекта.

$+$ — Плюсовая индексная метка

Нижняя метка присоединённой базовой точки или положительной половины конструкции — согласно локальному контексту.

$-$ — Минусовая индексная метка

Нижняя метка отрицательной половины конструкции или второго экземпляра при склейке.

$∙$ — Полная комплексная градуировка

Верхний индекс, обозначающий весь градуированный комплекс без выбора одной степени.

$\otimes$ — Тензорная степень

Индексная операция тензорного возведения в указанную степень.

$⟂$ — Ортогональное дополнение

Верхний индекс, обозначающий ортогональное дополнение подрасслоения или подпространства.

$\pm$ — Парная знаковая метка

Нижний индекс, одновременно обозначающий положительную и отрицательную версии конструкции.

$\oplus$ — Степень прямой суммы

Верхний индекс для указанного числа копий объекта в прямой сумме.

Перечень обозначений

GLn(C) — Полная линейная группа

φ — Изоморфизм векторных расслоений

U — Забывающий функтор

i∗ — Ограничение на точку

π∗ — Пуллбэк вдоль проекции

f∗E — Смена базы вдоль отображения

jX∗ — Ограничение на координатное сечение

K~(X) — Редуцированная K-группа

C―m — Тривиальное слагаемое

X∧Y — Смэш-произведение

μbX — Умножение на фиксированный класс сферы

β — Элемент Ботта

ΣX — Приведённая надстройка

T — Функтор T

TV,W — Непрерывный функтор

Hom⁡(E,F) — Hom-расслоение

ωr — Ориентирующий класс сферы

α — Образующий степени n в конусе

a — Образующий кольца когомологий проективной плоскости

ψk — Операции Адамса

C — Комплексные числа

Z — Целые числа

id — Тождественное отображение

Top∗ — Категория пространств с базовой точкой

im — Образ отображения

rk — Ранг расслоения

CPn — Комплексное проективное пространство

Q — Рациональные числа

1 — Единичный класс

Vect — Векторные расслоения

O — Октонионы

H — Кватернионы

Ab — Категория абелевых групп

R — Вещественные числа

fh — Стабильный сферический класс

F — Нормированная алгебра деления

coker — Коядро

Gr — Грассманиан

Tot — Тотальное пространство

N — Натуральные числа

pt — Одноточечное пространство

RPn — Вещественное проективное пространство

CMon — Категория коммутативных моноидов

odd — Нечётная часть

P — Проективное пространство

ev — Отображение вычисления

supp — Носитель

diag — Диагональ

codim — Коразмерность

wind — Индекс наматывания

Vect — Категория векторных пространств

colim — Прямой предел

tr — След

Aut — Группа автоморфизмов

Irr — Неприводимые представления

pr — Проекция

span — Линейная оболочка

End — Алгебра эндоморфизмов

Iso — Пространство изоморфизмов

rel — Относительная конструкция

E― — Сопряжённый объект

E~ — Поднятый объект

α^ — Преобразованный класс альфа

F — Семейство F

G — Семейство G

π¯ — Проекция фактор-расслоения

φ¯ — Индуцированный морфизм фактора

φ― — Продолжение на групповое пополнение

σ―,k — Индуцированный сферический инвариант

∗ — Звёздочный индекс

× — Индекс обратимых элементов

+ — Плюсовая индексная метка

− — Минусовая индексная метка

∙ — Полная комплексная градуировка

⊗ — Тензорная степень

⟂ — Ортогональное дополнение

± — Парная знаковая метка

⊕ — Степень прямой суммы