Глава 2 · Операции с векторными расслоениями

Операции с векторными расслоениями

Линейная алгебра позволяет выполнить операцию отдельно в каждом слое расслоения, но сама по себе такая послойная конструкция ещё не задаёт топологического объекта. Главный вопрос главы: когда послойная операция определяет глобальное векторное расслоение, не зависящее от выбора координат? Ответ дадут функции перехода: операция должна непрерывно преобразовывать их и сохранять соотношения между ними. Этот принцип позволит не только строить новые расслоения, но и распознавать, когда послойные отображения склеиваются в глобальные.

Внешний квадрат расслоения

Для каждого $x \in X$ пространство $Λ^{2} (E_{x})$ уже определено. На уровне множеств можно положить

Λ^{2} E = \underset{x \in X}{∐} Λ^{2} (E_{x})

Но это объединение станет расслоением только после того, как мы зададим на нём топологию. В предыдущей главе топология расслоения была восстановлена из функций перехода, поэтому здесь достаточно вывести переходы для новых слоёв и проверить условия склейки.

Пусть $E \to X$ имеет ранг $r$ . Зафиксируем пересечение $U \cap U^{'}$ двух тривиализующих окрестностей. Смена координат на нём задаётся непрерывной функцией

g : U \cap U^{'} ⟶ G L_{r} (C)

В фиксированной точке будем кратко писать $g$ вместо $g (x)$ . Если локальные координаты элемента нового слоя заданы простым клином $v \land w$ , где $v, w \in C^{r}$ , то смена координат действует по определяющей формуле внешнего квадрата:

Λ^{2} g (v \land w) = g (v) \land g (w)

Следовательно, новым переходом на $U \cap U^{'}$ служит функция $x \mapsto Λ^{2} g (x)$ . Простые клинья порождают $Λ^{2} C^{r}$ , поэтому правило единственным образом продолжается линейно на весь слой. Оно не выбрано произвольно: только так один и тот же элемент получает согласованные координаты в двух картах.

Условия склейки

Поскольку внешний квадрат сохраняет тождественное отображение и композицию, он сохраняет и обратимость:

Λ^{2} ({id}_{C^{r}}) = {id}_{Λ^{2} C^{r}}

(Λ^{2} g)^{- 1} = Λ^{2} (g^{- 1})

Следовательно, функция $x \mapsto Λ^{2} g (x)$ принимает значения в группе обратимых линейных отображений пространства $Λ^{2} C^{r}$ , то есть в $G L_{(\binom{r}{2})} (C)$ . Осталось проверить условие коцикла. Пусть $g$ и $h$ — две последовательные смены координат. Их композиция равна $h \circ g$ , а внешний квадрат сохраняет композицию:

Λ^{2} (h \circ g) = (Λ^{2} h) \circ (Λ^{2} g)

Поэтому любой коцикл исходных переходов после применения внешнего квадрата снова становится коциклом.

Пусть $b \in Λ^{2} C^{r}$ — локальные координаты элемента слоя. На пересечении двух карт они меняются по правилу

(x, b) ⟼ (x, Λ^{2} g (x) (b))

Наконец, коэффициенты матрицы $Λ^{2} g (x)$ являются полиномами от коэффициентов $g (x)$ . Поэтому функция $x \mapsto Λ^{2} g (x)$ непрерывна. Следовательно, переход $(x, b) \mapsto (x, Λ^{2} g (x) (b))$ непрерывен. Он является гомеоморфизмом; обратный переход получается заменой $g (x)$ на $g (x)^{- 1}$ .

Эти гомеоморфизмы склеивают локальные произведения над всеми областями тривиализующего покрытия. Полученный фактор отождествляется с множеством $\underset{x \in X}{∐} Λ^{2} (E_{x})$ и задаёт на нём топологию векторного расслоения. Тем самым

(Λ^{2} E)_{x} = Λ^{2} (E_{x})

rk (Λ^{2} E) = (\binom{r}{2})

Если $r < 2$ , то $Λ^{2} C^{r} = 0$ и эта конструкция даёт нулевое расслоение.

Тем самым внешний квадрат $Λ^{2} E$ построен для любого ранга $r$ .

Послойные операции над расслоениями

Чтобы обобщить построение, заменим внешний квадрат операцией $T$ , которая сохраняет тождества и композиции и непрерывно зависит от исходного оператора. Для функций перехода было бы достаточно определить $T$ на изоморфизмах. Но мы хотим преобразовывать и морфизмы расслоений, локальные матрицы которых могут быть необратимыми, поэтому сразу определим $T$ на всех линейных отображениях.

Сопоставление $T$ каждому конечномерному комплексному пространству $V$ ставит в соответствие конечномерное комплексное пространство $T (V)$ , а каждому линейному отображению $a : V \to W$ — линейное отображение $T (a) : T (V) \to T (W)$ . Такое сопоставление называется непрерывным ковариантным функтором, если для любой последовательности отображений $V \overset{a}{\to} W \overset{b}{\to} Z$ выполняются равенства

T ({id}_{V}) = {id}_{T (V)}

T (b \circ a) = T (b) \circ T (a)

и для любых $V, W$ отображение

Hom (V, W) ⟶ Hom (T (V), T (W))

a ⟼ T (a)

непрерывно в обычной топологии конечномерных пространств операторов.

Последнее отображение не обязано быть линейным. Например, $a \mapsto Λ^{k} a$ для фиксированного $k \geq 0$ полиномиально по коэффициентам $a$ . Если же $a$ обратимо, то сохранение тождества и композиции даёт

T (a)^{- 1} = T (a^{- 1})

Построение расслоения

Пусть $E \to X$ — расслоение ранга $r$ . На уровне множеств положим

T (E) = \underset{x \in X}{∐} T (E_{x})

Выберем тривиализующую область $U \subseteq X$ и запишем тривиализацию в виде

τ : E |_{U} ⟶ U \times C^{r}

τ (v) = (x, τ_{x} (v)), x \in U, v \in E_{x}

τ_{x} : E_{x} \overset{≅}{\to} C^{r}

Применив $T$ к послойному изоморфизму $τ_{x}$ , получаем координаты нового расслоения. Для $x \in U$ и $u \in T (E_{x})$ положим

Φ : T (E) |_{U} ⟶ U \times T (C^{r})

Φ (u) = (x, T (τ_{x}) (u))

Так каждая локальная система координат исходного расслоения задаёт локальную систему координат на множестве $T (E)$ . Остаётся проверить, что эти системы координат совместимы на пересечениях.

Согласованность локальных координат

Пусть две тривиализации $τ$ и $τ^{'}$ заданы над областями $U$ и $U^{'}$ . На пересечении смена координат из первой карты во вторую равна

(τ^{'} \circ τ^{- 1}) (x, v) = (x, h (x) v)

h : U \cap U^{'} ⟶ G L_{r} (C)

Обозначим индуцированные координаты через $Φ$ и $Φ^{'}$ . Они связаны отображением

Φ^{'} Φ^{- 1} (x, u) = (x, T (h (x)) (u))

Семейство $h (x)$ непрерывно и состоит из обратимых операторов. Поэтому полученная смена координат непрерывна, а её обратное задаётся $T (h (x)^{- 1})$ .

Теперь зафиксируем точку тройного пересечения и обозначим две последовательные смены координат через $a, b$ . Их совокупный переход равен $b \circ a$ , поэтому

T (b \circ a) = T (b) \circ T (a)

Это и есть условие коцикла. Следовательно, полученные карты задают на $T (E)$ единственную топологию векторного расслоения, не зависящую от выбора исходных координат. Его слой над $x$ равен $T (E_{x})$ , а ранг равен $\dim T (C^{r})$ .

Морфизмы расслоений

Пусть $φ : E \to F$ — морфизм над $X$ , где $F$ имеет ранг $s$ . Выберем две пересекающиеся области $U$ и $U^{'}$ , над которыми тривиальны оба расслоения. В этих картах морфизм задаётся непрерывными функциями операторов

A : U ⟶ Hom (C^{r}, C^{s})

A^{'} : U^{'} ⟶ Hom (C^{r}, C^{s})

Зафиксируем точку пересечения и временно опустим зависимость от неё. Пусть $g$ — переход из первой карты во вторую для $E$ , а $h$ — такой же переход для $F$ . Две локальные матрицы описывают один морфизм ровно тогда, когда

A^{'} \circ g = h \circ A

Применяя функтор к обеим композициям, получаем

T (A^{'}) \circ T (g) = T (h) \circ T (A)

Это равенство означает, что определённые в каждой карте отображения $(x, u) \mapsto (x, T (A (x)) (u))$ согласуются на пересечениях. Функция $x \mapsto T (A (x))$ непрерывна по определению $T$ , поэтому эти отображения непрерывны и линейны на каждом слое. Они задают морфизм расслоений

T (φ) : T (E) ⟶ T (F)

На каждом слое этот морфизм получается применением $T$ к ограничению $φ$ на соответствующий слой.

Каждый непрерывный ковариантный функтор $T$ канонически сопоставляет расслоению $E \to X$ расслоение $T (E) \to X$ и переводит морфизм $φ$ в морфизм $T (φ)$ . Конструкция не зависит от выбранных тривиализаций. Для морфизмов $φ : E \to F$ и $ψ : F \to G$ , где $E, F, G \to X$ — расслоения над одной базой, выполняются равенства

T ({id}_{E}) = {id}_{T (E)}

T (ψ \circ φ) = T (ψ) \circ T (φ)

Общий механизм построен. Теперь применим его к прямой сумме, тензорному произведению и внешним степеням.

Прямые суммы, тензорные произведения и внешние степени

Применим общий принцип к основным операциям линейной алгебры. Пусть расслоения $E, F \to X$ имеют ранги $r$ и $s$ , а $k = 0, 1, 2, \dots$ . Сначала определим новые объекты через их слои:

Операции над слоями и ранги новых расслоений
Операция	Слой над $x$	Ранг
$E \oplus F$	$E_{x} \oplus F_{x}$	$r + s$
$E \otimes F$	$E_{x} \otimes F_{x}$	$r s$
$Λ^{k} E$	$Λ^{k} (E_{x})$	$(\binom{r}{k})$

Чтобы эти послойные определения задавали расслоения, операции должны действовать и на линейных отображениях. Для $a : V \to V^{'}$ и $b : W \to W^{'}$ это действие определяется формулами

(a \oplus b) (v, w) = (a (v), b (w))

(a \otimes b) (v \otimes w) = a (v) \otimes b (w)

Вторая формула сначала задаёт оператор на простых тензорах, а затем единственным образом продолжается линейно на весь тензорный продукт. Внешняя степень действует по уже знакомому правилу $v_{1} \land \dots \land v_{k} \mapsto a (v_{1}) \land \dots \land a (v_{k})$ .

Все три операции сохраняют тождества и композиции. Они также непрерывно зависят от операторов: матрица прямой суммы составлена из двух исходных матриц, коэффициенты тензорного произведения являются произведениями их коэффициентов, а коэффициенты $Λ^{k} a$ являются минорами матрицы $a$ . Поэтому доказательство общего механизма переноса послойных операций применимо и к операциям двух аргументов.

Зафиксируем пересечение двух общих тривиализующих карт и обозначим переходы $E$ и $F$ через $g$ и $h$ . Тогда переходами новых расслоений служат

g \oplus h

g \otimes h

Λ^{k} g

По соглашению $Λ^{0} E = X \times C$ . Таким образом, послойные конструкции из таблицы действительно образуют векторные расслоения, а указанные в ней ранги постоянны на $X$ .

Двойственные расслоения и расслоения линейных операторов

Теперь построим две операции, в которых смена входных координат действует в обратную сторону. Пусть расслоения $E, F \to X$ имеют ранги $r$ и $s$ . Новые объекты определяются через слои:

Двойственное и Hom-расслоения
Операция	Слой над $x$	Ранг
$E^{*}$	$E_{x}^{*}$	$r$
$Hom (E, F)$	$Hom (E_{x}, F_{x})$	$r s$

Выберем общее тривиализующее покрытие для $E$ и $F$ . На каждой его области оба расслоения имеют линейные координаты, поэтому их переходы можно сравнивать на одних и тех же пересечениях.

Пусть $E^{'}, F^{'} \to X$ — ещё два расслоения над той же базой. Морфизм $φ : E \to E^{'}$ над ${id}_{X}$ порождает двойственный морфизм в обратную сторону:

φ^{*} : (E^{'})^{*} ⟶ E^{*}

Hom меняет направление по первому аргументу и сохраняет его по второму. На уровне линейных пространств отображения $a : V^{'} \to V$ и $b : W \to W^{'}$ задают

Hom (V, W) \overset{(-) \circ a}{\to} Hom (V^{'}, W)

Hom (V^{'}, W) \overset{b \circ (-)}{\to} Hom (V^{'}, W^{'})

Для морфизмов $α : E^{'} \to E$ и $β : F \to F^{'}$ это правило применяется к ограничениям $α$ и $β$ на соответствующие слои. Ниже мы построим топологии новых расслоений и увидим, что полученная послойная формула непрерывна.

Переходы двойственного расслоения

Зафиксируем пересечение двух карт. Переход для $E$ обозначим через $g$ . Чтобы применить функционал к вектору, записанному в новых координатах, сначала нужно вернуть вектор в прежние координаты с помощью $g^{- 1}$ . Поэтому переходом двойственного расслоения служит предкомпозиция с $g^{- 1}$ :

(C^{r})^{*} \overset{(g^{- 1})^{*}}{\to} (C^{r})^{*}

Обратный оператор появился не по соглашению: только так функционал сохраняет своё значение на векторе.

Переходы Hom-расслоения

На том же пересечении переход для $F$ обозначим через $h$ . Координатная запись оператора $E_{x} \to F_{x}$ является элементом $Hom (C^{r}, C^{s})$ . При смене карт её сначала нужно предкомпозировать с $g^{- 1}$ , а затем посткомпозировать с $h$ . Поэтому переход Hom-расслоения является композицией

Hom (C^{r}, C^{s}) \overset{(-) \circ g^{- 1}}{\to} Hom (C^{r}, C^{s})

Hom (C^{r}, C^{s}) \overset{h \circ (-)}{\to} Hom (C^{r}, C^{s})

Условия склейки

Обращение матрицы непрерывно на $G L_{r} (C)$ , а двойствование и композиция операторов непрерывны. Поэтому оба построенных перехода непрерывны. Они также обратимы:

((g^{- 1})^{*})^{- 1} = g^{*}

(h \circ (-) \circ g^{- 1})^{- 1} = h^{- 1} \circ (-) \circ g

Осталось проверить коцикл. Зафиксируем точку тройного пересечения. Пусть $a, b$ — две последовательные смены координат для $E$ , а $c, d$ — соответствующие смены координат для $F$ . Прямые переходы равны $b \circ a$ и $d \circ c$ . Для двойственного расслоения два последовательных перехода дают

Дважды меняем координаты
$(b^{- 1})^{*} \circ (a^{- 1})^{*}$
Двойствование разворачивает композицию
$(a^{- 1} \circ b^{- 1})^{*}$
Результат: Узнаём прямой переход
$((b \circ a)^{- 1})^{*}$

Для Hom-расслоения та же проверка имеет вид

Обозначим $T_{a, c} (f) = c \circ f \circ a^{- 1}$ . Тогда

T_{b, d} \circ T_{a, c} = T_{b \circ a, d \circ c}

В обоих случаях два последовательных перехода совпадают с переходом по композиции. Значит, условия коцикла выполнены. Переходы склеивают локальные произведения над каждой областью $U$ :

U \times (C^{r})^{*}

U \times Hom (C^{r}, C^{s})

Получаются расслоения $E^{*}$ и $Hom (E, F)$ .

Согласованность послойных изоморфизмов

Двойственное и Hom-расслоения уже построены из их функций перехода. Но для дальнейшей работы мало иметь сами объекты: знакомые из линейной алгебры изоморфизмы между их слоями нужно превратить в изоморфизмы расслоений. Послойной формулы для этого недостаточно — её записи в разных координатах могут не совпасть. Поэтому сначала выделим общий критерий, который проверяет, образуют ли локальные изоморфизмы одно глобальное отображение. Пусть $P, Q \to X$ — два расслоения ранга $n$ . В каждой общей карте можно задать линейный изоморфизм между их модельными слоями, но одного этого недостаточно: изоморфизмы в соседних картах должны описывать одно и то же отображение.

Возьмём две пересекающиеся общие карты $U, U^{'}$ . Пусть локальные изоморфизмы записаны как

θ : U ⟶ G L_{n} (C)

θ^{'} : U^{'} ⟶ G L_{n} (C)

В фиксированной точке пересечения обозначим переходы $P$ и $Q$ из первой карты во вторую через $g$ и $h$ . Локальные отображения склеиваются в изоморфизм $P \to Q$ тогда и только тогда, когда в каждой такой точке

θ^{'} \circ g = h \circ θ

Левая часть сначала меняет координаты в исходном расслоении, правая — сначала применяет изоморфизм. Равенство говорит, что оба пути дают одинаковый результат.

Для склейки достаточно совместимости с обратимыми сменами координат. Если та же формула согласуется со всеми линейными отображениями входных пространств в предписанных направлениях, её называют естественной. Это более сильное свойство. Для фиксированной линейной формулы непрерывность в каждой карте автоматична, а естественность обеспечивает согласованность карт.

Пример: операторы как тензоры

Пусть $E, F \to X$ — расслоения рангов $r$ и $s$ . Зафиксируем точку $x$ . Между соответствующими слоями существует линейный изоморфизм

E_{x}^{*} \otimes F_{x} ⟶ Hom (E_{x}, F_{x})

λ \otimes w ⟼ (v ⟼ λ (v) w)

Для $λ \in E_{x}^{*}$ , $w \in F_{x}$ и $v \in E_{x}$ формула $v \mapsto λ (v) w$ задаёт линейный оператор без выбора базиса. Обозначим его через $u$ .

Такие операторы ранга не выше единицы порождают всё пространство $Hom (E_{x}, F_{x})$ , а обе стороны имеют размерность $r s$ , поэтому указанное отображение действительно является изоморфизмом в каждом слое.

Проверим склейку. На одном пересечении обозначим переходы $E$ и $F$ через $g$ и $h$ . Координаты $λ, w$ обозначим теми же буквами, что и сами векторы. Тогда тензор $λ \otimes w$ переходит в $(g^{- 1})^{*} λ \otimes h w$ . Обозначим оператор, построенный из этого нового тензора, через $u^{'}$ . По определению он сначала переводит вход в прежние координаты с помощью $g^{- 1}$ , затем применяет $u$ и переводит результат в новые координаты с помощью $h$ . Следовательно,

u^{'} = h \circ u \circ g^{- 1}

Это и есть равенство из критерия склейки. Поэтому послойные отображения образуют глобальный изоморфизм

E^{*} \otimes F \overset{≅}{\to} Hom (E, F)

Другие естественные изоморфизмы

Пусть $G \to X$ — ещё одно расслоение. Точно так же склеиваются следующие формулы линейной алгебры:

E \oplus F \overset{≅}{\to} F \oplus E

E \otimes F \overset{≅}{\to} F \otimes E

E \otimes (F \oplus G) \overset{≅}{\to} (E \otimes F) \oplus (E \otimes G)

В каждом слое эти изоморфизмы задаются соответственно формулами

(v, w) ⟼ (w, v)

v \otimes w ⟼ w \otimes v

v \otimes (w, z) ⟼ (v \otimes w, v \otimes z)

Каждая формула согласована с соответствующими линейными отображениями входных пространств. По критерию склейки она поэтому задаёт изоморфизм расслоений, не зависящий от выбранных тривиализаций.

Соответствие морфизмов и сечений Hom-расслоения

Критерий склейки теперь позволяет проверить, что локальные семейства операторов задают глобальные отображения. Применим его к переходам Hom-расслоения и выясним, что означают его сечения. Сечение $Hom (E, F)$ выбирает в каждой точке линейный оператор $E_{x} \to F_{x}$ , причём в локальных координатах его матрица непрерывно зависит от $x$ . Покажем, что это в точности те данные, которые задают морфизм расслоений $E \to F$ над ${id}_{X}$ . Пространство таких морфизмов обозначим через ${Hom}_{X} (E, F)$ .

От сечения к морфизму

Пусть $σ \in Γ (Hom (E, F))$ . Пространство $Hom (E, F) \times_{X} E$ состоит из пар: оператора и вектора над одной точкой базы:

Обозначим это расслоенное произведение через $P$ . Послойно оно имеет вид

P = \underset{x \in X}{∐} Hom (E_{x}, F_{x}) \times E_{x}

На этом пространстве определено отображение вычисления, которое послойно применяет оператор к вектору:

ev : Hom (E, F) \times_{X} E ⟶ F

(L, v) ⟼ L (v)

Поскольку $σ$ является сечением, отображение $(σ \circ π_{E}, {id}_{E})$ действительно принимает значения в расслоенном произведении. Искомый морфизм равен композиции

Φ = ev \circ (σ \circ π_{E}, {id}_{E}) : E ⟶ F

Он сохраняет базовую точку, а на каждом слое совпадает с линейным оператором $σ (x)$ :

π_{F} \circ Φ = π_{E}

Φ |_{E_{x}} = σ (x)

В общих локальных координатах вычисление записывается как $(x, L, v) \mapsto (x, L (v))$ , поэтому $ev$ непрерывно. Сечение задаётся непрерывной матрицей $A (x)$ , поэтому $Φ$ записывается как $(x, v) \mapsto (x, A (x) v)$ . Это отображение непрерывно и линейно по $v$ , следовательно, является морфизмом расслоений.

От морфизма к сечению

Теперь пусть $Φ : E \to F$ — морфизм над ${id}_{X}$ . Его ограничение на слой — линейный оператор $Φ |_{E_{x}} : E_{x} \to F_{x}$ , поэтому положим

σ (x) = Φ |_{E_{x}}

В любой общей локальной карте морфизм задаётся матрицей $A (x)$ . Её столбцы получаются применением $Φ$ к непрерывным векторам локального базиса, поэтому $A$ непрерывна. Возьмём две пересекающиеся карты и обозначим локальные матрицы через $A, A^{'}$ , а переходы $E$ и $F$ — через $g, h$ . В фиксированной точке пересечения

A^{'} = h \circ A \circ g^{- 1}

Это функция перехода, выведенная при построении Hom-расслоения, и одновременно условие критерия склейки. Следовательно, локальные матрицы склеиваются в непрерывное сечение $σ$ .

Две записи одних данных

Обе конструкции взаимно обратны. Если начать с морфизма $Φ$ , восстановленное сечение в точке $x$ равно $Φ |_{E_{x}}$ , поэтому обратная конструкция снова даёт $Φ$ . Если начать с сечения $σ$ , ограничение построенного морфизма на $E_{x}$ равно $σ (x)$ .

Сложение и умножение на скаляр в обеих записях выполняются послойно, поэтому соответствие линейно.

{Hom}_{X} (E, F) \overset{≅}{\to} Γ (Hom (E, F))

Изоморфизм переводит морфизм $Φ$ в сечение $x \mapsto Φ |_{E_{x}}$ . Обратное отображение вычисляет выбранный оператор на векторе.

Совместимость операций с обратным образом

Пусть $E \to X$ — расслоение, $T$ — операция, построенная из унарного ковариантного функтора в разделе о послойных операциях, а $f : Y \to X$ — непрерывное отображение. Можно сначала применить $T$ к расслоению $E$ и затем заменить базу; можно выполнить эти действия в обратном порядке. Покажем, что результат не зависит от порядка.

Здесь звезда в $f^{*}$ обозначает обратный образ. В записи $φ^{*}$ при построении двойственного расслоения та же звезда обозначала двойственное отображение; это две разные конструкции.

Кандидат на сравнение

Над точкой $y \in Y$ слой обратного образа канонически отождествляется с исходным слоем над $f (y)$ :

(f^{*} E)_{y} ≅ E_{f (y)}

После этого канонического отождествления слои обеих конструкций совпадают с $T (E_{f (y)})$ . Послойным кандидатом на сравнение служит тождественное отображение этого пространства. Осталось проверить, что такие тождества непрерывны и склеиваются.

Проверка в локальных координатах

Если $E |_{U} ≅ U \times V$ , то над $f^{- 1} (U)$ обе конструкции имеют одну и ту же локальную модель:

f^{*} T (E) |_{f^{- 1} (U)} ≅ f^{- 1} (U) \times T (V)

T (f^{*} E) |_{f^{- 1} (U)} ≅ f^{- 1} (U) \times T (V)

В этих координатах сравнение является тождеством. Обозначим переход $E$ на одном пересечении через $g$ . После замены базы он становится функцией $g \circ f$ . Применение $T$ до или после этой замены даёт одну функцию перехода, поскольку

T \circ (g \circ f) = (T \circ g) \circ f

Локальные тождества поэтому удовлетворяют сформулированному выше критерию склейки и образуют изоморфизм

η_{f, E} : f^{*} T (E) \overset{≅}{\to} T (f^{*} E)

Он не меняет точку $y$ и лежит над ${id}_{Y}$ , что фиксирует диаграмма.

η_{f, E}

≅

{id}_{Y}

π_{1}

π_{2}

Объекты и связи диаграммы

база левого расслоения: Общая база обеих конструкций.
база правого расслоения: Та же база правого расслоения.
операция после обратного образа: Сначала меняется база, затем к полученному расслоению применяется операция.
обратный образ после операции: Сначала к расслоению применяется операция, затем меняется база.
канонический изоморфизм: От «обратный образ после операции» к «операция после обратного образа».В общих локальных координатах является тождественным отображением.
тождественное отображение базы: От «база левого расслоения» к «база правого расслоения».При сравнении конструкций точка базы не меняется.
первая проекция: От «обратный образ после операции» к «база левого расслоения».Проекция расслоения $f^{*} T (E)$ на $Y$ .
вторая проекция: От «операция после обратного образа» к «база правого расслоения».Проекция расслоения $T (f^{*} E)$ на $Y$ .

Совместимость с морфизмами

Пусть $F \to X$ — ещё одно расслоение, а морфизм $φ : E \to F$ в общей карте задаётся непрерывной матрицей $A$ . После замены базы она становится $A \circ f$ , а два порядка применения операций совпадают:

T \circ (A \circ f) = (T \circ A) \circ f

Следовательно,

η_{f, F} \circ f^{*} T (φ) = T (f^{*} φ) \circ η_{f, E}

Это равенство означает, что сравнение согласовано не только с объектами, но и с морфизмами.

Построенные операции

Доказательство выше записано для одного ковариантного аргумента. Для операций с двумя аргументами оно повторяется на общем тривиализующем покрытии. В двойственном расслоении обращение и двойствование выполняются поточечно, поэтому также коммутируют с предкомпозицией перехода отображением $f$ . Поэтому для каждого $k \geq 0$ обратный образ расслоения из левой колонки канонически изоморфен расслоению в правой:

Обратный образ и операции над расслоениями
До смены базы	После смены базы
$E \oplus F$	$f^{} E \oplus f^{} F$
$E \otimes F$	$f^{} E \otimes f^{} F$
$Λ^{k} E$	$Λ^{k} (f^{*} E)$
$E^{*}$	$(f^{} E)^{}$
$Hom (E, F)$	$Hom (f^{} E, f^{} F)$

Для включения $ι : Y ↪ X$ обратный образ является ограничением. Поэтому $ι^{*} T (E) ≅ T (ι^{*} E)$ , или, что то же самое, $T (E) |_{Y} ≅ T (E |_{Y})$ — частный случай смены базы, а не отдельное правило.

Ядра и образы морфизмов переменного ранга

Размерности слоёв всех построенных операций заранее определяются рангами исходных расслоений. Теперь рассмотрим конструкцию, зависящую не только от расслоений, но и от конкретного морфизма: возьмём его ядро и образ в каждой точке. Здесь размерности могут меняться.

Положим $I = (- 1, 1)$ и возьмём два тривиальных расслоения $E = F = I \times C^{2}$ . Непрерывное семейство матриц

A (t) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & t \end{matrix})

задаёт морфизм расслоений

Φ : E ⟶ F

Φ (t, v) = (t, A (t) v)

Это конкретный случай доказанного выше соответствия морфизмов и сечений Hom-расслоения: непрерывное семейство операторов является сечением и тем самым задаёт морфизм. Его ранг, ядро и образ имеют вид

Ядро и образ семейства операторов
Параметр	Ранг	Ядро	Образ
$t \neq 0$	$2$	$0$	$C^{2}$
$t = 0$	$1$	$C \cdot (0, 1)$	$C \cdot (1, 0)$

В нуле размерность ядра скачком возрастает с $0$ до $1$ , а размерность образа уменьшается с $2$ до $1$ . Размерность слоя векторного расслоения локально постоянна, поэтому ни объединение ядер, ни объединение образов не является расслоением над всем $I$ .

Итак, стандартные операции над самими расслоениями работают без дополнительных условий и согласуются со сменой базы. Ядро и образ зависят от морфизма, поэтому требуют отдельного контроля его ранга.

Операции с векторными расслоениями

Внешний квадрат расслоения

Условия склейки

Послойные операции над расслоениями

Непрерывный ковариантный функтор

Построение расслоения

Согласованность локальных координат

Морфизмы расслоений

Непрерывный функтор действует на расслоениях

Прямые суммы, тензорные произведения и внешние степени

Двойственные расслоения и расслоения линейных операторов

Переходы двойственного расслоения

Переходы Hom-расслоения

Условия склейки

Согласованность послойных изоморфизмов

Критерий склейки

Пример: операторы как тензоры

Другие естественные изоморфизмы

Соответствие морфизмов и сечений Hom-расслоения

От сечения к морфизму

От морфизма к сечению

Две записи одних данных

Морфизмы — это сечения Hom-расслоения

Совместимость операций с обратным образом

Кандидат на сравнение

Проверка в локальных координатах

Совместимость с морфизмами

Построенные операции

Ядра и образы морфизмов переменного ранга