Избранные вопросы математики · глава 1

Когомологии

Приращения на рёбрах не всегда можно получить из значений в вершинах. Начнём с числовой задачи и найдём препятствие с помощью замкнутых путей. Затем выясним, почему разные наборы приращений могут представлять один класс когомологий. Заполненные треугольники позволят отделить локальную совместимость от существования глобального потенциала, а двойственный комплекс распространит конструкцию на все степени.

Начать с графа →

Соглашения

$K$ — конечный симплициальный комплекс, а $G$ — абелева группа с аддитивной записью операции.
Ориентация симплекса записывается упорядоченным списком вершин; обращение ориентации меняет знак значения коцепи.
Все граничные и кограничные операторы обозначаются буквами $\partial$ и $δ$ без индексов; область и цель определяют степень. Записи $\partial^{2}$ и $δ^{2}$ означают композиции соседних операторов.

От значений к приращениям

Можно ли восстановить значения в вершинах, зная только их разности вдоль рёбер? Начнём с обратного, более простого действия: зададим значения и вычислим разности. Возьмём три вершины $v_{0}, v_{1}, v_{2}$ и соединим их в треугольный контур $Γ$ . Внутренность треугольника пока не входит в граф.

Припишем каждой вершине $v$ целое число $φ (v)$ . Такой набор значений назовём потенциалом. На ребре от $v_{i}$ к $v_{j}$ запишем приращение $ψ_{i j}$ : значение в конце минус значение в начале. При обращении стрелки знак приращения меняется.

В вершине $v_{0}$ положим $φ (v_{0}) = 0$ , в вершине $v_{1}$ — $φ (v_{1}) = 2$ , в вершине $v_{2}$ — $φ (v_{2}) = 5$ . Тогда на ребре $[v_{0}, v_{1}]$ приращение равно $2 - 0 = 2$ , на ребре $[v_{1}, v_{2}]$ — $5 - 2 = 3$ , а на ребре $[v_{0}, v_{2}]$ — $5 - 0 = 5$ .

Сравните прямой путь по ребру $[v_{0}, v_{2}]$ с путём через $v_{1}$ : в обоих случаях суммарное приращение равно пяти. При обращении ориентации знак меняется: на ребре от $v_{2}$ к $v_{0}$ значение было бы равно $- 5$ .

Мысленно сотрём значения в вершинах, оставив только приращения, и попробуем восстановить стёртое. Если начать с нуля, первое ребро восстановит значение два, а следующее — пять. Прямое ребро даёт тот же ответ. Но будет ли так для любого набора приращений? Чтобы поставить этот вопрос точно, введём названия для данных на вершинах и рёбрах.

Пусть теперь $K$ — любой конечный граф, а значения лежат в абелевой группе $G$ . 0-коцепь $φ$ приписывает каждой вершине элемент $G$ . Такие наборы складываются по вершинам и образуют группу $C^{0} (K; G)$ .

Выберем ориентацию каждого ребра. 1-коцепь $ψ$ приписывает каждому выбранному ориентированному ребру элемент $G$ ; на обратной ориентации берётся противоположный элемент. Складывая значения по рёбрам, получаем группу $C^{1} (K; G)$ . Запись $ψ_{i j}$ означает $ψ ([v_{i}, v_{j}])$ . На этом этапе приращения можно задать независимо — существование потенциала не предполагается.

Оператор кограницы $δ$ превращает значения на вершинах в их разности на рёбрах. Приращения, полученные таким способом, называются кограницами:

(δ φ) ([v_{i}, v_{j}]) = φ (v_{j}) - φ (v_{i})

В числовом примере $ψ = δ φ$ . На диаграмме ниже $δ$ переводит 0-коцепи в 1-коцепи. Справа стоит нуль: у графа нет двумерных граней, которым можно было бы приписывать следующие значения.

δ

Объекты и связи диаграммы

нулевая группа справа от одномерных коцепей: У графа нет двумерных симплексов, поэтому группа двумерных коцепей равна нулю.
нулевая группа слева от нульмерных коцепей: До нульмерных коцепей в комплексе графа стоит нулевая группа.
группа одномерных коцепей графа: Приращения на ориентированных рёбрах; знак меняется при обращении ориентации ребра.
группа нульмерных коцепей графа: Потенциалы на вершинах: каждой вершине графа сопоставляется элемент группы коэффициентов.
единственный гомоморфизм в нулевую группу: От «группа одномерных коцепей графа» к «нулевая группа справа от одномерных коцепей».Это нулевое отображение: у графа нет двумерных граней, на которых можно было бы проверить приращения.
единственный гомоморфизм из нулевой группы: От «нулевая группа слева от нульмерных коцепей» к «группа нульмерных коцепей графа».Отправляет единственный элемент нулевой группы в нулевой потенциал.
кограница нульмерных коцепей: От «группа нульмерных коцепей графа» к «группа одномерных коцепей графа».Вычитает значение потенциала в начале ориентированного ребра из значения в его конце.

Добавление общей константы к потенциалу не меняет ни одной разности. Если граф несвязен, константу можно выбирать отдельно на каждой компоненте. Обратно, если $δ φ = 0$ , значения на концах каждого ребра совпадают, а значит, $φ$ постоянна на каждой компоненте.

H^{0} (K; G) := \ker (δ : C^{0} \to C^{1})

Здесь ядро — множество потенциалов с нулевыми приращениями. Поэтому элемент $H^{0}$ задаётся одним независимо выбранным значением из $G$ на каждой связной компоненте. Два потенциала с одинаковыми приращениями различаются именно таким набором констант.

Петли графа

Вернёмся к обратной задаче: для заданной 1-коцепи $ψ$ нужно найти потенциал $φ$ такой, что $δ φ = ψ$ . Рёберный путь запишем как последовательность вершин $γ = (v_{0}, \dots, v_{m})$ , в которой соседние вершины соединены ребром. Сложим значения коцепи на рёбрах, ориентированных по направлению пути:

\int_{γ} ψ := \sum_{i = 0}^{m - 1} ψ ([v_{i}, v_{i + 1}])

Замкнутый рёберный путь назовём петлёй. Если $ψ = δ φ$ , промежуточные значения потенциала сокращаются, поэтому интеграл по пути равен разности значений в его концах. В частности, интеграл по любой петле равен нулю. На рисунке из первой части прямой путь от $v_{0}$ к $v_{2}$ даёт $5$ , а путь через $v_{1}$ — сумму $2 + 3$ ; их равенство выражает нулевой интеграл по полученной петле.

Прежде чем доказывать достаточность, попробуйте различить две ситуации: неверно выбранные значения потенциала и приращения, для которых никакого потенциала не существует. В трёх заданиях ниже нужно не только сделать прогноз, но и подтвердить его.

Задание 1 из 3

Первый набор приращенийЗаданы

ψ_{01} = 1

ψ_{12} = 3

ψ_{02} = 4

. Все значения — целые числа. Фиксируем

φ (v_{0}) = 0

. Можно ли восстановить потенциал по этим приращениям?

ψ_{01} = 1

ψ_{02} = 4

ψ_{12} = 3

Сначала сделайте прогноз, затем обоснуйте его.

Задания и разбор

Первый набор приращенийПри

φ (v_{0}) = 0

получаем

φ (v_{1}) = 1

φ (v_{2}) = 4

. На третьем ребре

φ (v_{2}) - φ (v_{1}) = 3

, как и требуется. Путь через

v_{1}

даёт

1 + 3 = 4

, а прямое ребро —

4

. Прибавление одной константы ко всем трём значениям даёт остальные потенциалы.

Новый набор на том же графеЗдесь

ψ_{01} = 2

ψ_{12} = 3

ψ_{02} = 4

. Путь через

v_{1}

даёт

2 + 3 = 5

, а прямое ребро —

4

. Если бы потенциал существовал, обе суммы равнялись бы

φ (v_{2}) - φ (v_{0})

. Они различны, поэтому никакой выбор значений в вершинах не поможет. Сумма по циклу

ψ_{01} + ψ_{12} - ψ_{02} = 1

ненулевая.

Два пути на новом графеЧерез

v_{1}

получаем

- 1 + 3 = 2

, через

v_{2}

—

4 - 2 = 2

. Во втором пути последнее ребро проходится против стрелки. При

φ (v_{0}) = 0

потенциал равен

- 1

v_{1}

4

v_{2}

2

v_{3}

. Эти значения дают нужные разности на всех четырёх рёбрах. Прибавление общей константы даёт остальные потенциалы.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Верно и обратное. Выберем по одной начальной вершине $v_{*}$ в каждой компоненте и зададим там произвольное значение потенциала. Для пути $γ_{v_{*}, v}$ к другой вершине положим

φ (v) := φ (v_{*}) + \int_{γ_{v_{*}, v}} ψ

Если все интегралы по петлям равны нулю, результат не зависит от выбранного пути: один путь, пройденный вперёд, и другой, пройденный назад, вместе образуют петлю. Чтобы проверить определяющее равенство, выберем путь от $v_{*}$ до $u$ и продолжим его ребром $[u, v]$ . Тогда $φ (v) - φ (u) = ψ ([u, v])$ , то есть $δ φ = ψ$ .

Пусть $T$ — дерево. Всякая рёберная петля в нём сокращается удалением последовательных проходов по одному ребру в противоположных направлениях; их вклады взаимно уничтожаются. Поэтому всякая 1-коцепь на дереве является кограницей некоторого потенциала, тогда как на произвольном графе ненулевой интеграл по петле доказывает, что такого потенциала нет.

На графе потенциал существует тогда и только тогда, когда сумма приращений по каждой петле равна нулю. Чтобы его построить, достаточно выбрать начальное значение в каждой компоненте и складывать приращения вдоль путей. Независимость от пути — именно то, что обеспечивает условие на петлях.

Что хранит класс когомологий

Если потенциала нет, хотелось бы сохранить само препятствие, отделив его от конкретных значений на рёбрах. Какие изменения этих значений не меняют препятствия?

Вернёмся к треугольному контуру $Γ$ и целочисленному набору из второго задания. Тройки ниже перечисляют значения на рёбрах в порядке $(01, 12, 02)$ . Для петли $γ = (v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{0})$ имеем

ψ = (2, 3, 4)

\int_{γ} ψ = 2 + 3 - 4 = 1

Этот набор не является кограницей. Теперь выберем вспомогательный потенциал $f$ со значениями $(f (v_{0}), f (v_{1}), f (v_{2})) = (0, 1, - 1)$ . Вычислим его приращения и прибавим их к $ψ$ :

δ f = (1 - 0, - 1 - 1, - 1 - 0) = (1, - 2, - 1)

η := ψ + δ f = (3, 1, 3)

\int_{γ} η = 3 + 1 - 3 = 1

Изменилось значение на каждом ребре, но сумма по петле осталась прежней. Это не случайное совпадение: добавленная кограница $δ f$ даёт нуль на любой петле. Ни $ψ$ , ни $η$ не происходят из потенциала, а их разность $η - ψ = δ f$ происходит. Именно в этом смысле они представляют одно препятствие.

Будем считать два набора эквивалентными, если один получается из другого добавлением кограницы. Класс $[ψ]$ — все наборы, эквивалентные $ψ$ . Образ $im δ$ состоит из всех кограниц; он является подгруппой $C^{1}$ , поскольку для потенциалов $f, g$ выполнено $δ (f + g) = δ f + δ g$ . Поэтому классы образуют фактор-группу:

[ψ] = ψ + im δ

H^{1} (K; G) := C^{1} (K; G) / im δ

Элемент этой группы — класс наборов приращений. Сложение классов определяется сложением их представителей: $[ψ] + [η] = [ψ + η]$ . Замена представителя на эквивалентный меняет сумму лишь на кограницу, поэтому операция не зависит от выбора.

Нулевой класс состоит из всех кограниц. Равенство $[ψ] = 0$ означает, что $ψ$ можно получить из потенциала, а не то, что каждое его значение равно нулю. Фактор-группу по образу гомоморфизма также называют его коядром: $H^{1} (K; G) = coker δ$ .

В разобранном примере $[ψ] = [η] \neq 0$ . Для сравнения, у набора $(2, 3, 3)$ сумма по той же петле равна двум. Он задаёт другой класс: добавлением кограницы нельзя изменить эту сумму. Таким образом, признак «потенциала нет» ещё не определяет, какое именно препятствие возникло.

Для 1-коцепей $ψ, η$ на графе следующие условия эквивалентны:

[ψ] = [η]

\int_{γ} ψ = \int_{γ} η

Во втором условии равенство требуется для каждой петли $γ$ . В одну сторону утверждение следует из нулевых интегралов кограницы. В другую — разность $η - ψ$ имеет нулевые интегралы по всем петлям и потому сама является кограницей.

На треугольном контуре достаточно одной петли $v_{0} \to v_{1} \to v_{2} \to v_{0}$ . Действительно, если её интеграл нулевой, то

ψ_{01} + ψ_{12} - ψ_{02} = 0

φ (v_{0}) = 0, φ (v_{1}) = ψ_{01}, φ (v_{2}) = ψ_{02}

задают потенциал с нужными приращениями на всех трёх рёбрах. Поэтому интеграл задаёт инъективный гомоморфизм $H^{1} (Γ; G) \to G$ . Любой $g \in G$ получается на наборе $(g, 0, 0)$ , так что этот гомоморфизм сюръективен. На дереве же всякая 1-коцепь является кограницей. Получаем

H^{1} (Γ; G) ≅ G

H^{1} (T; G) = 0

Пока препятствие проверялось на петлях графа. Посмотрим, что изменится, если некоторые треугольные контуры заполнить двумерными гранями.

Кограница на треугольниках

Теперь предположим, что $K$ имеет размерность не больше двух, и добавим к его рёбрам заполненные треугольники. Группа $C^{2} (K; G)$ состоит из значений на ориентированных треугольниках. Новая кограница сопоставляет 1-коцепи ориентированную сумму её значений вдоль границы каждого треугольника. В введённых выше обозначениях

(δ ψ) ([v_{0}, v_{1}, v_{2}]) = ψ_{12} - ψ_{02} + ψ_{01}

Ориентированная граница проходит по рёбрам от $v_{0}$ к $v_{1}$ , затем к $v_{2}$ и возвращается к $v_{0}$ . На последнем ребре $ψ ([v_{2}, v_{0}]) = - ψ ([v_{0}, v_{2}]) = - ψ_{02}$ . Таким образом, правая часть формулы — интеграл 1-коцепи $ψ$ по петле-границе треугольника.

Если $ψ = δ φ$ , критерий для графа говорит, что интеграл по любой петле равен нулю. Поэтому $δ (δ φ) = 0$ , или короче $δ^{2} = 0$ .

Сравним один и тот же целочисленный набор $ψ = (2, 3, 4)$ на контуре $Γ$ и на заполненном треугольнике $Δ^{2}$ . На контуре нет двумерной грани, поэтому выходящая из $C^{1}$ кограница нулевая: любая 1-коцепь лежит в её ядре. Элементы этого ядра называются коциклами. После заполнения появляется новое условие — нулевая сумма по границе добавленной грани.

На комплексе с гранями класс когомологий представляют только коциклы. Как и на графе, их сравнивают с точностью до добавления кограницы. Это допустимо: добавленная кограница сама удовлетворяет условию коцикла, поэтому локальная проверка сохраняется.

Заполнение треугольника меняет условие коцикла
Что сравниваем	Контур $Γ$	Заполненный треугольник $Δ^{2}$
Двумерные грани	Нет	Одна
Условие коцикла	Любой набор приращений	$ψ_{01} + ψ_{12} - ψ_{02} = 0$
Набор $(2, 3, 4)$	Коцикл с ненулевым классом	Не коцикл: сумма равна единице
Набор $(2, 3, 5)$	Кограница, нулевой класс	Кограница, нулевой класс

Заполнение не превратило набор $(2, 3, 4)$ в кограницу. Этот набор перестал быть коциклом, поэтому на заполненном треугольнике он вообще не представляет класс когомологий. Напротив, любой набор с нулевой суммой восстанавливается из потенциала по уже найденным формулам. Значит, у заполненного треугольника все коциклы являются кограницами:

H^{1} (Δ^{2}; G) = 0

Следовательно, прежний двухчленный комплекс продолжается группой $C^{2} (K; G)$ . Поскольку трёхмерных симплексов нет, после неё снова стоит нулевая группа. В диаграмме вернёмся к первому числовому примеру: $φ = (0, 2, 5)$ и $ψ = (2, 3, 5)$ . Контур $Γ$ теперь заполнен гранью: инспектор показывает симплекс $Δ^{2}$ при $G = Z$ . Значения на вершинах и рёбрах сохранены, а сумма по новой грани равна нулю.

δ

δ

Объекты и связи диаграммы

нулевая группа справа от двумерных коцепей: В двумерном комплексе нет трёхмерных симплексов, поэтому следующая группа коцепей равна нулю.
нулевая группа слева от нульмерных коцепей: До нульмерных коцепей стоит нулевая группа.
группа одномерных коцепей: Приращения на ориентированных рёбрах комплекса.
группа двумерных коцепей: Произвольные значения на ориентированных треугольниках; кограница одномерной коцепи регистрирует локальный дефект сложения приращений.
группа нульмерных коцепей: Значения потенциала на вершинах двумерного комплекса.
единственный гомоморфизм в нулевую группу: От «группа двумерных коцепей» к «нулевая группа справа от двумерных коцепей».Это нулевое отображение, поскольку в рассматриваемом комплексе нет трёхмерных симплексов.
кограница одномерных коцепей: От «группа одномерных коцепей» к «группа двумерных коцепей».Складывает ориентированные приращения вдоль границы каждого треугольника.
единственный гомоморфизм из нулевой группы: От «нулевая группа слева от нульмерных коцепей» к «группа нульмерных коцепей».Отправляет единственный элемент нулевой группы в нулевой потенциал.
кограница нульмерных коцепей: От «группа нульмерных коцепей» к «группа одномерных коцепей».Вычитает значение потенциала в начале ориентированного ребра из значения в его конце.

δ^{2} = 0

Всякая 1-коцепь вида $δ φ$ автоматически удовлетворяет локальному условию на каждом треугольнике, поэтому две соседние стрелки действительно образуют комплекс.

Локальное и глобальное препятствия

На одном заполненном треугольнике проверка коцикла уже обеспечила существование потенциала. На комплексе из многих треугольников нужно различать локальное и глобальное условия. Условие $δ ψ = 0$ называется локальным, потому что его можно проверить на каждом заполненном треугольнике отдельно: ориентированная сумма значений $ψ$ на его границе должна быть нулевой. Это необходимое условие существования потенциала: если $ψ = δ φ$ , то $δ ψ = δ^{2} φ = 0$ . Однако в общем случае оно не является достаточным. Если $δ ψ \neq 0$ , то 2-коцепь $δ ψ$ измеряет локальное препятствие: её ненулевое значение указывает на конкретный треугольник, где $ψ$ не может происходить из потенциала.

По критерию для треугольного контура условие $δ ψ = 0$ позволяет восстановить потенциал на вершинах каждого отдельного треугольника. Задача восстановить потенциал на всём комплексе является глобальной: требуется найти 0-коцепь $φ$ , одновременно заданную на всех вершинах $K$ , такую что $ψ = δ φ$ на каждом ребре. Потенциалов, независимо подобранных на отдельных треугольниках, недостаточно — их значения должны согласоваться на общих вершинах после всех склеек.

Как и для одного треугольника, 1-коцепи в ядре следующей кограницы называются коциклами. 1-коцепи, происходящие из глобального потенциала, называются кограницами. По результату предыдущей части $δ^{2} = 0$ , поэтому всякая кограница является коциклом:

Z^{1} (K; G) := \ker (δ : C^{1} \to C^{2})

B^{1} (K; G) := im (δ : C^{0} \to C^{1})

B^{1} (K; G) \subseteq Z^{1} (K; G)

Теперь применим ту же идею классов, что и на графе, но только к коциклам. При добавлении кограницы коцикл остаётся коциклом, поскольку вторая кограница равна нулю. Фактор-группа отождествляет коциклы, различающиеся на кограницу:

H^{1} (K; G) := Z^{1} (K; G) / B^{1} (K; G)

Два коцикла задают один класс, если их разность является кограницей некоторого потенциала.

Для коцикла $ψ$ его класс $[ψ]$ и называется препятствием: равенство $[ψ] = 0$ эквивалентно существованию глобального потенциала $φ$ с $ψ = δ φ$ . Таким образом, $H^{1} (K; G)$ собирает все возможные классы таких препятствий.

Для графа группа $C^{2}$ равна нулю, поэтому выходящая из $C^{1}$ кограница равна нулю и $Z^{1} = C^{1}$ . Таким образом, новое определение буквально возвращает прежнюю формулу $H^{1} = C^{1} / im δ$ .

Сначала рассмотрим геометрический смысл локального условия. Пусть $K$ триангулирует поверхность $X$ , а $G = Z_{2}$ . Значение $ψ (e) = 1$ можно понимать как одно поперечное пересечение ребра с кривой. В $Z_{2}$ минус совпадает с плюсом, поэтому равенство $δ ψ = 0$ означает, что в каждом треугольнике число таких пересечений чётно — ноль или два. В последнем случае две точки соединяются дугой; на соседних треугольниках дуги склеиваются в набор $C_{ψ}$ попарно непересекающихся замкнутых кривых и, при наличии края, дуг с концами на границе поверхности.

Если $ψ = δ φ$ , то $φ$ принимает на вершинах значения ноль и один. Если эти значения в треугольнике не все одинаковы, дуга отделяет вершины с $φ = 0$ от вершин с $φ = 1$ ; если они одинаковы, $C_{ψ}$ этот треугольник не пересекает. При склейке локальные области образуют, возможно несвязные, части $X_{0}$ и $X_{1}$ , общей внутренней границей которых является $C_{ψ}$ . В виджете выбрана нормировка $φ (v_{0}) = 0$ ; добавление к $φ$ константы один меняет метки $X_{0}, X_{1}$ местами, но не меняет $C_{ψ}$ .

Сначала выберите две единицы на рёбрах и соедините точки пересечения попарно. Затем измените ровно одно значение. Какая точка останется без пары? Сравните это с нулём на всех трёх рёбрах.

G = Z_{2}

ψ_{01} = 1

ψ_{12} = 1

ψ_{02} = 0

φ (v_{0}) = 0

φ (v_{1}) = 1

φ (v_{2}) = 0

X_{1}

X_{0}

Описание текущего рисунка

двумерный симплекс поверхности: Область
область X один около вершины v один: Область
ребро симплекса 01: Прямая или отрезок
ребро симплекса 02: Прямая или отрезок
ребро симплекса 12: Прямая или отрезок
дуга соединяет пересечения на рёбрах 01 и 12: Кривая
вершина ноль: Точка
вершина один: Точка
вершина два: Точка
кривая пересекает ребро 01 один раз: Точка
кривая пересекает ребро 12 один раз: Точка

$(δ ψ) ([v_{0}, v_{1}, v_{2}]) = ψ_{01} + ψ_{12} + ψ_{02}$
$1 + 1 + 0 = 0, ψ = δ (0, 1, 0)$

Два пересечения образуют дугу между областями потенциала ноль и один.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Виджет показывает это локальное восстановление на $Δ^{2}$ над $Z_{2}$ . Над $Z$ линии уровня хранят уже не только чётность, но также кратность и знак пересечений.

На рисунках используем обычную ориентацию плоскости: поворот от направления вправо к направлению вверх положителен. В точке поперечного пересечения мысленно встаньте вдоль стрелки кривой. Если ориентированное ребро пересекает кривую с вашей левой стороны на правую, его вклад равен $+ 1$ ; при переходе справа налево — $- 1$ . Стороны определяются направлением кривой именно в точке пересечения.

Например, при стрелке кривой вверх проход по ребру вправо даёт $+ 1$ . Обращение любой одной из двух стрелок меняет знак; обращение обеих сохраняет его. Алгебраическое число пересечений — сумма этих вкладов по всем точкам пересечения.

Рассмотрим правильный шестиугольник, разбитый на шесть треугольников $σ_{i} = [v_{i}, v_{i + 1}, c]$ с общей центральной вершиной $c$ и индексами по модулю шесть. На граничных вершинах положим $φ (v_{i}) = 0$ , а в центре — $φ (c) = h$ . Продолжим потенциал линейно на рёбрах, а точки полуцелых уровней на радиальных рёбрах соединим дугами окружностей с центром в $c$ . При выбранных значениях $h$ эти окружности целиком лежат внутри шестиугольника. Их дуги в соседних треугольниках склеиваются в замкнутые линии уровня.

При положительном $h$ направим окружности по часовой стрелке. Тогда центр находится справа от идущего вдоль окружности, и ребро, направленное к центру, пересекает каждую линию с вкладом $+ 1$ . При отрицательном $h$ направим окружности против часовой стрелки: центр окажется слева, а каждый вклад станет равен $- 1$ . Число пересечений радиального ребра равно $| h |$ , а на граничных рёбрах пересечений нет. Поэтому коцепь $ψ$ из алгебраических чисел пересечений совпадает с $δ φ$ на всех рёбрах.

Сравните центральные значения один и два, затем отрицательную единицу. До переключения предскажите число пересечений радиального ребра и их общий знак. Почему сумма по границе каждого треугольника остаётся нулевой?

G = Z

e

v_{0}

v_{1}

v_{2}

v_{3}

v_{4}

v_{5}

c

Описание текущего рисунка

триангулированный диск, на котором проведены линии уровня: Область
граничное ребро 1 со значением коцепи ноль: Прямая или отрезок
граничное ребро 2 со значением коцепи ноль: Прямая или отрезок
граничное ребро 3 со значением коцепи ноль: Прямая или отрезок
граничное ребро 4 со значением коцепи ноль: Прямая или отрезок
граничное ребро 5 со значением коцепи ноль: Прямая или отрезок
граничное ребро 6 со значением коцепи ноль: Прямая или отрезок
радиальное ребро 0 от граничной вершины к центру: Прямая или отрезок
радиальное ребро 1 от граничной вершины к центру: Прямая или отрезок
радиальное ребро 2 от граничной вершины к центру: Прямая или отрезок
радиальное ребро 3 от граничной вершины к центру: Прямая или отрезок
радиальное ребро 4 от граничной вершины к центру: Прямая или отрезок
радиальное ребро 5 от граничной вершины к центру: Прямая или отрезок
окружность полуцелого уровня одна вторая: Окружность. Обход по часовой стрелке
окружность полуцелого уровня три вторых: Окружность. Обход по часовой стрелке
выбранное радиальное ребро е ориентировано от граничной вершины к центру: Стрелка
первое пересечение выбранного ребра с линией уровня: Точка
второе пересечение выбранного ребра с линией уровня: Точка
граничная вершина номер 1 с потенциалом ноль: Точка
граничная вершина номер 2 с потенциалом ноль: Точка
граничная вершина номер 3 с потенциалом ноль: Точка
граничная вершина номер 4 с потенциалом ноль: Точка
граничная вершина номер 5 с потенциалом ноль: Точка
граничная вершина номер 6 с потенциалом ноль: Точка
центральная вершина: Точка

$ψ (e) = (+ 1) + (+ 1) = 2$
$(δ ψ) (σ_{i}) = 2 - 2 + 0 = 0$

Две вложенные линии дают два положительных пересечения; в каждом треугольнике радиальные вклады снова сокращаются.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

На одном треугольнике над $Z_{2}$ и на шестиугольном диске над $Z$ показанные коциклы являются кограницами: виджеты предъявляют соответствующие потенциалы. На общей поверхности, однако, локальные дуги могут склеиться в кривые, не являющиеся уровнями единого глобального потенциала. Над $Z_{2}$ это происходит, например, когда $C_{ψ} \neq \emptyset$ , но дополнение $X ∖ C_{ψ}$ связно. В этом случае глобального потенциала $φ$ не существует.

Целочисленный пример глобального препятствия даёт ориентированное триангулированное кольцо $A$ при $G = Z$ . Проведём ориентированный разрез $D$ , поперечный рёбрам, продолженный немного за обе компоненты границы и не проходящий через вершины. Положим $ψ (e)$ равным алгебраическому числу пересечений ориентированного ребра с разрезом. В каждом треугольнике каждая дуга разреза входит через одно ребро и выходит через другое с противоположным знаком, поэтому $δ ψ = 0$ . Однако центральная петля $γ$ пересекает разрез один раз, поэтому интеграл $\int_{γ} ψ$ равен $\pm 1$ и ненулевой. У кограницы интеграл по любой петле равен нулю, следовательно, $ψ$ не происходит из глобального потенциала.

В прямоугольном изображении кольца петля $γ$ идёт вправо. Поэтому разрез $D$ со стрелкой вверх даёт вклад $+ 1$ , а со стрелкой вниз — $- 1$ , по тому же правилу сторон. Сосчитайте также вклады по границе выделенного треугольника, обходя его по часовой стрелке: от верхней левой вершины через верхнюю правую к нижней правой и обратно. После этого обратите направление разреза. Какие равенства сохранятся, а какая величина поменяет знак?

A = S^{1} \times [0, 1]

γ

D

A

σ

+ 1

- 1

Описание текущего рисунка

фундаментальный прямоугольник кольца: Область
выделенный треугольник для локальной проверки: Область
верхняя компонента границы кольца: Прямая или отрезок
нижняя компонента границы кольца: Прямая или отрезок
левая сторона фундаментального прямоугольника: Прямая или отрезок
правая сторона фундаментального прямоугольника: Прямая или отрезок
внутреннее вертикальное ребро 1: Прямая или отрезок
внутреннее вертикальное ребро 2: Прямая или отрезок
средний горизонтальный ряд рёбер: Прямая или отрезок
диагональ 1 верхнего ряда: Прямая или отрезок
диагональ 1 нижнего ряда: Прямая или отрезок
диагональ 2 верхнего ряда: Прямая или отрезок
диагональ 2 нижнего ряда: Прямая или отрезок
диагональ 3 верхнего ряда: Прямая или отрезок
диагональ 3 нижнего ряда: Прямая или отрезок
левая сторона отождествляется с правой в направлении снизу вверх: Стрелка
правая сторона отождествляется с левой в направлении снизу вверх: Стрелка
центральная ориентированная петля гамма, замыкающаяся после отождествления сторон: Стрелка
поперечный разрез D направлен снизу вверх: Стрелка
пересечение разреза с ребром триангуляции 1: Точка
пересечение разреза с ребром триангуляции 2: Точка
единственное пересечение центральной петли с разрезом: Точка
пересечение разреза с ребром триангуляции 4: Точка
пересечение разреза с ребром триангуляции 5: Точка

(δ ψ) (σ) = 1 - 1 + 0 = 0

Локально: два вклада сокращаются, поэтому кограница равна нулю.

\int_{γ} ψ = 1 \neq 0

Глобально: замкнутая петля пересекает разрез один раз.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

δ ψ = 0

[ψ] \in H^{1} (A; Z), [ψ] \neq 0

Построенный коцикл проходит проверку на каждом треугольнике кольца, но его ненулевой интеграл по центральной петле препятствует восстановлению глобального потенциала.

Двойственный комплекс

Вернёмся к произвольному конечному симплициальному комплексу $K$ и обобщим конструкции степеней ноль, один и два на произвольную степень. Выберем по одной ориентации каждого $q$ -симплекса. Группа $C_{q} (K)$ свободно порождена выбранными ориентированными симплексами, а противоположная ориентация обозначает отрицательный генератор. Для $q \geq 1$ граничный гомоморфизм $\partial : C_{q} (K) \to C_{q - 1} (K)$ задаётся знакопеременной суммой граней:

\partial [v_{0}, \dots, v_{q}] = \sum_{j = 0}^{q} (- 1)^{j} [v_{0}, \dots, \hat{v_{j}}, \dots, v_{q}]

Шляпка над $v_{j}$ означает, что эта вершина пропущена. Положим $C_{- 1} (K) = 0$ и границу любой вершины равной нулю. Каждая грань коразмерности два появляется в $\partial^{2}$ дважды с противоположными знаками, поэтому $\partial^{2} = 0$ : граница не имеет границы.

Коцепи с коэффициентами в $G$ — гомоморфизмы из цепной группы в $G$ . Поскольку $C_{q} (K)$ свободна на выбранных ориентированных $q$ -симплексах, такой гомоморфизм однозначно определяется значениями на них — именно так коцепи описывались выше:

C^{q} (K; G) := Hom (C_{q} (K), G)

Кограница получается предкомпозицией с границей. Для $α \in C^{q} (K; G)$ и $c \in C_{q + 1} (K)$ положим

δ : C^{q} (K; G) ⟶ C^{q + 1} (K; G)

(δ α) (c) := α (\partial c)

Таким образом, двойствование разворачивает направление степеней. В цепной строке диаграммы $\partial$ понижает степень, а в коцепной строке $δ$ повышает её; каждая коцепная стрелка получается предкомпозицией с соответствующей цепной.

\partial

\partial

δ

δ

Объекты и связи диаграммы

группа цепей степени q: Свободная абелева группа на выбранных ориентированных симплексах размерности q.
группа цепей степени q минус один: Свободная абелева группа на выбранных ориентированных симплексах размерности q минус один.
группа цепей степени q плюс один: Свободная абелева группа на выбранных ориентированных симплексах размерности q плюс один.
группа коцепей степени q: Группа гомоморфизмов из цепей степени q в группу коэффициентов.
группа коцепей степени q минус один: Группа гомоморфизмов из цепей степени q минус один в группу коэффициентов.
группа коцепей степени q плюс один: Группа гомоморфизмов из цепей степени q плюс один в группу коэффициентов.
граничный гомоморфизм из цепей степени q в цепи степени q минус один: От «группа цепей степени q» к «группа цепей степени q минус один».Берёт ориентированную границу цепи и понижает её степень на один.
граничный гомоморфизм из цепей степени q плюс один в цепи степени q: От «группа цепей степени q плюс один» к «группа цепей степени q».Берёт ориентированную границу цепи и понижает её степень на один.
кограничный гомоморфизм из коцепей степени q в коцепи степени q плюс один: От «группа коцепей степени q» к «группа коцепей степени q плюс один».Предкомпозиция с границей повышает степень коцепи на один.
кограничный гомоморфизм из коцепей степени q минус один в коцепи степени q: От «группа коцепей степени q минус один» к «группа коцепей степени q».Предкомпозиция с границей повышает степень коцепи на один.

Цепное равенство сразу даёт коцепное. Для $α \in C^{q} (K; G)$ и $c \in C_{q + 2} (K)$ имеем

(δ^{2} α) (c) = α (\partial^{2} c) = 0

Из соглашения $C_{- 1} (K) = 0$ следует

C^{- 1} (K; G) = Hom (C_{- 1} (K), G) = 0

Поэтому входящая в $C^{0}$ кограница является нулевым отображением.

Z^{q} (K; G) := \ker (δ : C^{q} \to C^{q + 1})

B^{q} (K; G) := im (δ : C^{q - 1} \to C^{q})

H^{q} (K; G) := Z^{q} (K; G) / B^{q} (K; G)

Для коцикла $α \in Z^{q} (K; G)$ критерий исчезновения его класса имеет вид

[α] = 0 ⟺ α \in B^{q} (K; G)

Формулы определяют группы для $q \geq 0$ . Равенство $δ^{2} = 0$ гарантирует, что знаменатель является подгруппой числителя. Для локально совместимой коцепи $α$ её класс $[α]$ измеряет препятствие представить её как кограницу глобально заданной коцепи предыдущей степени.

Проверьте, что различаете коцепь и её класс

Решите задания до чтения разбора. Во всех числовых примерах коэффициенты целые, тройка перечисляет значения на рёбрах в порядке $(01, 12, 02)$ , а обход контура идёт по петле $γ = (v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{0})$ . Каждый ответ подтвердите вычислением или предъявлением потенциала.

На заполненном треугольнике заданы $ψ = (1, 2, 4)$ и $β = (1, 2, 3)$ . Для каждого набора определите: является ли он коциклом, существует ли его класс в $H^{1}$ и, если существует, равен ли он нулю?
Удалите внутренность треугольника, оставив контур $Γ$ и прежние значения $ψ, β$ на рёбрах. Какие ответы изменятся и почему?
На контуре $Γ$ сравните класс $ψ$ с классами $η = (3, - 1, 3)$ и $θ = (1, 2, 5)$ . При совпадении предъявите потенциал для разности, при несовпадении — различающий их интеграл. Достаточно ли для равенства классов того, что оба ненулевые?
Пусть $q \geq 1$ и $α \in C^{q} (K; G)$ . Почему при $δ α \neq 0$ запись $[α] \in H^{q} (K; G)$ недопустима? Если же $α = δ λ$ для некоторой $λ \in C^{q - 1} (K; G)$ , какие два вывода следуют о $α$ и её классе?

Разбор

1. Заполненный треугольник. Проверяем кограницу на единственной грани:

(δ ψ) ([v_{0}, v_{1}, v_{2}]) = 1 + 2 - 4 = - 1

(δ β) ([v_{0}, v_{1}, v_{2}]) = 1 + 2 - 3 = 0

Коцепь $ψ$ не является коциклом и вообще не задаёт класса в $H^{1} (Δ^{2}; Z)$ . Коцепь $β$ является коциклом и кограницей потенциала $(φ (v_{0}), φ (v_{1}), φ (v_{2})) = (0, 1, 3)$ . Значит, $[β] = 0$ , хотя все три значения $β$ ненулевые.

2. Контур. Двумерных граней больше нет: $C^{2} (Γ; Z) = 0$ , и обе коцепи автоматически являются коциклами. Интеграл $\int_{γ} ψ = - 1$ исключает существование потенциала, так что теперь $[ψ] \neq 0$ . Для $β$ прежний потенциал по-прежнему подходит, поэтому $[β] = 0$ . Изменились условия допустимости коцикла, а не числа на рёбрах.

3. Сравнение классов. Суммы по петле равны:

\int_{γ} ψ = - 1

\int_{γ} η = 3 - 1 - 3 = - 1

\int_{γ} θ = 1 + 2 - 5 = - 2

Для совпадающих сумм можно предъявить явное свидетельство: потенциал $(f (v_{0}), f (v_{1}), f (v_{2})) = (0, 2, - 1)$ даёт

η - ψ = (2, - 3, - 1) = δ f

Следовательно, $[η] = [ψ] \neq 0$ , хотя $η \neq ψ$ . Класс $[θ]$ тоже ненулевой, но отличается от $[ψ]$ : добавление кограницы не изменяет интеграл по петле. Отсутствие потенциала само по себе не определяет класс.

4. Произвольная степень. При $δ α \neq 0$ коцепь не лежит в $Z^{q}$ , а классы в $H^{q} = Z^{q} / B^{q}$ образованы именно из элементов $Z^{q}$ . Если $α = δ λ$ , то $δ α = δ^{2} λ = 0$ и $α \in B^{q}$ . Поэтому $α$ является коциклом, а его класс равен нулю.

Когомологии

Соглашения

От значений к приращениям

Нулевая когомология хранит постоянные значения

Петли графа

Восстановите потенциал или докажите невозможность

Когда приращения восстанавливаются из потенциала

Что хранит класс когомологий

Первая когомология графа

Интегралы по петлям различают классы на графе

Кограница на треугольниках

Кограница кограницы равна нулю

Локальное и глобальное препятствия

Первая группа когомологий

Коцепь и условие коцикла

Как определить знак пересечения

Целочисленные приращения как линии уровня

Разрез обнаруживает глобальное препятствие

Поперечный разрез кольца задаёт ненулевой класс

Двойственный комплекс

Коциклы по модулю кограниц образуют когомологии

Проверьте, что различаете коцепь и её класс

Разбор