Конфигурация Дезарга

Соглашения

• Как и в главе 2, работаем в аффинной плоскости с координатами; координаты берутся из тела $D$, коммутативность умножения нигде не используется.
• Репер, числовая прямая, вторая ось и запись $[x]$ — те же, что в главе 2; точки $X=[x]$ и $Y=[y]$ представляют числа $x$ и $y$.
• Запись $AB$ означает прямую через различные точки $A$ и $B$; построения используют только прямые, параллельность и пересечения.

Вспомогательная точка

В главе 2 сумма и произведение строились через точку $J$ репера: чтобы перенести или растянуть отрезок, лежащий на числовой прямой, приходилось выходить из неё. Но $J$ — произвольная точка вне числовой прямой. Возьмём вместо неё другую точку $K$ и повторим построение суммы: перенесём $K$ в точку $L$ так, что $0K$ параллельна $XL$, а $KL$ параллельна числовой прямой, и проведём через $L$ прямую, параллельную $KY$. Попадёт ли она в ту же точку $S$?

Запомните точку суммы и переместите вспомогательную точку в оба конца доступного диапазона. Какие промежуточные точки сдвинулись? Найдите геометрическую причину того, что конечная точка осталась прежней.

В координатах ответ очевиден. Первая координата точки числовой прямой определяется точками $0$ и $1$ и не зависит от того, какая точка выбрана третьей в репере. Проверка из главы 2 проходит для любой третьей точки репера и даёт $S=[x+y]$ и $M=[xy]$. Но эта проверка пользуется координатами, то есть уже готовой арифметикой.

Есть плоскости, где ответ отрицательный. В плоскости Моултона (Moulton plane) точки те же, что в обычной координатной плоскости, а прямые с отрицательным наклоном преломляются на второй оси: справа от неё наклон удваивается. Через две точки по-прежнему проходит одна прямая, через точку вне прямой — одна параллельная, и все построения главы 2 в ней выполнимы. Но результат зависит от того, по какую сторону от оси взята вспомогательная точка: сумма и произведение перестают быть определёнными.

Остаётся вопрос: можно ли доказать независимость от вспомогательной точки одними прямыми и пересечениями, как в главе 2 доказывалась теорема Паппа? Такое доказательство показало бы, что геометрическая арифметика определена корректно сама по себе, без ссылки на координаты. Нужное утверждение о прямых — теорема Дезарга.

Конфигурация Дезарга

Два треугольника $ABC$ и $A_1{B}_1{C}_1$ называются перспективными с центром $O$ (perspective from a point), если прямые $A{A}_1$, $B{B}_1$ и $C{C}_1$ проходят через $O$. Все шесть вершин и точка $O$ различны, и никакие три из них, кроме троек на этих прямых, не лежат на одной прямой. Соответственные стороны пересекаются в трёх точках:

Как и теорема Паппа, это утверждение об инцидентности: в нём участвуют десять точек и десять прямых, и на каждой прямой лежат три точки. В проективной плоскости особый случай параллельных сторон исчезает: если $AB$ параллельна $A_1{B}_1$, то $P$ — бесконечно удалённая точка их общего направления.

Пространственная картинка объясняет, откуда берётся прямая. Пусть треугольник $A_1{B}_1{C}_1$ лежит в другой плоскости, а $O$ — точечный источник света, так что $ABC$ — тень $A_1{B}_1{C}_1$. Сторона $AB$ и её прообраз $A_1{B}_1$ лежат в одной плоскости, проходящей через $O$, поэтому пересекаются, а точка пересечения принадлежит обеим плоскостям треугольников. Все три точки $P$, $Q$, $R$ лежат на прямой, по которой пересекаются две плоскости, и в пространстве теорема очевидна. Плоская теорема — тень пространственной, и именно поэтому в плоскости она требует отдельного доказательства.

Проследите построение второго треугольника, затем двух пересечений соответствующих сторон. До последнего шага укажите прямую, на которой ожидаете третье пересечение. Почему одной лишь похожести треугольников для этого вывода недостаточно?

Аффинный случай

Докажем теорему в случае, когда две пары соответственных сторон параллельны: $AB$ параллельна $A_1{B}_1$, а $BC$ параллельна $B_1{C}_1$. Тогда $P$ и $Q$ бесконечно удалены, прямая $PQ$ — бесконечно удалённая, и нужно доказать, что $R$ лежит на ней, то есть что $CA$ параллельна $C_1{A}_1$.

Идея доказательства. Второй треугольник — растянутая от $O$ копия первого, и нужно лишь убедиться, что коэффициент растяжения для всех трёх вершин один и тот же. Две параллельные пары сторон как раз это и гарантируют.

В координатной плоскости гомотетия с центром $O$ задаётся формулой и существует для любого коэффициента $\lambda \ne 0$:

Она оставляет $O$ на месте и переводит каждую прямую в параллельную прямую: точка $p+tv$ переходит в $h(p)+(\lambda t)v$. Перестановочность $\lambda$ и $t$ здесь не нужна.

Точка $A_1$ лежит на прямой $OA$, поэтому $A_1=O+\lambda (A-O)$ для некоторого $\lambda$. Возьмём гомотетию $h$ с этим коэффициентом; она переводит $A$ в $A_1$. Точка $h(B)$ лежит на прямой $OB$, а прямая $A_{1}h(B)$ параллельна $AB$. Но через $A_1$ проходит ровно одна прямая, параллельная $AB$, и она пересекает $OB$ в единственной точке $B_1$. Значит, $h(B)=B_1$. Точно так же из параллельности $BC$ и $B_1{C}_1$ получаем $h(C)=C_1$.

Теперь $h$ переводит прямую $CA$ в прямую $C_1{A}_1$, а гомотетия переводит прямую в параллельную. Значит, $CA$ параллельна $C_1{A}_1$, точка $R$ бесконечно удалена, и все три точки $P$, $Q$, $R$ лежат на бесконечно удалённой прямой.

Независимость от вспомогательной точки

Вернёмся к произведению. Пусть $J$ и $K$ — две вспомогательные точки вне числовой прямой, не лежащие на одной прямой с $0$. Через $J$ произведение строится как в главе 2: $V$ — пересечение прямой $0J$ с прямой через $Y$, параллельной $1J$, а $M$ — пересечение числовой прямой с прямой через $V$, параллельной $JX$. Через $K$ так же получаются точки $U$ и $N$. Докажем, что $N=M$, применив теорему Дезарга дважды.

Идея: оба чертежа — две картинки одного и того же растяжения, переводящего $1$ в $Y$. Оно переводит $J$ в $V$, $K$ в $U$ и $X$ в произведение. Теорема Дезарга нужна, чтобы увидеть это без координат.

1. Треугольники $1JK$ и $YVU$ перспективны с центром $0$: прямые $1Y$, $JV$ и $KU$ проходят через $0$. Стороны $1J$ и $YV$ параллельны, стороны $1K$ и $YU$ параллельны — обе пары по построению. По теореме Дезарга параллельна и третья пара: $JK$ и $VU$.
2. Треугольники $JKX$ и $VUM$ перспективны с центром $0$: прямые $JV$, $KU$ и $XM$ проходят через $0$. Стороны $JK$ и $VU$ параллельны по первому шагу, стороны $JX$ и $VM$ — по построению. По теореме Дезарга $KX$ параллельна $UM$.

Но $N$ определена как пересечение числовой прямой с прямой через $U$, параллельной $KX$. Через $U$ проходит ровно одна такая прямая, и по второму шагу это прямая $UM$. Значит, $N=M$.

Переместите вспомогательную точку, сохраняя оба множителя. Сравните изменившиеся промежуточные треугольники с неподвижной точкой произведения. На каком шаге используется теорема Дезарга?

Для суммы рассуждение то же, только центр перспективы бесконечно удалён. Пусть $P$ и $L$ — образы точек $J$ и $K$ при переносе, переводящем $0$ в $X$, а $S$ и $S_1$ — суммы, построенные через $J$ и через $K$. Треугольники $0JK$ и $XPL$ перспективны с бесконечно удалённым центром: прямые $0X$, $JP$ и $KL$ параллельны. Стороны $0J$ и $XP$, $0K$ и $XL$ параллельны по построению, поэтому $JK$ параллельна $PL$. Затем треугольники $JKY$ и $PLS$ перспективны с тем же центром, и из параллельности $JK$ и $PL$, $JY$ и $PS$ следует, что $KY$ параллельна $LS$, то есть $S_1=S$.

Ассоциативность умножения

Умножение на $y$ — это отображение числовой прямой $X\mapsto [yx]$. Ассоциативность $z(yx)=(zy)x$ говорит: умножить на $y$, а затем на $z$ — то же самое, что умножить на $zy$. В главе 2 умножение на $y$ было гомотетией, переводящей $1$ в $Y$, но гомотетии там брались из координат. Для умножения, заданного построением, ассоциативность не разумеется сама собой: в плоскости Моултона она нарушается. Теорема Дезарга позволяет построить гомотетии одними прямыми, и тогда ассоциативность становится свойством их композиции.

Определим отображение $h_Y$ на всей плоскости. Точку $p$ вне числовой прямой оно переводит в пересечение прямой $0p$ с прямой через $Y$, параллельной $1p$; так в главе 2 точка $Y$ переводилась на вторую ось. Точку числовой прямой оно переводит через вспомогательную точку, как в построении произведения, и по части 3 результат от вспомогательной точки не зависит. Итак, $h_Y$ оставляет $0$ на месте и переводит $1$ в $Y$.

Проверим, что $h_Y$ переводит каждую прямую в параллельную прямую. Пусть $p$ и $q$ — две точки, не лежащие на одной прямой с $0$ и не лежащие на одной прямой с $1$. Треугольники $1pq$ и $Y{h}_Y(p)h_Y(q)$ перспективны с центром $0$, а стороны $1p$ и $Y{h}_Y(p)$, $1q$ и $Y{h}_Y(q)$ параллельны по построению. По теореме Дезарга $pq$ параллельна $h_Y(p)h_Y(q)$. Если прямая $pq$ проходит через $0$, образы обеих точек лежат на той же прямой; если она проходит через $1$, то $h_Y(p)$ и $h_Y(q)$ по определению лежат на прямой через $Y$, параллельной $pq$. Значит, $h_Y$ — гомотетия с центром $0$ в смысле главы 2, построенная без координат.

Гомотетия с центром $0$ определяется образом точки $1$: образ любой другой точки восстанавливается описанным построением. Композиция $h_Z\circ h_Y$ оставляет $0$ на месте, переводит прямые в параллельные и переводит $1$ в $h_Z(Y)=[zy]$. Значит, она совпадает с гомотетией, переводящей $1$ в $[zy]$. Применим обе части равенства к точке $X$:

Переносы, построенные через параллелограммы, тоже переводят прямые в параллельные и определяются образом точки $0$; композиция переносов на $y$ и на $z$ — перенос на $y+z$, откуда $(x+y)+z=x+(y+z)$. Порядок множителей при этом нигде не переставлялся: ассоциативность получена без теоремы Паппа.

Дезарг и тело

Соберём вместе доказанное в двух главах. В координатной плоскости над телом $D$ верна теорема Дезарга, потому что в ней есть гомотетии и переносы с любыми параметрами. Теорема Дезарга, в свою очередь, делает геометрическую арифметику корректной и ассоциативной: гомотетии и переносы становятся преобразованиями плоскости, а их композиции — снова гомотетиями и переносами. Теорема Паппа верна тогда и только тогда, когда умножение в $D$ коммутативно, то есть когда $D$ — поле.

Две конфигурации задают иерархию плоскостей. В плоскости без теоремы Дезарга, как в плоскости Моултона, сложение и умножение зависят от вспомогательной точки, и координат в обычном смысле нет. В плоскости с теоремой Дезарга, но без теоремы Паппа, как в плоскости над кватернионами, умножение ассоциативно, координаты образуют тело, и порядок множителей важен. В плоскости с теоремой Паппа, как в обычной плоскости над вещественными числами, координаты образуют поле.