Глава 10 · Корасслоения и относительная теория

Корасслоения и относительная теория

В предыдущей главе фактор $X / A$ описал относительные классы при наличии окрестности, деформируемой в $A$ с неподвижным $A$ . Теперь мы сначала заменим мгновенное схлопывание семейством путей, а затем формализуем условие, при котором полученное пространство имеет тот же гомотопический тип, что и $X / A$ . Конус отображения сохранит саму стрелку $A \to X$ , корасслоение позволит заменить его обычным фактором, а повторение конструкции породит последовательность Пуппе.

Фактор требует деформируемой окрестности и не видит произвольную стрелку

В предыдущей главе относительная тривиализация над $A \subset X$ превратилась в редуцированный класс на $X / A$ . В доказательстве понадобилась окрестность, которая деформируется в $A$ и позволяет продолжить тривиализацию. Поэтому остались два вопроса: каким стандартным свойством выразить деформацию окрестности с неподвижным $A$ и чем заменить фактор для произвольного отображения $f : A \to X$ ?

Для произвольного $f$ запись $X / A$ вообще не определена: источник не обязан быть подпространством цели. Схлопывание одного лишь образа $f (A)$ тоже не подходит. Пространство $X / f (A)$ зависит только от подмножества $f (A)$ и забывает саму стрелку $f$ . Например, отображения $* \to *$ и $S^{0} \to *$ имеют один и тот же образ, поэтому фактор по образу в обоих случаях остаётся точкой. Кослой, который мы построим ниже, сохранит вторую точку источника и для второго отображения даст окружность $S^{1}$ .

Даже если $A$ действительно является подпространством $X$ , фактор может быть топологически неудобен. Причина видна уже без K-теории.

Замкнутость устраняет эту конкретную потерю хаусдорфовости, но ещё не даёт окрестности, деформируемой в подпространство. Гавайская серьга (Hawaiian earring) $H \subset R^{2}$ — объединение окружностей радиусов $1 / n$ , касающихся в одной точке. Это компактное, а значит замкнутое подпространство. Однако у общей точки накапливаются бесконечно многие всё меньшие петли, и $H$ не является окрестностным ретрактом плоскости. Фактор $R^{2} / H$ существует и остаётся хаусдорфовым, но замкнутость сама по себе не позволяет заменить постепенную деформацию мгновенным схлопыванием.

Гавайская серьгаРадиусы окружностей стремятся к нулю, но в любой окрестности общей точки остаются бесконечно многие петли.

Примеры с открытым интервалом и гавайской серьгой относятся к общим топологическим пространствам. В K-теоретической части главы $X$ и $A$ будут конечными CW-комплексами, а значит компактными хаусдорфовыми пространствами; включения подкомплексов будут удовлетворять условию, которое мы выделим ниже.

Семейство путей должно оставаться частью пространства

С этого момента пространства имеют выбранные базовые точки, а отображения сохраняют их. Гомотопия $H : A \times I \to Y$ между такими отображениями тоже считается сохраняющей базовую точку: $H (a_{0}, t) = y_{0}$ для всех $t$ . Если $H (a, 0) = f (a)$ и $H (a, 1) = y_{0}$ , то $H$ называется выбранной нуль-гомотопией (null-homotopy) отображения $f$ .

Возьмём пространство $A$ с базовой точкой $a_{0}$ . Цилиндр $A \times I$ хранит все промежуточные положения: $(a, t)$ — это точка $a$ в момент $t$ . Стянем весь верхний край в одну вершину, а линию над $a_{0}$ оставим базовой точкой на протяжении всего процесса.

C A = (A \times I) / (A \times {1} \cup {a_{0}} \times I)

Пространство $C A$ называется приведённым конусом (reduced cone) над $A$ . Схлопнутая линия ${a_{0}} \times I$ задаёт его базовую точку.

Включение основания задаётся формулой $ι_{A} (a) = [a, 0]$ . Формула $K (a, t) = [a, t]$ задаёт нуль-гомотопию $ι_{A}$ . Сам конус стягивается гомотопией

F ([a, t], s) = [a, t + s (1 - t)]

При $s = 0$ она тождественна, а при $s = 1$ отправляет весь конус в вершину. Так различаются два близких утверждения: основание нуль-гомотопно внутри конуса, а сам конус стягиваем.

До начала схлопывания отметьте основание, верхний край и выделенную линию цилиндра. Продвигайте параметр к концу и проследите каждую из этих частей. Какие точки отождествляются только в конечном факторе?

C A

0,00

a_{0}

A_{t = 0}

A_{t = 1}

Описание текущего рисунка

Положение объектов можно менять с клавиатуры через параметры виджета: стрелками — на один шаг, Home и End — к границам диапазона.

Поверхность цилиндра, переходящая в конус: Область
Траектория 1 при схлопывании: Прямая или отрезок
Траектория 2 при схлопывании: Прямая или отрезок
Траектория 3 при схлопывании: Прямая или отрезок
Траектория 4 при схлопывании: Прямая или отрезок
Траектория 5 при схлопывании: Прямая или отрезок
Схлопываемый верхний край: Прямая или отрезок. Начало: точка на объекте «Поверхность цилиндра, переходящая в конус». Конец: точка на объекте «Поверхность цилиндра, переходящая в конус».
Линия над базовой точкой: Прямая или отрезок

A \times I

Начинаем с цилиндра

A \times I

: над каждой точкой основания проходит отдельный отрезок.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

При движении ползунка каждый отрезок ${a} \times I$ сохраняется, но его верхний конец входит в общую вершину. Поэтому конус помнит не только результат стягивания, но и все пути, по которым оно происходит.

Теперь зафиксируем отображение $f : A \to Y$ и его нуль-гомотопию $H : A \times I \to Y$ . Условия $H (a, 0) = f (a)$ , $H (a, 1) = y_{0}$ и $H (a_{0}, t) = y_{0}$ означают, что $H$ постоянна на той части цилиндра, которая схлопывается при построении $C A$ . Поэтому она однозначно проходит через фактор-пространство.

Для каждой выбранной гомотопии $H$ от $f$ к постоянному отображению существует единственное сохраняющее базовую точку отображение $\overset{―}{H} : C A \to Y$ , для которого

\overset{―}{H} ([a, t]) = H (a, t), \overset{―}{H} \circ ι_{A} = f

И наоборот, такое $\overset{―}{H}$ восстанавливает гомотопию $H (a, t) = \overset{―}{H} ([a, t])$ . Тем самым отображение из конуса эквивалентно отображению его основания вместе с выбранной нуль-гомотопией.

\overset{―}{H}

ι_{A}

f

Объекты и связи диаграммы

конус над A: Конус хранит параметр каждого пути от основания к общей вершине.
исходное пространство A: Пространство, на котором задано отображение, подлежащее стягиванию.
целевое пространство Y: Пространство, в котором задана выбранная гомотопия.
продолжение гомотопии на конус: От «конус над A» к «целевое пространство Y».Значение на точке конуса с параметром $t$ равно соответствующему этапу выбранной гомотопии.
включение основания конуса: От «исходное пространство A» к «конус над A».Помещает исходное пространство в основание конуса.
исходное отображение: От «исходное пространство A» к «целевое пространство Y».Отображение, для которого выбрана гомотопия к постоянному.

Кажется, что вместо $C A$ можно взять одну точку $*$ : она тоже стягиваема. Но факторизация $A \to * \to Y$ существует только для отображения, которое уже строго постоянно. Непостоянное отображение $f$ , лишь гомотопное постоянному, через точку не проходит. Конус сохраняет параметр $t$ и потому помнит саму гомотопию, тогда как точка забывает весь процесс.

Чтобы применить эту конструкцию к исходной стрелке $f : A \to X$ , приклеим основание конуса к $X$ именно по $f$ .

Конус отображения сохраняет саму стрелку, а не только её образ

Конус уже содержит пути от каждой точки $a \in A$ к вершине. Чтобы перенести эти пути в $X$ , отождествим точку $[a, 0]$ в основании конуса с её образом $f (a)$ .

Для сохраняющего базовую точку отображения $f : A \to X$ его гомотопическим кослоем (homotopy cofiber) называется пространство

C_{f} = X \cup_{f} C A

C_{f} = (X ⊔ (A \times I)) / \sim

(a, 0) \sim f (a), A \times {1} \cup {a_{0}} \times I \sim *

Это же пространство называется конусом отображения (mapping cone). Далее будем говорить просто «кослой».

Теперь можно выполнить обещание из первого раздела. Для единственного сохраняющего базовую точку отображения $f : S^{0} \to *$ кослой имеет вид $C_{f} ≅ S^{1}$ . Обычный фактор видел только точку, а конус сохраняет путь от второй точки пространства $S^{0}$ к вершине. После отождествления концов этот путь становится окружностью.

В определении происходят два разных отождествления. Основание конуса $A \times {0}$ приклеивается к $X$ по отображению $f$ , а противоположный конец стягивается в вершину. Следующая сцена разделяет эти операции во времени.

Проследите одну точку области определения через отображение, цилиндр и приклейку конуса. До каждого перехода назовите начало её пути и то, что будет отождествлено. Какие сведения потерялись бы при немедленном схлопывании образа?

C_{f}

X

f (A)

A

f

Описание текущего рисунка

Целевое пространство: Область
Образ исходного пространства: Прямая или отрезок
Исходное пространство: Прямая или отрезок
Исходное отображение между пространствами: Стрелка
Точка 1 исходного пространства: Точка
Точка 2 исходного пространства: Точка
Точка 3 исходного пространства: Точка
Точка 4 исходного пространства: Точка
Точка 5 исходного пространства: Точка

f : A ⟶ X

Отображение задаёт, в какую точку

f (a)

целевого пространства приклеится точка

a

исходного пространства.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Даже если $f (a) = f (a^{'})$ , отрезки $[a, t]$ и $[a^{'}, t]$ остаются разными внутри конуса. Поэтому кослой зависит от всей стрелки $f$ , а не только от подмножества $f (A)$ .

Вложение цели обозначим через $j : X \to C_{f}$ . Композиция $j \circ f$ не обязана быть постоянной как отображение, но в $C_{f}$ у неё есть каноническая нуль-гомотопия: точка $f (a) = [a, 0]$ движется по отрезку $[a, t]$ к вершине конуса. Таким образом, кослой не просто уничтожает образ $f (A)$ ; он хранит выбранный способ занулить всю композицию $j \circ f$ .

Например, при $f = {id}_{A}$ пространство $C_{f}$ совпадает с конусом $C A$ и потому стягиваемо. Отображение уже было тождественным, и его кослой не оставляет новой топологической информации.

Когда конус можно заменить обычным фактором

Для включения $i : A ↪ X$ существуют две модели схлопывания. Кослой $C_{i} = X \cup_{i} C A$ сохраняет отдельный путь от каждой точки $a \in A$ к вершине. Фактор $X / A$ сразу заменяет всё подпространство одной точкой. Между ними всегда есть естественное отображение

q : C_{i} ⟶ X / A

тождественное на $X ∖ A$ и схлопывающее приклеенный конус. Вопрос не в существовании $q$ , а в том, является ли оно гомотопической эквивалентностью. Вместо проверки каждого включения отдельно введём стандартное достаточное условие. Оно требует, чтобы всякая гомотопия, заданная на $A$ , могла согласованно продолжаться на $X$ . Это свойство позволит постепенно втянуть пути конуса в окружающее пространство.

При проверке этого свойства временно забудем базовые точки: включение $A \subset X$ и отображения в проверочном условии рассматриваются как обычные, не обязательно сохраняющие базовую точку.

Включение $i : A ↪ X$ называется корасслоением (cofibration; также употребляется «кофибрация»), если оно обладает свойством продолжения гомотопии (homotopy extension property, HEP). Возьмём произвольное пространство $Z$ , отображение $g : X \to Z$ и гомотопия $H : A \times I \to Z$ начинающаяся с ограничения $g$ :

H (a, 0) = g (i (a))

Тогда существует гомотопия $\overset{―}{H} : X \times I \to Z$ одновременно продолжающая $H$ и сохраняющая заданное начальное отображение:

\overset{―}{H} (i (a), t) = H (a, t), \overset{―}{H} (x, 0) = g (x)

Условия на $g$ и $H$ можно собрать в одно отображение. Оно уже задано на части цилиндра

D_{i} = X \times {0} \cup_{A \times {0}} A \times I

и равно $g$ на нижнем основании и $H$ на боковой части. Равенство $H (a, 0) = g (i (a))$ гарантирует согласованность на их пересечении. HEP утверждает ровно то, что это отображение $D_{i} \to Z$ продолжается на весь цилиндр $X \times I$ .

\overset{―}{H}

G = (g, H)

κ

Объекты и связи диаграммы

полный цилиндр: Область определения искомого продолжения гомотопии.
часть цилиндра с заданными данными: Содержит начальное отображение всего пространства и гомотопию на подпространстве.
целевое пространство: Общая цель исходных данных и их продолжения.
продолжение на полный цилиндр: От «полный цилиндр» к «целевое пространство».Продолжает согласованные данные на всё пространство и весь параметр времени.
согласованные исходные данные: От «часть цилиндра с заданными данными» к «целевое пространство».Объединяет начальное отображение и заданную гомотопию на подпространстве.
включение заданной части цилиндра: От «часть цилиндра с заданными данными» к «полный цилиндр».Показывает, на какой части полного цилиндра данные уже определены.

Теперь вернёмся к геометрической окрестности из предыдущей главы. Для замкнутого включения HEP эквивалентно существованию функции $u : X \to [0, 1]$ и гомотопии $r : X \times I \to X$ удовлетворяющих условиям

Включение подкомплекса в CW-комплекс является корасслоением; в частности, все клеточные пары учебника имеют такую окрестность. Напротив, одной замкнутости подпространства недостаточно: она не даёт ни HEP, ни деформации окрестности.

Если $i : A ↪ X$ — корасслоение, то естественное отображение $q$ является гомотопической эквивалентностью:

C_{i} = X \cup_{i} C A \overset{≃}{\to} X / A

Чтобы увидеть обратное отображение с точностью до гомотопии, выберем эквивалентные NDR-данные $(u, r)$ . Функция $u$ выделяет окрестность $U = u^{- 1} ([0, 1))$ и задаёт параметр вдоль приклеенного конуса, а путь $r (x, t)$ доводит точки окрестности до $A$ . Эти пути восстанавливают в $C_{i}$ конус, схлопнутый отображением $q$ ; композиции полученных отображений гомотопны тождественным.

Итак, корасслоение — не особый вид фактор-пространства, а условие на включение, при котором модель с явно сохранёнными путями $C_{i}$ разрешено сократить до $X / A$ . Например, включение $S^{1} = \partial D^{2} ↪ D^{2}$ является корасслоением, поэтому $C_{i} ≃ D^{2} / S^{1} ≅ S^{2}$ .

Кослой распространяет относительную K-теорию с пар на отображения

Теперь условие из предыдущей главы получило стандартную форму. Там тройки $(E_{1}, E_{0}, α)$ были перенесены на фактор $X / A$ при наличии деформируемой окрестности $A$ . Для замкнутого корасслоения эквивалентные NDR-данные дают именно такую окрестность. Поэтому полученное там описание и теорема о кослое дают цепочку изоморфизмов

K (X, A) ≅ \tilde{K} (X / A) ≅ \tilde{K} (C_{i})

Это три записи одной группы. Тройка явно хранит расслоения и выбранный изоморфизм над $A$ . Фактор превращает всё $A$ в базовую точку. Кослой оставляет между $A$ и этой точкой пути, но при HEP эти пути не меняют гомотопический тип. Выбор модели зависит только от того, какие данные нужны дальше.

Преимущество последней записи обнаруживается, когда $f : A \to X$ не является включением. Подпространства $A \subset X$ тогда нет, поэтому ни запись $K (X, A)$ , ни фактор $X / A$ напрямую не применимы. Однако расслоение на $X$ можно перенести на $A$ обратным образом вдоль $f$ . Аналог относительной тройки тогда хранит изоморфизм

α : f^{*} E_{1} \overset{≅}{\to} f^{*} E_{0}

Как в предыдущей главе, после добавления дополнения к $E_{1}$ тройка принимает нормальную форму $(E, τ)$ с тривиализацией $τ : f^{*} E \overset{≅}{\to} A \times C^{N}$ . Она склеивает расслоение $E$ над $X$ с тривиальным расслоением над $C A$ вдоль основания конуса. У вершины остаётся стандартная тривиализация, поэтому результат задаёт редуцированный класс на $C_{f}$ . Стабилизация и гомотопия $τ$ не меняют этот класс. Поэтому естественно принять следующее определение.

K (f) = \tilde{K} (C_{f})

Если $f = i : A ↪ X$ — корасслоение, то это определение возвращает прежнюю группу $K (X, A)$ . Для тождественного отображения кослой стягиваем, поэтому $K ({id}_{X}) = 0$ . Для отображения $A \to *$ получаем $K (f) = \tilde{K} (C A / A)$ .

Так относительная группа перестаёт быть конструкцией, привязанной только к подпространству. Она становится инвариантом стрелки. Более того, сама стрелка входит в каноническую цепочку

A \overset{f}{\to} X \overset{j}{\to} C_{f}

и кослой можно снова применить к $j$ . Именно эта возможность продолжать построение, а не ещё одна запись той же группы, нужна в следующем разделе.

Повторный кослой неизбежно создаёт надстройки

Вернёмся к каноническому отображению $j : X \to C_{f}$ . Для рассматриваемых CW-пространств включение основания $A ↪ C A$ является корасслоением, а $j$ получается из него приклейкой вдоль $f$ и тоже является корасслоением. Поэтому кослой $C_{j}$ можно вычислить обычным схлопыванием копии $X$ внутри $C_{f}$ :

C_{j} ≃ C_{f} / X ≅ C A / A

В пространстве $C A / A$ всё основание конуса стало одной точкой. Вершина уже совпадала с образом базовой точки $a_{0}$ в основании, поэтому после второго схлопывания оба конца каждого отрезка ${a} \times I$ попадают в одну базовую точку. Полученное пространство — приведённая надстройка (reduced suspension) пространства $A$ :

Σ A = C A / A

Следовательно, повторение операции не создаёт нового неизвестного объекта: после $A \to X \to C_{f}$ неизбежно появляется $Σ A$ . Кослой следующей стрелки даёт $Σ X$ , а затем возникают дальнейшие надстройки. Граничное отображение $\partial : C_{f} \to Σ A$ — это схлопывание $C_{f} \to C_{f} / X$ с последующим отождествлением $C_{f} / X ≅ Σ A$ .

A \overset{f}{\to} X \overset{j}{\to} C_{f} \overset{\partial}{\to} Σ A \overset{- Σ f}{\to} Σ X ⟶ \dots

Знак перед $Σ f$ возникает из отражения координаты надстройки. Он зависит от согласованного выбора отождествлений; при другом выборе знак переносится в граничное отображение. Нажмите на объект или стрелку диаграммы, чтобы проследить первые звенья.

\partial

j

f

- Σ f

Объекты и связи диаграммы

гомотопический кослой: Пространство $X$ с конусом над $A$ , приклеенным по исходному отображению.
исходное пространство A: Основание конуса, приклеиваемое к целевому пространству.
надстройка A: Результат схлопывания копии $X$ внутри кослоя.
надстройка X: Следующий объект повторяющейся последовательности.
целевое пространство X: Пространство, к которому приклеивается конус.
граничное отображение: От «гомотопический кослой» к «надстройка A».Схлопывает копию $X$ и оставляет надстройку $A$ .
включение в кослой: От «целевое пространство X» к «гомотопический кослой».Помещает исходное целевое пространство в пространство с приклеенным конусом.
исходное отображение: От «исходное пространство A» к «целевое пространство X».Задаёт приклейку основания конуса.
надстройка исходного отображения: От «надстройка A» к «надстройка X».Продолжает последовательность после одного сдвига.

Цепочка, в которой каждый следующий объект с точностью до гомотопической эквивалентности является кослоем предыдущей стрелки, называется корасслоённой последовательностью, или последовательностью кослоёв (cofiber sequence). Её каноническое продолжение надстройками называется последовательностью Пуппе (Puppe sequence).

Для корасслоения $i : A ↪ X$ можно заменить $C_{i}$ на $X / A$ . Получается привычная форма

A \overset{i}{\to} X \overset{q}{\to} X / A \overset{\partial}{\to} Σ A \overset{- Σ i}{\to} Σ X ⟶ \dots

Замена $C_{i} ≃ X / A$ выбирается лишь с точностью до гомотопии, поэтому и граничная стрелка в короткой модели определена с точностью до гомотопии. Для K-теории этого достаточно: она не различает гомотопные отображения.

Итак, топология построила последовательность пространств и объяснила происхождение каждой стрелки. K-теория контравариантна, поэтому после её применения стрелки развернутся. Остаётся доказать, что полученная последовательность групп точна. Именно этот вопрос приведёт в следующей главе к аксиомам обобщённой когомологической теории.

Корасслоения и относительная теория

Фактор требует деформируемой окрестности и не видит произвольную стрелку

Семейство путей должно оставаться частью пространства

Приведённый конус

Цилиндр превращается в конус

Универсальное свойство конуса

Конус отображения сохраняет саму стрелку, а не только её образ

Гомотопический кослой отображения

Конус реализует отображение как геометрическую приклейку

Когда конус можно заменить обычным фактором

Корасслоение

Кослой корасслоения совпадает с фактором с точностью до гомотопии

Кослой распространяет относительную K-теорию с пар на отображения

K-группа, относительная к отображению

Повторный кослой неизбежно создаёт надстройки

Корасслоённая последовательность и последовательность Пуппе