Глава 4 · Глобальные модели расслоений над компактными пространствами

Глобальные модели расслоений над компактными пространствами

Локальные тривиализации описывают расслоение по частям. Главный вопрос главы — как компактность позволяет заменить эти локальные координаты конечными глобальными данными. Конечный набор сечений даст эпиморфизм из тривиального расслоения и проектор на исходное расслоение. Ядро эпиморфизма приведёт к классификации стабильным грассманианом, а проектор — к проективному модулю глобальных сечений. Для надстройки из двух стягиваемых конусов то же расслоение можно будет записать одним переходом на экваторе.

Соглашения

Если явно не сказано обратное, база рассматриваемого расслоения компактна и хаусдорфова.

Теорема Титце и разбиения единицы

Локальная конструкция над расслоением обычно задаётся отдельно в нескольких координатных областях. Чтобы получить из неё один глобальный объект, нужно решить две разные задачи: продолжить локальные координатные функции туда, где они понадобятся, а затем согласованно сложить полученные продолжения.

Компактность и хаусдорфовость выполняют здесь разные роли. Компактность позволяет заменить открытое покрытие конечным подпокрытием. Компактное хаусдорфово пространство нормально, и из этого следуют два результата общей топологии, которые мы будем использовать без доказательства.

Пусть $Y \subseteq X$ — замкнутое подпространство, а $V$ — конечномерное комплексное векторное пространство. Тогда всякое непрерывное отображение $a : Y \to V$ продолжается до непрерывного отображения $\tilde{a} : X \to V$ . Это векторная форма теоремы Титце (Tietze extension theorem).

Для непрерывной функции $ρ : X \to [0, 1]$ обозначим через $supp ρ$ замыкание множества, на котором $ρ$ не равна нулю. Если $U_{1}, \dots, U_{m}$ — конечное открытое покрытие $X$ , то существуют непрерывные функции $ρ_{i} : X \to [0, 1]$ такие, что

supp ρ_{i} \subseteq U_{i}, ρ_{1} + \dots + ρ_{m} = 1

Семейство $(ρ_{1}, \dots, ρ_{m})$ называется разбиением единицы (partition of unity), подчинённым покрытию.

Эти инструменты не заменяют друг друга. Теорема Титце продолжает каждую координатную функцию с замкнутой части пространства, но не согласует разные продолжения. Разбиение единицы назначает им непрерывные веса, сумма которых в каждой точке равна единице, и тем самым позволяет сложить их в один глобальный объект.

В следующей части применим эту схему к сечению: выберем конечное тривиализующее покрытие, продолжим его локальные координаты, умножим продолжения на подчинённые веса и сложим.

Теорема о продолжении сечений

Пусть $E$ — векторное расслоение над $X$ , а сечение $s : Y \to E |_{Y}$ задано только над замкнутым подпространством $Y \subseteq X$ . Построим глобальное сечение $\tilde{s} : X \to E$ , которое совпадает с $s$ на $Y$ .

Выберем конечное тривиализующее покрытие $U_{1}, \dots, U_{m}$ с тривиализациями $τ_{i} : E |_{U_{i}} \overset{≅}{\to} U_{i} \times C^{r}$ и подчинённое ему разбиение единицы $ρ_{1}, \dots, ρ_{m}$ . Для каждого $i$ множество

A_{i} = Y \cap supp ρ_{i}

замкнуто в $X$ . В координатах $τ_{i}$ ограничение сечения на $A_{i}$ задаётся непрерывным отображением $a_{i} : A_{i} \to C^{r}$ :

τ_{i} (s (y)) = (y, a_{i} (y)), y \in A_{i}

По теореме Титце отображение $a_{i}$ продолжается до ${\tilde{a}}_{i} : X \to C^{r}$ . Возвращаясь из координат в расслоение, получаем локальное сечение

t_{i} (x) = τ_{i}^{- 1} (x, {\tilde{a}}_{i} (x)), x \in U_{i}

Для построения глобального сечения достаточно, чтобы $t_{i}$ совпадало с $s$ там, где вес $ρ_{i}$ может быть ненулевым. Поэтому умножим $t_{i}$ на этот вес и продолжим результат нулём за пределы $U_{i}$ :

Вес превращает локальное продолжение в глобальное сечение
$u_{i} (x) = {\begin{cases} ρ_{i} (x) t_{i} (x), & x \in U_{i}, \\ 0_{x}, & x \notin U_{i} \end{cases},$
Сумма даёт искомое продолжение
$\tilde{s} = \sum_{i = 1}^{m} u_{i}$
На замкнутой части каждое слагаемое имеет исходное направление
$u_{i} |_{Y} = ρ_{i} s$
Результат: Сумма весов возвращает исходное сечение
$\tilde{s} |_{Y} = (ρ_{1} + \dots + ρ_{m}) s = s$

Полученное $u_{i}$ непрерывно на всём $X$ . Действительно, из $supp ρ_{i} \subseteq U_{i}$ следует, что каждая точка вне $U_{i}$ имеет окрестность, в которой вес $ρ_{i}$ равен нулю. Если $y \in Y$ и $ρ_{i} (y) \neq 0$ , то $y \in A_{i}$ и $t_{i} (y) = s (y)$ ; при $ρ_{i} (y) = 0$ соответствующее слагаемое исчезает. Поэтому $u_{i} |_{Y} = ρ_{i} s$ , а после суммирования условие $ρ_{1} + \dots + ρ_{m} = 1$ даёт $\tilde{s} |_{Y} = s$ .

Всякое сечение расслоения над замкнутым подпространством компактного хаусдорфова пространства продолжается до глобального сечения.

Тот же результат можно применить не к исходному расслоению, а к расслоению гомоморфизмов. Пусть над $Y$ задан изоморфизм

α : E |_{Y} \overset{≅}{\to} F |_{Y}

Изоморфизм $α$ является сечением $Hom (E, F) |_{Y}$ и потому продолжается до гомоморфизма $\tilde{α} : E \to F$ . Если ${\tilde{α}}_{x}$ обратимо, можно выбрать в окрестности $x$ тривиализации $E$ и $F$ одного ранга. В этих координатах $\tilde{α}$ задаётся квадратной матрицей, а условие ненулевого определителя открыто. Поэтому

U = {x \in X ∣ {\tilde{α}}_{x} обратимо}

— открытая окрестность $Y$ : она открыта по только что доказанному, а $Y \subseteq U$ , поскольку $\tilde{α} |_{Y} = α$ .

Изоморфизм $E |_{Y} ≅ F |_{Y}$ над замкнутым подпространством продолжается до изоморфизма $E |_{U} ≅ F |_{U}$ над некоторой открытой окрестностью $U \supseteq Y$ . Именно этот результат позволит сравнивать расслоения вдоль непрерывной деформации.

Гомотопическая инвариантность обратного образа

Зависит ли обратный образ расслоения от самого отображения или только от его непрерывной деформации? Пусть пространство $Y$ компактно и хаусдорфово, $I = [0, 1]$ , а отображение

h : Y \times I ⟶ X, h_{t} (y) = h (y, t)

задаёт гомотопию между $h_{0}$ и $h_{1}$ . Для векторного расслоения $E$ над $X$ гомотопия собирает все обратные образы $h_{t}^{*} E$ в одно расслоение $h^{*} E$ над цилиндром $Y \times I$ . Сравним его ограничения на разные срезы цилиндра.

Зафиксируем $t \in I$ и обозначим проекцию через $q_{Y} : Y \times I \to Y$ . Расслоение $q_{Y}^{*} (h_{t}^{*} E)$ получается копированием $h_{t}^{*} E$ без изменений вдоль интервала. На срезе $Y \times {t}$ расслоения $h^{*} E$ и $q_{Y}^{*} (h_{t}^{*} E)$ канонически совпадают.

Срез $Y \times {t}$ замкнут в компактном хаусдорфовом пространстве $Y \times I$ . Поэтому следствие предыдущей части продолжает канонический изоморфизм на некоторую открытую окрестность $W_{t}$ этого среза.

Остаётся превратить произвольную окрестность среза в целую полосу. Для каждой точки $y \in Y$ выберем открытые множества $V_{y} \subseteq Y$ и $J_{y} \subseteq I$ такие, что $y \in V_{y}$ , $t \in J_{y}$ и $V_{y} \times J_{y} \subseteq W_{t}$ . Из покрытия $Y$ множествами $V_{y}$ компактность позволяет выбрать конечное подпокрытие. Пересечение соответствующих интервалов $J_{y}$ содержит $t$ и даёт интервал $J_{t}$ для которого $Y \times J_{t} \subseteq W_{t}$ .

Сравниваем на одном срезе
$h^{*} E |_{Y \times {t}} ≅ q_{Y}^{*} (h_{t}^{*} E) |_{Y \times {t}}$
Продолжаем на окрестность среза
$h^{*} E |_{W_{t}} ≅ q_{Y}^{*} (h_{t}^{*} E) |_{W_{t}}$
Вписываем в окрестность целую полосу
$Y \times J_{t} \subseteq W_{t}$
Ограничиваем изоморфизм на эту полосу
$h^{*} E |_{Y \times J_{t}} ≅ q_{Y}^{*} (h_{t}^{*} E) |_{Y \times J_{t}}$
Результат: Получаем локальное постоянство класса расслоения
$s \in J_{t} ⟹ h_{s}^{*} E ≅ h_{t}^{*} E$

Теперь рассмотрим множество параметров

S = {t \in I ∣ h_{t}^{*} E ≅ h_{0}^{*} E}

Оно содержит $0$ . Локальное сравнение показывает, что вместе с каждой своей точкой $S$ содержит некоторый интервал вокруг неё, поэтому $S$ открыто. Если $t \notin S$ , то ни одна точка достаточно малого $J_{t}$ не может принадлежать $S$ : иначе из $h_{s}^{*} E ≅ h_{t}^{*} E$ и $h_{s}^{*} E ≅ h_{0}^{*} E$ следовало бы $t \in S$ . Значит, дополнение к $S$ тоже открыто. Связность интервала и непустота $S$ теперь дают $S = I$ .

Если $h_{0}, h_{1} : Y \to X$ гомотопны, а $E$ — векторное расслоение над $X$ , то

h_{0}^{*} E ≅ h_{1}^{*} E

Следовательно, операция взятия обратного образа зависит только от гомотопического класса отображения. В следующей части соберём классы изоморфизма расслоений в одно множество и выведем отсюда следствия для гомотопически эквивалентных пространств.

Расслоения над гомотопически эквивалентными пространствами

Через $Vect (X)$ обозначим множество классов изоморфизма комплексных векторных расслоений над $X$ . Подмножество классов расслоений постоянного ранга $r$ обозначим через ${Vect}_{r} (X)$ .

Пусть $f : Y \to X$ . Изоморфизм расслоений $E ≅ F$ индуцирует изоморфизм их обратных образов $f^{*} E ≅ f^{*} F$ . Поэтому обратный образ корректно определён на классах изоморфизма и задаёт отображение

f^{*} : Vect (X) ⟶ Vect (Y), [E] ⟼ [f^{*} E]

Предыдущая часть показала, что гомотопные отображения $f_{0}, f_{1} : Y \to X$ дают изоморфные обратные образы каждого расслоения. На уровне классов это означает

f_{0} ≃ f_{1} ⟹ f_{0}^{*} = f_{1}^{*}

Теперь пусть $f : Y \to X$ — гомотопическая эквивалентность с гомотопически обратным $g : X \to Y$ . Функториальность обратного образа и гомотопическая инвариантность дают

g^{*} f^{*} = (f \circ g)^{*} = {id}_{Vect (X)}

f^{*} g^{*} = (g \circ f)^{*} = {id}_{Vect (Y)}

Следовательно, отображения $f^{*}$ и $g^{*}$ взаимно обратны.

Гомотопическая эквивалентность $f : Y \to X$ индуцирует биекцию

f^{*} : Vect (X) \overset{≅}{\to} Vect (Y)

Рассмотрим важнейший частный случай. Пусть $X$ стягиваемо, выберем точку $x_{0} \in X$ и обозначим через $c_{X} : X \to *$ единственное отображение в точку, а через $i : * \to X$ — включение точки $x_{0}$ . Тогда

c_{X} \circ i = {id}_{*}

i \circ c_{X} ≃ {id}_{X}

Поэтому $c_{X}^{*}$ и $i^{*}$ задают взаимно обратные биекции между классами расслоений над $X$ и над точкой. Расслоение ранга $r$ над точкой — это векторное пространство $C^{r}$ , а его обратный образ вдоль $c_{X}$ равен $X \times C^{r}$ . Следовательно, каждое расслоение ранга $r$ над $X$ тривиально.

{Vect}_{r} (X) = {[{\underset{―}{C}}^{r}]}

Здесь ${\underset{―}{C}}^{r} = X \times C^{r}$ — тривиальное расслоение ранга $r$ .

Гомотопическая инвариантность позволяет сравнивать классы расслоений, но ещё не даёт конечного глобального описания конкретного расслоения. В следующей части построим такое описание: превратим локальные реперы в конечный набор глобальных сечений, порождающих каждый слой.

Теорема о тривиальном дополнении

Пусть $E$ — векторное расслоение ранга $r$ над $X$ . Построим для него конечное тривиальное дополнение. Для этого сначала найдём конечномерное пространство глобальных сечений, значения которых порождают каждый слой. Их вычисление в точке даст послойно сюръективный морфизм из тривиального расслоения, а его ядро станет искомым дополнением.

Выберем конечное тривиализующее покрытие $U_{1}, \dots, U_{m}$ , локальные реперы $e_{i 1}, \dots, e_{i r}$ и подчинённое разбиение единицы $ρ_{1}, \dots, ρ_{m}$ . Для каждой пары индексов определим глобальное сечение

s_{i a} (x) = {\begin{cases} ρ_{i} (x) e_{i a} (x), & x \in U_{i}, \\ 0_{x}, & x \notin U_{i} \end{cases}

Включение $supp ρ_{i} \subseteq U_{i}$ гарантирует непрерывность на границе $U_{i}$ тем же способом, что и при продолжении сечений в части 2.

В каждой точке $x \in X$ хотя бы один вес $ρ_{i} (x)$ положителен. Тогда $x \in U_{i}$ , а векторы $s_{i 1} (x), \dots, s_{i r} (x)$ получены из локального базиса умножением на одно ненулевое число. Следовательно, они по-прежнему порождают $E_{x}$ . Поэтому конечномерное пространство

V = span {s_{i a}}

1 \leq i \leq m, 1 \leq a \leq r

V \subseteq Γ (E)

порождает каждый слой. Выберем базис $s_{1}, \dots, s_{N}$ пространства $V$ . Морфизм вычисления задаётся формулой

ε : X \times V ⟶ E, ε (x, s) = s (x)

В выбранном базисе он имеет вид

ε (x, \sum_{j = 1}^{N} c_{j} s_{j}) = \sum_{j = 1}^{N} c_{j} s_{j} (x)

В локальной тривиализации координаты всех $s_{j} (x)$ непрерывны, а сложение и умножение на скаляр в $C^{r}$ непрерывны. Поэтому отображение $(x, c_{1}, \dots, c_{N}) \mapsto \sum_{j} c_{j} s_{j} (x)$ и, следовательно, морфизм $ε$ непрерывны. Построение $V$ означает, что каждое послойное отображение $ε_{x} : V \to E_{x}$ сюръективно.

Проведите точку от одного края базы до другого. Ищите моменты, когда отдельный вес становится нулевым, и каждый раз находите другой положительный вес. Может ли исчезнуть весь вектор весов одновременно?

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Для всякого векторного расслоения $E$ над компактным хаусдорфовым пространством существует конечномерное $V \subseteq Γ (E)$ для которого морфизм вычисления $ε : X \times V \to E$ послойно сюръективен.

Поскольку $ε_{x}$ сюръективно на слой размерности $r$ , морфизм $ε$ имеет постоянный ранг $r$ . По теореме о постоянном ранге из главы 3 его ядро $F = \ker ε$ является подрасслоением тривиального расслоения $X \times V$ . Получаем короткую точную последовательность

0 ⟶ F ⟶ X \times V \overset{ε}{\to} E ⟶ 0

Выберем эрмитову метрику на $X \times V$ . Результат главы 3 об ортогональных дополнениях расщепляет последовательность:

X \times V = F \oplus F^{⟂}

ε |_{F^{⟂}} : F^{⟂} \overset{≅}{\to} E

Таким образом, роль дополнения выполняет само ядро $F$ .

E \oplus F ≅ X \times V ≅ {\underset{―}{C}}^{N}

Здесь $N = \dim_{C} V$ .

Построенный эпиморфизм открывает два пути. Его ядро $F$ является подрасслоением, поэтому каждой точке $x$ соответствует подпространство $F_{x}$ одного конечномерного пространства; следующие две части соберут эти подпространства в отображение в грассманиан. Расщепление того же эпиморфизма задаёт проектор на $E$ , который в последней части превратится в проектор на модуле глобальных сечений. Сначала проследим ветвь, начинающуюся с ядра.

Восстановление расслоения по ядрам эпиморфизма

В предыдущей части расслоение $E$ ранга $r$ было представлено послойно сюръективным морфизмом. В выбранном там базисе пространства $V ≅ C^{N}$ он имеет вид

ε : X \times C^{N} ⟶ E

Каждое ядро $F_{x} = \ker ε_{x}$ является подпространством $C^{N}$ коразмерности $r$ . Пространство всех возможных значений $F_{x}$ называется грассманианом.

{Gr}^{r} (C^{N}) = {W \subseteq C^{N} ∣ codim W = r}

Зафиксируем стандартное эрмитово скалярное произведение на $C^{N}$ . Подпространству $W$ сопоставим ортогональный проектор $P_{W} : C^{N} \to W$ . Будем считать подпространства близкими, когда близки матрицы их проекторов. Иными словами, топология грассманиана индуцирована вложением

W ⟼ P_{W} \in End (C^{N})

где пространство матриц имеет обычную конечномерную топологию.

По теореме о постоянном ранге $F = \ker ε$ является подрасслоением $X \times C^{N}$ . Глава 3 показала, что ортогональные проекторы $P_{F_{x}} : C^{N} \to F_{x}$ непрерывно зависят от $x$ . По определению топологии грассманиана это означает непрерывность отображения

c_{ε} : X ⟶ {Gr}^{r} (C^{N}), c_{ε} (x) = \ker ε_{x}

Оно называется классифицирующим отображением (classifying map), построенным по $ε$ . Виджет показывает эту конструкцию на непрерывном семействе эпиморфизмов; доказательство непрерывности всей карты дано проекторами выше.

Начните с левого конца: какой координатный вектор порождает ядро? Сравните середину и правый конец, подставляя показанный образующий в формулу эпиморфизма. Почему ядро ни в одном из этих случаев не становится всей плоскостью?

C^{2} \overset{ε_{x}}{\to} E_{x}

0,0

Эпиморфизм в текущей точке

ε_{x} (z_{1}, z_{2}) = z_{1}

Ядро имеет нужную коразмерность

\ker ε_{x} = ⟨ (0, 1) ⟩

codim \ker ε_{x} = 1

Ядро становится точкой грассманиана

c_{ε} (x) = \ker ε_{x} \in {Gr}^{1} (C^{2})

Универсальный фактор возвращает слой

(Q_{2}^{1})_{c_{ε} (x)} = C^{2} / \ker ε_{x}

\overset{[v] \mapsto ε_{x} (v)}{\to}

E_{x}

По всем точкам базы $c_{ε} (x) = \ker ε_{x}, c_{ε}^{*} Q_{2}^{1} ≅ E$ При движении ползунка коэффициенты эпиморфизма и порождающий вектор его ядра меняются непрерывно.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Чтобы по точке грассманиана снова получить фактор-пространство, рассмотрим тавтологическое подрасслоение

S_{N}^{r} = {(W, v) ∣ v \in W} \subseteq {Gr}^{r} (C^{N}) \times C^{N}

Его слой над $W$ равен самому $W$ . Это действительно подрасслоение: оно является образом непрерывного семейства проекторов $(W, v) \mapsto (W, P_{W} v)$ . Фактор по нему называется универсальным фактор-расслоением (universal quotient bundle):

Q_{N}^{r} = ({Gr}^{r} (C^{N}) \times C^{N}) / S_{N}^{r}

Слой $Q_{N}^{r}$ над $W$ равен $C^{N} / W$ . Поэтому слой обратного образа $c_{ε}^{*} Q_{N}^{r}$ над $x$ равен $C^{N} / \ker ε_{x}$ . Исходный морфизм индуцирует отображение расслоений

c_{ε}^{*} Q_{N}^{r} ⟶ E, (x, [v]) ⟼ ε_{x} (v)

Первая теорема об изоморфизме показывает, что оно является изоморфизмом в каждом слое, а значит, и изоморфизмом расслоений.

c_{ε}^{*} Q_{N}^{r} ≅ E

Таким образом, выбранный конечный набор глобальных порождающих записывает расслоение как обратный образ одного универсального фактор-расслоения.

Построенная карта всё ещё зависит от размерности пространства порождающих, выбранного базиса и самого эпиморфизма. В следующей части сравним все эти варианты.

Стабильная классификация расслоений

Сначала научимся сравнивать классифицирующие отображения, принимающие значения в грассманианах разных размеров. Добавление неиспользуемой координаты задаёт вложение

i_{N} : {Gr}^{r} (C^{N}) ⟶ {Gr}^{r} (C^{N + 1})

i_{N} (W) = W \oplus C

Эта формула возникает непосредственно из эпиморфизма: добавим к его области определения новый генератор и отправим его в нуль. Тогда

ε_{x}^{'} (v, z) = ε_{x} (v)

\ker ε_{x}^{'} = \ker ε_{x} \oplus C

Поэтому коразмерность ядра остаётся равной $r$ , а соответствующее фактор-пространство не меняется:

C^{N + 1} / (W \oplus C) ≅ C^{N} / W

Эти изоморфизмы индуцированы проекцией $C^{N + 1} \to C^{N}$ и совместимы при изменении $W$ , поэтому собираются в изоморфизм расслоений

i_{N}^{*} Q_{N + 1}^{r} ≅ Q_{N}^{r}

Повторение этой операции называется стабилизацией. Через $[X, Z]$ обозначим множество гомотопических классов отображений из $X$ в $Z$ . Стабильные классы образуют прямой предел, который обозначим

[X, {Gr}^{r} (C^{\infty})]

= \underset{N}{colim} [X, {Gr}^{r} (C^{N})]

Символ $colim$ означает прямой предел. Здесь это просто следующее правило сравнения: отображение представлено на некотором конечномерном этапе, а два отображения считаются одинаковыми, если после добавления достаточного числа неиспользуемых координат они становятся гомотопны.

Теперь сравним два эпиморфизма на одно и то же расслоение:

ε_{0} : X \times C^{N_{0}} \to E

ε_{1} : X \times C^{N_{1}} \to E

На сумме пространств порождающих определим семейство

ε_{x}^{(t)} (v_{0}, v_{1}) = (1 - t) ε_{0, x} (v_{0}) + t ε_{1, x} (v_{1})

0 \leq t \leq 1

Положим $I = [0, 1]$ и обозначим проекцию через $q_{X} : X \times I \to X$ . Семейство собирается в один морфизм расслоений над цилиндром:

E : (X \times I) \times C^{N_{0} + N_{1}} ⟶ q_{X}^{*} E

E (x, t; v_{0}, v_{1}) = ε_{x}^{(t)} (v_{0}, v_{1})

При $t \neq 1$ сюръективность $ε_{x}^{(t)}$ обеспечивает первое слагаемое, а при $t = 1$ — второе. Следовательно, все $ε_{x}^{(t)}$ имеют постоянный ранг $r$ . Теорема о постоянном ранге, применённая над $X \times I$ , показывает, что их ядра образуют подрасслоение. По доказанному в предыдущей части отображение

H : X \times I ⟶ {Gr}^{r} (C^{N_{0} + N_{1}})

H (x, t) = \ker ε_{x}^{(t)}

непрерывно и потому является гомотопией. На её концах находятся

H (x, 0) = \ker ε_{0, x} \oplus C^{N_{1}}

H (x, 1) = C^{N_{0}} \oplus \ker ε_{1, x}

Первое ядро является обычной стабилизацией $c_{ε_{0}}$ . Во втором свободные координаты стоят перед ядром, а не после него. Их перестановка задаётся элементом $G L_{N_{0} + N_{1}} (C)$ . Чтобы понять, почему такая замена координат несущественна, используем следующий факт.

Полярное разложение записывает любую обратимую комплексную матрицу как $M = U D$ , где $U$ унитарна, а $D$ положительно определена. Отрезок $(1 - s) D + s I_{n}$ , где $I_{n}$ — единичная матрица, остаётся положительно определённым и соединяет $D$ с $I_{n}$ . У унитарной матрицы есть ортонормированный базис собственных векторов, а её собственные значения имеют вид $e^{i θ_{j}}$ ; поворот каждого из них к $1$ соединяет $U$ с единичной матрицей. Значит, всякую матрицу из $G L_{n} (C)$ можно соединить с единичной непрерывным путём.

Следовательно, действие матрицы перестановки на грассманиане гомотопно тождественному. Второе ядро представляет обычную стабилизацию $c_{ε_{1}}$ . Тот же аргумент показывает, что замена базиса в пространстве порождающих не меняет стабильный гомотопический класс.

Все конечные наборы глобальных порождающих одного расслоения задают один элемент множества

[X, {Gr}^{r} (C^{\infty})]

Если $α : E \overset{≅}{\to} E^{'}$ то эпиморфизм $α \circ ε$ имеет те же ядра, что и $ε$ . Поэтому стабильный класс зависит только от класса изоморфизма расслоения и определено отображение

Φ : {Vect}_{r} (X) ⟶ [X, {Gr}^{r} (C^{\infty})]

Φ ([E]) = [c_{ε}]

В обратную сторону возьмём представителя $f : X \to {Gr}^{r} (C^{N})$ и положим

Ψ ([f]) = [f^{*} Q_{N}^{r}]

Слои $Q_{N}^{r}$ имеют размерность $r$ , поэтому $Ψ ([f]) \in {Vect}_{r} (X)$ . Это определение не зависит от представителя: доказанный изоморфизм $i_{N}^{*} Q_{N + 1}^{r} ≅ Q_{N}^{r}$ обеспечивает совместимость со стабилизацией, а гомотопные отображения дают изоморфные обратные образы. Осталось проверить, что $Φ$ и $Ψ$ взаимно обратны.

Начнём с класса расслоения. Для $E$ предыдущая часть уже дала $c_{ε}^{*} Q_{N}^{r} ≅ E$ , поэтому $Ψ Φ ([E]) = [E]$ .

Теперь начнём со стабильного класса отображения. У $f^{*} Q_{N}^{r}$ есть тавтологический эпиморфизм из $X \times C^{N}$ с ядром $f (x)$ . Следовательно, построенное по нему классифицирующее отображение равно $f$ и $Φ Ψ ([f]) = [f]$ .

{Vect}_{r} (X) ≅ [X, {Gr}^{r} (C^{\infty})]

Расслоение переходит в стабильный гомотопический класс отображения его ядер, а отображение в грассманиан — в обратный образ универсального фактор-расслоения.

Стабильный грассманиан даёт общую классификацию. Теперь рассмотрим два применения построенной конечной модели. Сначала для надстройки из двух конусов заменим расслоение одним переходом на их общем основании. Затем вернёмся к проектору из теоремы о тривиальном дополнении и прочитаем его как оператор на модуле глобальных сечений.

Классификация расслоений на надстройке

Пусть $A$ — компактное хаусдорфово пространство. Его конус — это фактор

C A = (A \times [0, 1]) / (A \times {1})

в котором всё множество $A \times {1}$ сжато в одну вершину, а $A \times {0}$ остаётся основанием. Возьмём две копии конуса и склеим их основания. Полученное пространство

S (A) = C_{+} A \cup_{A} C_{-} A

называется неприведённой надстройкой $A$ , а общая копия $A$ — её экватором. Каждый конус стягиваем. По гомотопической инвариантности всякое векторное расслоение ранга $r$ над ним тривиально. Поэтому после выбора тривиализаций над двумя конусами всё оставшееся различие между расслоениями сосредоточено в том, как координаты отождествлены на экваторе.

Непрерывное отображение

g : A ⟶ G L_{r} (C)

задаёт отождествление двух тривиальных расслоений над экватором:

(a, v)_{+} \sim (a, g (a) v)_{-}

Фактор дизъюнктного объединения

E_{g} = ((C_{+} A \times C^{r}) ⊔ (C_{-} A \times C^{r})) / \sim

называется расслоением, полученным склейкой по функции $g$ .

Проверим, что у экватора этот фактор действительно локально тривиален. В каждом конусе основание при некотором $δ > 0$ имеет окрестность $A \times [0, δ)$ . После склейки две такие окрестности образуют $A \times (- δ, δ)$ . На верхней половине оставим координату вектора без изменения, а на нижней применим $g (a)^{- 1}$ :

[(a, t, v)_{+}] ⟼ (a, t, v)

[(a, t, w)_{-}] ⟼ (a, - t, g (a)^{- 1} w)

При $t = 0$ отождествлённые векторы $w = g (a) v$ получают одну и ту же координату $v$ . Обратное отображение при неотрицательной второй координате возвращает класс $[(a, t, v)_{+}]$ , а при неположительной — класс $[(a, - t, g (a) v)_{-}]$ ; на экваторе эти формулы также совпадают. Поэтому построено взаимно непрерывное послойно-линейное отождествление с $A \times (- δ, δ) \times C^{r}$ . Вне экватора остаются исходные тривиализации над конусами. Следовательно, $E_{g}$ является векторным расслоением над $S (A)$ .

Если отображения $g_{0}$ и $g_{1}$ соединены гомотопией $G : A \times [0, 1] \to G L_{r} (C)$ , та же склейка строит расслоение над $S (A) \times [0, 1]$ . Его ограничения на концы цилиндра равны $E_{g_{0}}$ и $E_{g_{1}}$ . По гомотопической инвариантности они изоморфны. Значит, гомотопический класс функции $g$ определяет класс изоморфизма $E_{g}$ .

Построим обратный переход. Пусть $E$ — расслоение ранга $r$ над $S (A)$ . Выберем его тривиализации над верхним и нижним конусами. Для каждой точки экватора переход от верхних координат к нижним задаёт матрицу $g_{E} (a) \in G L_{r} (C)$ и тем самым непрерывное отображение

g_{E} : A ⟶ G L_{r} (C)

Нужно проверить, что его гомотопический класс не зависит от выбранных координат. Пусть новая тривиализация над каждым $C_{\pm} A$ получается из прежней умножением координаты вектора на матрицу $h_{+} : C_{+} A \to G L_{r} (C)$ и $h_{-} : C_{-} A \to G L_{r} (C)$ . Тогда новая функция склейки равна

g_{E}^{'} = (h_{-} |_{A}) g_{E} (h_{+} |_{A})^{- 1}

Каждое ограничение $h_{\pm} |_{A}$ продолжается на конус, поэтому стягивание конуса деформирует его в постоянное отображение. Как установлено в предыдущей части, $G L_{r} (C)$ связна путями; следовательно, это постоянное отображение можно деформировать в единицу. Значит, $g_{E}^{'} ≃ g_{E}$ . Если $E ≅ E^{'}$ , выбранные тривиализации можно перенести вдоль изоморфизма; функция перехода при этом не изменится. Следовательно, класс изоморфизма расслоения определяет гомотопический класс $g_{E}$ .

Если начать с $g$ , то канонические тривиализации $E_{g}$ на двух конусах возвращают тот же переход $g$ . Если начать с $E$ , то склейка его двух тривиализованных ограничений по полученному переходу $g_{E}$ восстанавливает $E$ . Следовательно, две конструкции взаимно обратны.

{Vect}_{r} (S (A)) ≅ [A, G L_{r} (C)]

Слева стоят классы изоморфизма расслоений ранга $r$ над надстройкой, справа — свободные гомотопические классы отображений экватора в $G L_{r} (C)$ ; взаимно обратные переходы описаны выше.

Для $A = S^{1}$ надстройка гомеоморфна сфере $S (A) ≅ S^{2}$ . Уже для расслоений ранга $1$ функции

g_{n} : S^{1} ⟶ C^{\times}

g_{n} (z) = z^{n}, n \in Z

попарно не гомотопны: число $n$ показывает, сколько раз образ обходит начало координат. Поэтому они задают попарно неизоморфные расслоения ранга $1$ над $S^{2}$ , хотя все их слои одномерны.

Функция склейки — специальная форма топологической классификации для надстройки. Теперь вернёмся к прямому слагаемому из части 5 и прочитаем задающий его проектор на языке глобальных сечений.

Теорема Серра—Свона

Ранее мы доказали, что у всякого векторного расслоения существует дополнение, для которого

E \oplus F ≅ {\underset{―}{C}}^{N}

Теперь переведём это геометрическое разложение на язык глобальных сечений. Обозначим через $C (X)$ кольцо непрерывных функций $X \to C$ . Множество глобальных сечений $Γ (E)$ можно складывать, а функцию умножать на сечение поточечно:

(f \cdot s) (x) = f (x) s (x)

f \in C (X), s \in Γ (E)

Поэтому $Γ (E)$ — модуль над $C (X)$ . Применение глобальных сечений к разложению $E \oplus F$ даёт

Γ (E) \oplus Γ (F) ≅ C (X)^{N}

Модуль называется конечно порождённым проективным, если он является прямым слагаемым свободного модуля конечного ранга. Проекции стандартных образующих свободного модуля порождают каждое его прямое слагаемое. Следовательно, $Γ (E)$ — конечно порождённый проективный $C (X)$ -модуль.

Обратно, пусть $P$ — конечно порождённый проективный модуль. Отождествим его с прямым слагаемым некоторого $C (X)^{N}$ и обозначим через $p$ проекцию на первое слагаемое. Тогда

p : C (X)^{N} ⟶ C (X)^{N}

p^{2} = p, im p ≅ P

Такой оператор задаётся матрицей непрерывных функций, то есть отображением $p : X \to M_{N} (C)$ со свойством $p (x)^{2} = p (x)$ . Собственные значения идемпотента равны нулю или единице, поэтому его ранг совпадает со следом. Непрерывная целочисленная функция $tr p (x)$ локально постоянна. По критерию постоянного ранга множество

rk p (x) = tr p (x) \in Z

E_{p} = {(x, v) ∣ p (x) v = v} \subseteq X \times C^{N}

является подрасслоением со слоем $(E_{p})_{x} = im p (x)$ . Его сечения — в точности функции $u \in C (X)^{N}$ с $p u = u$ . Следовательно,

Γ (E_{p}) = {u \in C (X)^{N} ∣ p u = u}

Γ (E_{p}) = p C (X)^{N} ≅ P

Теперь пусть $p^{2} = p$ и $q^{2} = q$ — непрерывные идемпотенты, $P = p C (X)^{N}$ и $R = q C (X)^{M}$ — задаваемые ими модули, а $E_{p}$ и $E_{q}$ — соответствующие расслоения. Морфизм модулей $α : P \to R$ продолжим на свободные модули композицией

C (X)^{N} \overset{p}{\to} P \overset{α}{\to} R ↪ C (X)^{M}

\hat{α} \in M_{M \times N} (C (X)), q \hat{α} p = \hat{α}

Последнее равенство следует из $\hat{α} p = \hat{α}$ и $q \hat{α} = \hat{α}$ : композиция начинается с проекции на $P$ и принимает значения в $R$ . Поэтому $\hat{α} (x)$ задаёт морфизм $E_{p} \to E_{q}$ и действует на сечениях как $α$ .

Обратно, морфизм расслоений $β : E_{p} \to E_{q}$ задаёт модульный морфизм $Γ (β)$ . Для $v \in (E_{p})_{x}$ сечение $s_{v} (y) = p (y) v$ удовлетворяет $s_{v} (x) = v$ , поэтому

β_{x} (v) = (Γ (β) (s_{v})) (x)

Таким образом, морфизмы в обе стороны восстанавливаются однозначно, а тождества и композиции сохраняются. Проектор на слагаемое $E$ в $E \oplus F$ восстанавливает исходное расслоение; в другую сторону уже доказано $Γ (E_{p}) ≅ P$ . Если выбрать для $P$ другое представление проектором, изоморфизм модулей даст изоморфизм построенных расслоений. Обозначим полученное, определённое с точностью до изоморфизма расслоение через $E_{P}$ .

Соответствия

E ⟼ Γ (E)

P ⟼ E_{P}

задают эквивалентность между векторными расслоениями над компактным хаусдорфовым пространством $X$ и конечно порождёнными проективными модулями над $C (X)$ . Морфизмам расслоений соответствуют $C (X)$ -линейные морфизмы модулей.

Все модели главы возникают из одного конечного эпиморфизма. Его ядра задают классифицирующее отображение в грассманиан; расщепление даёт проектор, который определяет и подрасслоение тривиального расслоения, и проективный модуль глобальных сечений. На надстройке тот же класс можно записать переходом на экваторе. Возможность начать эту цепочку с конечного набора глобальных сечений и есть главный вклад компактности.

Глобальные модели расслоений над компактными пространствами

Соглашения

Теорема Титце и разбиения единицы

Два топологических инструмента глобализации

Теорема о продолжении сечений

Продолжение сечений

Продолжение изоморфизма на окрестность

Гомотопическая инвариантность обратного образа

Гомотопическая инвариантность обратного образа

Расслоения над гомотопически эквивалентными пространствами

Множества классов расслоений

Классы расслоений сохраняются при гомотопической эквивалентности

Расслоения над стягиваемой базой тривиальны

Теорема о тривиальном дополнении

Локальные реперы дают конечный набор глобальных сечений

Конечные глобальные порождающие

Каждое расслоение является прямым слагаемым тривиального

Восстановление расслоения по ядрам эпиморфизма

Грассманиан и его топология

Ядра одного непрерывного семейства

Восстановление расслоения по ядрам

Стабильная классификация расслоений

Независимость от выбора порождающих

Стабильная классификация расслоений

Классификация расслоений на надстройке

Функция склейки

Классификация расслоений на надстройке

Теорема Серра—Свона

Конечно порождённый проективный модуль

Эквивалентность расслоений и проективных модулей