Пространство всех выборов

Соглашения

• В основной части достаточно знать комплексные числа, их полярную запись и непрерывность. Термины «слой», «сечение» и «монодромия» вводятся по ходу главы.
• На вещественной и комплексной плоскостях используется обычная топология; пространства решений получают топологию подпространства. Под выбором всюду понимается непрерывный выбор, если не сказано иначе.
• Два приложения независимы от основного рассуждения: первое требует знакомства с гладкими многообразиями, второе — с векторными расслоениями. Читать их для понимания примера с корнем не обязательно.

Когда выбор задаётся одним условием

Уравнение $y^2=4$ имеет два решения: $2$ и $-2$. Однако $\sqrt{4}=2$. Знак квадратного корня обозначает тот ответ, который выделен условием неотрицательности. Это же условие работает для любого неотрицательного параметра.

Определение

Вещественный квадратный корень

Для $x\ge 0$ число $\sqrt{x}$ — единственное неотрицательное решение уравнения $y^2=x$.

Так получается непрерывная функция $x\mapsto \sqrt{x}$ на всей полупрямой $[0,\mathrm{\infty })$. При $x>0$ второе решение равно $-\sqrt{x}$, а при $x=0$ два решения сливаются в одно. Поэтому символ корня обозначает одно число, а не пару ответов.

Для комплексного уравнения $w^2=z$ условие неотрицательности уже не имеет прежнего смысла. Но само отсутствие такого правила ещё ничего не доказывает: возможно, найдётся другое непрерывное правило. Проверить его существование поможет пространство всех решений.

Слой хранит все ответы на один вопрос

Исключим ноль, в котором корни сливаются. Пространство параметров, или базу, обозначим через $X=\mathbb{C}\setminus \{0\}$. Для каждого $z\in X$ уравнение $w^2=z$ имеет ровно два различных решения. Сохраним вместе параметр и любой допустимый ответ:

Проекция забывает ответ и оставляет параметр:

Определение

Пространство выборов и его слой

Здесь пространством выборов называем пространство допустимых пар «параметр — ответ» вместе с проекцией на параметры. Слой (fiber) $E_z=p^{-1}(z)$ состоит из всех пар с данным параметром $z$.

Если $w^2=z$, то $E_z=\{(z,w),(z,-w)\}$. Пока не выбрана ни одна из этих точек. Их равноправие выражается симметрией $(z,w)\mapsto (z,-w)$, сохраняющей проекцию.

В паре $(z,w)$ первое число определяется вторым: $z=w^2$. Поэтому отображение $w\mapsto (w^2,w)$ отождествляет $E$ с проколотой плоскостью корней. В этой координате та же проекция записывается как $q(w)=w^2$. Именно её показывает диаграмма ниже.

На диаграмме оставим четыре значения параметра ${\mu }_4=\{1,i,-1,-i\}$. Их квадратные корни составляют множество ${\mu }_8$ — восемь корней восьмой степени из единицы. Для подписей используем $\zeta =e^{\pi i/4}$, так что ${\zeta }^2=i$. Выберите параметр справа и найдите обе точки его прообраза слева.

До выбора следующего параметра найдите слева оба его квадратных корня. Проверьте ответ выделением слоя, затем повторите для противоположного параметра. Выбрана ли при этом одна ветвь корня или пока только показаны все ответы?

Непрерывный выбор — это сечение

Теперь добавим правило: для каждого $z$ из открытого множества $U\subseteq X$ выберем одну точку слоя, непрерывно зависящую от $z$.

Определение

Сечение проекции

Сечение (section) над $U$ — непрерывное отображение $s:U\to E$, удовлетворяющее условию $p(s(z))=z$ для каждого $z\in U$. При $U=X$ сечение называется глобальным.

В нашем примере $s(z)=(z,r(z))$. Условие сечения означает $r(z{)}^2=z$: функция $r$ и есть непрерывная ветвь квадратного корня (branch of the square root). Пространство $E$ содержит все ответы, а $s$ выбирает по одному.

На плоскости с разрезом $U=\mathbb{C}\setminus (-\mathrm{\infty },0]$ каждый параметр единственным образом записывается как $z=\rho e^{i\theta }$, где $\rho >0$ и $-\pi <\theta <\pi$. При возведении в квадрат модуль возводится в квадрат, а аргумент удваивается. Поэтому для корня берём квадратный корень из модуля и половину аргумента:

Функция $r$ непрерывна на этой области, а возведение в квадрат возвращает $z$. Это главная ветвь квадратного корня. Сменив знак, получим вторую ветвь $-r$. Аналогичный разрез можно провести по другому лучу: поэтому локальная ветвь существует в окрестности любой точки $X$.

Над такой окрестностью две ветви дают две непересекающиеся копии $U$. На каждой копии проекция взаимно однозначна, непрерывна и имеет непрерывное обратное отображение. Это и означает, что $p$ — двулистное накрытие (two-sheeted covering). Речь о двух копиях малой области базы. Всё пространство $E$ при этом связно: мы уже отождествили его с одной проколотой плоскостью.

Один оборот переставляет корни

Возьмём единичную окружность $S^1=\{z\in \mathbb{C}:|z|=1\}$ в базе и начнём в точке $z=1$. Её обход задаётся путём

Выбрав начальный корень $w(0)=1$, можно непрерывно следовать по решениям с помощью $w(t)=e^{\pi it}$. Действительно, $w(t{)}^2=z(t)$ на всём пути. После полного оборота база вернулась в $1$, а корень оказался в $-1$.

До движения решите, вернётся ли корень после одного оборота параметра. Перетащите точку на один оборот, затем на два; после этого смените начальный корень и повторите опыт. Различайте возвращение параметра и возвращение выбранного ответа.

Почему другого непрерывного правила не найдётся

Мы проследили корень по одной явной формуле. Могло ли другое непрерывное правило вернуть его в исходную точку? Предположим, что на всей базе существует непрерывная ветвь $r:X\to \mathbb{C}$, и положим $w(t)=r(z(t))$.

Сравним неизвестный путь $w(t)$ с уже найденным $e^{\pi it}$. Оба числа при возведении в квадрат дают $e^{2\pi it}$, поэтому квадрат их отношения равен единице:

Отношение непрерывно и принимает только значения $1$ и $-1$. На всём отрезке оно должно быть постоянным: перейти от одного значения к другому без скачка, не принимая промежуточных значений, невозможно. При $t=0$ отношение равно $w(0)$. Значит, начальный корень однозначно определяет весь путь:

Моменты $t=0$ и $t=1$ различны, но параметр в них один и тот же: $z(1)=z(0)=1$. Функция $r$ обязана дать на один аргумент один ответ, то есть $w(1)=w(0)$. Это противоречит предыдущему равенству: $w(0)$ равно $1$ или $-1$ и не равно нулю.

Результат

Локальные сечения существуют, глобального нет

У двулистного накрытия $p:E\to X$ нет непрерывного сечения над всей проколотой плоскостью. Один обход нуля переставляет обе точки слоя, поэтому ни одна из них не может быть значением глобального сечения.

Если убрать требование непрерывности, корень можно выбрать в каждой точке: например, через аргумент в полуинтервале $[0,2\pi )$. Такое правило разрывно на положительном вещественном луче. Препятствие относится к непрерывному выбору, а не к существованию отдельных ответов.

Добавить выбор к точке базы

Пространство $E$ не решило задачу выбора на $X$. Зато оно дало новую базу, в точках которой ответ уже записан. Если параметром считать пару $e=(z,w)\in E$, то корень исходного числа можно читать из её второй координаты: $e\mapsto w$. Это непрерывное правило на $E$, а не на $X$.

Запишем эту замену базы (base change) через обратный образ (pullback) проекции. Возьмём две точки $a,b\in E$ над одним параметром: каждая содержит этот параметр и один из его корней. Все такие пары образуют пространство

Новой проекцией служит $\rho (a,b)=a$. У неё всегда есть сечение — диагональ:

Точка $a$ служит новым параметром и уже содержит корень. Чтобы задать сечение, во второй координате пары повторяем ту же точку $a$. Ничего выбирать заново не нужно.

Результат

Что даёт пространство всех выборов

Пространство с проекцией хранит все допустимые ответы, а сечение выбирает по одному непрерывно. Если такого выбора нет, можно включить ответ в новый параметр. Мы получили сечение над $E$, но сечения над $X$ от этого не появилось. В приложении о флагах увидим, какое дополнительное свойство позволяет проверять равенства на новой базе.

Раздутие: сохранить все направления

Та же идея возникает при раздутии (blow-up) комплексной аффинной плоскости ${\mathbb{C}}^2$ в начале координат. Для ненулевой точки $v$ прямая через начало и $v$ определена однозначно. В самом начале выделенного направления нет: приближаясь по разным прямым, получаем разные направления. Продолжить это правило непрерывно в ноль нельзя.

Сохраним все допустимые пары. Множество комплексных прямых через начало — проективная прямая ${\mathbb{P}}^1(\mathbb{C})$. Раздутие задаётся пространством

Проекция $b(v,\ell )=v$ забывает направление. Над ненулевой точкой её слой одноточечен, а над нулём лежит вся проективная прямая. На новой базе направление уже записано: отображение $(v,\ell )\mapsto \ell$ определено всюду.

Координатное описание: раздутие плоскости в материалах Rutgers University. Общее определение и универсальное свойство: Stacks Project, Tag 0806.

Когда слои локально устроены одинаково

Здесь предполагается знакомство с гладкими многообразиями. Накрытие из основной части имеет более общий аналог: локально тривиальное расслоение (locally trivial fiber bundle). Над малой областью базы всё пространство выглядит как произведение этой области на типичный слой, причём отображение становится проекцией на первый множитель.

Гладкое отображение называется субмерсией (submersion), если его дифференциал сюръективен в каждой точке, и собственным (proper), если прообраз любого компакта компактен.

Теорема

Теорема Эресманна

Собственная сюръективная субмерсия $f:M\to N$ гладких многообразий без края является гладким локально тривиальным расслоением. Если база $N$ связна, все слои диффеоморфны. Локальная тривиализация имеет вид $f^{-1}(U)\cong U\times F$ и согласована с проекцией на $U$.

Для $q(w)=w^2$ на проколотой плоскости дифференциал есть умножение на $2w$ и потому обратим. Собственность проверяется напрямую: если компакт параметров не содержит нуля, модули его точек лежат между положительными числами $a$ и $b$. Прообраз — замкнутое подмножество компактного кольца $\sqrt{a}\le |w|\le \sqrt{b}$.

Теорема даёт локальную модель с двухточечным слоем $F=\{1,-1\}$, но не глобальное сечение. Если вернуть ноль в базу, дифференциал в нуле перестанет быть обратимым, а двухточечный слой сольётся в одноточечный. Именно здесь локальная тривиальность нарушается.

Флаги и принцип расщепления

Для этого приложения нужно знать векторные расслоения и их обратный образ; введение есть в первой главе о K-теории. Пусть $V\to X$ — комплексное векторное расслоение ранга $n\ge 1$ над конечным CW-комплексом. Хотелось бы представить его как сумму линейных расслоений, то есть непрерывно выбрать одномерные слагаемые во всех слоях.

Вместо такого выбора добавим к точке $x$ полный флаг (complete flag) в $V_x$ — вложенную цепочку подпространств:

Например, в двумерном слое флаг задаётся одной прямой $F_1$. Он ещё не выбирает вторую прямую, дополняющую её до всего слоя. В общем случае флаг также задаёт вложенные подпространства, а не прямую сумму. Соберём все пары «точка — флаг» в новую базу:

Над точкой $(x,F)$ расслоение ${\pi }^{\ast }V$ имеет тот же слой $V_x$, но теперь флаг уже известен. Его подпространства образуют тавтологическую фильтрацию:

Слово «тавтологическая» означает, что слой $S_k$ в точке $(x,F)$ равен записанному в этой точке подпространству $F_k$. Последовательные факторы $L_k=S_k/S_{k-1}$ одномерны. Эрмитова метрика позволяет выбрать ортогональные дополнения и получить

Фильтрация и её факторы определены без метрики; конкретное расщепление зависит от дополнительного выбора. Для K-классов этот выбор несущественен. Здесь ${\mathrm{K}}^0(X)$ обозначает группу Гротендика комплексных векторных расслоений: прямой сумме соответствует сложение классов.

Теорема

Принцип расщепления

В указанных условиях обратный образ на расслоение полных флагов инъективен:

$${\pi }^{\ast }:{\mathrm{K}}^0(X)⟶{\mathrm{K}}^0(Y)$$

При этом $[{\pi }^{\ast }V]=[L_1]+\cdots +[L_n]$.

Поэтому равенство двух исходных K-классов можно проверить после переноса на $Y$: инъективность гарантирует, что оно верно и на $X$. Она не утверждает, что любой класс на $Y$ пришёл с $X$ или что сами линейные слагаемые спускаются на исходную базу.