Конфигурация Паппа

Соглашения

• В частях 1–3 рассматривается аффинная плоскость над полем $K$, в частях 4–6 — её проективное пополнение.
• Поле $K$ коммутативно; некоммутативные координаты появляются только в части 6.
• Запись $AB$ означает прямую, проходящую через различные точки $A$ и $B$.
• Все построения используют только прямые, их пересечения и параллельные прямые; длины и углы не измеряются.

Аффинный репер

На прямой аффинной плоскости все точки равноправны: ни одна из них сама по себе не является нулём или единицей. Чтобы точки могли обозначать числа, выберем на прямой две различные точки и назовём их $0$ и $1$. Прямую с выбранными точками $0$ и $1$ будем называть числовой прямой.

Плоскость двумерна, поэтому двух точек на одной прямой недостаточно для координат на всей плоскости. Добавим точку $J$ вне числовой прямой. Тройка точек $0,1,J$ называется аффинным репером (affine frame). Точка $J$ не обозначает число: прямая через $0$ и $J$ служит второй осью, без которой нельзя провести ни одну прямую, выходящую из числовой прямой.

Репер задаёт на плоскости координаты, в которых $0=(0,0)$, $1=(1,0)$ и $J=(0,1)$. Числовая прямая состоит из точек с нулевой второй координатой, поэтому число $x\in K$ представлено точкой числовой прямой с первой координатой $x$. Обозначим эту точку через $[x]$:

Например, $[0]$ и $[1]$ совпадают с выбранными точками $0$ и $1$, а число $2$ представлено точкой $[2]=(2,0)$.

Сложение параллельным переносом

Пусть точки $X=[x]$ и $Y=[y]$ представляют два числа. Точка $[x+y]$ расположена относительно $X$ так же, как $Y$ относительно $0$: её даёт перенос, переводящий $0$ в $X$. Перенос без измерений даёт параллелограмм: его противоположные стороны параллельны, и одна получается из другой этим переносом. Но точки $0$, $Y$ и $X$ лежат на одной прямой, и параллелограмм с такими вершинами вырождается. Поэтому выполним перенос в два шага, выйдя из числовой прямой через точку $J$ репера.

1. Через $X$ проведём прямую, параллельную $0J$, а через $J$ — прямую, параллельную числовой прямой. Их пересечение обозначим $P$. Четырёхугольник $0JPX$ — параллелограмм, поэтому перенос, переводящий $0$ в $X$, переводит $J$ в $P$.
2. Через $P$ проведём прямую, параллельную $JY$. Её пересечение с числовой прямой обозначим $S$. Четырёхугольник $JYSP$ — параллелограмм, поэтому тот же перенос переводит $Y$ в $S$.

До запуска отметьте, куда должен перейти конец второго слагаемого при переносе на первое. Запустите построение и остановитесь после появления промежуточной точки. Какую часть переноса ещё нужно выполнить, чтобы получить сумму?

Проверим в координатах. Прямая через $X$, параллельная $0J$, состоит из точек с первой координатой $x$, а прямая через $J$, параллельная числовой прямой, — из точек со второй координатой $1$. Поэтому $P=(x,1)$. Точки прямой через $P$ в направлении $Y-J$ имеют вид

На числовую прямую такая точка попадает при $t=1$, поэтому

Умножение гомотетией

Для умножения переноса недостаточно: перенос, переводящий $0$ в $X$, прибавляет $x$, а не умножает на него. Нужно преобразование, которое оставляет $0$ на месте и переводит $1$ в множитель. Такое преобразование называется гомотетией (homothety) с центром $0$: она оставляет $0$ на месте, переводит каждую прямую в параллельную ей прямую и однозначно задаётся образом одной точки, отличной от $0$. Построим образ $X=[x]$ при гомотетии, переводящей $1$ в $Y=[y]$, и проверим в координатах, что он представляет $xy$.

Проще говоря, гомотетия — растяжение плоскости от точки $0$ в одно и то же число раз по всем направлениям. Треугольник с вершинами $0$, $1$, $J$ переходит в подобный ему треугольник, как в школьной теореме о подобных треугольниках, только здесь нет ни длин, ни углов, а есть лишь параллельность сторон. Растяжение, переводящее $1$ в $Y$, растягивает всё в $y$ раз, и точка $[x]$ должна попасть в $[yx]$. Построение ниже делает это без измерений, а проверка в координатах подтверждает результат.

Как и перенос, гомотетию нельзя построить, не выходя из числовой прямой: нужны прямые, пересекающие её, и их снова дают точка $J$ репера и вторая ось $0J$.

1. Через $Y$ проведём прямую, параллельную $1J$. Её пересечение со второй осью обозначим $V$. Гомотетия, переводящая $1$ в $Y$, переводит прямую $1J$ в параллельную прямую через $Y$ и вторую ось в себя, поэтому она переводит $J$ в $V$.
2. Через $V$ проведём прямую, параллельную $JX$. Её пересечение с числовой прямой обозначим $M$. Та же гомотетия переводит прямую $JX$ в параллельную прямую через $V$ и числовую прямую в себя, поэтому она переводит $X$ в $M$.

До запуска определите коэффициент гомотетии по точке второго множителя. Проследите сначала образ вспомогательной точки, затем образ первого множителя. Почему оба шага должны использовать одну и ту же гомотетию?

Проверим в координатах. Точки прямой через $Y$ в направлении $J-1$ имеют вид $Y+s(J-1)=(y-s,s)$. На вторую ось они попадают при $s=y$, поэтому $V=(0,y)$. Точки прямой через $V$ в направлении $X-J$ имеют вид

На числовую прямую такая точка попадает при $t=y$, поэтому

Координаты понадобились только для проверки. Сами построения суммы и произведения используют лишь прямые, параллельность и пересечения, а аффинное преобразование плоскости сохраняет эти отношения и переводит репер в репер. Поэтому если сдвинуть или наклонить весь рисунок вместе с репером, построенные точки перейдут в точки $[x+y]$ и $[xy]$ нового репера.

Проективное пополнение

В построениях частей 2 и 3 встречаются команды двух видов: «провести прямую через две точки» и «провести через точку прямую, параллельную данной». Вторая команда нужна только потому, что параллельные прямые не пересекаются: у них нет общей точки, через которую можно было бы задать новую прямую. Проективное пополнение (projective completion) добавляет такие точки.

Направлением назовём класс всех прямых, параллельных друг другу. Проективная плоскость (projective plane) получается из аффинной в три шага. К точкам добавляют по одной новой точке на каждое направление — бесконечно удалённую точку (point at infinity) этого направления. Каждую аффинную прямую дополняют бесконечно удалённой точкой её направления. Все бесконечно удалённые точки вместе объявляют ещё одной прямой — бесконечно удалённой прямой (line at infinity).

Проверим, что теперь любые две различные прямые пересекаются ровно в одной точке.

• Две непараллельные аффинные прямые по-прежнему пересекаются в аффинной точке, а их бесконечно удалённые точки различны, потому что различны направления.
• Две параллельные аффинные прямые не имеют общих аффинных точек, но имеют одно направление, а значит, одну общую бесконечно удалённую точку.
• Аффинная прямая и бесконечно удалённая прямая имеют ровно одну общую точку — бесконечно удалённую точку направления этой аффинной прямой.

Сначала найдите, каких данных не хватает параллельным прямым для единственной точки пересечения. Переключите модель плоскости и укажите добавленную точку. Объясните, почему её положение на рисунке не задаёт конечного расстояния до неё.

Команда «через точку провести прямую, параллельную данной» становится частным случаем команды «провести прямую через две точки». Например, первый шаг сложения — «через $X$ провести прямую, параллельную $0J$» — читается так: провести прямую через $X$ и бесконечно удалённую точку прямой $0J$. Все построения частей 2 и 3 сводятся к двум операциям: провести прямую через две точки и пересечь две прямые.

Девять точек Паппа

В части 3 произведение строилось так: к точке $X=[x]$ применялась гомотетия, переводящая $1$ в $Y=[y]$. Роли множителей можно поменять: применить к $Y$ гомотетию, переводящую $1$ в $X$. Чтобы сравнить оба способа на одном рисунке, переименуем точки: $A=[x]$, $B=[y]$, а точку $J$ репера назовём $c$. Первый способ переносит $B$ на вторую ось прямой, параллельной $1c$, в точку $a$ и проводит через $a$ прямую, параллельную $cA$; это точка $M$ части 3. Второй способ переносит $A$ в точку $b$ и проводит через $b$ прямую, параллельную $cB$. Её пересечение с числовой прямой обозначим $C$.

Над полем $C$ совпадает с $M$: в координатах обе равны $[xy]$. Но посмотрим на рисунок, забыв о координатах. На числовой прямой лежат $A$, $B$, $C$, на второй оси — $a$, $b$, $c$. Две пары прямых параллельны по построению: $Ab$ и $aB$, обе параллельные $1c$, а также $Bc$ и $bC$. Равенство $M=C$ означает, что параллельна и третья пара, $Ac$ и $aC$: ведь $M$ — пересечение числовой прямой с прямой через $a$, параллельной $cA$.

Сначала постройте произведение в одном порядке и запомните его конечную точку. Затем выберите другой порядок и включите сравнение. Переместите второй множитель: какие вспомогательные прямые изменились и совпали ли результаты?

Итак, совпадение двух произведений — утверждение такого вида: три точки $A,B,C$ на одной прямой, три точки $a,b,c$ на другой, две перекрёстные пары прямых параллельны, тогда параллельна и третья. Именно это утверждает теорема Паппа. Сформулируем её в общем виде, где перекрёстные прямые могут и пересекаться.

На первой прямой выберем точки $A,B,C$, а на второй — точки $a,b,c$. Все шесть точек различны и не совпадают с точкой пересечения прямых. Соединим точки крест-накрест: каждой паре из заглавной и строчной буквы отвечает прямая, а три пары таких прямых дают три точки пересечения:

• Точка $P$ — пересечение прямых $Ab$ и $aB$.
• Точка $Q$ — пересечение прямых $Ac$ и $aC$.
• Точка $R$ — пересечение прямых $Bc$ и $bC$.

В утверждении нет расстояний и углов, а после проективного пополнения нет и особого случая параллельных прямых: если, например, $Ab$ параллельна $aB$, то $P$ — бесконечно удалённая точка их общего направления. В конфигурации двух произведений так устроены сразу две пары: $P$ и $R$ бесконечно удалены, а равенство $M=C$ говорит, что бесконечно удалена и $Q$.

Продвигайте построение до появления двух точек пересечения и прямой через них. До последнего шага предскажите положение третьей точки. Затем завершите построение и назовите условие, из которого следует её принадлежность этой прямой.

Выберите подчёркнутое обозначение, чтобы найти точку на рисунке; выберите саму точку, чтобы вернуться к её определению. С клавиатуры ссылка открывается клавишей Enter; Escape возвращает из определения к точке.

Аффинный случай

Докажем теорему в случае, когда две из трёх перекрёстных пар параллельны: $Ab$ параллельна $aB$, а $Bc$ параллельна $bC$. По части 4 это значит, что $P$ и $R$ — бесконечно удалённые точки, и прямая $PR$ — бесконечно удалённая прямая. Нужно доказать, что $Q$ лежит на ней, то есть тоже бесконечно удалена. В аффинных терминах это значит, что $Ac$ параллельна $aC$. Итак, из двух параллельностей надо вывести третью. Пусть исходные прямые пересекаются в точке $O$; в конфигурации двух произведений это точка $0$.

Идея доказательства. Параллельность $Ab$ и $aB$ означает, что растяжение от $O$, переводящее $A$ в $B$, переводит $b$ в $a$. Вторая параллельность говорит то же о другом растяжении. Утверждение теоремы окажется тем, что два растяжения от одной точки можно выполнять в любом порядке.

Пусть $g$ — гомотетия с центром $O$, переводящая $A$ в $B$. Она переводит прямую $Ab$ в параллельную прямую через $B$, то есть в $aB$, а прямую $Ob$ — в себя, поэтому $g(b)=a$. Пусть $h$ — гомотетия с центром $O$, переводящая $B$ в $C$; так же получаем $h(c)=b$.

Гомотетии с общим центром перестановочны: в координатах с началом $O$ каждая умножает обе координаты на своё число, а произведение двух чисел не зависит от порядка. Поэтому композиция $f=h\circ g=g\circ h$ переводит $A$ в $C$ и $c$ в $a$:

Гомотетия переводит прямую в параллельную прямую, значит $f(Ac)=Ca$, и прямая $Ac$ параллельна $aC$. Поэтому $Q$ — бесконечно удалённая точка их общего направления. Все три точки $P$, $Q$, $R$ лежат на бесконечно удалённой прямой, а это и есть утверждение теоремы.

Геометрия коммутативности

До сих пор координаты брались из поля. Но построения частей 1–5 используют только сложение, умножение и деление на ненулевые элементы, поэтому они имеют смысл и над телом (skew field) — системой с теми же операциями, в которой произведения $xy$ и $yx$ могут различаться. Единственное место, где порядок множителей мог играть роль, — гомотетии: гомотетия с центром $0$, переводящая $1$ в $Y=[y]$, в координатах умножает слева на $y$.

Поэтому два способа умножения из части 5 над телом дают разные координаты. Первый способ, как в части 3, приводит в точку $M=(yx,0)$. Во втором точки прямой через $b=(0,x)$ в направлении $B-c$ имеют вид $(ty,x-t)$; на числовую прямую они попадают при $t=x$, поэтому $C=(xy,0)$. Над телом точки $M$ и $C$ могут быть различны.

Такие тела существуют. Кватернионы (quaternions) Гамильтона — числа вида $a+bi+cj+dk$ с вещественными $a,b,c,d$, где $i^2=j^2=k^2=-1$ и $ij=-ji=k$. В них можно складывать, умножать и делить на ненулевые элементы, но $ij\ne ji$. В плоскости с кватернионными координатами все построения главы выполнимы, а конфигурация Паппа для $x=i$ и $y=j$ не замыкается: точки $[ji]=[-k]$ и $[ij]=[k]$ различны, и третья пара прямых не параллельна.

Здесь и работает конфигурация части 5: точки $A,B,C$ на числовой прямой и $a,b,c$ на второй оси. Прямые $Ab$ и $aB$ параллельны, прямые $Bc$ и $bC$ параллельны — обе пары по построению. Если в плоскости верна аффинная теорема Паппа, то параллельны и $Ac$ и $aC$. Тогда $C$ лежит на прямой через $a$, параллельной $cA$, то есть $C=M$, и

Обратно, если $xy=yx$ для всех $x,y$, то гомотетии с общим центром перестановочны, и доказательство части 5 даёт аффинную теорему Паппа.

Коммутативное тело называется полем. Значит, конфигурация из девяти точек не просто иллюстрирует известную алгебру: она геометрически отличает поля от некоммутативных тел.