Глава 13 · Умножение в относительной K-теории

Умножение в относительной K-теории

Внешнее произведение соединяет K-классы на разных пространствах. Для относительных классов этого недостаточно: результат должен помнить, где каждый множитель обращается в ноль. Это условие сначала определит относительную часть произведения, а затем позволит перемножить два класса над одной базой. После учёта степеней мы получим отображение $K^{p} (X, A) \otimes K^{q} (X, B) \to K^{p + q} (X, A \cup B)$ и объясним знак при перестановке множителей. Следующая глава построит представителей, на которых это умножение можно выполнить непосредственно.

Где должно обращаться в ноль внешнее произведение

Будем работать с CW-парами. Если отмеченное подпространство пусто, примем соглашения $K^{0} (X, \emptyset) = K^{0} (X)$ и $X / \emptyset = X_{+}$ , где $X_{+} = X ⊔ {*}$ . Так абсолютный класс становится частным случаем относительного.

Пусть $a \in K^{0} (X, A)$ и $b \in K^{0} (Y, B)$ . После забывания относительных данных получаются абсолютные классы $\bar{a} \in K^{0} (X)$ и $\bar{b} \in K^{0} (Y)$ . Их ограничения на отмеченные подпространства равны нулю:

\bar{a} |_{A} = 0

\bar{b} |_{B} = 0

Эти равенства — лишь необходимое следствие относительных данных: сами данные зануления они не восстанавливают. Пока используем их, чтобы определить, на каком подпространстве должен зануляться абсолютный образ произведения.

Внешнее произведение абсолютных классов живёт на $X \times Y$ . На $A \times Y$ его первый множитель уже равен нулю, а на $X \times B$ равен нулю второй. Билинейность поэтому даёт

(\bar{a} ⊠ \bar{b}) |_{A \times Y} = 0

(\bar{a} ⊠ \bar{b}) |_{X \times B} = 0

Следовательно, относительная часть результата должна содержать обе области. Их объединение выражает точное условие: хотя бы один множитель находится там, где абсолютный образ соответствующего относительного класса равен нулю.

Для пар $(X, A)$ и $(Y, B)$ их произведением называют пару

Положим $C = (A \times Y) \cup (X \times B)$ . Тогда

(X, A) \times (Y, B) = (X \times Y, C)

Это определение согласуется с моделью относительной K-теории через фактор-пространства. Для CW-пар имеются естественные отождествления

K^{0} (X, A) ≅ {\tilde{K}}^{0} (X / A)

K^{0} (Y, B) ≅ {\tilde{K}}^{0} (Y / B)

(X / A) \land (Y / B) ≅ \frac{X \times Y}{(A \times Y) \cup (X \times B)}

Поэтому уже построенное произведение редуцированных классов определяет относительное внешнее произведение.

Обозначим $C = (A \times Y) \cup (X \times B)$ . Тогда

Обозначим $D = K^{0} (X, A)$ и $E = K^{0} (Y, B)$ . Тогда

D \otimes E \overset{⊠}{\to} K^{0} (X \times Y, C)

Подпространство в правой паре не является дополнительным выбором: его вынуждают два нулевых ограничения абсолютных образов исходных классов. Сами согласованные данные зануления переносит конструкция через фактор-пространства.

Когда оба класса заданы над одним пространством $X$ , внешнее произведение всё ещё сравнивает независимые точки $(x, y) \in X \times X$ . Для внутреннего умножения нужно заставить эти точки совпасть.

Как перемножить два класса над одной базой

Пусть $a \in K^{0} (X, A)$ и $b \in K^{0} (X, B)$ . Точку $x \in X$ с парой $(x, x)$ связывает диагональное отображение

Δ : X ⟶ X \times X, Δ (x) = (x, x)

Чтобы взять обратный образ относительного внешнего произведения, диагональ должна быть отображением пар. Проверим, какая часть $X$ переходит в $(A \times X) \cup (X \times B)$ :

Подставляем диагональную точку
$(x, x) \in (A \times X) \cup (X \times B)$
Читаем две возможности
$x \in A или x \in B$
Результат: Получаем объединение
$x \in A \cup B$

Таким образом, диагональ задаёт отображение пар

Положим $C_{Δ} = (A \times X) \cup (X \times B)$ . Тогда

Δ : (X, A \cup B) ⟶ (X \times X, C_{Δ})

Проведите точку через области, принадлежащие первому подмножеству, второму, обоим и ни одному. В каждом случае сначала определите, на какую часть относительной области попадёт диагональная пара. Требуется объединение исходных подмножеств или их пересечение?

Δ^{- 1} ((A \times X) \cup (X \times B)) = A \cup B

0,50

A \times X

X \times B

Описание текущего рисунка

Положение объектов можно менять с клавиатуры через параметры виджета: стрелками — на один шаг, Home и End — к границам диапазона.

Произведение X на X: Область
Полоса A на X: Область
Полоса X на B: Область
Диагональ X: Прямая или отрезок. Начало: точка на объекте «Произведение X на X». Конец: точка на объекте «Произведение X на X».
Часть диагонали над A: Прямая или отрезок. Начало: точка на объекте «Диагональ X». Конец: точка на объекте «Диагональ X».
Часть диагонали над B: Прямая или отрезок. Начало: точка на объекте «Диагональ X». Конец: точка на объекте «Диагональ X».
Текущая точка диагонали икс икс: Точка

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

На обычных расслоениях обратный образ вдоль диагонали возвращает знакомое тензорное произведение. Если $p_{1}, p_{2} : X \times X \to X$ — проекции, то

E ⊠ F = p_{1}^{*} E \otimes p_{2}^{*} F

Δ^{*} (E ⊠ F) ≅ E \otimes F

Действительно, слой первого расслоения над $(x, y)$ равен $E_{x} \otimes F_{y}$ , а диагональ оставляет только $E_{x} \otimes F_{x}$ . Та же операция над относительными классами даёт внутреннее произведение.

a ⌣ b = Δ^{*} (a ⊠ b) \in K^{0} (X, A \cup B)

Попадание в указанную относительную группу уже обеспечено отображением пар: оно переносит на $A \cup B$ полные и согласованные данные зануления. Обозначим через $u$ отображение, забывающее относительные данные. Два равенства ниже дают лишь необходимое следствие этой относительной конструкции, но не заменяют её:

u (a ⌣ b) |_{A} = u (a) |_{A} ⌣ u (b) |_{A} = 0

u (a ⌣ b) |_{B} = u (a) |_{B} ⌣ u (b) |_{B} = 0

Если $B = \emptyset$ , то по принятому соглашению второй множитель является абсолютным классом. Сохраняя исходный порядок множителей, получаем

K^{0} (X, A) \otimes K^{0} (X) ⟶ K^{0} (X, A)

Переставив множители, записывают обычное действие $K^{0} (X) \otimes K^{0} (X, A) \to K^{0} (X, A)$ . Следовательно, $K^{0} (X, A)$ является модулем над кольцом $K^{0} (X)$ . Это не отдельная конструкция, а случай того же относительного произведения.

Как степень меняет произведение

Пусть $m, n \geq 0$ . Класс из $K^{- m} (X, A)$ представлен редуцированным классом на $S^{m} \land (X / A)$ , а класс из $K^{- n} (Y, B)$ — классом на $S^{n} \land (Y / B)$ . Внешнее произведение объединяет сферы в $S^{m + n}$ , поэтому степени складываются:

Обозначим произведение пар через $P = (X, A) \times (Y, B)$ . Тогда

Обозначим $A_{m} = K^{- m} (X, A)$ и $B_{n} = K^{- n} (Y, B)$ . Тогда

A_{m} \otimes B_{n} ⟶ K^{- m - n} (P)

В только что построенной модели перестановка двух множителей меняет местами сферы $S^{m}$ и $S^{n}$ . Переставляющее отображение $S^{m} \land S^{n} \to S^{n} \land S^{m}$ имеет степень $(- 1)^{m n}$ . Поэтому произведение классов степеней $- m$ и $- n$ меняет знак ровно тогда, когда обе степени нечётны. Периодичность Ботта продолжает произведение на все целые степени и сохраняет это правило чётности.

Обозначим $A_{p} = K^{p} (X, A)$ и $B_{q} = K^{q} (X, B)$ . Тогда

A_{p} \otimes B_{q} \overset{⌣}{\to} K^{p + q} (X, A \cup B)

a ⌣ b = (- 1)^{p q} b ⌣ a

После двухпериодичности существенна только чётность степени. Поэтому $K^{*} (X) = K^{0} (X) \oplus K^{1} (X)$ является $Z / 2$ -градуированным кольцом, а $K^{*} (X, A)$ — градуированным модулем над ним.

На уровне групп произведение теперь определено. Но геометрический представитель относительного класса — тройка $(E_{1}, E_{0}, α)$ , и формула через фактор-пространства ещё не объясняет, как непосредственно перемножить две такие тройки и их отождествления над подпространствами. Для этого нужен представитель, в котором вместе с расслоениями можно умножать и отображения между ними. Следующая глава построит такой язык из комплексов и их тотализаций.

Умножение в относительной K-теории

Где должно обращаться в ноль внешнее произведение

Произведение пар

Внешнее произведение относительных классов

Как перемножить два класса над одной базой

Диагональ выделяет объединение двух областей

Внутреннее произведение относительных классов

Как степень меняет произведение

Градуированное относительное произведение