Глава 9 · Относительная K-теория

Относительная K-теория

Равенство ограничения нулю сообщает, что два расслоения над $Y$ стабильно изоморфны, но не запоминает выбранный изоморфизм. Относительная K-теория сохраняет именно это недостающее свидетельство. Мы увидим его сначала на границе диска, затем определим классы тройками $(E_{1}, E_{0}, α)$ , разберём роль гомотопии $α$ и только после этого свяжем относительную группу с редуцированной K-теорией фактор-пространства.

Нулевое ограничение не помнит способ зануления

На протяжении главы $X$ — компактное хаусдорфово пространство, а $Y \subseteq X$ — непустое замкнутое подпространство. Для базовой точки редуцированная группа была определена как ядро ограничения. Попробуем заменить точку этим подпространством и повторить ту же формулу. Если $u = [E_{0}] - [E_{1}] \in K (X)$ ограничивается в ноль на $Y$ , то после добавления одного и того же вспомогательного расслоения ограничения становятся изоморфны:

u |_{Y} = 0 ⟹ E_{1} |_{Y} \oplus G \overset{≅}{\to} E_{0} |_{Y} \oplus G

Добавив к $G$ дополнительное расслоение, можно заменить $G$ тривиальным стабилизирующим слагаемым. Тривиальное расслоение продолжается с $Y$ на всё $X$ , поэтому после замены обоих $E_{i}$ на стабилизированные расслоения мы действительно получаем изоморфизм $E_{1} |_{Y} ≅ E_{0} |_{Y}$ . Но в ядре остаётся только факт его существования. Сам изоморфизм исчезает.

Для одной точки эта потеря безобидна: две обратимые комплексные матрицы соединяются путём. Над пространством $Y$ изоморфизм является сечением расслоения $Iso (E_{1} |_{Y}, E_{0} |_{Y})$ . В локальных тривиализациях он задаётся непрерывным семейством матриц, но глобально разные такие сечения могут не деформироваться друг в друга.

Простейший пример возникает на паре $(D^{2}, S^{1})$ . Возьмём тривиальную комплексную прямую на диске. На границе её можно отождествить со стандартной прямой отображением

τ_{n} (e^{i θ}, z) = (e^{i θ}, e^{i n θ} z), n \in Z

При любом $n$ расслоение на диске одно и то же. Однако $τ_{n}$ продолжается с окружности на диск только при $n = 0$ : препятствием служит число оборотов. Значит, искомая группа должна хранить не только разность расслоений, но и выбранный способ отождествить $E_{1} |_{Y}$ с $E_{0} |_{Y}$ .

Разность на подпространстве нужно снабдить выбранным изоморфизмом

Положительный и отрицательный члены виртуальной разности обозначим через $E_{0}$ и $E_{1}$ . Чтобы разность была занулена над $Y$ , добавим к ней выбранный изоморфизм ограничений:

(E_{1}, E_{0}, α), α : E_{1} |_{Y} \overset{≅}{\to} E_{0} |_{Y}

Тройка хранит абсолютную разность $[E_{0}] - [E_{1}]$ и конкретное свидетельство того, что её ограничение на $Y$ равно нулю. Теперь нужно указать, когда две тройки выражают одну и ту же относительную информацию.

Относительная K-группа (relative K-group) $K (X, Y)$ порождается тройками $(E_{1}, E_{0}, α)$ со следующими отношениями.

Прямая сумма. Выполняется отношение $(E_{1}, E_{0}, α) \oplus (F_{1}, F_{0}, β) = (E_{1} \oplus F_{1}, E_{0} \oplus F_{0}, α \oplus β)$ , а класс этой суммы равен сумме классов двух троек.
Изоморфизм троек. Замены координат $ϕ_{i} : E_{i} \to E_{i}^{'}$ не меняют класс, если над $Y$ выполняется $α^{'} ϕ_{1} = ϕ_{0} α$ .
Гомотопия. Если $α_{t} : E_{1} |_{Y} \to E_{0} |_{Y}$ непрерывно зависит от $t \in I$ и остаётся изоморфизмом, то $α_{0}$ и $α_{1}$ задают один класс.
Продолжаемая тройка. Если $α$ является ограничением глобального изоморфизма $\tilde{α} : E_{1} \overset{≅}{\to} E_{0}$ , то тройка объявляется нулевой.

Эквивалентно, разрешается стабилизировать тройку прямой суммой с продолжаемыми тройками. Противоположный класс представляется тройкой с переставленными расслоениями и обратным изоморфизмом: $- [E_{1}, E_{0}, α] = [E_{0}, E_{1}, α^{- 1}]$ . Гомотопическое отношение существенно: относительный класс зависит от компоненты пространства выбранных изоморфизмов, но не от конкретной точки внутри этой компоненты.

Проведите параметр от начала до конца пути и проследите множитель тривиализации. Может ли он стать нулевым? Объясните, почему разные конечные тривиализации в этом опыте всё же задают один относительный класс.

G L_{1} (C)

0,00

τ_{t}

τ_{0}

τ_{1}

Описание текущего рисунка

Положение объектов можно менять с клавиатуры через параметры виджета: стрелками — на один шаг, Home и End — к границам диапазона.

Путь тривиализаций: Прямая или отрезок
Пройденная часть гомотопии: Прямая или отрезок. Начало: точка на объекте «Путь тривиализаций». Конец: точка на объекте «Путь тривиализаций».. Вырожденное положение.
Начальная тривиализация тау ноль: Точка
Конечная тривиализация тау один: Точка
Текущая тривиализация тау t: Точка. Управление: Параметр t.

τ_{t} (z) = e^{3 π i t / 4} z, [E, τ_{t}] = [E, τ_{0}]

относительный класс не меняется

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Забывание $α$ оставляет обычную разность $[E_{0}] - [E_{1}]$ . Однако определение не разрешает забыть $α$ внутри относительной группы: разные негомотопные изоморфизмы могут задавать разные классы при одной и той же разности.

После стабилизации тройка становится одним расслоением с тривиализацией

Тройка симметрично хранит два расслоения, но для геометрии удобнее оставить одно. Выберем дополнительное расслоение $E_{1}^{⟂}$ и изоморфизм $β : E_{1} \oplus E_{1}^{⟂} \overset{≅}{\to} {\underset{―}{C}}^{N}$ . Такое дополнение существует для расслоений над компактным пространством. Добавим продолжаемую тройку $(E_{1}^{⟂}, E_{1}^{⟂}, id)$ и положим $E = E_{0} \oplus E_{1}^{⟂}$ .

Добавляем продолжаемую тройку
$(E_{1}, E_{0}, α) \sim (E_{1} \oplus E_{1}^{⟂}, E_{0} \oplus E_{1}^{⟂}, α \oplus id)$
Результат: Тривиализуем отрицательный член
$(E_{1} \oplus E_{1}^{⟂}, E_{0} \oplus E_{1}^{⟂}, α \oplus id) ≅ ({\underset{―}{C}}^{N}, E, τ^{- 1})$

Тривиализация оставшегося расслоения над $Y$ равна

τ = β |_{Y} \circ (α \oplus id)^{- 1} : E |_{Y} \overset{≅}{\to} Y \times C^{N}

Каждый относительный класс можно представить парой $(E, τ)$ , где $E \to X$ — расслоение, а $τ : E |_{Y} \overset{≅}{\to} Y \times C^{N}$ — выбранная тривиализация над $Y$ . Пара означает тройку $({\underset{―}{C}}^{N}, E, τ^{- 1})$ и имеет абсолютную разность $[E] - [{\underset{―}{C}}^{N}]$ .

Пара является нулевой, если после добавления тривиального слагаемого её тривиализация гомотопна ограничению глобальной тривиализации. Над большим $Y$ это условие может не выполняться даже для тривиального $E$ .

Забываем выбранный изоморфизм

Обозначим включение через $i : Y ↪ X$ . У каждой тройки есть обычный K-класс. Он задаёт гомоморфизм забывания

ρ : K (X, Y) ⟶ K (X)

ρ [E_{1}, E_{0}, α] = [E_{0}] - [E_{1}]

Поскольку $α$ отождествляет ограничения, $ρ$ всегда попадает в ядро ограничения:

im ρ \subseteq \ker (K (X) \overset{i^{*}}{\to} K (Y))

Обратно, если абсолютный класс лежит в ядре, стабилизация из первого раздела даёт изоморфизм ограничений и тем самым относительную тройку над ним. Поэтому на самом деле

im ρ = \ker (K (X) \overset{i^{*}}{\to} K (Y))

Это равенство описывает образ $ρ$ , но не доказывает, что сама относительная группа является ядром. Отображение $ρ$ может не быть инъективным: оно забывает выбранный способ зануления. Пример диска ниже покажет ненулевые классы в его ядре.

Над одной точкой выбранный изоморфизм не добавляет класса

Теперь положим $Y = {x_{0}}$ . Изоморфизм $α$ тогда является одной обратимой матрицей. Пространство $G L_{N} (C)$ линейно связно, поэтому любые два выбора $α$ гомотопны. Именно здесь относительная информация перестаёт быть дополнительной.

Если $u = [E_{0}] - [E_{1}] \in \ker i^{*}$ , то слои $(E_{1})_{x_{0}}$ и $(E_{0})_{x_{0}}$ после стабилизации имеют одинаковую размерность. Выбор изоморфизма между ними поднимает $u$ до относительной тройки. Другой выбор даёт тот же класс благодаря связности $G L_{N} (C)$ .

Обратно, если относительная тройка забывается в нулевой абсолютный класс, после стабилизации существует глобальный изоморфизм $σ : E_{1} \to E_{0}$ . Его значение в $x_{0}$ может отличаться от $α$ , но два значения соединены путём в $G L_{N} (C)$ . Значит, тройка гомотопна продолжаемой и равна нулю.

K (X, {x_{0}}) ≅ \ker i^{*}

i^{*} : K (X) ⟶ K ({x_{0}})

\ker i^{*} = \tilde{K} (X)

В нормальной форме $(E, τ)$ этот изоморфизм забывает $τ$ и отправляет пару в редуцированную часть класса $E$ :

[(E, τ)] ⟼ [E] - [X \times E_{x_{0}}]

На окружности гомотопический класс тривиализации становится числом

Вернёмся к паре $(D^{2}, S^{1})$ из начала главы. Поскольку диск стягиваем, любое комплексное расслоение на нём тривиально. После стабилизации относительный класс можно представить стандартным расслоением $D^{2} \times C^{N}$ и тривиализацией его ограничения на край. В выбранных координатах эта тривиализация является отображением

τ : S^{1} ⟶ G L_{N} (C)

Гомотопия тривиализаций — это обычная гомотопия отображений в $G L_{N} (C)$ . Тривиализация представляет нулевой относительный класс ровно тогда, когда после стабилизации она продолжается на весь диск. Для $N \geq 1$ определитель индуцирует изоморфизм фундаментальных групп

\underset{*}{det} : π_{1} (G L_{N} (C)) \overset{≅}{\to} π_{1} (C^{*}) ≅ Z

Поэтому гомотопический класс $τ$ измеряется числом оборотов его определителя:

wind (det τ) \in Z

Замена тривиализации расслоения на всём диске умножает $τ$ на ограничение отображения $D^{2} \to G L_{N} (C)$ . Определитель такого ограничения имеет нулевое число оборотов, поэтому полученное целое не зависит от выбранных координат. Прямая сумма складывает числа оборотов, а любой целый класс реализуется уже тривиализацией $τ_{n} (z) = z^{n}$ комплексной прямой. Поэтому

K (D^{2}, S^{1}) \overset{≅}{\to} Z, [(E, τ)] ⟼ wind (det τ)

Сравните нулевую намотку с одним оборотом, затем поменяйте направление оборота. В каких случаях семейство продолжается на диск? Объясните, почему переход между целыми числами намотки не является гомотопией петель.

После схлопывания подпространства тривиализация сосредоточена в одной точке

Пара $(E, τ)$ предлагает способ упаковать относительные данные в одно пространство: схлопнуть $Y$ в базовую точку. Обозначим факторное отображение через

q : X ⟶ X / Y, q (Y) = {*}

Одна из двух конструкций работает без дополнительных предположений. Пусть $[F] - [{\underset{―}{C}}^{N}]$ — редуцированный класс на $X / Y$ , представленный расслоением $F$ , и выберем изоморфизм $ν : F_{*} \overset{≅}{\to} C^{N}$ . Обратный образ $q^{*} F$ является расслоением на $X$ . Над $Y$ он естественно отождествляется с $Y \times F_{*}$ , потому что $q |_{Y}$ постоянно; выбранное $ν$ превращает это отождествление в тривиализацию $q^{*} F |_{Y} ≅ Y \times C^{N}$ .

q^{*} F = {(x, f) \in X \times F ∣ q (x) = π (f)}

π_{X} (x, f) = x, \tilde{q} (x, f) = f

\tilde{q}

π

q

π_{X}

Объекты и связи диаграммы

расслоение на фактор-пространстве: Расслоение, представляющее редуцированный класс на фактор-пространстве.
обратный образ расслоения: Расслоение на исходном пространстве, перенесённое с фактор-пространства.
фактор-пространство: Пространство, в котором $Y$ заменено одной базовой точкой.
исходное пространство: Пространство, на которое переносится расслоение.
каноническое отображение тотальных пространств: От «обратный образ расслоения» к «расслоение на фактор-пространстве».Забывает точку новой базы и сохраняет вектор исходного слоя.
проекция исходного расслоения: От «расслоение на фактор-пространстве» к «фактор-пространство».Отправляет вектор в точку фактор-пространства под его слоем.
отображение схлопывания: От «исходное пространство» к «фактор-пространство».Схлопывает всё выделенное подпространство в одну базовую точку.
проекция обратного образа: От «обратный образ расслоения» к «исходное пространство».Забывает вектор и возвращает точку исходного пространства.

После ограничения квадрата на $Y$ все слои становятся одной и той же копией $F_{*}$ :

\tilde{q}

π

q |_{Y}

π_{Y}

Объекты и связи диаграммы

слой над базовой точкой: Единственный слой, который видит подпространство после схлопывания.
ограничение обратного образа: Над подпространством все слои канонически отождествлены.
базовая точка фактор-пространства: Образ всего подпространства после схлопывания.
выделенное подпространство: Подпространство, над которым требуется тривиализация.
каноническое отображение тотальных пространств: От «ограничение обратного образа» к «слой над базовой точкой».Забывает точку новой базы и сохраняет вектор исходного слоя.
проекция исходного расслоения: От «слой над базовой точкой» к «базовая точка фактор-пространства».Отправляет вектор в точку фактор-пространства под его слоем.
отображение схлопывания: От «выделенное подпространство» к «базовая точка фактор-пространства».Схлопывает всё выделенное подпространство в одну базовую точку.
проекция обратного образа: От «ограничение обратного образа» к «выделенное подпространство».Забывает вектор и возвращает точку исходного пространства.

Деформируемая окрестность даёт локальную карту после схлопывания

Чтобы спустить векторное расслоение с $X$ на фактор, нужно построить локальную тривиализацию в окрестности новой точки $*$ . Тривиализация $τ$ пока задана только над $Y$ , поэтому сначала продолжим её на окрестность. Достаточное условие для такого продолжения выглядит так: у $Y$ есть открытая окрестность $N$ и гомотопия $r : N \times I \to X$ такая, что $r (n, 0) = n$ , $r (n, 1) \in Y$ и $r (y, t) = y$ . Иными словами, все точки $N$ переводятся в $Y$ одной гомотопией в $X$ , а само $Y$ остаётся неподвижным. Это выполняется, например, для включения подкомплекса в конечный CW-комплекс.

Возьмём относительную пару $(E, τ)$ и обозначим $r_{t} (n) = r (n, t)$ . Отображение $r_{0} : N \to X$ является включением, а $r_{1} : N \to Y$ принимает значения в $Y$ . Поскольку их соединяет гомотопия $r$ , обратные образы $r_{0}^{*} E = E |_{N}$ и $r_{1}^{*} (E |_{Y})$ изоморфны. Так как $r$ неподвижна на $Y$ , этот изоморфизм можно выбрать согласованным с $τ$ ; следовательно, $τ$ продолжается на $N$ .

Теперь отождествим слои над $Y$ по $τ$ . Продолженная тривиализация превращает полученное расслоение над $q (N)$ в произведение $q (N) \times C^{N}$ , то есть даёт требуемую локальную карту у $*$ . Так получается расслоение на $X / Y$ и его редуцированный класс.

Обратный образ и спуск взаимно обратны после стабилизации и гомотопии тривиализаций. Поэтому для таких пар получаем канонический изоморфизм

K (X, Y) ≅ \tilde{K} (X / Y)

В частности,

K (X, {x_{0}}) ≅ \tilde{K} (X)

K (X, X) = 0

K (D^{n}, S^{n - 1}) ≅ \tilde{K} (S^{n})

Чтобы поместить это равенство в последовательность, нужно сохранить не только группу $\tilde{K} (X / Y)$ , но и стрелки $Y \to X \to X / Y$ . При этом фактор работает в нашем доказательстве благодаря деформируемой окрестности и вообще не определён для произвольной стрелки $Y \to X$ без вложения. Следующая глава решит обе задачи: выразит условие на окрестность через продолжение гомотопии и заменит фактор конусом отображения, определённым даже тогда, когда $Y$ не вложено в $X$ .

Относительная K-теория

Нулевое ограничение не помнит способ зануления

Разность на подпространстве нужно снабдить выбранным изоморфизмом

Относительная K-группа через тройки

Гомотопия тривиализации сохраняет класс

После стабилизации тройка становится одним расслоением с тривиализацией

Забываем выбранный изоморфизм

Над одной точкой выбранный изоморфизм не добавляет класса

Относительная теория точки — редуцированная теория

На окружности гомотопический класс тривиализации становится числом

Намотка вдоль края меняет класс

После схлопывания подпространства тривиализация сосредоточена в одной точке

Деформируемая окрестность даёт локальную карту после схлопывания