Аналитическая теория чисел · §4

Плотность простых чисел и теорема Дирихле

Что значит, что один класс вычетов содержит определённую долю всех простых чисел? Равномерно распределить массу по бесконечному множеству невозможно, поэтому мы введём семейство вероятностных мер и определим долю как их предел. Затем построим фильтр, выделяющий нужный класс, и сведём вопрос о его массе к поведению уже изученных функций. В пределе все допустимые классы окажутся равноправны: каждый получит долю $1 / φ (m)$ . В частности, каждый из них содержит бесконечно много простых чисел.

Какую массу получает один класс вычетов

Зафиксируем модуль $m$ и класс $a$ , взаимно простой с $m$ . Нас интересует множество

A_{a} = {p \in P : p \equiv a (\mod m)}

В качестве сквозного примера будем держать в уме $m = 5$ и $a = 2$ . Тогда $A_{2}$ состоит из простых чисел $2, 7, 17, 37, \dots$ , а ожидаемый ответ равен $1 / φ (5) = 1 / 4$ .

Доказательство через прямой подсчёт простых чисел до $x$ нам пока недоступно. Вместо него построим вероятностную меру $μ_{s}$ , согласованную с уже изученными $ζ$ - и $L$ -функциями.

Поскольку $P$ — счётное множество, такая мера определяется массами отдельных точек. Начнём с положительных ненормированных весов $w_{s} (p)$ . Чтобы общая масса стала равна единице, каждый вес нужно разделить на их сумму:

Остаётся выбрать $w_{s} (p)$ . Решающим становится последнее требование. Логарифмы эйлеровых произведений имеют вид

При $s \to 1 +$ имеем

\log ζ (s) = \sum_{p} \frac{1}{p^{s}} + O (1)

\log L (s, χ) = \sum_{p} \frac{χ (p)}{p^{s}} + O (1)

Значит, аналитические формулы уже приписывают простому числу $p$ коэффициент $p^{- s}$ . Только с этим выбором характеры можно применить прямо к $L$ -функциям. Поэтому берём

w_{s} (p) = p^{- s}, H (s) = \sum_{p \in P} p^{- s}

При $s > 1$ сумма $H (s)$ конечна, поэтому нормировка определена. Подставляя найденные веса в общую формулу, получаем

μ_{s} ({p}) = \frac{p^{- s}}{H (s)}, μ_{s} (A) = \frac{\sum_{p \in A} p^{- s}}{H (s)}

Здесь выбор весов и нормировка решают разные задачи: веса $p^{- s}$ связывают меру с эйлеровыми произведениями, а деление на $H (s)$ делает её вероятностной. Виджет выполняет эту конструкцию на семи простых числах. Он складывает их веса, а затем делит каждый вес на полученную сумму. Поэтому правый столбец всегда задаёт вероятности с общей массой $1$ . При движении $s$ вправо масса концентрируется на малых простых числах; предельный переход $s \to 1 +$ требует отдельного рассуждения: конечный набор простых чисел не воспроизводит поведение всей меры.

Сравните оба конца диапазона показателя и проследите вес наименьшего простого числа. Затем проверьте, сохраняется ли общая масса после нормировки. Может ли опыт на семи простых числах сам по себе установить предел меры по всем простым?

Вернёмся к целевому множеству $A_{a}$ . По определению построенной меры

μ_{s} (A_{a}) = \frac{\sum_{p \equiv a (\mod m)} p^{- s}}{H (s)}

Доказательство теперь распадается на две независимые задачи: понять общий знаменатель $H (s)$ и найти главную часть числителя. Знаменатель исследуется с помощью дзета-функции, а числитель — с помощью характеров.

Знаменатель одинаков для всех классов вычетов. Его поведение даёт дзета-функция: при $s \to 1 +$ нормирующая сумма $H (s)$ растёт без границы с известной скоростью.

Логарифм эйлерова произведения для $ζ (s)$ даёт

lim_{s \to 1 +} \frac{H (s)}{\log \frac{1}{s - 1}} = 1

Если $F$ — конечное множество простых чисел, то $\sum_{p \in F} p^{- s}$ остаётся ограниченной, а $H (s) \to \infty$ . Следовательно, $μ_{s} (F) \to 0$ : масса действительно уходит к всё более крупным простым числам.

Остаётся зафиксировать предельную массу произвольного множества. Если предел существует, он и называется плотностью Дирихле.

lim_{s \to 1 +} μ_{s} (A) = lim_{s \to 1 +} \frac{\sum_{p \in A} p^{- s}}{H (s)}

lim_{s \to 1 +} μ_{s} (A) = lim_{s \to 1 +} \frac{\sum_{p \in A} p^{- s}}{\log \frac{1}{s - 1}}

Первое равенство выражает вероятностный смысл. Последнее удобно для вычислений, поскольку $H (s)$ и $\log \frac{1}{s - 1}$ имеют одинаковую скорость роста. В частности, $lim_{s \to 1 +} μ_{s} (P) = 1$ , а удаление конечного числа простых чисел — например, делящих модуль $m$ , — плотность не меняет.

Фильтр на равенство по модулю

Чтобы оставить в сумме только простые числа из $A_{a}$ , введём обычный переключатель $I_{a} (p)$ . Он отвечает на один вопрос: принадлежит ли простое число $p$ нужному классу?

I_{a} (p) = {\begin{cases} 1, & p \equiv a (\mod m), \\ 0, & p ≢ a (\mod m) \end{cases}

Тогда числитель меры записывается без условия под знаком суммы:

\sum_{p \equiv a (\mod m)} \frac{1}{p^{s}} = \sum_{p ∤ m} \frac{I_{a} (p)}{p^{s}}

Здесь мы используем этот результат как готовый инструмент. Подставим формулу переключателя в сумму с $I_{a} (p)$ . Для краткости обозначим

f_{χ} (s) = \sum_{p ∤ m} \frac{χ (p)}{p^{s}}

Обозначим через $g_{a} (s)$ общий ненормированный вес простых чисел из класса $A_{a}$ . Это ровно числитель в формуле для массы $μ_{s} (A_{a})$ :

g_{a} (s) := \sum_{p \equiv a (\mod m)} \frac{1}{p^{s}}, μ_{s} (A_{a}) = \frac{g_{a} (s)}{H (s)}

Теперь подставим формулу фильтра без пропуска промежуточных действий. Сумма по характерам конечна, поэтому её можно поменять местами с суммой по простым числам.

Записываем вес через индикатор
$g_{a} (s) = \sum_{p ∤ m} \frac{I_{a} (p)}{p^{s}}$
Подставляем формулу индикатора
$g_{a} (s) = \sum_{p ∤ m} \frac{1}{p^{s}} (\frac{1}{φ (m)} \sum_{χ} \overset{―}{χ (a)} χ (p))$
Выносим конечную сумму по характерам
$g_{a} (s) = \frac{1}{φ (m)} \sum_{χ} \overset{―}{χ (a)} (\sum_{p ∤ m} \frac{χ (p)}{p^{s}})$
Результат: Вводим обозначение для внутренней суммы
$g_{a} (s) = \frac{1}{φ (m)} \sum_{χ} \overset{―}{χ (a)} f_{χ} (s)$

Для $m = 5$ характеров ровно четыре, поэтому

g_{2} (s) = \frac{1}{4} \sum_{χ (\mod 5)} \overset{―}{χ (2)} f_{χ} (s)

Множитель $1 / 4$ уже появился; осталось выяснить, какая из четырёх сумм действительно растёт при $s \to 1 +$ .

Сложное условие $p \equiv a (\mod m)$ исчезло. Осталась отдельная сумма $f_{χ} (s)$ для каждого характера. Следующий шаг — вычислить поведение этих сумм с помощью $L$ -функций.

Логарифм L-функции содержит нужную сумму

Фильтр свёл задачу к суммам $f_{χ} (s)$ . Они уже содержатся внутри $L (s, χ)$ . Действительно, логарифм эйлерова произведения даёт

\log L (s, χ) = \sum_{p ∤ m} \sum_{k \geq 1} \frac{χ (p)^{k}}{k p^{k s}} = f_{χ} (s) + F_{χ} (s)

Здесь слагаемые с $k = 1$ образуют ровно нужную сумму $f_{χ} (s)$ . Остаток $F_{χ} (s)$ содержит вклады $p^{2}, p^{3}, \dots$ и остаётся ограниченным около $s = 1$ , потому что

| F_{χ} (s) | \leq \sum_{p} \sum_{k \geq 2} \frac{1}{p^{k s}} \leq \sum_{p} \frac{1}{p (p - 1)} < \infty

Поэтому рост $f_{χ} (s)$ определяется поведением $L (s, χ)$ .

f_{χ_{0}} (s) = \log \frac{1}{s - 1} + O (1),

f_{χ} (s) = O (1) (χ \neq χ_{0})

Главный характер даёт ту же растущую сумму, что и дзета-функция. Для любого нетривиального характера предыдущая глава доказала $L (1, χ) \neq 0$ . В окрестности этой точки можно выбрать непрерывную ветвь логарифма, поэтому $\log L (s, χ)$ , а вместе с ним и $f_{χ} (s)$ , остаётся ограниченным.

Только главный характер несёт неограниченный рост

В разложении $g_{a} (s)$ главный характер имеет коэффициент $\overset{―}{χ_{0} (a)} = 1$ и даёт растущую часть. Каждый нетривиальный характер даёт лишь ограниченную поправку. Поскольку характеров конечное число,

При $s \to 1 +$ :

g_{a} (s) = \frac{1}{φ (m)} \log \frac{1}{s - 1} + O (1)

После деления на $\log \frac{1}{s - 1}$ ограниченная поправка превращается в $O (1 / \log \frac{1}{s - 1})$ и стремится к нулю.

Если $gcd (a, m) = 1$ , то

lim_{s \to 1 +} μ_{s} (A_{a}) = \frac{1}{φ (m)}

В сквозном примере получаем

lim_{s \to 1 +} μ_{s} (A_{2}) = 1 / 4

среди четырёх обратимых классов по модулю $5$ класс $2$ получает ровно одну долю.

Почему из этой формулы следует бесконечность простых чисел в прогрессии:

если множество простых чисел $F$ конечно, то $\sum_{p \in F} p^{- s}$ ограничена, а $H (s) \to \infty$ ; поэтому $μ_{s} (F) \to 0$
для $A_{a}$ предел равен $1 / φ (m) > 0$ , значит, $A_{a}$ не может быть конечным
элементы $A_{a}$ — это ровно простые числа вида $a + k m$ ; следовательно, прогрессия содержит бесконечно много простых чисел

Положительная плотность сообщает больше, чем бесконечность: бесконечное множество может иметь предельную массу $0$ , а здесь масса равна конкретному положительному числу $1 / φ (m)$ .

Квадратичные вычеты имеют плотность Дирихле 1/2

Иными словами, любое целое число, не являющееся квадратом, является квадратом по модулю множества простых чисел плотности Дирихле $1 / 2$ . Здесь целое число $d$ фиксировано, а простое число $p$ меняется. Мы спрашиваем, существует ли для данного $p$ такое целое $x$ , что $x^{2} \equiv d (\mod p)$ . Пусть $d$ не является квадратом в $Z$ . Удалим из $d$ квадратные множители и запишем $d = b^{2} d_{0}$ , где $d_{0} \neq 1$ — бесквадратное целое число. Для каждого простого числа $p ∤ 2 d$ стандартный символ Лежандра удовлетворяет следующему равенству.

(\frac{d}{p}) = (\frac{d_{0}}{p})

Применим этот результат к $d_{0}$ . Получаем нетривиальный характер $χ_{d_{0}}$ , причём для $p ∤ 2 d$ $χ_{d_{0}} (p) = (\frac{d}{p})$ . Равенство $(\frac{d}{p}) = 1$ означает ровно то, что сравнение $x^{2} \equiv d (\mod p)$ разрешимо.

Характер $χ_{d_{0}}$ нетривиален, поэтому его ядро имеет индекс два в группе обратимых классов. Ровно половина классов даёт значение $1$ , и теорема Дирихле суммирует их одинаковые плотности.

lim_{s \to 1 +} μ_{s} ({p | (\frac{d}{p}) = 1}) = \frac{1}{2}

Отсюда следует удобный локально-глобальный тест: если сравнение $x^{2} \equiv d (\mod p)$ разрешимо почти для всех простых чисел $p$ , то $d$ обязано быть квадратом в $Z$ . Иначе простые числа, на которых решения нет, тоже имели бы плотность $1 / 2$ , а не образовывали бы конечное исключение.

Аналогичные вопросы для общих полиномиальных уравнений ведут к более глубоким теоремам о распределении простых чисел, прежде всего к теореме Чеботарёва. Здесь квадратичный характер — полностью доступный одномерный случай этой идеи.

Аналитическое среднее слабее обычной доли

Можно попытаться считать простые числа буквально. Естественной плотностью множества $A \subset P$ называют предел

d (A) = lim_{x \to \infty} \frac{# {p \in A : p \leq x}}{π (x)},

если он существует. Существование естественной плотности влечёт существование плотности Дирихле с тем же значением. Обратное неверно: плавные веса $p^{- s}$ усредняют сильные колебания, которые могут разрушить обычный предел.

Классический пример различия: простые числа, первая десятичная цифра которых равна $1$ , имеют плотность Дирихле $\log_{10} 2$ , но не имеют естественной плотности. На промежутках между соседними степенями десяти их обычная доля продолжает колебаться, тогда как аналитическое взвешивание сглаживает эти блоки. Этот пример опирается на более сильные сведения о распределении простых чисел и служит здесь только иллюстрацией различия двух понятий.

Плотность простых чисел и теорема Дирихле

Какую массу получает один класс вычетов

Вероятностная мера на простых числах

Из весов — вероятность

Как растёт сумма по простым числам

Предельная масса — плотность Дирихле

Фильтр на равенство по модулю

Логарифм L-функции содержит нужную сумму

Два возможных поведения

Только главный характер несёт неограниченный рост

Асимптотика одного класса

Теорема Дирихле в форме плотности

Квадратичные вычеты имеют плотность Дирихле 1/2

Квадратичное приложение

Дальнейшее обобщение

Аналитическое среднее слабее обычной доли