Глава 11 · Когомологические свойства K-теории

Когомологические свойства K-теории

Предыдущая глава построила последовательность пространств из включения пары. Теперь расширим K-теорию до групп разных степеней и увидим, почему эта последовательность превращается в точную последовательность групп. Гомотопическая инвариантность, склейки в базовой точке и надстройки дадут способы упрощать её члены, а периодичность Ботта свернёт бесконечную последовательность в шестичленный вычислительный цикл.

Последовательность пространств вынуждает добавить степени

Если включение $i : A ↪ X$ является корасслоением, то фактор-пространство моделирует гомотопический кослой и пара продолжается в последовательность

A \overset{i}{\to} X \overset{q}{\to} X / A \overset{\partial}{\to} Σ A \overset{- Σ i}{\to} Σ X ⟶ \dots

Каждый следующий объект получается как кослой предыдущей стрелки; эта конструкция подготавливает граничный гомоморфизм относительной теории.

Глава 10 · § «Повторный кослой неизбежно создаёт надстройки»Открыть источник

Для включения $Y ↪ X$ предыдущая глава получила корасслоённую последовательность

Y \to X \to X / Y \to Σ Y \to Σ X \to \dots

После первых трёх пространств возникают надстройки. Поэтому одной группы $K (X)$ недостаточно: нужен согласованный набор групп, который умеет читать всю последовательность, а не только её начало. Верхний индекс будет отмечать положение группы в этом наборе.

На конечных CW-комплексах с базовой точкой обобщённая редуцированная когомологическая теория (generalized reduced cohomology theory) сопоставляет каждому пространству группы ${\tilde{E}}^{q} (X)$ для всех $q \in Z$ . Отображение разворачивает направление стрелки:

f : X \to Z ⟹ f^{*} : {\tilde{E}}^{q} (Z) \to {\tilde{E}}^{q} (X)

Эти группы и обратные образы должны удовлетворять четырём условиям:

Гомотопическая инвариантность. Гомотопные отображения действуют одинаково.
Точность. Корасслоённая последовательность пространств даёт длинную точную последовательность групп.
Аддитивность. Склейка конечного числа пространств только в базовой точке переходит в произведение их групп.
Сдвиг надстройкой. Одна надстройка меняет степень на единицу.

Это определение задаёт маршрут главы. Сначала введём степени K-теории, затем проверим каждое условие и только после этого используем периодичность Ботта.

Число надстроек становится степенью K-группы

Уже построенным абсолютной, редуцированной и относительной K-группам присвоим степень ноль:

K^{0} (X) := K (X)

{\tilde{K}}^{0} (X) := \tilde{K} (X)

K^{0} (X, Y) := {\tilde{K}}^{0} (X / Y)

В третьей строке предполагается, что включение $Y ↪ X$ является корасслоением — например, $Y$ является подкомплексом конечного CW-комплекса $X$ . Поэтому фактор $X / Y$ корректно моделирует относительную группу.

Теперь повторим надстройку фактор-пространства. Каждая новая надстройка понижает верхний индекс на единицу.

K^{- n} (X, Y) := {\tilde{K}}^{0} (Σ^{n} (X / Y)), n \geq 0

Абсолютная группа получается из той же формулы после добавления отдельной базовой точки: $K^{- n} (X) := {\tilde{K}}^{0} (Σ^{n} X_{+})$ .

Так определены степени $0, - 1, - 2, \dots$ . Положительные степени появятся после периодичности; пока для проверки свойств достаточно этой половины градуировки.

Гомотопия не меняет индуцированный гомоморфизм

Для степени ноль гомотопные отображения $f, g : X \to Z$ задают изоморфные обратные образы расслоений и потому одинаково действуют на K-группе:

f ≃ g ⟹ f^{*} = g^{*} : K^{0} (Z) ⟶ K^{0} (X)

Надстройка сохраняет гомотопии. Применяя тот же аргумент к $Σ^{n} f$ и $Σ^{n} g$ , получаем

f^{*} = g^{*} : K^{- n} (Z) ⟶ K^{- n} (X), n \geq 0

Для пар доказательство применяется к отображениям фактор-пространств. Значит, каждая уже определённая K-группа зависит только от гомотопического типа.

Точность связывает группу пространства с группами его частей

Вернёмся к паре $Y \subseteq X$ . Применение K-теории к её корасслоённой последовательности разворачивает стрелки. Относительный член — это K-группа фактора $X / Y$ , отображение $j^{*}$ забывает относительную тривиализацию, а $i^{*}$ ограничивает класс на $Y$ . Следующая стрелка $δ$ называется граничным гомоморфизмом.

Для $q < 0$ соседние участки последовательности имеют вид

K^{q} (X, Y) \overset{j^{*}}{\to} K^{q} (X) \overset{i^{*}}{\to} K^{q} (Y)

K^{q} (X) \overset{i^{*}}{\to} K^{q} (Y) \overset{δ}{\to} K^{q + 1} (X, Y)

Эти фрагменты продолжаются в обе стороны. Точность означает, что в каждом члене образ входящей стрелки совпадает с ядром исходящей: $im = \ker$ .

Например, равенство $im j^{*} = \ker i^{*}$ говорит следующее. Относительный класс после забывания тривиализации ограничивается на $Y$ нулём. И наоборот, если ограничение абсолютного класса стабильно тривиально, выбранная после стабилизации тривиализация превращает его в относительный класс.

Равенство $im j^{*} = \ker i^{*}$ для исходной пары было доказано в главе 9. Для остальных звеньев вернёмся к конусной модели: $X \subset C_{i}$ , затем $C_{i} \subset C_{j}$ , и фактор каждой следующей пары является очередным кослоем. Поэтому то же равенство образа и ядра, последовательно применённое к парам $(C_{i}, X)$ , $(C_{j}, C_{i})$ и далее, даёт точность в каждом члене последовательности Пуппе. Отождествления следующих кослоёв с надстройками и определение степеней превращают эти равенства в длинную точную последовательность во всех пока определённых степенях.

Склейка только в базовой точке не создаёт новых связей

Конечный букет $X_{1} \lor \dots \lor X_{r}$ получается отождествлением базовых точек. Ограничение класса на каждый лепесток задаёт отображение

{\tilde{K}}^{q} (X_{1} \lor \dots \lor X_{r}) ⟶ \prod_{a = 1}^{r} {\tilde{K}}^{q} (X_{a})

В редуцированной K-теории слои в общей точке уже снабжены согласованной тривиализацией. Поэтому классы на разных лепестках можно склеить независимо, и отображение является изоморфизмом:

{\tilde{K}}^{q} (X_{1} \lor \dots \lor X_{r}) \overset{≅}{\to} \prod_{a = 1}^{r} {\tilde{K}}^{q} (X_{a})

Надстройка распределяется по конечному букету, поэтому утверждение сохраняется во всех неположительных степенях. Именно конечные букеты понадобятся дальше, когда фактор соседних остовов распадётся в букет сфер.

Одна надстройка понижает степень на единицу

Определение степеней было выбрано так, чтобы надстройка аргумента автоматически давала соседнюю группу. При $q = - n \leq 0$ это видно непосредственно из определения:

Подставляем определение
${\tilde{K}}^{- n} (Σ X) = {\tilde{K}}^{0} (Σ^{n} (Σ X))$
Объединяем надстройки
${\tilde{K}}^{0} (Σ^{n} (Σ X)) ≅ {\tilde{K}}^{0} (Σ^{n + 1} X)$
Результат: Возвращаем обозначение степени
${\tilde{K}}^{0} (Σ^{n + 1} X) = {\tilde{K}}^{- n - 1} (X)$

{\tilde{K}}^{q} (Σ X) ≅ {\tilde{K}}^{q - 1} (X), q \leq 0

Изоморфизм естественен: он согласован с обратным образом по отображениям. Поэтому группы разных степеней образуют одну систему, а не набор независимо введённых инвариантов.

Периодичность оставляет только две разные степени

Четыре свойства уже связывают все неположительные степени. Чтобы определить положительные степени и сделать длинную точную последовательность конечной, используем теорему Ботта.

Элемент Ботта $β \in {\tilde{K}}^{0} (S^{2})$ лежит в обычной K-группе двумерной сферы. При умножении эта сфера добавляется к аргументу как двойная надстройка, поэтому как оператор на градуированной теории $β$ имеет степень $- 2$ . Умножение на него даёт естественный изоморфизм

β * - : K^{q} (X, Y) \overset{≅}{\to} K^{q - 2} (X, Y)

Для $q > 0$ выберем $m$ так, чтобы $q - 2 m \leq 0$ , и определим $K^{q} (X, Y)$ через уже построенную группу $K^{q - 2 m} (X, Y)$ . Естественность изоморфизма Ботта делает результат независимым от числа сдвигов.

K^{q + 2} (X, Y) ≅ K^{q} (X, Y), q \in Z

Что остаётся над точкой

Над точкой в степени ноль остаётся разность размерностей векторных пространств. Степень $- 1$ равна редуцированной K-группе окружности и исчезает. Периодичность переносит эти два значения на все степени.

K^{0} (pt) = Z

K^{1} (pt) ≅ K^{- 1} (pt) = 0

K^{q} (pt) = {\begin{cases} Z, & q чётно, \\ 0, & q нечётно \end{cases}

Длинная последовательность замыкается

Теперь степени $0$ и $1$ повторяются через два шага. Поэтому шесть соседних членов длинной точной последовательности образуют цикл. Нажатие на любой член диаграммы показывает локальное равенство образа и ядра.

δ

δ

j^{*}

j^{*}

i^{*}

i^{*}

Объекты и связи диаграммы

K¹(X): Относительный нечётный класс задаёт класс на $X$ с нулевым ограничением на $Y$ . Обратно, стабильная тривиализация нулевого ограничения снабжает класс относительными данными, поэтому $im j^{*} = \ker i^{*}$ .
K⁰(X): После забывания относительной тривиализации остаётся класс на $X$ с нулевым ограничением на $Y$ . И наоборот: стабильная тривиализация нулевого ограничения даёт относительный прообраз.
K¹(X,Y): Здесь повторяется тот же закон в нечётной степени. Граничные классы исчезают в $K^{1} (X)$ , а каждый относительный класс, исчезающий при $j^{*}$ , приходит с границы $K^{0} (Y)$ .
K⁰(X,Y): После забывания относительных данных любой граничный класс переходит в ноль. Точность утверждает и обратное: если относительный класс исчезает при $j^{*}$ , то он получен граничным гомоморфизмом из $K^{1} (Y)$ .
K¹(Y): Граница снова измеряет препятствие продолжения с $Y$ на $X$ . При нулевом препятствии класс лежит в образе $i^{*}$ , а периодичность Ботта отождествляет следующий относительный член с $K^{0} (X, Y)$ и замыкает цикл.
K⁰(Y): Граничный класс $δ (a)$ измеряет препятствие продолжить $a \in K^{0} (Y)$ на всё $X$ . Препятствие равно нулю ровно для продолжимых классов, то есть ровно для образа $i^{*}$ .
Граничный гомоморфизм из степени один в степень ноль: От «K¹(Y)» к «K⁰(X,Y)».Эта граница измеряет нечётное препятствие продолжения, а периодичность Ботта возвращает результат в $K^{0} (X, Y)$ .
Граничный гомоморфизм из степени ноль в степень один: От «K⁰(Y)» к «K¹(X,Y)». $δ$ превращает препятствие продолжить класс с $Y$ на $X$ в относительный нечётный класс.
Забывание относительной тривиализации в степени один: От «K¹(X,Y)» к «K¹(X)».После одной надстройки $j^{*}$ снова забывает относительные данные и оставляет класс на $X$ .
Забывание относительной тривиализации в степени ноль: От «K⁰(X,Y)» к «K⁰(X)». $j^{*}$ забывает тривиализацию над $Y$ и оставляет абсолютный класс на $X$ .
Ограничение на подпространство в степени один: От «K¹(X)» к «K¹(Y)». $i^{*}$ ограничивает нечётный класс на $X$ до нечётного класса на $Y$ .
Ограничение на подпространство в степени ноль: От «K⁰(X)» к «K⁰(Y)». $i^{*}$ ограничивает класс с $X$ на подпространство $Y$ .

Следующая глава применит этот шаг сначала к одной паре — диску и его границе, — а затем повторит его вдоль клеточной фильтрации.

Когомологические свойства K-теории

Последовательность пространств вынуждает добавить степени

Редуцированная когомологическая теория

Число надстроек становится степенью K-группы

K-теория степени ноль

Неположительные степени K-теории