Глава 8 · Эквивариантная K-теория

Эквивариантная K-теория

Обычная K-теория помнит склейку векторного расслоения, но не действие симметрий. Для пространства с действием конечной группы $G$ поднимем действие на расслоение и потребуем линейного переноса слоя над $x$ в слой над $g x$ . Группа Гротендика таких расслоений, $K_{G} (X)$ , соединит топологию пространства с представлениями стабилизаторов. Мы сравним тривиальное и свободное действия, затем вычислим эквивариантную K-теорию проективной прямой и из этого получим периодичность Ботта с сохранённой симметрией.

Действие группы связывает точки одной орбиты

На протяжении главы $G$ — конечная группа, все рассматриваемые $G$ -пространства компактны и хаусдорфовы, а все векторные расслоения конечномерны и комплексны. После забывания действия $G$ мы остаёмся в той же категории пространств и расслоений, что и в предыдущих главах.

Симметрия может переводить точку $x$ в другую точку $g x$ . Все точки, полученные из $x$ такими преобразованиями, образуют её орбиту. Чтобы говорить о симметрии всего пространства, преобразования должны быть согласованы с умножением в группе.

$G$ -пространство (G-space) — топологическое пространство $X$ с непрерывным действием конечной группы $G$ . Для любых $g, h \in G$ и $x \in X$ выполняются равенства

1 x = x, (g h) x = g (h x)

Для конечной группы непрерывность действия равносильна непрерывности каждого преобразования $x \mapsto g x$ . Обычное расслоение $π : E \to X$ пока не связано с этой симметрией: над точками одной орбиты лежат слои, но отображения между ними не выбраны. Эквивариантная K-теория начнётся с выбора таких отображений.

Поднятое действие удовлетворяет двум условиям

Поднять действие с базы на расслоение — значит заставить $G$ действовать и на $E$ . Произвольное действие на тотальном пространстве не подойдёт: образ вектора должен оказаться над образом его базовой точки, а перенос между слоями должен быть комплексно-линейным.

$G$ -векторное расслоение (G-vector bundle, или equivariant vector bundle) над $X$ — комплексное векторное расслоение $π : E \to X$ с непрерывным действием $G$ на $E$ , для которого

π (g e) = g π (e)

g : E_{x} \overset{≅}{\to} E_{g x} комплексно-линейно

Первое равенство говорит, в какой слой должен попасть вектор: если $v \in E_{x}$ , то $g v \in E_{g x}$ . Второе означает, что для каждого $λ \in C$ выполняется $g (λ v) = λ (g v)$ . Например, комплексное сопряжение сохраняет сложение, но заменяет $λ$ на $\overset{―}{λ}$ . В главе 5 такой антилинейный перенос был отдельной вещественной или кватернионной структурой. Здесь требуется другое: перенос должен быть комплексно-линейным и тем самым входить в данные комплексного $G$ -векторного расслоения.

Достаточно ли каждого требования по отдельности? Переключите три случая и для каждого сначала проверьте равенство с $π$ , затем — равенство со скаляром $λ$ .

Начните со случая выполнения обоих условий. Затем по отдельности выберите неверный слой и антилинейный перенос. Какое именно условие нарушено в каждом случае и почему второе не исправляет первое?

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Стабилизатор точки действует на её слое

Обычно элемент $g$ переносит вектор из одного слоя в другой. Исключение возникает, когда $g$ не сдвигает точку $x$ базы. Все такие элементы образуют стабилизатор (stabilizer)

G_{x} = {g \in G ∣ g x = x}

Если $g \in G_{x}$ , то перенос $g : E_{x} \to E_{g x}$ превращается в комплексно-линейный оператор $E_{x} \to E_{x}$ . Умножение в группе согласовано с композицией этих операторов. Поэтому слой $E_{x}$ становится комплексным представлением группы $G_{x}$ .

Так в одном объекте встречаются два вида данных. Обычные функции перехода описывают склейку локальных тривиализаций. Поднятое действие дополнительно задаёт переносы $E_{x} \to E_{g x}$ , совместимые с этой склейкой; для элементов стабилизатора переносы становятся операторами на одном слое. Именно эту дополнительную информацию должна сохранить новая K-теория.

Формальные разности сохраняют симметрию

Прямая сумма двух $G$ -векторных расслоений снова является $G$ -векторным расслоением: группа действует по диагонали, $g (v, w) = (g v, g w)$ . Поэтому классы изоморфизма образуют коммутативный моноид ${Vect}_{G} (X)$ . Выполним то же групповое пополнение, которое привело от обычных расслоений к $K (X)$ .

Эквивариантной K-группой (equivariant K-group) пространства $X$ называется групповое пополнение моноида $G$ -векторных расслоений:

K_{G} (X) = Gr ({Vect}_{G} (X), \oplus)

Элементы $K_{G} (X)$ имеют вид $[E] - [F]$ , где $E$ и $F$ — $G$ -векторные расслоения над $X$ .

Тензорное произведение тоже наследует диагональное действие: $g (v \otimes w) = g v \otimes g w$ . Оно дистрибутивно относительно прямой суммы, поэтому превращает $K_{G} (X)$ в коммутативное кольцо. Единицей служит класс произведения $X \times C$ с действием $g (x, z) = (g x, z)$ : группа перемещает точку базы и действует тождественно на слое.

Над точкой K-теория становится кольцом представлений

Пусть база состоит из одной точки. У расслоения остаётся единственный слой $V$ , а вся группа стабилизирует эту точку. Поэтому поднятое действие — это в точности комплексное представление $G \to G L (V)$ . Прямая сумма и тензорное произведение расслоений превращаются в те же операции над представлениями.

Кольцо комплексных представлений (complex representation ring) $R (G)$ — групповое пополнение моноида конечномерных комплексных представлений относительно прямой суммы. Умножение задаётся тензорным произведением. Поэтому

K_{G} (*) = R (G)

При $G = {1}$ эта конструкция возвращает обычное кольцо: $K_{{1}} (X) = K (X)$ . Здесь речь идёт о тривиальной группе, а не о тривиальном действии произвольной группы на $X$ ; этот второй случай мы разберём в следующем разделе.

Проекция $p : X \to *$ превращает представление $V$ в произведение $X \times V$ с диагональным действием. Обратный образ вдоль $p$ задаёт гомоморфизм

p^{*} : R (G) = K_{G} (*) ⟶ K_{G} (X)

Этот гомоморфизм наделяет $K_{G} (X)$ структурой $R (G)$ -алгебры. Умножение класса расслоения $[E]$ на класс представления $[V]$ заменяет каждый слой $E_{x}$ на $E_{x} \otimes V$ ; база остаётся прежней, действие на слое становится тензорным, а ранг умножается на $\dim V$ .

Пример: два характера группы C₂

Пусть $G = C_{2} = {1, σ}$ . У неё есть тривиальное одномерное представление $1$ и знаковое представление $ε$ , в котором $σ v = - v$ . Прежде чем вычислять кольцо, убедимся, что этими двумя прямыми исчерпываются все неприводимые представления.

Пусть оператор $A$ задаёт действие $σ$ на произвольном представлении $V$ . Из $σ^{2} = 1$ следует $A^{2} = 1$ . Поэтому проекторы $p_{+} = (1 + A) / 2$ и $p_{-} = (1 - A) / 2$ раскладывают пространство в прямую сумму

V = V^{+} \oplus V^{-}

V^{+} = \ker (A - 1)

V^{-} = \ker (A + 1)

На $V^{+}$ элемент $σ$ действует как $+ 1$ , а на $V^{-}$ — как $- 1$ . Значит, любое представление является прямой суммой копий $1$ и $ε$ . Наконец, тензорный квадрат знакового представления тривиален, $ε \otimes ε ≅ 1$ . Это даёт и образующие, и единственное соотношение:

R (C_{2}) ≅ Z [ε] / (ε^{2} - 1)

Обычная K-теория точки видит в обеих прямых только ранг $1$ . Эквивариантная теория различает их: на одной $σ$ действует как $+ 1$ , на другой — как $- 1$ . Именно это различие объясняет, почему роль коэффициентного кольца играет $R (G)$ , а не $Z$ .

Тривиальное и свободное действия оставляют разные данные

Стабилизаторы показывают, чего ожидать от двух крайних видов действия. При тривиальном действии стабилизатор каждой точки равен всей группе, поэтому представления сохраняются в каждом слое. При свободном действии стабилизаторы тривиальны, поэтому локальной информации о представлениях не остаётся.

Тривиальное действие сохраняет представления в слоях

Сначала вернёмся к примеру $C_{2}$ . Поскольку группа не сдвигает точки базы, оператор $σ$ действует на всём расслоении $E$ как непрерывный эндоморфизм над тождественным отображением $X$ . Те же проекторы $(1 \pm σ) / 2$ теперь выделяют не только подпространства в каждом слое, но и два подрасслоения $E^{+}$ и $E^{-}$ . Поэтому поточечные разложения склеиваются в глобальное:

E ≅ E^{+} \oplus E^{-}

Та же конструкция распространяется на произвольную конечную группу. Обозначим через $Irr (G)$ множество классов неприводимых комплексных представлений и для каждого класса выберем представление $V_{ρ}$ . Проектор на $ρ$ -изотипическую часть выражается фиксированной конечной линейной комбинацией операторов $g : E \to E$ . Поэтому он непрерывно действует сразу на всём расслоении, а его образ образует подрасслоение.

Расслоение кратностей обозначим через $M_{ρ} = {Hom}_{G} (V_{ρ}, E)$ : его слой над $x$ равен ${Hom}_{G} (V_{ρ}, E_{x})$ . Отображение вычисления $φ \otimes v \mapsto φ (v)$ восстанавливает соответствующую изотипическую часть. Складывая все части, получаем глобальное разложение

E ≅ ⨁_{ρ \in Irr (G)} M_{ρ} \otimes V_{ρ}

После группового пополнения расслоения кратностей определяют классы в $K (X)$ , а множители $V_{ρ}$ — классы в $R (G)$ . Поэтому прямое разложение даёт изоморфизм аддитивных групп. Совместимость с тензорным произведением делает его изоморфизмом колец:

K_{G} (X) ≅ K (X) \otimes_{Z} R (G)

Свободное действие оставляет расслоение над пространством орбит

Теперь пусть действие свободно: равенство $g x = x$ возможно только при $g = 1$ . Тогда орбиты не несут нетривиальных стабилизаторов. Для $G$ -векторного расслоения $E \to X$ рассмотрим фактор

E / G ⟶ X / G, [e] ⟼ [π (e)]

Над орбитой $[x]$ лежат орбиты векторов над всеми точками $G x$ . Выбор представителя $x$ отождествляет этот слой с $E_{x}$ . Если выбрать вместо $x$ точку $g x$ , действие $g$ даёт то же отождествление. Неоднозначности внутри $E_{x}$ нет: элемент, возвращающий $x$ в себя, по свободности равен единице. Так слои фактора получают каноническую линейную структуру, а локальные тривиализации спускаются вдоль конечного накрытия $q : X \to X / G$ .

Обратный образ восстанавливает исходное расслоение. В другую сторону фактор обратного образа обычного расслоения $F \to X / G$ возвращает $F$ :

q^{*} (E / G) ≅ E

(q^{*} F) / G ≅ F

Поэтому спуск и обратный образ взаимно обратны и после группового пополнения дают изоморфизм

q^{*} : K (X / G) \overset{≅}{\to} K_{G} (X)

Итак, при тривиальном действии сохраняются представления группы в слоях, а при свободном эквивариантная K-теория сводится к обычной K-теории пространства орбит $X / G$ . При произвольном действии стабилизаторы $G_{x}$ могут меняться от орбиты к орбите; $K_{G} (X)$ согласует их представления со склейкой расслоений на всём пространстве.

Обратный образ требует эквивариантного отображения

Чтобы соответствие $X \mapsto K_{G} (X)$ было контравариантным функтором, будем рассматривать $G$ -эквивариантные отображения $f : Y \to X$ , то есть отображения, совместимые с действием группы:

f (g y) = g f (y), g \in G, y \in Y

Пусть $π : E \to X$ — $G$ -векторное расслоение. Его обычный обратный образ имеет вид

f^{*} E = {(y, e) \in Y \times E ∣ f (y) = π (e)}

Для пары $(y, e) \in f^{*} E$ положим $g (y, e) = (g y, g e)$ . Она остаётся в обратном образе, потому что

f (g y) = g f (y) = g π (e) = π (g e)

Поэтому взятие обратного образа сохраняет $G$ -векторные расслоения и индуцирует гомоморфизм колец

f^{*} : K_{G} (X) ⟶ K_{G} (Y)

Направление стрелки остаётся тем же, что в обычной K-теории: обратный образ идёт противоположно отображению баз. Ново лишь требование эквивариантности. В частности, ограничение вдоль $G$ -эквивариантного сечения определено в $K_{G}$ . Именно такие ограничения вдоль двух сечений понадобятся в следующем вычислении.

Проективное расслоение даёт недостающее вычисление

В предыдущей главе тавтологическая прямая $H$ над ${CP}^{1} ≅ S^{2}$ дала элемент Ботта $β = [H] - 1$ , а теорема о произведении вычислила $K (X \times S^{2})$ и показала, что внешнее умножение на $β$ обратимо. Чтобы повторить этот аргумент с симметрией, нужно сначала вычислить $K_{G} (X \times {CP}^{1})$ . Нужное вычисление даёт эквивариантная теорема о проективном расслоении.

Если $E$ — $G$ -векторное расслоение, то действие на ненулевых векторах переводит комплексные прямые в комплексные прямые. Поэтому оно спускается на проективизацию $P (E)$ . Над точкой $(x, ℓ) \in P (E)$ лежит сама прямая $ℓ \subset E_{x}$ . Тем самым получаем то же тавтологическое расслоение $H$ со слоем $H_{(x, ℓ)} = ℓ$ , что и в предыдущих главах. Формула $g (x, ℓ) = (g x, g ℓ)$ переносит слой $ℓ$ в слой $g ℓ$ и тем самым наделяет $H$ естественной $G$ -структурой.

Искомое произведение $X \times {CP}^{1}$ получится при $L = 1$ . Сначала оставим $L \to X$ произвольной $G$ -линейной прямой, чтобы увидеть общее соотношение. Через $1 = X \times C$ обозначим тривиальную $G$ -прямую с тождественным действием на слое и рассмотрим $P (L \oplus 1)$ . Сечение $s_{0}$ выбирает в каждом слое тривиальное слагаемое $1$ , а сечение $s_{\infty}$ — слагаемое $L$ . Оба сечения эквивариантны, поэтому вдоль них можно ограничить класс тавтологической прямой:

s_{0}^{*} [H] = 1

s_{\infty}^{*} [H] = [L]

Введём формальную переменную $t$ , которая в следующей теореме перейдёт в $[H]$ . Ограничения на два сечения подсказывают ожидаемые линейные множители: на нулевом сечении обращается в ноль $t - 1$ , а на бесконечном — $t - [L]$ . Поэтому естественным кандидатом на глобальное соотношение служит произведение этих множителей:

(t - 1) (t - [L]) = 0 (предположение)

Это пока только мотивировка. Значения на двух сечениях не доказывают, что полином обращается в ноль на всём проективном расслоении, и не показывают, что других соотношений нет. Оба утверждения даёт следующая теорема.

Пусть $G$ — конечная группа, $X$ — компактное хаусдорфово $G$ -пространство, а $L \to X$ — $G$ -линейное расслоение. Отображение $t \mapsto [H]$ задаёт изоморфизм

\frac{K_{G} (X) [t]}{(t - 1) (t - [L])} \overset{≅}{\to} K_{G} (P (L \oplus 1))

как $K_{G} (X)$ -алгебр; в частности, правая часть свободна как $K_{G} (X)$ -модуль с базисом $1, [H]$ .

Пример с $C_{2}$ показывает, как представление на $L$ меняет соотношение. Для знаковой прямой $[L] = ε$ возникают два разных множителя, а для тривиальной прямой они совпадают:

[L] = ε : (t - 1) (t - ε) = 0

[L] = 1 : (t - 1)^{2} = 0

Обычное доказательство теоремы несколько раз расщепляет короткие точные последовательности расслоений: выбирает дополнение к подрасслоению и заменяет последовательность прямой суммой. В эквивариантной K-теории такое расщепление допустимо только тогда, когда выбранное дополнение сохраняется действием $G$ . Для конечной группы именно эту дополнительную задачу решает усреднение. На $G$ -векторном расслоении $E$ любую эрмитову метрику $h$ можно заменить средней:

(h_{G})_{x} (v, w) = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} h_{g x} (g v, g w)

Если $v, w \in E_{x}$ , то $g v, g w \in E_{g x}$ , поэтому каждое слагаемое $h_{g x} (g v, g w)$ — комплексное число. Для $k \in G$ замена индекса $r = g k$ даёт

(h_{G})_{k x} (k v, k w)

= \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} h_{g k x} (g k v, g k w)

= \frac{1}{| G |} \sum_{r \in G} h_{r x} (r v, r w)

= (h_{G})_{x} (v, w)

Значит, метрика $G$ -инвариантна. Если $F \subset E$ — $G$ -подрасслоение, $v ⟂ F_{x}$ и $f \in F_{x}$ , то

(h_{G})_{g x} (g v, g f) = (h_{G})_{x} (v, f) = 0

Поэтому ортогональное дополнение к $G$ -подрасслоению снова является $G$ -подрасслоением. Все расщепления обычного доказательства можно выполнить внутри категории $G$ -векторных расслоений, и полученные равенства действительно лежат в $K_{G}$ . Усреднение не заменяет доказательство теоремы; оно делает допустимыми его вспомогательные выборы.

Два коэффициента оставляют один редуцированный класс

Возьмём $L = 1$ с тривиальным действием группы на слое. Тогда $P (1 \oplus 1) ≅ X \times {CP}^{1}$ , причём $G$ действует только на множителе $X$ . Используя отождествление ${CP}^{1} ≅ S^{2}$ из предыдущей главы и полагая $u = [H] - 1$ , последовательно получаем

подставляем тривиальную прямую
$K_{G} (X \times S^{2}) ≅ K_{G} (X) [t] / (t - 1)^{2}$
вычитаем единицу
$u = t - 1 = [H] - 1, u^{2} = 0$
Результат: выделяем два коэффициента
$K_{G} (X \times S^{2}) ≅ K_{G} (X) \oplus K_{G} (X) u$

Следовательно, каждый класс над $X \times S^{2}$ единственным образом записывается как $a + b u$ с $a, b \in K_{G} (X)$ . Коэффициент $a$ — часть, уже пришедшая с $X$ , а $b$ измеряет новую часть, умноженную на класс сферы. Теперь нужно выяснить, какой из этих коэффициентов остаётся после перехода к смэш-произведению.

Предположим, что $(X, x_{0})$ — компактное основанное $G$ -пространство и базовая точка $x_{0}$ неподвижна относительно $G$ . Тогда включение $i : {x_{0}} ↪ X$ эквивариантно, и редуцированная группа определяется как ядро ограничения

{\tilde{K}}_{G} (X) = \ker (i^{*} : K_{G} (X) ⟶ R (G))

На сфере с выбранной базовой точкой новый коэффициент задаётся эквивариантным элементом Ботта

β_{G} = [H] - 1 \in {\tilde{K}}_{G} (S^{2})

Группа действует на сфере и на слоях $H$ тривиально, поэтому после забывания действия $β_{G}$ становится элементом $β$ из предыдущей главы. Если $p_{X}$ и $p_{S^{2}}$ — проекции произведения, то $u = p_{S^{2}}^{*} β_{G}$ и потому

b u = p_{X}^{*} b \cdot p_{S^{2}}^{*} β_{G}

Выберем также базовую точку $* \in S^{2}$ . Поскольку группа действует на сфере тривиально, эта точка неподвижна. В произведении $X \times S^{2}$ букет и смэш-произведение имеют вид

X \lor S^{2} = (X \times {*}) \cup ({x_{0}} \times S^{2})

X \land S^{2} = (X \times S^{2}) / (X \lor S^{2})

Ограничение класса $a + b u$ на $X \times {*}$ равно $a$ , поскольку $u |_{*} = 0$ . Поэтому исчезновение класса на этой части букета требует $a = 0$ . На второй части, ${x_{0}} \times S^{2}$ , оставшийся класс $b u$ ограничивается до $i^{*} (b) u$ . В разложении $K_{G} (S^{2}) ≅ R (G) \oplus R (G) u$ это выражение равно нулю ровно тогда, когда $i^{*} (b) = 0$ , то есть когда $b \in {\tilde{K}}_{G} (X)$ .

Итак, на букете исчезают в точности внешние произведения $b u$ с редуцированным коэффициентом $b$ . Редуцированность $b$ и $β_{G}$ даёт стабильные эквивариантные тривиализации в обеих базовых точках. Их внешнее произведение тривиально на двух частях букета, а в точке их пересечения эти тривиализации совпадают. Поэтому произведение задаёт класс на смэш-произведении. Это уточнение необходимо: для перехода к фактору требуется не только нулевое ограничение в K-группе, но и согласованная стабильная $G$ -тривиализация на букете. Вычисление двух ограничений объясняет формулу следующего отображения; утверждение, что оно биективно для всех классов на смэш-произведении, составляет содержание теоремы.

Для компактного основанного $G$ -пространства $(X, x_{0})$ с неподвижной базовой точкой внешнее умножение на $β_{G}$ задаёт естественный изоморфизм

{\tilde{K}}_{G} (X) \to_{≅}^{a \mapsto β_{G} * a} {\tilde{K}}_{G} (S^{2} \land X)

На сфере $S^{2}$ группа действует тривиально, поэтому правая часть — эквивариантная K-теория двойной надстройки $Σ^{2} X$ .

Если у $X$ нет выбранной неподвижной точки, добавим новую точку, фиксируемую всей группой: $X_{+} = X ⊔ {*}$ . Расслоение над дизъюнктным объединением задаётся независимо над двумя компонентами, поэтому

K_{G} (X_{+}) ≅ K_{G} (X) \oplus R (G)

Ограничение на добавленную точку — это проекция на слагаемое $R (G)$ , а её ядро равно $K_{G} (X)$ . Следовательно, $K_{G} (X) ≅ {\tilde{K}}_{G} (X_{+})$ , и основанная теорема даёт явный изоморфизм

K_{G} (X) ≅ {\tilde{K}}_{G} (X_{+})

{\tilde{K}}_{G} (X_{+}) ≅ {\tilde{K}}_{G} (S^{2} \land X_{+})

Второй изоморфизм отправляет $a$ во внешнее произведение $β_{G} * a$ .

Доказательство повторяет два шага обычной периодичности: проективная прямая оставляет два коэффициента, а ограничения на букете сохраняют только редуцированный коэффициент при элементе Ботта. Групповое действие меняет сами коэффициенты — теперь они лежат в $K_{G} (X)$ и помнят действия стабилизаторов.

Эквивариантная K-теория

Действие группы связывает точки одной орбиты

G-пространство

Поднятое действие удовлетворяет двум условиям

G-векторное расслоение

Выполнены ли оба условия подъёма?