Вычисления в K-теории

Шестичленная последовательность как вычислительный алгоритм

Пусть для хорошей пары $A\subseteq X$ группы $K^{\ast }(A)$ уже вычислены. Относительные группы можно найти по фактору, полученному схлопыванием $A$ в точку. Для $q\in \{0,1\}$ получаем

После вычисления ${\tilde{K}}^{\ast }(X/A)$ в шестичленной последовательности остаются неизвестными только $K^0(X)$ и $K^1(X)$. Однако сами группы, стоящие в последовательности, ещё не определяют ответ: нужно вычислить граничные отображения. Их ядра и коядра зададут короткие точные последовательности для $K^q(X)$, после чего останется решить соответствующие задачи о расширении.

Особенно удобен фактор, гомотопически эквивалентный букету сфер. При $m\ge 0$ надстройка и периодичность Ботта сводят его группы к четырём значениям:

Сами эти группы ещё не вычисляют $X$: приклеивающие отображения могут породить ненулевые граничные гомоморфизмы. В части о чётных клетках они исчезнут по степени, и тогда числа клеток действительно окажется достаточно.

Чтобы применять одно сравнение многократно, представим $X$ как конечную возрастающую цепочку подпространств. Такая цепочка называется фильтрацией (filtration). Будем выбирать её так, чтобы каждое включение было корасслоением; клеточные остовы обладают этим свойством.

Прежде чем повторять этот алгоритм вдоль фильтрации, используем уже известные группы сферы и диска в более коротком рассуждении: они запретят существование ретракции и тем самым докажут теорему Брауэра.

Теорема Брауэра о неподвижной точке

Сначала выведем следствие, которому должна удовлетворять любая ретракция. Пусть $A\subseteq X$, а $i:A\hookrightarrow X$ — включение. Ретракцией (retraction) называется отображение $r:X\to A$, для которого $r\circ i={\mathrm{id}}_A$. Выберем базовую точку $a_0\in A$. Равенство $r{|}_A={\mathrm{id}}_A$ показывает, что $i$ и $r$ сохраняют эту точку, поэтому к ним можно применить редуцированную K-теорию. Теперь контравариантность заставит $r^{\ast }$ быть инъективным.

Пусть $n\ge 1$, $D^n\subset {\mathbb{R}}^n$ — единичный диск, а $S^{n-1}=\partial D^n$ — его граница. Диск стягиваем, поэтому его редуцированные K-группы нулевые. Для сферы выберем $q\in \{0,1\}$ той же чётности, что и $n-1$. Тогда

Ретракция потребовала бы инъективного гомоморфизма $r^{\ast }:\mathbb{Z}\to 0$, которого не существует. Следовательно, граница диска не является его ретрактом.

Теорема

Теорема Брауэра о неподвижной точке

Для $n\ge 1$ всякое непрерывное отображение $f:D^n\to D^n$ имеет точку $x$ такую, что $f(x)=x$.

Предположим, что у $f$ нет неподвижных точек. Тогда вектор $v(x)=x-f(x)$ нигде не равен нулю. Проведём из $x$ луч в направлении от $f(x)$ и обозначим через $g(x)$ его пересечение с границей диска. Если $g$ непрерывно и совпадает с тождественным отображением на границе, то оно является запрещённой ретракцией. Проверим оба свойства по явной формуле.

Число $\tau (x)$ является неотрицательным корнем уравнения $\Vert x+\tau v(x){\Vert }^2=1$, поэтому $g(x)\in S^{n-1}$. Знаменатель не обращается в ноль, и формула показывает, что $g$ непрерывно. Если $x\in S^{n-1}$, то $⟨x,v(x)⟩=1-⟨x,f(x)⟩>0$, откуда $\tau (x)=0$ и $g(x)=x$. Следовательно, $g:D^n\to S^{n-1}$ была бы ретракцией, существование которой K-теория уже запретила. Полученное противоречие доказывает, что у $f$ есть неподвижная точка.

Здесь сравнивались только диск и его граница. Теперь перейдём от одной пары к последовательности пар, возникающей при приклеивании клеток.

K-теория комплексов с чётными клетками

CW-разбиение строит пространство последовательным приклеиванием дисков. Объединение всех клеток размерности не выше $d$ называется $d$-мерным остовом и обозначается $X^d$. Цепочка остовов является клеточной фильтрацией.

Пусть конечный CW-комплекс $X$ имеет только клетки чётной размерности. Если клеток размерности $2m$ ровно $c_{2m}$, то при $m\ge 1$ после схлопывания предыдущего остова каждая новая клетка превращается в сферу:

Нульмерный остов состоит из $c_0$ точек, поэтому $K^0(X^0)\cong {\mathbb{Z}}^{c_0}$ и $K^1(X^0)=0$. Это база индукции. Теперь выполним вычислительный шаг из начала главы. На очередном шаге уже известно, что $K^1(X^{2m-2})=0$. Букет чётных сфер даёт свободную относительную группу в степени ноль и нулевую группу в степени один.

Чтобы явно увидеть все стрелки, для этой записи обозначим $Y=X^{2m}$ и $A=X^{2m-2}$. Шестичленная точная последовательность пары $A\subseteq Y$ образует следующий цикл:

Именно здесь используется чётность клеток. Подставим две только что вычисленные относительные группы и индукционное равенство $K^1(X^{2m-2})=0$ в шестичленную последовательность. Обе граничные стрелки имеют нулевой источник или нулевую цель, поэтому вычисление сокращается до трёх шагов.

Последняя строка использует индукционное предположение: $K^0(X^{2m-2})$ свободна, поэтому короткая точная последовательность расщепляется. Само расщепление не канонично, но ранг результата от выбора не зависит. Начиная с нульмерного остова и повторяя шаг, получаем теорему.

Теорема

K-теория комплекса с чётными клетками

Обозначим через $c(X)$ общее число клеток. Если конечный CW-комплекс $X$ имеет только чётные клетки, то

$$K^1(X)=0,K^0(X)\cong {\mathbb{Z}}^{c(X)}$$

Изоморфизм с выбранным свободным базисом не каноничен.

Для $n\ge 1$ у пространства ${\mathbb{CP}}^{n-1}$ по одной клетке в размерностях $0,2,\dots ,2n-2$. Теорема уже даёт $K^0({\mathbb{CP}}^{n-1})\cong {\mathbb{Z}}^n$ и $K^1({\mathbb{CP}}^{n-1})=0$, но не определяет произведения базисных классов. Чтобы вычислить кольцо, нужен естественный класс и соотношение, которому он удовлетворяет.

Расщеплённая формула для проективного расслоения

Комплексное проективное пространство имеет вид ${\mathbb{CP}}^{n-1}=P({\mathbb{C}}^n)$: его точки — комплексные прямые в ${\mathbb{C}}^n$. Поэтому нужное кольцевое вычисление является частным случаем проективизации расслоения. Полезно сразу сформулировать результат для уже расщеплённого расслоения: кроме проективного пространства, он будет вычислять проективизации над нетривиальными базами.

Пусть $X$ — конечный CW-комплекс, $n\ge 1$ и $E=L_1\oplus \cdots \oplus L_n$ — сумма линейных расслоений над $X$. Проективизация (projectivization) $p:P(E)\to X$ заменяет каждый слой $E_x$ пространством комплексных прямых в нём.

Над точкой $(x,\ell )\in P(E)$ тавтологическое расслоение $H$ имеет слой $H_{(x,\ell )}=\ell$. Класс двойственной прямой станет кандидатом на образующий $K^0(P(E))$ над $K^0(X)$:

Каждое слагаемое $L_i\subset E$ задаёт сечение $s_i:X\to P(E)$, выбирающее прямую $(L_i{)}_x\subset E_x$. Поэтому $s_i^{\ast }H\cong L_i$ и

Предположим, что $h$ удовлетворяет соотношению $Q(h)=0$ для некоторого $Q(T)\in K^0(X)[T]$. Поскольку $p\circ s_i={\mathrm{id}}_X$, обратный образ вдоль $s_i$ сохраняет коэффициенты из $K^0(X)$. Поэтому

Таким образом, естественными кандидатами на корни соотношения являются классы $[L_1^{\ast }],\dots ,[L_n^{\ast }]$. Чтобы не смешивать формальную переменную с классом $h$, обозначим её через $T$ и положим

Пока это только кандидат: вычисления на сечениях не доказывают глобального равенства $P_E(h)=0$. Именно его и отсутствие других соотношений утверждает следующая теорема.

Теорема

Расщеплённая проективная формула

Гомоморфизм $K^0(X)$-алгебр

$${\mathrm{\Phi }}_E:K^0(X)[T]⟶K^0(P(E))$$$$a⟼p^{\ast }a,a\in K^0(X)$$$$T⟼h$$

сюръективен, а его ядро порождено многочленом $P_E(T)$. Следовательно,

$$K^0(P(E))\cong K^0(X)[T]/(P_E(T))$$$$T⟼h$$

Это единственный входной результат главы, не выведенный из шестичленной последовательности. В главе об изоморфизме Тома клеточный аргумент распространит вычисление на произвольное расслоение над конечным CW-комплексом; на каждой клетке он сведётся к вычислению $K^0({\mathbb{CP}}^{n-1})$ из этой главы. Сейчас же фактор-кольцо уже получено, и ближайшая задача — извлечь из него нормальную форму и аддитивный базис.

Базис K⁰(P(E)) над K⁰(X)

Проективная формула представила кольцо как фактор кольца многочленов. Теперь извлечём из этого представления аддитивную структуру. Многочлен $P_E(T)$ имеет степень $n$ и старший коэффициент $1$. Такой многочлен называется унитарным (monic). На унитарный многочлен можно делить с остатком над любым кольцом коэффициентов.

Здесь $Q(T)\in K^0(X)[T]$ и $a_j\in K^0(X)$. Остаток степени меньше $n$ существует и единственен. Поэтому его коэффициенты дают единственные координаты класса в $K^0(P(E))$ и

Следовательно, $1,h,\dots ,h^{n-1}$ образуют базис свободного $K^0(X)$-модуля. Проективизация добавляет ровно $n$ независимых коэффициентов над базой. Если база — точка, все классы $[L_i^{\ast }]$ равны единице, и общая нормальная форма сразу превращается в вычисление проективного пространства.