Глава 7 · Теорема периодичности Ботта

Теорема периодичности Ботта

Сфера $S^{2}$ не усложняет комплексную K-теорию, а сдвигает её на две топологические размерности. Чтобы сформулировать это точно, мы сначала отделим ранг расслоения от данных его склейки. Затем построим произведение классов с разных пространств, которое сохраняет только их совместный вклад, и найдём на $S^{2}$ единственный подходящий множитель с точностью до знака. Умножение на этот класс и окажется оператором периодичности.

Как удалить из K(X) информацию о ранге

Для мотивации сначала считаем $X$ связным, так что ранг расслоения постоянен. Само определение ниже работает для любого пространства с выбранной базовой точкой.

В классе расслоения $[E] \in K (X)$ смешаны две разные характеристики. Первая — размерность слоя. Вторая — глобальная склейка: локально расслоение выглядит как $U \times C^{r}$ , но на пересечениях областей эти произведения могут отождествляться разными функциями перехода. Поэтому два расслоения одинакового ранга могут быть неизоморфны. Например, расслоение Хопфа $H$ и тривиальная комплексная прямая над $S^{2}$ оба имеют ранг $1$ , но склеены по-разному.

Добавить тривиальное слагаемое означает заменить $E$ на $E \oplus {\underset{―}{C}}^{m}$ : к каждому слою $E_{x}$ приписывается одна и та же копия $C^{m}$ . Ранг возрастает на $m$ , но новых данных о склейке не появляется. Поэтому мы хотим забыть ранг и построить из $[E]$ класс с двумя свойствами:

Он равен нулю для тривиального расслоения.
Он имеет одно и то же значение для $E$ и $E \oplus {\underset{―}{C}}^{m}$ .

Выберем базовую точку $x_{0} \in X$ . Поскольку для мотивации мы пока считаем $X$ связным, размерность слоя не зависит от точки. Пусть $r = \dim_{C} E_{x_{0}}$ . Естественный кандидат — вычесть тривиальное расслоение той же размерности:

[E] - [{\underset{―}{C}}^{r}]

Требуемая устойчивость действительно выполняется. Если добавить к $E$ тривиальное расслоение ранга $m$ , то одновременно на $m$ возрастает и вычитаемый ранг:

[E \oplus {\underset{―}{C}}^{m}] - [{\underset{―}{C}}^{r + m}] = [E] - [{\underset{―}{C}}^{r}]

Значит, нам нужна часть $K (X)$ , состоящая из виртуальных классов нулевого ранга. Осталось научиться извлекать ранг из произвольной разности $[E] - [F]$ .

Ограничение в базовую точку измеряет ранговую часть

Над точкой нет информации о склейке: комплексное векторное расслоение над ней — это просто векторное пространство $C^{n}$ , а его класс определяется только рангом $n$ . Поэтому классы расслоений соответствуют неотрицательным рангам, а их формальные разности — целым числам:

Vect (*) ≅ N, K (*) ≅ Z

Включение $i : {x_{0}} ↪ X$ ограничивает расслоение на его слой над $x_{0}$ . Поскольку K-теория контравариантна, направление стрелки при этом разворачивается. Точка включается в базу $X$ , а обратный образ оставляет от расслоения ровно слой $E_{x_{0}}$ над одноточечным пространством. На уровне K-групп эта операция выглядит так:

i : {x_{0}} ↪ X

i^{*} : K (X) ⟶ K ({x_{0}}) ≅ Z

i^{*} [E] = [E_{x_{0}}]

На виртуальной разности обратный образ берётся отдельно для $E$ и $F$ . После отождествления $K (*) ≅ Z$ результатом становится разность размерностей слоёв:

Ограничиваем расслоения
$i^{*} ([E] - [F]) = [E_{x_{0}}] - [F_{x_{0}}]$
Результат: Переходим к размерностям
$[E_{x_{0}}] - [F_{x_{0}}] ⟷ \dim_{C} E_{x_{0}} - \dim_{C} F_{x_{0}} \in Z$

Таким образом, $i^{*}$ измеряет только разность рангов. Фраза $i^{*} (u) = 0$ означает буквально следующее: если $u = [E] - [F]$ , то $\dim_{C} E_{x_{0}} - \dim_{C} F_{x_{0}} = 0$ . Иными словами, $E$ и $F$ имеют одинаковый ранг. В их формальной разности больше нет различия размерностей; она может хранить лишь различие между способами склейки двух расслоений одинакового ранга.

Редуцированная K-группа (reduced K-group) пространства с базовой точкой — это подгруппа виртуальных классов нулевого ранга в этой точке:

\tilde{K} (X) = \ker i^{*}

\ker i^{*} = {u \in K (X) ∣ i^{*} (u) = 0}

Эквивалентно, класс $[E] - [F]$ принадлежит $\tilde{K} (X)$ , когда $\dim_{C} E_{x_{0}} = \dim_{C} F_{x_{0}}$ . Если $X$ связно, ранги совпадают на всём пространстве. Сам класс при этом не обязан быть нулём: функции перехода у $E$ и $F$ могут различаться.

Разложим K-класс на ранг и редуцированную часть

Пусть $π : X \to *$ — каноническая проекция. Она превращает целое число $n$ в виртуальный класс тривиального расслоения $π^{*} (n)$ . Для любого $u \in K (X)$ положим $n = i^{*} u$ и вычтем эту ранговую часть. Поскольку $π \circ i = {id}_{*}$ , контравариантность даёт $i^{*} π^{*} = {id}_{Z}$ :

u_{0} = u - π^{*} (i^{*} u)

i^{*} (u_{0}) = 0

Следовательно, $u_{0} \in \tilde{K} (X)$ , а $π^{*} (i^{*} u)$ содержит только целочисленный ранг. Каждый K-класс единственным образом распадается на эти две части:

K (X) ≅ \tilde{K} (X) \oplus Z, u = u_{0} + π^{*} (i^{*} u)

Здесь $Z$ — одна общая подгруппа в $K (X)$ , порождённая классом тривиального линейного расслоения, а не отдельный сумманд у каждого класса. Изоморфизм выше означает, что класс $u$ однозначно задаётся парой: редуцированной частью $u_{0}$ и целым числом $i^{*} u$ — его рангом в базовой точке.

Для связного $X$ это можно держать в голове так: $K (X)$ содержит и ранг, и стабильную информацию о склейке, а $\tilde{K} (X)$ забывает ранг и сохраняет только вторую часть — различие между расслоениями, которое не исчезает после добавления тривиальных слагаемых.

Для расслоения $E$ ранга $r$ его редуцированная часть равна $[E] - [{\underset{―}{C}}^{r}]$ . Она может быть ненулевой. Она равна нулю ровно тогда, когда $E$ стабильно эквивалентно тривиальному расслоению того же ранга. Поэтому этот класс измеряет не неопределённое «скручивание», а конкретное препятствие сделать $E$ тривиальным после стабилизации.

Редуцированный класс обращается в ноль при ограничении на базовую точку. Поэтому любая билинейная операция, соединяющая два таких класса, тоже должна давать ноль, как только один из пространственных факторов оказывается в своей базовой точке: соответствующий множитель тогда равен нулю. Значит, результат должен учитывать только информацию, которая зависит одновременно от обоих факторов. Прежде чем определять умножение классов, нужно найти пространство, выражающее именно это условие.

Как оставить только совместную часть двух пространств

Пусть у пространств $X$ и $Y$ выбраны базовые точки. Мы хотим построить из них новое пространство, в котором останется только информация, зависящая сразу от обоих множителей. Главная проверка — сферы: их размерности должны складываться. Если временно обозначить искомую операцию через $⋆$ , требование имеет вид

S^{n} ⋆ S^{m} ≅ S^{n + m}

Обычное декартово произведение эту проверку не проходит уже для двух окружностей: $S^{1} \times S^{1} = T^{2} ≇ S^{2}$ . Вместо 2-сферы получается тор. В его клеточном разбиении есть одна 0-мерная клетка, две 1-мерные клетки и одна 2-мерная клетка. У сферы $S^{2}$ остались бы только 0- и 2-мерная клетки. Значит, отличия от сферы создают две координатные окружности — меридиан и параллель.

Почему в общем случае нужно схлопывать именно их аналог, а не какое-то другое подпространство? Пусть $X$ и $Y$ — клеточные пространства с выбранными базовыми 0-клетками $x_{0}$ и $y_{0}$ . Остальные клетки $X$ обозначим через $e_{α}$ , а клетки $Y$ — через $e_{β}$ .

Клеточная структура $X \times Y$ строится из всех возможных пар клеток: для каждой клетки $e \subset X$ и каждой клетки $f \subset Y$ в произведении появляется клетка $e \times f$ . Ни одна пара не пропускается, а размерности множителей складываются:

\dim (e_{α} \times e_{β}) = \dim e_{α} + \dim e_{β}

На первом этапе найдите клетки, у которых хотя бы одна координата является базовой точкой. До перехода к фактору решите, какие из них должны исчезнуть как отдельные клетки. Проверьте ответ на двух следующих этапах.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Клетки $x_{0} \times y_{0}$ , $e_{α} \times y_{0}$ и $x_{0} \times e_{β}$ — это полный набор клеток, у которых хотя бы один множитель является базовой точкой. Их объединение равно

X \lor Y = (X \times {y_{0}}) \cup ({x_{0}} \times Y)

Поэтому букет не угадывают по картинке и не выбирают ради желаемого ответа. Он состоит в точности из клеток, где один из двух факторов остался базовой точкой и потому не повысил размерность. Такая клетка зависит только от одного пространства. Искомая конструкция должна учитывать лишь клетки, в размерность которых внесли вклад оба множителя, поэтому весь букет в ней играет роль одной базовой точки.

Схлопывание оставляет только смешанные клетки

Смэш-произведение стягивает весь букет в новую базовую точку:

X \land Y = (X \times Y) / (X \lor Y)

X \lor Y = (X \times {y_{0}}) \cup ({x_{0}} \times Y)

В фактор-пространстве исчезают клетки первых трёх типов, а смешанные клетки $e_{α} \times e_{β}$ сохраняются. Это не означает, что результат всегда является сферой или даже многообразием: для сложных $X$ и $Y$ смешанных клеток может быть много, и их приклеивания сохраняют всю комбинаторику.

Почему сферы перемножаются без остатка

Сфера имеет минимальное клеточное строение $S^{n} = e^{0} \cup e^{n}$ . Поэтому в $S^{n} \times S^{m}$ возникают ровно четыре клетки:

e^{0} \times e^{0}, e^{n} \times e^{0}, e^{0} \times e^{m}, e^{n} \times e^{m}

Первые три образуют букет и схлопываются в одну 0-клетку. Остаётся одна клетка размерности $n + m$ . Замыкание этой смешанной клетки гомеоморфно $D^{n} \times D^{m} ≅ D^{n + m}$ , а вся его граница лежит в клетках, где хотя бы один множитель попал в базовую точку. Значит, при схлопывании букета граница становится одной точкой:

S^{n} \land S^{m} ≅ D^{n + m} / \partial D^{n + m} ≅ S^{n + m}

В частности, $S^{1} \land S^{1} ≅ S^{2}$ : у тора схлопываются обе 1-мерные координатные окружности, и выживает его 2-мерная клетка. Кроме того, приведённая надстройка (reduced suspension) любого пространства с базовой точкой задаётся формулой $Σ X = S^{1} \land X$ .

Цель главы — сравнить $\tilde{K} (X)$ с $\tilde{K} (Σ^{2} X)$ . Поскольку $Σ^{2} X ≅ S^{2} \land X$ , для такого сравнения нужно научиться соединять класс на $S^{2}$ с классом на $X$ и получать класс на смэш-произведении. Сначала построим эту операцию для произвольных пространств $X$ и $Y$ .

Как перемножить классы с разных пространств

В главе 6 тензорное произведение расслоений уже превратило $K (Z)$ в кольцо для каждого пространства $Z$ : перемножать можно классы над одной и той же базой. Здесь классы исходно живут над разными пространствами, поэтому сначала перенесём их на общую базу $X \times Y$ , а затем применим уже определённое умножение.

Пусть $E \to X$ и $F \to Y$ — комплексные векторные расслоения, а $π_{X} : X \times Y \to X$ и $π_{Y} : X \times Y \to Y$ — проекции. Над точкой $(x, y)$ слой поднятого расслоения $π_{X}^{*} E$ равен $E_{x}$ , а слой $π_{Y}^{*} F$ равен $F_{y}$ . Их тензорное произведение имеет слой

(π_{X}^{*} E \otimes π_{Y}^{*} F)_{(x, y)} = E_{x} \otimes F_{y}

Это расслоение живёт над $X \times Y$ . Его класс называют внешним произведением (external product) классов $[E]$ и $[F]$ . Для виртуальных классов та же операция продолжается по линейности и записывается

a ⊠ b = π_{X}^{*} a \cdot π_{Y}^{*} b \in K (X \times Y)

Слово «внешнее» подчёркивает, что исходные классы живут на разных пространствах, а результат — на их декартовом произведении. При внутреннем произведении оба класса живут на одном пространстве $X$ , и результат остаётся в $K (X)$ .

Обозначим включения базовых точек через $i_{X} : {x_{0}} ↪ X$ и $i_{Y} : {y_{0}} ↪ Y$ . Условия $a \in \tilde{K} (X)$ и $b \in \tilde{K} (Y)$ означают

i_{X}^{*} a = 0, i_{Y}^{*} b = 0

Положим $c = a ⊠ b = π_{X}^{*} a \cdot π_{Y}^{*} b \in K (X \times Y)$ . Чтобы увидеть роль каждого условия редуцированности отдельно, будем по очереди включать и выключать их. Координатные оси обозначим через $j_{X} (x) = (x, y_{0})$ и $j_{Y} (y) = (x_{0}, y)$ , а канонические отображения в точку — через $p_{X} : X \to *$ и $p_{Y} : Y \to *$ .

Сначала оставьте редуцированным только один класс и определите, на какой оси ограничение обязано исчезнуть. Поменяйте классы ролями, затем включите оба условия. Достаточно ли одного из них для спуска на весь смэш?

X \times Y

X

Y

*

Описание текущего рисунка

Декартово произведение X на Y: Область
Ось X на базовую точку Y гарантированно занулена: Прямая или отрезок
Ось базовая точка X на Y гарантированно занулена: Прямая или отрезок
Общая базовая точка двух осей: Точка

$j_{X}^{*} c = a p_{X}^{*} (i_{Y}^{*} b) = 0$
$j_{Y}^{*} c = p_{Y}^{*} (i_{X}^{*} a) b = 0$
$c |_{X \lor Y} = 0$

весь букет занулён

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Действительно, композиция $π_{Y} \circ j_{X}$ постоянна и принимает значение $y_{0}$ . Поэтому на оси $X \times {y_{0}}$ второй множитель заменяется на $p_{X}^{*} (i_{Y}^{*} b)$ и обращается в ноль, если $b$ редуцирован. На другой оси ту же роль играет $i_{X}^{*} a$ . Таким образом, при двух условиях редуцированности получаем $c |_{X \lor Y} = 0$ .

Равенство нулю на букете показывает, где произведение должно исчезнуть, но само по себе ещё не даёт класс на факторе. Для этого нужны согласованные стабильные тривиализации на обеих осях. Редуцированные классы $a$ и $b$ дают такие тривиализации в базовых точках. После общей стабилизации их можно согласовать в точке $(x_{0}, y_{0})$ : расхождение задаётся матрицей из $G L_{N} (C)$ , а это пространство линейно связно. Получается одна стабильная тривиализация на всём букете.

Класс на $X \times Y$ вместе с согласованной стабильной тривиализацией на $X \lor Y$ определяет класс на факторе $X \land Y$ . Полученный из $a ⊠ b$ класс обозначается $a * b$ . Тем самым получаем билинейное отображение

\tilde{K} (X) \otimes \tilde{K} (Y) ⟶ \tilde{K} (X \land Y)

a \otimes b ⟼ a * b

Произведение согласовано с отображениями базированных пространств. Для $f : X^{'} \to X$ выполняется

({id}_{Y} \land f)^{*} (b * a) = b * f^{*} a

Теперь зафиксируем первым пространством двумерную сферу. Каждый класс $b \in \tilde{K} (S^{2})$ задаёт для любого $X$ отображение в K-теорию двойной надстройки:

Подставляем сферу
$\tilde{K} (S^{2}) \otimes \tilde{K} (X) ⟶ \tilde{K} (S^{2} \land X)$
Узнаём двойную надстройку
$S^{2} \land X ≅ Σ^{2} X$
Результат: Фиксируем множитель
$μ_{b}^{X} : a ⟼ b * a$

Итак, топологическая задача о двумерном сдвиге свелась к точному алгебраическому вопросу: какой класс $b$ нужно выбрать, чтобы отображение $μ_{b}^{X}$ могло быть изоморфизмом для каждого пространства $X$ ?

Как выбрать множитель для двумерного сдвига

Простейшая проверка уже заставляет выбрать генератор. Пусть $S^{0} = {*, 1}$ , где $*$ — базовая точка. Обозначим через $e \in \tilde{K} (S^{0})$ виртуальный класс ранга $0$ над $*$ и ранга $1$ над второй точкой. Тогда $\tilde{K} (S^{0}) = Z \cdot e$ и $S^{2} \land S^{0} ≅ S^{2}$ . Отображение $μ_{b}^{S^{0}}$ посылает $e$ в $b$ . Поэтому оно может быть изоморфизмом лишь тогда, когда $b$ само порождает группу $\tilde{K} (S^{2})$ .

Отождествим $S^{2}$ с комплексной проективной прямой ${CP}^{1}$ и воспользуемся уже построенным тавтологическим расслоением.

На ${CP}^{1}$ его обозначим через $H$ . Для сравнения, $1 = {CP}^{1} \times C$ — тривиальное линейное расслоение, у которого над каждой точкой стоит одна и та же фиксированная копия $C$ . Оба расслоения имеют ранг один, поэтому их виртуальная разность имеет ранг ноль.

В предыдущей главе функция склейки $H$ на экваторе имела число намотки $1$ , а у постоянной функции склейки $1$ оно равно $0$ . Поэтому разность $[H] - [1]$ порождает часть $K (S^{2})$ нулевого ранга:

K (S^{2}) = Z \cdot [1] \oplus Z \cdot ([H] - [1])

\tilde{K} (S^{2}) = Z \cdot ([H] - [1])

Если взять $b = m ([H] - [1])$ , то проверка на $S^{0}$ превратит $μ_{b}^{S^{0}}$ в умножение на $m$ . В следующей проверке можно увидеть отдельно препятствие к инъективности и препятствие к сюръективности.

Сравните множители нуль, два, единицу и отрицательную единицу. Для каждого отдельно ответьте на два вопроса: склеиваются ли разные целые и достигается ли каждое целое? Прохождение этой проверки ещё не доказывает периодичность для всех пространств.

b = 1 β

Аргументы kℤk ↦ kЗначения mkℤ

Видимая часть отображения

…
−2−2
−1−1
00
11
22
…

Целевая решётка в окне

…
−2
−1
0
1
2
…

Ядро: {0}
Образ в окне: −2, −1, 0, 1, 2
Пропущено в окне: нет
Изоморфизм: да

Проверка на S⁰Каждое целое значение имеет единственный прообраз: отображение является изоморфизмом.Проверка на S⁰ ещё не доказывает периодичность для произвольного X.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Таким образом, проверка на $S^{0}$ оставляет два кандидата, различающихся знаком. Она ещё не показывает, что любой из них работает для произвольного пространства $X$ . Число намотки $+ 1$ фиксирует знак и выделяет следующий класс.

β = [H] - [1] \in \tilde{K} (S^{2})

Класс $β$ называется элементом Ботта (Bott element). Здесь $H$ — каноническое линейное расслоение, а $1$ — тривиальное линейное расслоение над $S^{2}$ .

Слово «элемент» здесь означает элемент абелевой группы $\tilde{K} (S^{2})$ , а не точку сферы и не новое расслоение. Символ $[H] - [1]$ — формальная разность в группе Гротендика: мы сравниваем нетривиальное линейное расслоение $H$ с тривиальным линейным расслоением того же ранга. Ранги сокращаются, а вычисленное ранее различие функций склейки остаётся.

Итак, проверка на $S^{0}$ оставила единственного кандидата с точностью до знака. Она ещё не доказывает, что отображение $a \mapsto β * a$ обратимо для произвольного $X$ . Утверждение, что необходимое условие оказывается достаточным для всех пространств, и есть теорема периодичности Ботта.

Необходимый выбор оказывается достаточным

Специализируем построенное семейство $μ_{b}^{X}$ на выбранном генераторе $β$ . Обозначив проекции $S^{2} \times X$ на множители через $p_{S^{2}}$ и $p_{X}$ , можно напомнить конструкцию одной формулой:

β ⊠ a = p_{S^{2}}^{*} β \cdot p_{X}^{*} a \in K (S^{2} \times X)

Согласованная стабильная тривиализация на $S^{2} \lor X$ превращает этот абсолютный класс в $S^{2} \land X$ ; это и есть уже определённый класс $β * a$ . Пока это лишь способ по каждому классу $a$ построить новый класс:

a ⟼ β * a, \tilde{K} (X) ⟶ \tilde{K} (S^{2} \land X)

Из самой формулы не следует ни инъективность, ни сюръективность. Инъективность означала бы, что из $β * a = 0$ непременно следует $a = 0$ . Сюръективность — отдельное утверждение: любой класс $c \in \tilde{K} (S^{2} \land X)$ — не только классы, заранее построенные внешним произведением, — должен иметь вид $c = β * a$ для некоторого $a \in \tilde{K} (X)$ . Именно эти два утверждения содержит теорема.

Для любого компактного хаусдорфова пространства с базовой точкой отображение $a \mapsto β * a$ является естественным изоморфизмом

β_{X} : \tilde{K} (X) \overset{≅}{\to} \tilde{K} (S^{2} \land X), a ⟼ β * a

Так как $S^{2} \land X ≅ Σ^{2} X$ , правая часть — K-теория двойной надстройки $X$ .

Именно поэтому $β$ называют элементом Ботта: операция $a \mapsto β * a$ реализует двухмерный сдвиг $X \mapsto Σ^{2} X$ .

В частности, при $X = S^{2}$ теорема переводит генератор $β \in \tilde{K} (S^{2})$ в генератор $β * β \in \tilde{K} (S^{4})$ . Поэтому внешнее произведение $β$ с самим собой не равно нулю, хотя внутреннее произведение $β^{2}$ в $K (S^{2})$ равно нулю.

Слово «естественный» означает совместимость с заменой пространства. Для отображения базированных пространств $f : X \to Y$ оба пути в следующем квадрате дают класс $β * f^{*} a$ :

β_{X}

β_{Y}

f^{*}

(1 \land f)^{*}

Объекты и связи диаграммы

редуцированная K-группа пространства X: Абелева группа редуцированных виртуальных классов над $X$ .
редуцированная K-группа пространства Y: Абелева группа редуцированных виртуальных классов над $Y$ .
редуцированная K-группа смэш-произведения S2 и X: Редуцированная K-группа двойной надстройки $X$ .
редуцированная K-группа смэш-произведения S2 и Y: Редуцированная K-группа двойной надстройки $Y$ .
изоморфизм Ботта бета X: От «редуцированная K-группа пространства X» к «редуцированная K-группа смэш-произведения S2 и X».Изоморфизм Ботта над $X$ . Коммутативность квадрата выражает естественность.
изоморфизм Ботта бета Y: От «редуцированная K-группа пространства Y» к «редуцированная K-группа смэш-произведения S2 и Y».Изоморфизм Ботта: внешнее умножение класса над $Y$ на элемент $β$ .
обратный образ вдоль f: От «редуцированная K-группа пространства Y» к «редуцированная K-группа пространства X».Обратный образ редуцированных K-классов вдоль отображения $f$ .
обратный образ вдоль смэш-произведения тождества S2 и f: От «редуцированная K-группа смэш-произведения S2 и Y» к «редуцированная K-группа смэш-произведения S2 и X».Обратный образ вдоль отображения, действующего тождественно на $S^{2}$ и как $f$ на втором множителе.

Главный вопрос теперь распался на два. Почему умножение на $β$ не уничтожает ненулевые классы? И почему каждый класс над двойной надстройкой получается таким умножением? Второй вопрос особенно неочевиден: произвольный класс над $S^{2} \land X$ внешне вовсе не обязан выглядеть как произведение. Техническое ядро доказательства состоит в вычислении всей K-теории пространства $S^{2} \times X$ . После этого условия на схлопнутом букете не просто укажут кандидата: они позволят построить прообраз произвольного класса и доказать его единственность.

Разложение над произведением даёт существование и единственность прообраза

Обозначим через $q : S^{2} \times X \to S^{2} \land X$ фактор-отображение, схлопывающее букет $S^{2} \lor X$ , а через $j : S^{2} \lor X ↪ S^{2} \times X$ — его включение. Сначала нужен один содержательный результат о расслоениях над произведением со сферой.

Для компактного хаусдорфова пространства $X$ обозначим проекции произведения через $p_{S^{2}}$ и $p_{X}$ , а через $u = p_{S^{2}}^{*} β$ — перенесённый класс Ботта. Тогда отображение

Φ_{X} : K (X) \oplus K (X) \overset{≅}{\to} K (S^{2} \times X)

Φ_{X} (a_{0}, a_{1}) = p_{X}^{*} a_{0} + u p_{X}^{*} a_{1}

Именно это разложение является техническим ядром доказательства периодичности. Его доказывают, разрезая сферу на два диска и анализируя стабильные функции склейки над экватором. Результат говорит, что каждый абсолютный класс над $S^{2} \times X$ единственным образом имеет два коэффициента из $K (X)$ . Дальнейший переход от этого разложения к теореме Ботта уже можно выполнить явно.

Обратный образ вдоль $q$ задаёт инъективное отображение

q^{*} : \tilde{K} (S^{2} \land X) ↪ K (S^{2} \times X)

im q^{*} = \ker j^{*}

Класс на факторе можно прочитать как класс на произведении со стабильной тривиализацией на букете. Поэтому его абсолютная тень ограничивается нулём на букете, что даёт включение образа в ядро. Обратно, нулевое ограничение после стабилизации позволяет выбрать такую тривиализацию.

Остаётся понять инъективность. Две стабильные тривиализации одного класса различаются автоморфизмом $g : S^{2} \lor X \to G L_{N} (C)$ . После нормировки в базовой точке он задаётся двумя отображениями $g_{S^{2}}$ и $g_{X}$ . Формула

G (s, x) = g_{S^{2}} (s) g_{X} (x)

продолжает их с букета на всё произведение: на $S^{2} \times {x_{0}}$ она равна $g_{S^{2}}$ , а на ${s_{0}} \times X$ — $g_{X}$ . Поэтому разные выборы тривиализации не создают двух классов с одной абсолютной тенью.

Теперь возьмём произвольный класс $c \in \tilde{K} (S^{2} \land X)$ . Его абсолютную тень обозначим через $\bar{c} = q^{*} c$ . По разложению над произведением она имеет единственные коэффициенты $a_{0}, a_{1} \in K (X)$ . Пусть $s_{0} \in S^{2}$ и $x_{0} \in X$ — базовые точки. Поскольку $\bar{c}$ лежит в $\ker j^{*}$ , оба его ограничения на части букета равны нулю. Проследим, как эти два равенства сначала определяют коэффициенты, а затем дают прообраз класса $c$ .

Проходите извлечение прообраза по одному шагу. Перед открытием следующего определите, какой коэффициент ограничивает очередное условие. На последнем шаге отделите существование прообраза от его единственности.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Первое ограничение действительно зануляет $a_{0}$ . Во втором используется то, что $β$ порождает свободную группу $\tilde{K} (S^{2}) ≅ Z$ : произведение целого числа на $β$ равно нулю только для нулевого числа. Поэтому $a_{1}$ является редуцированным классом. После этого равенство абсолютных теней $q^{*} (β * a_{1}) = q^{*} c$ и инъективность $q^{*}$ дают $c = β * a_{1}$ . Так для произвольного $c$ построен прообраз, то есть доказана сюръективность.

Наконец, если $β * a = β * a^{'}$ , то после применения $q^{*}$ получаются два разложения одного абсолютного класса с коэффициентами $a$ и $a^{'}$ при $u$ . Единственность коэффициентов в $Φ_{X}$ даёт $a = a^{'}$ . Это инъективность. Значит, разложение над $S^{2} \times X$ доказывает обе половины теоремы Ботта.

Теперь периодичность можно использовать как вычислительный инструмент.

На сферах ответ зависит только от чётности размерности

Периодичность сдвигает размерность на два, поэтому для всех сфер достаточно одного чётного и одного нечётного начального случая. Чётный случай уже появился при выборе множителя: $\tilde{K} (S^{0}) ≅ Z$ . Осталось вычислить нечётный случай.

Теперь разрежем $S^{1}$ в базовой точке. Над получившимся интервалом любое расслоение тривиально, а склейка его концов задаётся матрицей $A \in G L_{r} (C)$ . Пространство $G L_{r} (C)$ линейно связно, поэтому $A$ можно соединить путём с единичной матрицей. Склейка деформируется в тождественную, следовательно, всякое комплексное расслоение над окружностью тривиально. Поэтому $K (S^{1}) ≅ Z$ и $\tilde{K} (S^{1}) = 0$ .

Эти два начальных значения вместе с периодичностью определяют все последующие сферы. Для $m \geq 0$

Редуцированные K-группы чётных и нечётных сфер
сфера	редуцированная группа	генератор
$S^{2 m}$	$\tilde{K} (S^{2 m}) ≅ Z$	$β^{* m}$
$S^{2 m + 1}$	$\tilde{K} (S^{2 m + 1}) = 0$	—

Здесь $β^{* m}$ означает внешнее смэш-произведение $m$ копий элемента Ботта, а не степень внутри одного кольца $K (S^{2})$ . При $m = 0$ пустое произведение означает генератор $1 \in \tilde{K} (S^{0})$ . Возвращая свободное слагаемое ранга, получаем

K (S^{2 m}) ≅ Z \oplus Z, K (S^{2 m + 1}) ≅ Z

Для отдельных сфер ответ теперь полностью определяется чётностью. Чтобы та же закономерность работала для произвольного пространства, удобно превратить надстройки в степени одной градуированной теории.

Как повторение надстроек упаковать в одну запись

Для пространства без выбранной базовой точки добавим отдельную точку $X_{+} = X ⊔ {*}$ . Расслоение над дизъюнктным объединением задаётся независимо на двух компонентах, поэтому

K (X_{+}) ≅ K (X) \oplus K (*) ≅ K (X) \oplus Z

Ограничение на добавленную точку — проекция на слагаемое $Z$ . Его ядро равно $K (X)$ , откуда $\tilde{K} (X_{+}) ≅ K (X)$ . Теперь надстройки позволяют определить неположительные степени:

K^{- n} (X) = \tilde{K} (Σ^{n} X_{+}), n \geq 0

При $n = 0$ получаем обычную группу $K^{0} (X) = K (X)$ , а при $n = 1$ — первую нечётную группу $K^{- 1} (X) = \tilde{K} (Σ X_{+})$ . Применяя теорему Ботта к $Σ^{n} X_{+}$ , получаем для $n \geq 0$

K^{- n} (X) ≅ K^{- (n + 2)} (X)

Сначала этот изоморфизм сдвигает уже определённые степени вниз на два. Поскольку он обратим, обратные отображения позволяют продолжить обозначения вверх. Для произвольного $q \in Z$ выбирают достаточно большое $m$ , чтобы $q - 2 m \leq 0$ , и определяют $K^{q} (X)$ переносом группы $K^{q - 2 m} (X)$ вверх по обратным изоморфизмам. Результат не зависит от $m$ , поскольку повторное внешнее умножение на $β$ ассоциативно и все переходы согласованы.

В частности, нечётную группу можно одинаково обозначать $K^{1} (X)$ или $K^{- 1} (X)$ . Для всех $q, r \in Z$ получаем

K^{q + 2} (X) ≅ K^{q} (X)

K^{2 r} (X) ≅ K^{0} (X)

K^{2 r + 1} (X) ≅ K^{1} (X)

Теорема периодичности Ботта

Как удалить из K(X) информацию о ранге

Ограничение в базовую точку измеряет ранговую часть

Редуцированная K-группа

Разложим K-класс на ранг и редуцированную часть

Как оставить только совместную часть двух пространств

Какие клетки переживают схлопывание

Схлопывание оставляет только смешанные клетки

Почему сферы перемножаются без остатка

Как перемножить классы с разных пространств

Каждое условие редуцированности зануляет одну ось

Редуцированное внешнее произведение

Как выбрать множитель для двумерного сдвига

Какой кратный класс может задавать периодичность

Видимая часть отображения

Целевая решётка в окне

Элемент Ботта

Необходимый выбор оказывается достаточным