Глава 14 · Комплексы в K-теории

Комплексы как язык относительной K-теории

Когомология измеряет, где последовательность перестаёт быть точной; в крайних членах она совпадает с ядром и коядром. Это позволит записать относительный K-класс двухчленным комплексом, точным над подпространством. Тензорное произведение двух таких представителей приведёт к двойному комплексу, а тотализация соберёт его в один конечный комплекс. Повторяя эту операцию для умножений на элементы $f_{1}, \dots, f_{n}$ , мы получим комплекс Кошуля. Его топологический вариант точен вне нулевого вектора; тавтологическое сечение перенесёт эту конструкцию на комплексное векторное расслоение и задаст его класс Тома.

У линейного отображения есть два независимых дефекта

Начнём не с расслоений, а с одного линейного отображения конечномерных векторных пространств $d : E^{0} \to E^{1}$ . Оно может не быть изоморфизмом по двум независимым причинам: ненулевое ядро означает, что отображение неинъективно, а ненулевое коядро — что оно несюръективно.

\ker d = {x \in E^{0} ∣ d (x) = 0}

coker d = E^{1} / im d

Поэтому $d$ является изоморфизмом ровно тогда, когда $\ker d = 0$ и $coker d = 0$ . Для отдельного отображения ядро измеряет дефект инъективности, а коядро — дефект сюръективности.

Ядро и коядро — крайние случаи одной конструкции: когомологии. Если к двучленной последовательности $E^{0} \overset{d}{\to} E^{1}$ дописать ноль слева, когомология в $E^{0}$ будет ядром. Если дописать ноль справа, когомология в $E^{1}$ будет коядром:

H^{0} (0 \to E^{0} \overset{d}{\to} E^{1}) = \ker d / im 0 = \ker d

H^{1} (E^{0} \overset{d}{\to} E^{1} \to 0) = \ker 0 / im d = coker d

Чтобы измерить дефект точности не на краю, а в среднем члене, добавим предыдущее отображение и потребуем нулевую композицию соседних дифференциалов. Тогда образ отображения из $E^{- 1}$ автоматически лежит в ядре $d_{0}$ .

d_{- 1}

d_{0}

Композиция двух последовательных дифференциалов равна нулю.

Объекты и связи диаграммы

текущий член комплекса: В этом члене сравниваются $im d_{- 1}$ и $\ker d_{0}$ .
следующий член комплекса: Следующий дифференциал определяет, какие элементы $E^{0}$ обращаются в нуль.
предыдущий член комплекса: Образ отображения из этого члена сравнивается с ядром следующего дифференциала в $E^{0}$ .
предыдущий дифференциал: От «предыдущий член комплекса» к «текущий член комплекса».Его образ лежит в $\ker d_{0}$ благодаря равенству $d_{0} d_{- 1} = 0$ .
следующий дифференциал: От «текущий член комплекса» к «следующий член комплекса».Когомология в $E^{0}$ получается факторизацией этого ядра по образу предыдущего дифференциала.

Для фрагмента комплекса с $d_{0} d_{- 1} = 0$ когомологией в $E^{0}$ называют фактор

H^{0} (E^{∙}) = \ker d_{0} / im d_{- 1}

В произвольной степени действует та же формула:

H^{i} (E^{∙}) = \ker d_{i} / im d_{i - 1}

Числитель равен ядру следующего дифференциала, а знаменатель — образу предыдущего. Этот фактор равен нулю ровно при $im d_{i - 1} = \ker d_{i}$ . Поэтому одно ядро не определяет, точен ли комплекс в этом члене: ненулевое ядро совместимо с нулевой когомологией, если оно целиком состоит из образов предыдущего члена.

Например, положим $d_{0} (x, y) = x$ для $d_{0} : R^{2} \to R$ . Его ядро — вертикальная ось. Если $d_{- 1} (t) = (0, t)$ , образ предыдущего отображения совпадает со всем ядром, и $H^{0} = 0$ . Если же $d_{- 1} = 0$ , то $im d_{- 1} = 0$ , поэтому $H^{0} ≅ R$ .

Для комплекса векторных расслоений точность над подпространством $A$ означает, что в каждой точке $x \in A$ выполняется $im d_{i - 1, x} = \ker d_{i, x}$ , или, эквивалентно, $H^{i} (E_{x}^{∙}) = 0$ во всех степенях.

Относительный класс — это разность вместе с отождествлением

В абсолютной группе $K^{0} (X)$ любой класс записывается как формальная разность $[E_{0}] - [E_{1}]$ . Между расслоениями $E_{1}$ и $E_{0}$ не требуется выбирать морфизм: группа Гротендика помнит только стабильную разность.

Для относительной группы $K^{0} (X, A)$ той же разности недостаточно. Нужно указать изоморфизм $α : E_{1} |_{A} \to E_{0} |_{A}$ между ограничениями над $A$ . Разные изоморфизмы могут задавать разные относительные классы при одной абсолютной разности.

Чтобы затем умножать относительные представители, переведём данные тройки в язык комплексов: тензорное произведение работает с градуированными членами и дифференциалами. При этом нужно сохранить исходную формальную разность и превратить изоморфизм над $A$ в условие точности.

Положительный член записанной выше разности поместим в степень ноль, а отрицательный — в предыдущую степень. Тогда чередующийся класс комплекса совпадёт с исходной разностью. Выбранный изоморфизм должен стать ограничением дифференциала. Искомая запись имеет вид

E^{- 1} = E_{1}, E^{0} = E_{0}

d : E^{- 1} ⟶ E^{0}

d |_{A} = α

Остаётся обосновать существование глобального дифференциала: изначально $α$ задан только над $A$ . Изоморфизм $α$ является сечением расслоения $Hom (E_{1}, E_{0}) |_{A}$ . Для замкнутого подкомплекса $A \subset X$ такое сечение продолжается на $X$ с помощью локальных тривиализаций и разбиения единицы. Выберем продолжение $d : E_{1} \to E_{0}$ . Поскольку его ограничение равно выбранному изоморфизму, на $A$ комплекс точен в обеих ненулевых степенях.

Если ранг $d$ локально постоянен, его ядро, образ и коядро являются векторными расслоениями. Они входят в две короткие точные последовательности

0 \to \ker d \to E_{1} \to im d \to 0

0 \to im d \to E_{0} \to coker d \to 0

Общий член $im d$ позволяет склеить их в одну длинную точную последовательность:

0 \to \ker d \to E_{1} \to im d \to 0

0 \to im d \to E_{0} \to coker d \to 0

Её чередующееся соотношение в группе Гротендика имеет вид

[\ker d] - [E_{1}] + [E_{0}] - [coker d] = 0

Перегруппировав члены, получаем класс исходного двухчленного комплекса:

[E_{0}] - [E_{1}] = [coker d] - [\ker d]

Над $A$ дифференциал совпадает с выбранным изоморфизмом, поэтому его ядро и коядро равны нулю. Для двухчленного комплекса это и есть точность: в левом ненулевом члене она требует инъективности, а в правом — сюръективности.

Тензорное произведение выводит комплекс за пределы двух членов

Предыдущий раздел дал двухчленный представитель отдельного относительного K-класса. Теперь нужно сохранить внешнее произведение таких классов:

Сократим запись, положив $C = (A \times Y) \cup (X \times B)$ . Нужно сохранить отображение

K^{0} (X, A) \otimes_{Z} K^{0} (Y, B) ⟶ K^{0} (X \times Y, C)

Пусть множители представлены двухчленными комплексами $E^{∙}$ и $F^{∙}$ , расположенными, как и в предыдущем разделе, в степенях минус один и ноль. Их чередующиеся классы, или эйлеровы характеристики, обозначим через $χ$ :

χ (E^{∙}) = [E^{0}] - [E^{- 1}]

χ (F^{∙}) = [F^{0}] - [F^{- 1}]

Чтобы выполнить внешнее произведение на уровне ко́мплексных представителей, нужно построить комплекс $G^{∙}$ так, чтобы

χ (G^{∙}) = χ (E^{∙}) ⊠ χ (F^{∙})

После раскрытия произведения эйлеровых характеристик каждое слагаемое имеет вид $E^{p} ⊠ F^{q}$ . Поэтому членами $G^{∙}$ должны стать прямые суммы таких попарных тензорных произведений. Остаётся определить, какие пары индексов попадут в одну степень и как соединить полученные суммы дифференциалами. Сначала разберём минимальный пример.

Возьмём два двухчленных комплекса комплексных векторных пространств. Их дифференциалы из степени минус один в степень ноль — умножение на числа $a$ и $b$ из $C$ :

E^{∙} : C \overset{a}{\to} C

F^{∙} : C \overset{b}{\to} C

Перемножим эти две разности и раскроем скобки:

Записываем внешнее произведение
$\begin{aligned} χ (E^{∙}) ⊠ χ (F^{∙}) & = ([E^{0}] - [E^{- 1}]) \\ ⊠ ([F^{0}] - [F^{- 1}]) \end{aligned}$
Результат: Раскрываем скобки
$\begin{aligned} [E^{0} ⊠ F^{0}] - [E^{- 1} ⊠ F^{0}] \\ - [E^{0} ⊠ F^{- 1}] + [E^{- 1} ⊠ F^{- 1}] \end{aligned}$

Эти четыре тензорных произведения образуют двойной комплекс (double complex). Поместим $E^{p} ⊠ F^{q}$ в клетку, отмеченную парой степеней $(p, q)$ . Первый дифференциал действует по горизонтали, а второй — по вертикали:

C^{p, q} = E^{p} ⊠ F^{q}

d_{h} = d_{E} ⊠ 1 : C^{p, q} ⟶ C^{p + 1, q}

d_{v} = 1 ⊠ d_{F} : C^{p, q} ⟶ C^{p, q + 1}

Отображения $d_{h}$ и $d_{v}$ действуют на разных множителях, поэтому квадрат коммутирует. В нашем примере все четыре пространства $C^{p, q}$ являются копиями $C$ и имеют степени $(- 1, - 1)$ , $(0, - 1)$ , $(- 1, 0)$ и $(0, 0)$ . В раскрытой разности знак каждого члена равен $(- 1)^{p + q}$ : плюс при чётной сумме степеней и минус при нечётной.

d_{E} ⊠ 1

1 ⊠ d_{F}

1 ⊠ d_{F}

d_{E} ⊠ 1

Два пути по квадрату дают одну композицию.

Объекты и связи диаграммы

суммарная степень минус два: Единственный член двойного комплекса, в котором оба множителя имеют степень минус один.
суммарная степень ноль: Верхний правый член, в котором применены оба дифференциала.
первый член суммарной степени минус один: Первый способ получить суммарную степень $- 1$ : применить дифференциал комплекса $E^{∙}$ .
второй член суммарной степени минус один: Второй способ получить суммарную степень $- 1$ : применить дифференциал комплекса $F^{∙}$ .
нижний горизонтальный дифференциал: От «суммарная степень минус два» к «первый член суммарной степени минус один».Применяет $d_{E}$ и сохраняет степень второго комплекса.
левый вертикальный дифференциал: От «суммарная степень минус два» к «второй член суммарной степени минус один».Применяет $d_{F}$ и сохраняет степень первого комплекса.
правый вертикальный дифференциал: От «первый член суммарной степени минус один» к «суммарная степень ноль».Завершает путь, на котором сначала меняется первый множитель.
верхний горизонтальный дифференциал: От «второй член суммарной степени минус один» к «суммарная степень ноль».Завершает путь, на котором сначала меняется второй множитель.

Теперь заметим, что члены $C^{- 1, 0}$ и $C^{0, - 1}$ имеют одну полную степень $- 1$ и входят в раскрытую разность с одинаковым знаком. Классы складываются с помощью прямой суммы, поэтому два средних слагаемых можно собрать в одно:

C^{- 1} = C^{- 1, 0} \oplus C^{0, - 1}

χ (C^{∙}) = [C^{0, 0}] - [C^{- 1}] + [C^{- 1, - 1}]

Одинаковая полная степень не означает одинаковой размерности. В общем случае

rank C^{- 1, 0} = rank E^{- 1} rank F^{0}

rank C^{0, - 1} = rank E^{0} rank F^{- 1}

Эти ранги могут различаться. Члены объединяются потому, что оба дифференциала повышают сумму $p + q$ на единицу и оба класса входят в эйлерову характеристику со знаком $(- 1)^{p + q}$ .

Сборка всех членов двойного комплекса с одинаковой суммой степеней называется тотализацией (totalization). В нашем квадрате она даёт

{Tot}^{- 2} C = C^{- 1, - 1} ≅ C

{Tot}^{- 1} C = C^{- 1, 0} \oplus C^{0, - 1} ≅ C^{2}

{Tot}^{0} C = C^{0, 0} ≅ C

Поэтому четыре члена квадрата превращаются в показанный ниже трёхчленный комплекс.

D_{- 2}

D_{- 1}

Квадрат тотального дифференциала равен нулю.

Объекты и связи диаграммы

член степени минус один: Прямая сумма двух способов набрать суммарную степень $- 1$ .
член степени минус два: Диагональ двойного комплекса с суммарной степенью $- 2$ .
член степени ноль: Диагональ двойного комплекса с суммарной степенью $0$ .
первый тотальный дифференциал: От «член степени минус два» к «член степени минус один».Складывает горизонтальное и вертикальное движения из степени минус два.
второй тотальный дифференциал: От «член степени минус один» к «член степени ноль».Использует градуированный знак, чтобы композиция $D_{- 1} D_{- 2}$ была нулевой.

Если в прямой сумме сначала поставить слагаемое степени $(- 1, 0)$ , а затем слагаемое степени $(0, - 1)$ , дифференциалы имеют вид

D_{- 2} (t) = (- b t, a t)

D_{- 1} (x, y) = a x + b y

Знак минус выбран так, чтобы соседние дифференциалы образовывали комплекс:

D_{- 1} D_{- 2} (t) = - a b t + a b t = 0

Именно здесь впервые возникает третий член: не потому, что один относительный K-класс нельзя представить двумя членами, а потому, что при тензорном произведении средняя полная степень получается двумя способами — как $- 1 + 0$ и как $0 - 1$ .

Для произвольных комплексов $E^{∙}$ и $F^{∙}$ действует то же правило:

{Tot}^{k} (E^{∙} ⊠ F^{∙}) = ⨁_{p + q = k} E^{p} ⊠ F^{q}

На однородном элементе $e \otimes f$ с $e \in E^{p}$ тотальный дифференциал определяется формулой

D (e \otimes f) = d_{E} e \otimes f + (- 1)^{p} e \otimes d_{F} f

Без знака два смешанных пути вокруг квадрата сложились бы. Множитель $(- 1)^{p}$ даёт им противоположные знаки, поэтому они взаимно уничтожаются и $D^{2} = 0$ .

Чередующийся класс тотального комплекса равен произведению чередующихся классов исходных комплексов:

χ (Tot (E^{∙} ⊠ F^{∙})) = \sum_{p, q} (- 1)^{p + q} [E^{p} ⊠ F^{q}]

χ (Tot (E^{∙} ⊠ F^{∙})) = χ (E^{∙}) ⊠ χ (F^{∙})

Важно не приписывать тотализации лишнего. Она берёт прямую сумму по диагонали и вводит знак в дифференциал, но не перемножает элементы. Поэтому знак $(- 1)^{p}$ ещё не превращает члены комплекса во внешние степени.

Если $E^{∙}$ точен над $A$ , а $F^{∙}$ — над $B$ , тотальный комплекс точен на $(A \times Y) \cup (X \times B)$ . Действительно, над точкой $(x, y) \in A \times Y$ комплекс $E_{x}^{∙}$ точен. В конечномерном случае точный комплекс допускает стягивающую гомотопию $h$ с $d_{E} h + h d_{E} = id$ . На тотальном комплексе отображение $h ⊠ 1$ снова является стягивающей гомотопией: два слагаемых, содержащих $d_{F}$ , сокращаются из-за градуированного знака. На $X \times B$ применяется тот же аргумент ко второму множителю. Поэтому тотальный комплекс представляет внешнее произведение исходных относительных классов.

Конечные комплексы образуют модель, устойчивую к умножению

Двухчленные представители не замкнуты относительно тензорного произведения: уже произведение двух таких представителей имеет три степени. Поэтому расширим класс допустимых представителей до конечных комплексов. Нужно проверить две вещи: точность над $A$ должна по-прежнему задавать относительный класс, а двухчленная модель должна получаться как частный случай.

Комплекс состоит из конечного набора векторных расслоений $E^{i} \to X$ и дифференциалов $d_{i} : E^{i} \to E^{i + 1}$ . Соседние дифференциалы удовлетворяют условию $d_{i + 1} d_{i} = 0$ , а после ограничения на $A$ выполнены равенства

im (d_{i - 1} |_{A}) = \ker (d_{i} |_{A})

Комплекс с нулевой когомологией во всех степенях называют ацикличным (acyclic). Таким образом, условие означает, что ограничение комплекса на $A$ ациклично.

Если членов больше двух, отдельный дифференциал не обязан быть изоморфизмом. Точность в $E^{i} |_{A}$ означает $im d_{i - 1} = \ker d_{i}$ . Эквивалентно, дифференциал индуцирует изоморфизм

E^{i} |_{A} / im (d_{i - 1} |_{A}) \overset{≅}{\to} im (d_{i} |_{A})

Формальная эйлерова характеристика комплекса равна

χ (E^{∙}) = \sum_{i} (- 1)^{i} [E^{i}]

Над $A$ равенства $im (d_{i - 1} |_{A}) = \ker (d_{i} |_{A})$ и короткие точные последовательности

0 \to im (d_{i - 1} |_{A}) \to E^{i} |_{A} \to im (d_{i} |_{A}) \to 0

влекут равенство $χ (E^{∙}) |_{A} = 0$ в $K^{0} (A)$ . Чтобы получить не только нулевое ограничение, но и относительный представитель, разделим члены комплекса по чётности:

E^{ev} = ⨁_{i} E^{2 i}

E^{odd} = ⨁_{i} E^{2 i + 1}

Чтобы извлечь из длинного комплекса тройку, выберем эрмитовы метрики и обозначим через $d^{*}$ оператор, сопряжённый сумме дифференциалов $d$ . Оператор $B = d + d^{*}$ меняет чётность, а его квадрат равен оператору Лапласа:

B^{2} = d d^{*} + d^{*} d = Δ

Зафиксируем точку $x \in X$ . В степени $i$ метрика даёт ортогональное разложение слоя

Обозначим среднее слагаемое через $H_{x}^{i} = \ker d_{i, x} \cap \ker d_{i - 1, x}^{*}$ . Тогда

E_{x}^{i} = im d_{i - 1, x} \oplus H_{x}^{i} \oplus im d_{i, x}^{*}

Среднее слагаемое состоит из векторов, уничтожаемых и $d$ , и $d^{*}$ ; оно равно ядру $Δ$ в степени $i$ . Проекция $\ker d_{i, x}$ на это слагаемое отождествляет его с $H^{i} (E_{x}^{∙})$ . Над $A$ когомологии равны нулю, следовательно, $\ker Δ = 0$ и $B$ обратим.

Поскольку $B$ переводит чётную часть в нечётную и обратно, его ограничение задаёт изоморфизм

α_{E} = B |_{E^{odd} |_{A}} : E^{odd} |_{A} \overset{≅}{\to} E^{ev} |_{A}

Так из комплекса получается тройка $(E^{odd}, E^{ev}, α_{E})$ . Замена метрик даёт непрерывное семейство операторов $B$ и потому не меняет относительный K-класс.

Добавление элементарного комплекса $0 \to H \overset{id}{\to} H \to 0$ и деформация через комплексы, точные над $A$ , не меняют относительный класс. Для компактной CW-пары $(X, A)$ после этих отождествлений отображение

E^{∙} ⟼ [(E^{odd}, E^{ev}, α_{E})]

задаёт изоморфизм с $K^{0} (X, A)$ . Обратная конструкция отправляет тройку $(E_{1}, E_{0}, α)$ в двухчленный комплекс $E_{1} \to E_{0}$ , дифференциал которого продолжает $α$ с $A$ на $X$ , как во втором разделе. Поэтому каждый относительный класс уже встречается среди конечных комплексов, а добавление элементарных комплексов и деформации задают те же отождествления, что стабилизация и гомотопия троек.

Теперь произведение относительных классов можно вычислять на уровне комплексов, не сворачивая результат после каждого шага обратно в две степени. Эта же модель задаёт K-теорию с носителем. Если $X$ локально компактно, а $Z \subset X$ компактно и замкнуто, обозначим через $K_{Z}^{0} (X)$ группу стабильных классов конечных комплексов расслоений, точных в каждой точке $X ∖ Z$ ; также пишут $K^{0} (X, X ∖ Z)$ . Ограничение на любую открытую окрестность $Z$ индуцирует изоморфизм; это свойство называется вырезанием. Ниже мы применим его к $Z = {0} \subset C^{n}$ .

Пусть $Z$ задано общими нулями функций $f_{1}, \dots, f_{n}$ . Для одной функции возьмём двухчленный комплекс, дифференциал которого в точке $x$ является умножением на число $f_{1} (x)$ . Он точен там, где это число ненулевое.

Для нескольких функций возьмём тензорное произведение таких комплексов. Если $x \notin Z$ , то хотя бы одно значение $f_{i} (x)$ ненулевое. Соответствующий двухчленный комплекс обратим и стягиваем, а тензорное произведение со стягиваемым комплексом снова стягиваемо. Поэтому весь комплекс точен в $x$ . Начнём с точной формулы для одного множителя.

Ненулевое значение функции делает двухчленный комплекс точным

Сначала построим алгебраическую модель этого двухчленного комплекса. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, а $f \in R$ — элемент, играющий роль функции. Умножение на него задаёт $R$ -линейное отображение из одной свободной копии кольца в другую.

Во всей главе дифференциал повышает степень. Поэтому исходную копию $R$ поместим в степень $- 1$ , целевую — в степень $0$ , а между ними возьмём умножение на $f$ .

C (f) : 0 \to R \overset{f}{\to} R \to 0

Обозначение $R_{f}$ означает кольцо, в котором к $R$ формально добавлен обратный элемент $f^{- 1}$ . После замены $R$ на $R_{f}$ дифференциал комплекса $C (f)$ становится изоморфизмом, поэтому обе его когомологии равны нулю.

Если элементы $R$ являются функциями на пространстве $X$ , то в точке $x$ отображение комплекса вычисляется как умножение $C \overset{f (x)}{\to} C$ . При $f (x) \neq 0$ оно обратимо. Следовательно, ненулевая когомология возможна только в точках множества $Z (f) = {x ∣ f (x) = 0}$ . Иными словами, условие точности на $X ∖ Z (f)$ проверяется в каждой его точке вычислением одного скалярного отображения.

Теперь вычислим, какую информацию комплекс хранит на этом множестве. В степени $0$ следующий дифференциал равен нулю, поэтому его ядро — вся целевая копия $R$ . Образ предыдущего дифференциала состоит из кратных $f$ , то есть равен идеалу $f R$ . Следовательно,

H^{0} (C (f)) = R / f R = R / (f)

В степени $- 1$ предыдущего ненулевого члена нет. Поэтому когомология здесь равна ядру умножения на $f$ :

H^{- 1} (C (f)) = {r \in R ∣ f r = 0}

Нулевая когомология — это факторкольцо, полученное после наложения уравнения $f = 0$ : два элемента становятся равными, если их разность кратна $f$ . Когомология в степени минус один показывает, есть ли ненулевые множители, уже уничтожаемые умножением на $f$ . Если таких множителей нет, то $H^{- 1} = 0$ .

Для двух элементов общее множество нулей равно $Z (f_{1}) \cap Z (f_{2})$ . В каждой точке вне этого пересечения хотя бы одно отображение умножения обратимо. Поэтому тензорное произведение $C (f_{1}) \otimes_{R} C (f_{2})$ будет точным на дополнении общего множества нулей и задаст класс относительно этого дополнения. Теперь вычислим его члены и дифференциалы.

Два уравнения требуют трёх степеней

Пусть выбраны $f_{1}, f_{2} \in R$ . Для каждого из них уже построен двухчленный комплекс $C (f_{i})$ . Чтобы различать две исходные копии кольца, обозначим их через $R e_{i}$ , где $e_{i}$ имеет степень $- 1$ . Целевая копия $R$ остаётся в степени $0$ , а дифференциал задаётся равенством $d (e_{i}) = f_{i}$ .

Символ $e_{i}$ здесь не является элементом исходного кольца. Это имя базисного вектора в отдельной свободной копии кольца. Индекс напоминает, к какому из элементов $f_{i}$ относится эта копия. Равенство $d (e_{i}) = f_{i}$ полностью задаёт соответствующее отображение умножения.

Эти два члена можно записать как нулевую и первую внешние степени свободного модуля ранга один. Нулевая степень равна $R$ , а первая — $R e_{i}$ .

Если внешнюю степень $k$ поместить в когомологическую степень $- k$ , запись принимает вид

C (f_{i})^{- k} = Λ^{k} (R e_{i})

| e_{i} | = - 1, d (e_{i}) = f_{i}

Модуль $R e_{i}$ имеет ранг один. Поэтому равенство $e_{i} \land e_{i} = 0$ равносильно тому, что все внешние степени выше первой равны нулю. Пока запись через внешнюю алгебру лишь переименовывает два члена уже построенного комплекса.

Теперь возьмём тензорное произведение $C (f_{1}) \otimes_{R} C (f_{2})$ . В каждом множителе можно выбрать либо элемент $1$ степени $0$ , либо генератор $e_{i}$ степени $- 1$ . Если не выбрать ни одного генератора, получится один член степени ноль. Ровно один генератор можно выбрать двумя способами, поэтому в степени минус один появятся два члена. Оба генератора вместе дают один член степени минус два. Это обычное раскрытие скобок: степень результата равна сумме степеней выбранных членов.

Осталось вычислить дифференциал. На двух генераторах степени минус один он повторяет уже заданные отображения. На генераторе степени минус два действует правило тотального дифференциала: поскольку первый генератор имеет нечётную степень, второе слагаемое входит со знаком минус.

Применяем правило тензорного произведения
$d (e_{1} \otimes e_{2}) = d (e_{1}) \otimes e_{2} - e_{1} \otimes d (e_{2})$
Подставляем исходные дифференциалы
$d (e_{1} \otimes e_{2}) = f_{1} e_{2} - f_{2} e_{1}$
Результат: Переходим к координатам
$d^{- 2} (c) = (- f_{2} c, f_{1} c)$

Последний шаг вывода даёт дифференциал из степени минус два в степень минус один. Остаётся записать дифференциал из степени минус один в степень ноль:

d^{- 1} (a, b) = f_{1} a + f_{2} b

Соседняя композиция равна нулю:

d^{- 1} d^{- 2} (c) = - f_{1} f_{2} c + f_{2} f_{1} c = 0

Например, возьмём кольцо многочленов над некоторым полем, $R = k [x, y]$ , выберем элементы $x, y$ и подставим их в только что полученные формулы.

Образ дифференциала $d^{- 1}$ — идеал $(x, y)$ , поэтому нулевая когомология равна $R / (x, y) ≅ k$ . Иными словами, комплекс наложил оба координатных уравнения одновременно. Левый дифференциал нужен не для вычисления этого факторкольца, а для записи соотношения $x (- y) + y (x) = 0$ между двумя образующими идеала.

В степени $- 1$ две копии $R$ соответствуют выбору $e_{1}$ или $e_{2}$ . Оба генератора имеют нечётную степень, поэтому градуированная перестановка даёт

e_{i} \land e_{j} = - e_{j} \land e_{i}, e_{i} \land e_{i} = 0

Поэтому внешняя алгебра для двух элементов имеет ровно три ненулевые степени: $R$ , $R e_{1} \oplus R e_{2}$ и $R (e_{1} \land e_{2})$ . Теперь тот же подсчёт можно повторить для любого числа элементов.

Выбор подмножеств превращается во внешнюю алгебру

Теперь пусть заданы $n$ элементов $f_{1}, \dots, f_{n} \in R$ . Тензорное произведение соответствующих комплексов обозначим через $C = C (f_{1}) \otimes_{R} \dots \otimes_{R} C (f_{n})$ . Член полной степени $- k$ получается, если ровно в $k$ множителях выбрать член $R e_{i}$ степени минус один. Остальные $n - k$ множителей дают целевую копию $R$ .

Такой выбор задаётся подмножеством индексов $I = {i_{1} < \dots < i_{k}}$ . Обозначим соответствующий базисный элемент через $e_{I} = e_{i_{1}} \land \dots \land e_{i_{k}}$ , а порождённую им копию кольца — через $R e_{I}$ . Все генераторы соберём в свободный модуль

Q = R e_{1} \oplus \dots \oplus R e_{n}

Внешняя степень $Λ^{k} Q$ имеет базис из элементов $e_{I}$ по всем $k$ -элементным подмножествам $I$ . Отсюда получаем изоморфизм

{Tot}^{- k} C = ⨁_{# I = k} R e_{I} ≅ Λ^{k} Q

Определим $f \in Q^{*}$ как $R$ -линейное отображение $Q \to R$ , заданное на базисе равенствами $f (e_{i}) = f_{i}$ . Такое отображение называют ковектором. Комплексом Кошуля (Koszul complex) последовательности $f_{1}, \dots, f_{n}$ называется когомологический комплекс

K^{- k} (f_{1}, \dots, f_{n}) = Λ^{k} Q

d = ι_{f} : K^{- k} ⟶ K^{- k + 1}

Обозначение $ι_{f}$ означает свёртку с ковектором $f$ : она берёт один из выбранных генераторов $e_{i}$ , заменяет его на коэффициент $f_{i}$ и тем самым уменьшает внешнюю степень на один.

Равенства $d (e_{i}) = f_{i}$ и правило знаков для тензорного произведения однозначно определяют дифференциал на каждом базисном элементе $e_{I}$ . Он по очереди удаляет один выбранный генератор:

Пишем $e_{I} = e_{i_{1}} \land \dots \land e_{i_{k}}$ и через $e_{I ∖ i_{j}}$ обозначаем моном без $e_{i_{j}}$ . Тогда

d (e_{I}) = \sum_{j = 1}^{k} (- 1)^{j - 1} f_{i_{j}} e_{I ∖ i_{j}}

В слагаемом с номером $j$ генератор $e_{i_{j}}$ удаляется, результат умножается на $f_{i_{j}}$ , а знак $(- 1)^{j - 1}$ возникает при прохождении через предыдущие $j - 1$ нечётных генераторов. При повторном применении $d$ каждая пара генераторов удаляется в двух порядках. Коэффициенты совпадают, а знаки противоположны, поэтому $d^{2} = 0$ .

В степени $- 1$ имеем $K^{- 1} = Q$ , и дифференциал отправляет $\sum_{i} a_{i} e_{i}$ в $\sum_{i} a_{i} f_{i}$ . Поэтому его образ — идеал $(f_{1}, \dots, f_{n})$ и

H^{0} (K) = R / (f_{1}, \dots, f_{n})

Если $f_{1}, \dots, f_{n}$ образуют регулярную последовательность (regular sequence), то есть каждый $f_{i}$ не является делителем нуля в факторе по идеалу, порождённому предыдущими элементами $f_{1}, \dots, f_{i - 1}$ , то $H^{- k} (K) = 0$ для всех $k > 0$ . В этом случае нулевая когомология — единственная ненулевая когомология комплекса.

Для произвольной последовательности отрицательная когомология может быть ненулевой. Уже в степени $- 1$ её числитель состоит из наборов $(a_{1}, \dots, a_{n})$ с $\sum_{i} a_{i} f_{i} = 0$ , а знаменатель — из образа отображения $d : Λ^{2} Q \to Q$ . Поэтому $H^{- 1}$ состоит из соотношений между $f_{i}$ , взятых по модулю границ из степени минус два. Для каждой пары индексов такая граница имеет вид

d (e_{i} \land e_{j}) = f_{i} e_{j} - f_{j} e_{i}

Следовательно, в $H^{- 1}$ два соотношения считаются одинаковыми, если их разность является линейной комбинацией этих элементарных попарных соотношений.

Теперь проверим точность вне общего множества нулей. В точке, где $f_{j} \neq 0$ двухчленный множитель $C (f_{j})$ имеет обратный дифференциал: умножение на $f_{j}^{- 1}$ задаёт его стягивающую гомотопию. Тензорное произведение этой гомотопии с тождественными отображениями остальных множителей стягивает весь комплекс Кошуля. Поэтому его когомология равна нулю в каждой точке, где хотя бы одно $f_{j}$ не обращается в нуль.

Точность вне нуля даёт относительный K-класс

В алгебраической конструкции комплекс Кошуля был точен там, где вектор значений $(f_{1}, \dots, f_{n})$ не равен нулю. Для универсальной топологической модели отбросим сами функции и возьмём их возможный вектор значений $v \in C^{n}$ за параметр. Искомый комплекс должен непрерывно зависеть от $v$ и быть точным при $v \neq 0$ . Тогда единственная точка, в которой у него может остаться когомология, — начало координат, и комплекс представляет класс относительной группы

K^{0} (C^{n}, C^{n} ∖ {0})

В размерности один ответ даёт сама координата. Для точки $z \in C$ возьмём между двумя копиями $C$ умножение на координату:

d_{z} (u) = z u

Поместим исходную копию в степень ноль, а целевую — в степень один. Тогда $d_{z}$ является единственным дифференциалом комплекса.

Оператор обратим при ненулевой координате и равен нулю в начале координат. На единичной окружности дифференциал $d_{z}$ имеет число оборотов $1$ . В модели троек изоморфизм $α$ должен идти из нечётной части в чётную и равен $d_{z}^{- 1}$ , поэтому его число оборотов равно $- 1$ . Однако нормальная пара $(E, τ)$ использует $τ = α^{- 1} = d_{z}$ ; следовательно, соответствующий относительный класс имеет число оборотов $1$ . Фиксируем это соглашение: в комплексной размерности один полученный класс совпадает с выбранным элементом Ботта $β$ .

Обозначим $V = C^{n}$ и выберем базис $e_{1}, \dots, e_{n}$ . Вектор запишем в координатах $v = (v_{1}, \dots, v_{n})$ . Для каждой координаты построим такой двухчленный комплекс, затем возьмём их тензорное произведение и тотализируем.

В полной степени $k$ выбирается ровно $k$ одномерных членов степени один. Выбор множителей задаётся подмножеством ${i_{1} < \dots < i_{k}}$ , которому сопоставляется базисный вектор $e_{i_{1}} \land \dots \land e_{i_{k}}$ . Поэтому полученный член отождествляется с $Λ^{k} V$ . Знаки тотализации превращают сумму одномерных дифференциалов во внешнее умножение на весь вектор:

d_{v} (w) = \sum_{i} v_{i} e_{i} \land w = v \land w

Это дуальный вариант алгебраического комплекса Кошуля: там внешняя степень располагалась в отрицательной степени и дифференциал удалял генератор, а здесь она расположена в положительной степени и дифференциал добавляет вектор. В обоих соглашениях дифференциал повышает когомологическую степень на единицу.

Равенство $v \land v = 0$ сразу даёт $d_{v}^{2} = 0$ . Значит, полученное отображение действительно является дифференциалом.

После выбора эрмитова скалярного произведения оператор свёртки становится сопряжённым внешнему умножению. Обозначим его через $d_{v}^{*}$ . На полной внешней алгебре сумма внешнего умножения и свёртки удовлетворяет равенству

c_{v} = d_{v} + d_{v}^{*}, c_{v}^{2} = ‖ v ‖^{2} id

Второе равенство следует из тождества между внешним умножением и свёрткой: $d_{v} d_{v}^{*} + d_{v}^{*} d_{v} = ⟨ v, v ⟩ id$ . Слагаемые $d_{v}^{2}$ и $(d_{v}^{*})^{2}$ равны нулю.

Оператор $c_{v}$ меняет чётность внешней степени. Как в общей ко́мплексной модели, разделим внешнюю алгебру на чётную и нечётную части и обозначим через $β_{v} = c_{v} |_{Λ^{ev} V}$ его ограничение с чётной части на нечётную. В отличие от дифференциала $d_{v}$ , который соединяет соседние степени, оператор $β_{v}$ соединяет прямую сумму всех чётных членов с прямой суммой всех нечётных. При ненулевом векторе он обратим, а при нулевом равен нулю.

Так как $c_{v}^{2} = ‖ v ‖^{2} id$ , при $v \neq 0$ обратным к $β_{v}$ служит противоположное ограничение

α_{v} = β_{v}^{- 1} = ‖ v ‖^{- 2} c_{v} |_{Λ^{odd} V} : Λ^{odd} V ⟶ Λ^{ev} V

Это изоморфизм, требуемый моделью троек на дополнении нуля. Чтобы напрямую проверить точность исходного комплекса вне нуля, вернёмся к дифференциалу $d_{v}$ . Следующая модель сравнивает два случая: параметр $v$ равен нулю или отличен от него.

Вне начала координат найдите операцию, которая стягивает комплекс. Затем выберите нулевой вектор: какой шаг этой конструкции перестаёт иметь смысл? Сравните дифференциалы и не путайте комплекс с нулевым дифференциалом с точным комплексом.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Если $v \neq 0$ , выберем $φ \in V^{*}$ с $φ (v) = 1$ . Свёртка $ι_{φ}$ удовлетворяет тождеству

ι_{φ} d_{v} + d_{v} ι_{φ} = id

Действительно, для любого элемента внешней алгебры $w$ левая часть равна $ι_{φ} (v \land w) + v \land ι_{φ} (w) = φ (v) w = w$ .

Это стягивающая гомотопия (contracting homotopy): тождественное отображение гомотопно нулю, поэтому при $v \neq 0$ все группы когомологий комплекса равны нулю.

При $v = 0$ все дифференциалы равны нулю, и $H^{*} (Λ^{∙} V, d_{0}) = Λ^{∙} V$ . Таким образом, начало координат — единственная точка, в которой комплекс не является точным.

Диск и его граница дают компактную модель относительного класса

Мы построили комплекс на всём пространстве $V = C^{n}$ и доказали, что он точен вне начала координат. Значит, он уже задаёт класс в $K^{0} (V, V ∖ {0})$ . Для дальнейшего перехода к расслоениям удобнее заменить эту некомпактную пару компактной. Используем норму от уже выбранного эрмитова скалярного произведения и положим

D (V) = {v \in V ∣ ‖ v ‖ \leq 1}, S (V) = \partial D (V)

Вырезание позволяет сначала ограничиться диском: часть $V ∖ D (V)$ целиком лежит в дополнении нуля и не содержит возможной когомологии комплекса. Затем проколотый диск $D (V) ∖ {0}$ радиально деформируется на свою границу. Эти два шага дают изоморфизмы

K^{0} (V, V ∖ {0}) ≅ K^{0} (D (V), D (V) ∖ {0})

K^{0} (D (V), D (V) ∖ {0}) ≅ K^{0} (D (V), S (V))

На уровне нашего представителя это отождествление означает обычное ограничение параметра $v$ диском. В степени $k$ получаем постоянное расслоение $D (V) \times Λ^{k} V$ с уже построенным дифференциалом

d_{v} : Λ^{k} V ⟶ Λ^{k + 1} V, d_{v} (w) = v \land w

Каждая точка $v \in S (V)$ ненулевая. Эрмитова метрика задаёт ковектор $v^{*}$ , для которого $v^{*} (v) = 1$ . Свёртка с $v^{*}$ задаёт стягивающую гомотопию ограничения комплекса на сферу. Следовательно, ограниченный на диск комплекс определяет класс

λ_{V} \in K^{0} (D (V), S (V))

Относительная K-теория пары $(D (V), S (V))$ равна приведённой K-теории пространства, полученного стягиванием всего $S (V)$ в одну точку:

K^{0} (D (V), S (V)) ≅ {\tilde{K}}^{0} (D (V) / S (V))

Внутренность диска гомеоморфна $V$ , поэтому фактор $D (V) / S (V)$ является одноточечной компактификацией $V$ . Как вещественное пространство $V$ имеет размерность $2 n$ , следовательно, этот фактор гомеоморфен $S^{2 n}$ . Итак,

λ_{V} \in {\tilde{K}}^{0} (S^{2 n})

При $n = 1$ это класс отображения $z \mapsto z / ‖ z ‖$ на граничной окружности, то есть генератор ${\tilde{K}}^{0} (S^{2})$ . В размерности $n$ комплекс является тензорным произведением $n$ одномерных комплексов, а $λ_{V}$ — внешним произведением их классов. Мультипликативная форма периодичности Ботта утверждает, что это произведение является генератором ${\tilde{K}}^{0} (S^{2 n})$ . Этот генератор называется классом Тома (Thom class) векторного пространства $V$ .

Тавтологическое сечение переносит комплекс на расслоение

Если расслоение тривиально и имеет вид $X \times V$ , предыдущий комплекс можно повторить над каждой точкой $X$ : во всех слоях используется одно и то же векторное пространство $V$ . У нетривиального расслоения нельзя глобально выбрать такие отождествления слоёв с одним $V$ , поэтому координатная формула $v = (v_{1}, \dots, v_{n})$ зависит от выбранной тривиализации и сама по себе не задаёт глобальный дифференциал. Нужна формула, использующая только вектор внутри его собственного слоя.

Пусть $p : E \to X$ — комплексное векторное расслоение ранга $n$ с эрмитовой метрикой. Его дисковое и сферическое расслоения состоят из пар

D (E) = {(x, v) ∣ x \in X, v \in E_{x}, ‖ v ‖ \leq 1}

S (E) = {(x, v) ∣ x \in X, v \in E_{x}, ‖ v ‖ = 1}

Обозначим проекцию $D (E) \to X$ через $π$ . Над точкой $(x, v) \in D (E)$ слой обратного образа $π^{*} E$ равен $E_{x}$ . Сама точка $(x, v)$ уже содержит конкретный вектор $v$ этого слоя. Поэтому на $π^{*} E$ существует каноническое сечение

s (x, v) = v \in E_{x}

Его называют тавтологическим сечением: оно возвращает тот самый вектор, который входит в запись точки дискового расслоения. Теперь формулу для одного пространства можно записать сразу над всем $D (E)$ . Членами комплекса служат внешние степени $Λ^{k} π^{*} E$ , а дифференциалом — внешнее умножение на $s$ :

d_{s} : Λ^{k} π^{*} E ⟶ Λ^{k + 1} π^{*} E, d_{s} (w) = s \land w

В точке $(x, v)$ эта формула превращается в $d_{v} (w) = v \land w$ на пространстве $E_{x}$ . Внешнее умножение согласовано с линейными заменами координат, поэтому локальные записи в тривиализациях $E$ совпадают на пересечениях. Действительно, для любой линейной замены координат $g$ выполняется

Λ^{k + 1} g (v \land w) = g (v) \land Λ^{k} g (w)

Поэтому дифференциалы, записанные в разных локальных координатах, переходят друг в друга вместе с расслоениями $Λ^{k} π^{*} E$ и задают один глобальный комплекс на $D (E)$ .

На $S (E)$ тавтологический вектор имеет норму один и нигде не равен нулю. Эрмитова метрика превращает $v$ в ковектор $v^{*}$ с $v^{*} (v) = 1$ . Свёртка с этим ковектором задаёт отображение $h_{(x, v)} = ι_{v^{*}}$ , непрерывно зависящее от $(x, v)$ , и удовлетворяет тождеству

h_{(x, v)} d_{s} + d_{s} h_{(x, v)} = id

Следовательно, ограничение комплекса на $S (E)$ точно, а значит, комплекс определяет относительный класс

λ_{E} \in K^{0} (D (E), S (E))

Пространством Тома (Thom space) расслоения $E$ называется фактор, в котором всё сферическое расслоение стягивается в одну точку:

X^{E} = D (E) / S (E)

По определению приведённой теории факторизация пары даёт изоморфизм

K^{0} (D (E), S (E)) ≅ {\tilde{K}}^{0} (X^{E})

λ_{E} \in {\tilde{K}}^{0} (X^{E})

Если ограничить эту конструкцию на точку $x \in X$ , получится пара $(D (E_{x}), S (E_{x}))$ и уже построенный класс $λ_{E_{x}}$ . Фактор $D (E_{x}) / S (E_{x})$ гомеоморфен $S^{2 n}$ , а ограничение $λ_{E}$ является генератором ${\tilde{K}}^{0} (S^{2 n})$ . Именно это свойство будет исходной точкой для изоморфизма Тома.

Комплексы как язык относительной K-теории

У линейного отображения есть два независимых дефекта

Когомология в одном члене

Относительный класс — это разность вместе с отождествлением

Класс двухчленного комплекса равен коядру минус ядро

Тензорное произведение выводит комплекс за пределы двух членов

Конечные комплексы образуют модель, устойчивую к умножению

Комплекс расслоений, точный над A

Конечные комплексы представляют те же относительные классы

Ненулевое значение функции делает двухчленный комплекс точным

Два уравнения требуют трёх степеней

Выбор подмножеств превращается во внешнюю алгебру

Алгебраический комплекс Кошуля

Точность вне нуля даёт относительный K-класс

Что меняется при v=0

Диск и его граница дают компактную модель относительного класса

Тавтологическое сечение переносит комплекс на расслоение