Глава 17 · Операции Адамса

Операции Адамса

Тотальный λ-класс хранит внешние степени, но его коэффициенты не аддитивны. Мы извлечём из него операции Адамса $ψ^{k}$ и увидим на чётной сфере множитель $k^{n}$ . Это подскажет искать такие скалярные части в общей K-теории. γ-фильтрация сначала даст лишь последовательные факторы, а рациональные проекторы Лагранжа превратят их в прямую сумму и дадут точную формулу для произвольного класса.

Соглашения

$X$ — связный конечный CW-комплекс.
Если явно не сказано обратное, $k \geq 1$ .
$t$ — формальная переменная.
Для $x \in K (X)$ через $rk (x)$ обозначается его целочисленный ранг.
$1 = [\underset{―}{C}]$ — единица кольца $K (X)$ .

Степенные суммы линейных слагаемых

Предыдущая глава оставила открытым вопрос: как различать выражения с разным числом γ-множителей? Для этого нужны аддитивные операции на $K (X)$ , действующие на таких выражениях разными множителями. Построим их из того же λ-ряда.

Продолжение внешних степеней на $K (X)$ не сделало отдельную операцию $λ^{k}$ аддитивной. Для $x, y \in K (X)$ уже при $k = 2$ формула прямой суммы имеет смешанное слагаемое:

λ^{2} (x + y) = λ^{2} (x) + x y + λ^{2} (y)

Будем искать естественную аддитивную операцию $ψ^{k} : K (X) \to K (X)$ . Для линейного расслоения $L$ канонический аналог обычной $k$ -й степени — тензорная степень $L^{\otimes k}$ , поэтому потребуем

ψ^{k} ([L]) = [L^{\otimes k}] = [L]^{k}

Естественность означает совместимость операции с обратным образом. Пусть $E \to X$ — расслоение постоянного ранга $r$ . По принципу расщепления существует отображение $π : Y \to X$ и линейные расслоения $L_{1}, \dots, L_{r} \to Y$ , для которых

π^{*} : K (X) ⟶ K (Y) инъективно

π^{*} E ≅ L_{1} \oplus \dots \oplus L_{r}

Меняем базу
$π^{*} ψ^{k} ([E]) = ψ^{k} (π^{*} [E])$
Используем аддитивность
$ψ^{k} (π^{*} [E]) = \sum_{a = 1}^{r} ψ^{k} ([L_{a}])$
Результат: Берём тензорные степени
$π^{*} ψ^{k} ([E]) = \sum_{a = 1}^{r} [L_{a}^{\otimes k}] = \sum_{a = 1}^{r} [L_{a}]^{k}$

Если искомая естественная аддитивная операция существует и удовлетворяет $ψ^{k} ([L]) = [L]^{k}$ , то после расщепления её значением может быть только полученная выше степенная сумма. Инъективность $π^{*}$ даёт единственность; существование ещё нужно доказать.

Для доказательства существования заметим, что λ-класс хранит те же линейные слагаемые не суммой, а произведением:

λ_{- t} (π^{*} [E]) = \prod_{a = 1}^{r} (1 - [L_{a}] t)

Задача свелась к точному алгебраическому вопросу: как из произведения линейных множителей получить суммы одинаковых степеней?

Определение операций Адамса

Нам нужно превратить произведение линейных множителей в сумму их независимых вкладов. Попробуем построить такую операцию, начиная с формальной производной рядов. Она определяется покоэффициентно:

{(\sum_{n \geq 0} c_{n} t^{n})}^{'} = \sum_{n \geq 1} n c_{n} t^{n - 1}

Формальная производная подчиняется обычному правилу произведения. Пусть

A (t) = A_{1} (t) \dots A_{r} (t)

A_{a} (t) \in 1 + t K (X) [[t]]

Правило произведения раскрывает производную в сумму, но в каждом слагаемом сохраняет все посторонние множители:

A^{'} (t) = \sum_{a = 1}^{r} A_{a}^{'} (t) \prod_{b \neq a} A_{b} (t)

Чтобы оставить в каждом слагаемом только вклад одного множителя, нужно сократить произведение остальных. У каждого ряда $A_{a} (t)$ постоянный коэффициент равен $1$ , поэтому он обратим. Умножим производную на $A (t)^{- 1}$ :

Умножаем на обратный ряд
$\begin{aligned} A^{'} (t) A (t)^{- 1} & = \sum_{a = 1}^{r} A_{a}^{'} (t) (\prod_{b \neq a} A_{b} (t)) \\ \cdot {(\prod_{b = 1}^{r} A_{b} (t))}^{- 1} \end{aligned}$
Результат: Сокращаем остальные множители
$A^{'} (t) A (t)^{- 1} = \sum_{a = 1}^{r} A_{a}^{'} (t) A_{a} (t)^{- 1}$

Мы получили операцию, которая превращает произведение в сумму. Выражение $A^{'} (t) A (t)^{- 1}$ называют формальной логарифмической производной: оно ведёт себя так же, как производная логарифма произведения.

Осталось настроить знак и нумерацию коэффициентов. Для множителя $1 - [L] t$ отрицательная логарифмическая производная даёт

Берём производную
$- (1 - [L] t)^{'} (1 - [L] t)^{- 1} = \frac{[L]}{1 - [L] t}$
Результат: Разворачиваем геометрический ряд
$\frac{[L]}{1 - [L] t} = \sum_{k \geq 1} [L]^{k} t^{k - 1}$

Класс $[L]^{k}$ стоит при $t^{k - 1}$ : показатель $t$ на единицу меньше $k$ . Умножение на $t$ устраняет этот сдвиг. Так мы приходим к окончательной операции.

D : 1 + t K (X) [[t]] ⟶ t K (X) [[t]]

D (A) := - t A^{'} (t) A (t)^{- 1}

D (A_{1} \dots A_{r}) = D (A_{1}) + \dots + D (A_{r})

D (1 - [L] t) = \sum_{k \geq 1} [L]^{k} t^{k}

Запись $D (A) = - t \frac{d}{d t} \log A$ служит только мнемоникой. Обычная формула для $\log A$ требует деления на целые числа и может не определять ряд с коэффициентами в $K (X)$ . Поэтому сам логарифм здесь не вводится: используется только выражение $- t A^{'} (t) A (t)^{- 1}$ .

Поэтому после расщепления произведение из первой части даёт

Раскладываем тотальный класс
$λ_{- t} (π^{*} [E]) = \prod_{a = 1}^{r} (1 - [L_{a}] t)$
Превращаем произведение в сумму
$D (λ_{- t} (π^{*} [E])) = \sum_{a = 1}^{r} D (1 - [L_{a}] t)$
Результат: Собираем одинаковые степени
$D (λ_{- t} (π^{*} [E])) = \sum_{k \geq 1} (\sum_{a = 1}^{r} [L_{a}]^{k}) t^{k}$

Эта формула позволяет дать определение, не требующее самого расщепления. Для любого $x \in K (X)$ ряд $λ_{- t} (x)$ имеет постоянный коэффициент $1$ , поэтому к нему можно применить $D$ .

\sum_{k \geq 1} ψ^{k} (x) t^{k} := D (λ_{- t} (x))

Операцией Адамса $ψ^{k}$ называют коэффициент этого ряда при $k \geq 1$ .

Определение естественно относительно смены базы. Если $Z$ — конечный CW-комплекс и $f : Z \to X$ , то обратный образ коммутирует с λ-операциями, формальным дифференцированием и обращением рядов; кроме того, $f^{*} rk (x) = rk (f^{*} x)$ . Следовательно, коэффициенты построенного ряда коммутируют с обратным образом.

Для расщепляющего отображения из первой части это даёт точно ту степенную сумму, которая была там вынуждена. Следовательно, она действительно является обратным образом класса из $K (X)$ : это доказывает существование искомой операции.

Наконец, мультипликативность λ-класса и равенство $D (A B) = D (A) + D (B)$ показывают аддитивность каждого коэффициента.

f^{*} ψ^{k} (x) = ψ^{k} (f^{*} x)

ψ^{k} (x + y) = ψ^{k} (x) + ψ^{k} (y)

π^{*} ψ^{k} ([E]) = \sum_{a = 1}^{r} [L_{a}]^{k}

Коэффициенты $D (λ_{- t} (x))$ — единственные естественные аддитивные операции с требуемым действием на линейных расслоениях.

Теперь выразим каждую операцию Адамса конечной формулой через λ-операции.

Тождества Ньютона

Определение операций Адамса содержит обратный формальный ряд $λ_{- t} (x)^{- 1}$ . Теперь для каждого отдельного коэффициента построим конечную формулу, использующую только λ-операции, сложение и умножение в $K (X)$ .

Зафиксируем $x \in K (X)$ и для краткости обозначим $A (t) = λ_{- t} (x)$ . Из определения $D (A) = - t A^{'} (t) A (t)^{- 1}$ следует

A (t) \sum_{m \geq 1} ψ^{m} (x) t^{m} = - t A^{'} (t)

Раскроем все три ряда, входящие в это равенство:

Первый ряд
$A (t) = \sum_{j \geq 0} (- 1)^{j} λ^{j} (x) t^{j}$
Второй ряд
$\sum_{m \geq 1} ψ^{m} (x) t^{m}$
Результат: Правая часть
$- t A^{'} (t) = \sum_{j \geq 1} (- 1)^{j - 1} j λ^{j} (x) t^{j}$

Подставим эти разложения в определяющее равенство. Слева коэффициент при $t^{k}$ получается сложением произведений, для которых $j + m = k$ . Сравнение с правой частью даёт тождество Ньютона

\sum_{j = 0}^{k - 1} (- 1)^{j} λ^{j} (x) ψ^{k - j} (x) + (- 1)^{k} k λ^{k} (x) = 0

Поскольку $λ^{0} (x) = 1$ , первый член суммы равен новой операции $ψ^{k} (x)$ , а остальные слагаемые содержат известные классы $λ^{j} (x)$ и уже найденные операции $ψ^{k - j} (x)$ с $k - j < k$ . Поэтому равенство действительно задаёт рекурсию:

Обозначим через $R_{k} (x)$ сумму по $1 \leq j < k$ слагаемых $(- 1)^{j + 1} λ^{j} (x) ψ^{k - j} (x)$ . Тогда

ψ^{k} (x) = R_{k} (x) + (- 1)^{k + 1} k λ^{k} (x)

Вместе с начальным значением $ψ^{1} (x) = λ^{1} (x) = x$ эта формула последовательно определяет все операции Адамса. Поэтому каждая $ψ^{k}$ является универсальным многочленом с целыми коэффициентами от $λ^{1}, \dots, λ^{k}$ .

Для первых двух нетривиальных значений получаем

ψ^{2} (x) = x^{2} - 2 λ^{2} (x)

ψ^{3} (x) = x^{3} - 3 x λ^{2} (x) + 3 λ^{3} (x)

Теперь отдельные операции вычисляются конечными формулами. Осталось понять, как они взаимодействуют с умножением в $K (X)$ и друг с другом.

Операции Адамса — эндоморфизмы кольца

Для класса одного линейного расслоения мы получили $ψ^{k} ([L]) = [L]^{k}$ . Из этого нельзя заключать, что операция Адамса совпадает с возведением произвольного K-класса в степень. Эти конструкции по-разному действуют уже на сумме двух линейных расслоений.

Чтобы быть эндоморфизмом кольца, операция $ψ^{k}$ не обязана совпадать с отображением $x \mapsto x^{k}$ . От неё требуется другое равенство:

ψ^{k} (x y) = ψ^{k} (x) ψ^{k} (y)

Проверим это равенство сначала для классов настоящих расслоений, а затем для их разностей.

Возьмём настоящие расслоения $E$ и $F$ рангов $r$ и $s$ .

Последовательно применим принцип расщепления: сначала к $E$ , затем к обратному образу $F$ . Получим отображение $π : Y \to X$ . На каждом из двух шагов обратный образ инъективен, поэтому их композиция $π^{*}$ также инъективна. Над $Y$ оба расслоения распадаются на линейные:

π^{*} [E] = \sum_{a = 1}^{r} [L_{a}]

π^{*} [F] = \sum_{b = 1}^{s} [M_{b}]

π^{*} ([E] [F]) = \sum_{a = 1}^{r} \sum_{b = 1}^{s} [L_{a} \otimes M_{b}]

Теперь естественность переносит вычисление на $Y$ , а аддитивность позволяет применить операцию к каждому линейному слагаемому отдельно:

Меняем базу и раскрываем сумму
$\begin{aligned} π^{*} ψ^{k} ([E] [F]) & = ψ^{k} (π^{*} ([E] [F])) \\ = \sum_{a, b} ψ^{k} ([L_{a} \otimes M_{b}]) \end{aligned}$
Берём тензорные степени
$π^{*} ψ^{k} ([E] [F]) = \sum_{a, b} [L_{a}]^{k} [M_{b}]^{k}$
Группируем два семейства
$π^{*} ψ^{k} ([E] [F]) = (\sum_{a} [L_{a}]^{k}) (\sum_{b} [M_{b}]^{k})$
Результат: Возвращаем операции Адамса
$π^{*} ψ^{k} ([E] [F]) = π^{*} ψ^{k} ([E]) π^{*} ψ^{k} ([F])$

Инъективность $π^{*}$ даёт требуемое равенство для настоящих расслоений. Теперь пусть

x = [E] - [E^{'}]

y = [F] - [F^{'}]

Их произведение содержит четыре класса настоящих расслоений. Аддитивность и уже доказанная для таких классов мультипликативность дают

Раскрываем произведение
$\begin{aligned} x y = & [E \otimes F] - [E \otimes F^{'}] \\ - [E^{'} \otimes F] + [E^{'} \otimes F^{'}] \end{aligned}$
Применяем аддитивность и известный случай
$\begin{aligned} ψ^{k} (x y) = & ψ^{k} ([E]) ψ^{k} ([F]) \\ - ψ^{k} ([E]) ψ^{k} ([F^{'}]) \\ - ψ^{k} ([E^{'}]) ψ^{k} ([F]) \\ + ψ^{k} ([E^{'}]) ψ^{k} ([F^{'}]) \end{aligned}$
Результат: Собираем произведение разностей
$\begin{aligned} ψ^{k} (x y) & = (ψ^{k} ([E]) - ψ^{k} ([E^{'}])) \\ \cdot (ψ^{k} ([F]) - ψ^{k} ([F^{'}])) \\ = ψ^{k} (x) ψ^{k} (y) \end{aligned}$

Единица кольца — класс тривиального линейного расслоения, поэтому правило для линейных расслоений сразу даёт

ψ^{k} (1) = ψ^{k} ([\underset{―}{C}]) = 1

Остаётся проверить, как операции сочетаются друг с другом. Для $q \geq 1$ на линейном расслоении $L$ две последовательные операции дают

ψ^{k} (ψ^{q} ([L])) = ψ^{k} ([L^{\otimes q}]) = [L^{\otimes k q}] = ψ^{k q} ([L])

Обе стороны задают естественные аддитивные операции $K (X) \to K (X)$ и совпадают на каждом линейном расслоении. По единственности, полученной в начале главы из принципа расщепления, они совпадают на всех K-классах:

ψ^{k} \circ ψ^{q} = ψ^{k q}

Для $k, q \geq 1$ , $x, y \in K (X)$ и отображения $f : Z \to X$ , где $Z$ — конечный CW-комплекс, выполняются

ψ^{k} (x + y) = ψ^{k} (x) + ψ^{k} (y)

ψ^{k} (x y) = ψ^{k} (x) ψ^{k} (y), ψ^{k} (1) = 1

f^{*} (ψ^{k} (x)) = ψ^{k} (f^{*} x)

ψ^{k} \circ ψ^{q} = ψ^{k q}, ψ^{1} = id

Теперь операции Адамса совместимы и со сложением, и с произведением. Это позволяет вычислять их на внешних произведениях элементов Ботта. На чётных сферах такое вычисление впервые обнаружит множитель $k^{n}$ , который затем станет весом γ-фильтрации.

Операции Адамса на чётных сферах

Сначала заметим, что операции Адамса сохраняют редуцированную K-теорию. Если $i : * \to X$ — включение отмеченной точки и $i^{*} x = 0$ , то естественность даёт

i^{*} ψ^{k} (x) = ψ^{k} (i^{*} x) = ψ^{k} (0) = 0

Для $n \geq 1$ группа $\tilde{K} (S^{2 n}) ≅ Z$ циклическая по периодичности Ботта. Поэтому аддитивная операция $ψ^{k}$ действует на ней умножением на некоторое целое число. Найдём это число, начиная с двумерной сферы.

Отождествим $S^{2} ≅ {CP}^{1}$ и обозначим через $H$ тавтологическое линейное расслоение. Класс

β = [H] - 1 \in \tilde{K} (S^{2})

имеет ранг ноль, порождает $\tilde{K} (S^{2})$ и удовлетворяет $β^{2} = 0$ во внутреннем кольце $K (S^{2})$ . Аддитивность и правило для линейного расслоения дают

Записываем генератор как разность
$ψ^{k} (β) = ψ^{k} ([H]) - ψ^{k} (1)$
Используем линейное расслоение
$ψ^{k} (β) = [H]^{k} - 1 = (1 + β)^{k} - 1$
Результат: Зануляем старшие степени
$ψ^{k} (β) = k β$

Зафиксируем стандартное базированное отождествление

S^{2 n} ≅ \underset{n множителей}{\underset{⏟}{S^{2} \land \dots \land S^{2}}}

и обозначим через

β^{* n} = \underset{n множителей}{\underset{⏟}{β * \dots * β}} \in \tilde{K} (S^{2 n})

Умножение на $β$ реализует изоморфизм Ботта. Начиная с $β$ и применяя этот изоморфизм ещё $n - 1$ раз, получаем, что $β^{* n}$ порождает $\tilde{K} (S^{2 n})$ . Здесь $β^{2} = 0$ и $β * β \neq 0$ не противоречат друг другу: первое — внутреннее произведение на $S^{2}$ , второе — внешнее произведение, лежащее уже на $S^{4}$ .

Редуцированное внешнее произведение — относительная версия обычного произведения K-классов. Определение операций Адамса через λ-класс коммутирует с ограничением на подпространство, поэтому действует и в относительной K-теории; доказанная мультипликативность тогда даёт

ψ^{k} (β^{* n}) = \underset{n множителей}{\underset{⏟}{ψ^{k} (β) * \dots * ψ^{k} (β)}}

Подставляем двумерное вычисление
$ψ^{k} (β^{* n}) = \underset{n множителей}{\underset{⏟}{(k β) * \dots * (k β)}}$
Результат: Выносим целые коэффициенты
$ψ^{k} (β^{* n}) = k^{n} β^{* n}$

Для $k, n \geq 1$ выполняется

ψ^{k} (β^{* n}) = k^{n} β^{* n}

Следовательно, на всей группе $\tilde{K} (S^{2 n})$ операция $ψ^{k}$ действует умножением на $k^{n}$ . Замена генератора $β^{* n}$ на $- β^{* n}$ не меняет этот множитель.

На сфере вся группа $\tilde{K} (S^{2 n})$ оказалась одной частью, на которой $ψ^{k}$ действует умножением на $k^{n}$ . Это подсказывает общую цель: разделить $K (X)$ на части с различными множителями $1, k, k^{2}, \dots$ . Но у произвольного класса нет канонической записи через элементы Ботта. Поэтому начнём не с прямой суммы, а с убывающей фильтрации: её фактор с номером $n$ должен сохранять выражения, которые после расщепления содержат ровно $n$ линейных классов нулевого ранга, и обнулять выражения с большим числом таких классов.

γ-фильтрация

Чтобы построить такую фильтрацию внутри одного кольца $K (X)$ , сначала нужно определить, какие классы считать отдельными множителями.

Для этого отделим в произвольном классе ранговую часть. Если $y \in K (X)$ , то

y = rk (y) \cdot 1 + (y - rk (y) \cdot 1)

Первое слагаемое является целым кратным единицы и при умножении меняет только целый коэффициент. Поэтому отдельным множителем его не считаем. Второе слагаемое имеет нулевой ранг. Все классы нулевого ранга образуют идеал

I (X) := \tilde{K} (X) = \ker (rk : K (X) \to Z)

Именно элементы $I (X)$ будем считать отдельными множителями. Сферический пример согласуется с этим выбором: $β = [H] - 1$ имеет нулевой ранг, а $β^{* n}$ является внешним произведением $n$ таких факторов. Внутри одного кольца подгруппа, порождённая произведениями из $i$ таких множителей, по определению равна $I (X)^{i}$ .

В этом определении множители не обязаны быть разными. Например, $I (X)^{2}$ порождается и произведениями $u_{1} u_{2}$ , и квадратами $u_{1} u_{1}$ , где $u_{1}, u_{2} \in I (X)$ . Одиночный множитель $u_{1}$ вообще говоря не лежит в $I (X)^{2}$ .

Сравните первую и вторую степени идеала. Для каждой показанной общей формы сосчитайте множители нулевого ранга. Почему принадлежность выбранной степени ещё не означает, что класс не лежит в следующей?

I(X)²

I(X)² порождена произведениями ровно 2 элементов I(X). Эти элементы не обязаны быть разными.

Разные множителиu₁u₂Такой вид разрешён, но различие множителей не входит в определение.

Конечная суммаu₁u₁ + u₂u₃Слагаемые могут содержать и разные, и повторяющиеся множители.

Повтор одного классаu₁u₁Множители не обязаны быть разными.

Вложенность степенейI(X)³ ⊆ I(X)²Показанная запись доказывает принадлежность, но не исключает, что тот же элемент лежит в следующей степени.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Теперь нужно понять, сколько множителей следует приписать одной операции $γ^{i}$ . После расщепления её верхний индекс будет считать число линейных множителей в каждом слагаемом. Сначала увидим это при $i = 2$ .

Пусть $L_{1}, L_{2}, L_{3} \to X$ — линейные расслоения, $u_{a} = [L_{a}] - 1$ и

x = u_{1} + u_{2} + u_{3}

Для каждой линейной разности $γ_{t} (u_{a}) = 1 + u_{a} t$ , поэтому

γ_{t} (x) = (1 + u_{1} t) (1 + u_{2} t) (1 + u_{3} t)

Запись $[t^{2}] A (t)$ означает извлечение коэффициента при $t^{2}$ из формального ряда $A (t)$ . Поэтому по определению

γ^{2} (x) := [t^{2}] γ_{t} (x)

γ^{2} (x) = u_{1} u_{2} + u_{1} u_{3} + u_{2} u_{3}

Этот коэффициент складывает пары разных позиций в записи класса $x$ . Каждое полученное слагаемое содержит ровно два линейных множителя нулевого ранга. Поэтому в расщеплённом случае $γ^{2} (x) \in I (X)^{2}$ , и при построении фильтрации операция $γ^{2}$ должна учитываться как вклад двух множителей.

При этом $γ^{2} (x) \neq x^{2}$ : индекс $2$ указывает число множителей в каждом выбранном произведении, а не кольцевую степень всего класса. Пока этот смысл индекса проверен только для класса, уже разложенного на линейные разности на самом $X$ .

У произвольного класса $x \in I (X)$ такого разложения может не быть. Чтобы перенести на него найденный смысл верхнего индекса, применим принцип расщепления. Можно выбрать отображение $π : Y \to X$ с инъективным обратным образом $π^{*} : K (X) \to K (Y)$ и линейные расслоения $L_{1}, \dots, L_{d} \to Y$ так, что

π^{*} x = ℓ_{1} + \dots + ℓ_{d}, ℓ_{a} = [L_{a}] - 1

Естественность и мультипликативность γ-ряда дают

π^{*} γ_{t} (x) = \prod_{a = 1}^{d} (1 + ℓ_{a} t)

π^{*} γ^{i} (x) = \sum_{a_{1} < \dots < a_{i}} ℓ_{a_{1}} \dots ℓ_{a_{i}}

Наверху каждое слагаемое содержит ровно $i$ линейных множителей, поэтому верхний индекс действительно считает их число. Но формула доказывает лишь $π^{*} γ^{i} (x) \in I (Y)^{i}$ . Из неё не следует $γ^{i} (x) \in I (X)^{i}$ : инъективность $π^{*}$ позволяет переносить равенства, но не разложения на множители. Поэтому одних степеней идеала $I (X)$ недостаточно.

Новая ступень с номером $i$ должна содержать класс $γ^{i} (x)$ непосредственно — без выбора глобального разложения на $i$ множителей. Это и приводит к следующему определению.

Для $x \in I (X)$ и $i \geq 1$ припишем множителю $γ^{i} (x)$ гамма-вес $i$ . В произведении гамма-веса множителей складываются.

Положим $Γ^{0} K (X) = K (X)$ . При $n \geq 1$ через $Γ^{n} K (X)$ обозначим подгруппу, порождённую всеми конечными произведениями гамма-веса не меньше $n$ .

Чем больше номер, тем строже условие на гамма-вес, поэтому ступени убывают. Поскольку $γ^{1} (x) = x$ , а все положительные γ-операции над классом нулевого ранга снова имеют нулевой ранг, первая положительная ступень равна $I (X)$ :

K (X) = Γ^{0} K (X) \supseteq Γ^{1} K (X) = I (X)

При умножении гамма-веса складываются, поэтому произведение ступеней с номерами $a$ и $b$ лежит в ступени с номером $a + b$ .

Каждая ступень является идеалом: целое кратное единицы только меняет коэффициент, а умножение на класс нулевого ранга добавляет множитель гамма-веса $1$ .

Далее пространство $X$ фиксировано, поэтому пишем $Γ^{n}$ вместо $Γ^{n} K (X)$ .

Зафиксируйте сумму верхних индексов и сравните одну гамма-операцию с произведением нескольких. Где после расщепления допустимо повторение одной позиции? Затем увеличьте ступень и проверьте, какое условие на сумму индексов изменилось.

Γ²K(X)

Пусть после расщепления x = u₁ + u₂ + u₃ + u₄. Один генератор ступени выбирает разные позиции, но вся ступень содержит и произведения с повторами.

Один γ-множитель с индексом 2γ²(x) = u₁u₂ + u₁u₃ + u₁u₄ + u₂u₃ + u₂u₄ + u₃u₄В разложении выбираются разные позиции.

Несколько γ-множителейγ¹(u₁)γ¹(u₁) = u₁u₁Сумма верхних индексов тоже равна 2; повтор допустим.

Оба вида входят в ступеньγ²(x), u₁u₁ ∈ Γ²K(X)Ступень замыкается относительно конечных сумм таких произведений.

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Ступени образуют убывающую мультипликативную фильтрацию. Любое произведение из $n$ классов нулевого ранга лежит в $Γ^{n} K (X)$ . При этом эта ступень также содержит $γ^{n} (x)$ непосредственно и не требует его глобального разложения на множители из $I (X)$ .

В факторе $Γ^{n} / Γ^{n + 1}$ два элемента ступени $Γ^{n}$ задают один класс, если их разность лежит в $Γ^{n + 1}$ . Теперь докажем, что индуцированная на этом факторе операция $ψ^{k}$ является умножением на $k^{n}$ .

Операции Адамса на факторах γ-фильтрации

Сферическая формула подсказывает, что на факторе $Γ^{n} / Γ^{n + 1}$ операция $ψ^{k}$ должна действовать умножением на $k^{n}$ . Сначала для линейной разности $ℓ = [L] - 1$ докажем $ψ^{k} (ℓ) \equiv k ℓ (\mod Γ^{2})$ , затем перенесём это сравнение на отдельные классы $γ^{i} (x)$ , на их произведения суммарного гамма-веса $n$ и, наконец, на порождённую ими ступень $Γ^{n}$ .

Для $ℓ = [L] - 1 \in I (X)$ биномиальная формула даёт

ψ^{k} (ℓ) = (1 + ℓ)^{k} - 1

ψ^{k} (ℓ) = k ℓ + \sum_{j = 2}^{k} (\binom{k}{j}) ℓ^{j}

Каждое слагаемое суммы содержит не меньше двух множителей из $I (X)$ , поэтому лежит в $I (X)^{2} \subseteq Γ^{2}$ . Следовательно,

ψ^{k} (ℓ) \equiv k ℓ (\mod Γ^{2})

Теперь возьмём линейные разности $ℓ_{1}, \dots, ℓ_{n}$ . Мультипликативность даёт

ψ^{k} (ℓ_{1} \dots ℓ_{n}) = ψ^{k} (ℓ_{1}) \dots ψ^{k} (ℓ_{n})

Если в каждом множителе выбрать линейный член $k ℓ_{a}$ , получится $k^{n} ℓ_{1} \dots ℓ_{n}$ . Любой другой член содержит поправку из $Γ^{2}$ и ещё $n - 1$ множителей из $Γ^{1}$ , поэтому лежит в $Γ^{n + 1}$ . Следовательно,

ψ^{k} (ℓ_{1} \dots ℓ_{n}) \equiv k^{n} ℓ_{1} \dots ℓ_{n} (\mod Γ^{n + 1})

Это доказывает сравнение для произведений линейных разностей. Но класс $γ^{i} (x)$ не обязан быть таким произведением на $X$ : после расщепления он становится симметрической суммой подобных произведений. Простого сравнения наверху недостаточно: из $π^{*} a \in Γ^{i + 1} K (Y)$ и инъективности $π^{*}$ ещё не следует $a \in Γ^{i + 1} K (X)$ . Поэтому нужно явное полиномиальное тождество, выражающее поправку через гамма-операции над классами на самом $X$ .

Зафиксируем $d \geq 1$ и рассмотрим независимые формальные переменные $z_{1}, \dots, z_{d}$ обычной полиномиальной степени $1$ . Положим $z = (z_{1}, \dots, z_{d})$ и для $1 \leq j \leq d$ обозначим через $e_{j} (z)$ элементарную симметрическую функцию степени $j$ . Зафиксируем также $1 \leq i \leq d$ и подставим в $e_{i}$ выражения $(1 + z_{a})^{k} - 1$ . Однородная компонента наименьшей степени получается выбором линейного слагаемого $k z_{a}$ в каждом из $i$ множителей. Эта компонента имеет степень $i$ и равна $k^{i} e_{i} (z)$ ; все остальные компоненты имеют степень не меньше $i + 1$ .

Разность симметрична по $z_{1}, \dots, z_{d}$ . По фундаментальной теореме о симметрических многочленах она единственным образом выражается через $e_{1}, \dots, e_{d}$ . Поэтому существует многочлен с целыми коэффициентами. Поскольку $i, k, d$ уже зафиксированы, обозначим его просто через $P$ ; тогда

e_{i} ((1 + z_{1})^{k} - 1, \dots, (1 + z_{d})^{k} - 1)

= k^{i} e_{i} (z) + P (e_{1} (z), \dots, e_{d} (z))

Назначим переменной $e_{j}$ степень $j$ . Представление симметрических многочленов через $e_{1}, \dots, e_{d}$ сохраняет эту градуировку. Поэтому каждый моном в $P$ имеет суммарную степень не меньше $i + 1$ . После подстановки $e_{j} \mapsto γ^{j} (x)$ эта степень станет суммарным гамма-весом.

Теперь возьмём $x \in I (X)$ и выберем пространство расщепления $π : Y \to X$ и линейные расслоения $L_{1}, \dots, L_{d} \to Y$ , для которых $π^{*}$ инъективно и

ℓ_{a} = [L_{a}] - 1

π^{*} x = ℓ_{1} + \dots + ℓ_{d}

Естественность γ-операций для $1 \leq j \leq d$ даёт

π^{*} γ^{j} (x) = γ^{j} (π^{*} x) = e_{j} (ℓ_{1}, \dots, ℓ_{d})

Естественность $ψ^{k}$ и сохранение произведений дают

π^{*} ψ^{k} (γ^{i} (x)) = ψ^{k} (π^{*} γ^{i} (x))

= ψ^{k} (e_{i} (ℓ_{1}, \dots, ℓ_{d}))

= e_{i} (ψ^{k} (ℓ_{1}), \dots, ψ^{k} (ℓ_{d}))

Подставим $ψ^{k} (ℓ_{a}) = (1 + ℓ_{a})^{k} - 1$ в полиномиальное тождество. Получим

π^{*} (ψ^{k} (γ^{i} (x)) - k^{i} γ^{i} (x))

= P (π^{*} γ^{1} (x), \dots, π^{*} γ^{d} (x))

= π^{*} P (γ^{1} (x), \dots, γ^{d} (x))

Поскольку $π^{*}$ инъективен, разность на $X$ равна $P (γ^{1} (x), \dots, γ^{d} (x))$ . Каждый моном этого многочлена имеет суммарный гамма-вес не меньше $i + 1$ , поэтому

ψ^{k} (γ^{i} (x)) - k^{i} γ^{i} (x) \in Γ^{i + 1}

При $i > d$ коэффициент при $t^{i}$ в произведении

π^{*} γ_{t} (x) = \prod_{a = 1}^{d} (1 + ℓ_{a} t)

равен нулю. Инъективность $π^{*}$ даёт $γ^{i} (x) = 0$ , а значит искомая разность также равна нулю и принадлежит $Γ^{i + 1}$ .

Рассмотрим одно из произведений, порождающих ступени фильтрации:

g = γ^{i_{1}} (x_{1}) \dots γ^{i_{q}} (x_{q})

w = i_{1} + \dots + i_{q}

Для каждого множителя уже доказано

ψ^{k} (γ^{i_{a}} (x_{a})) \equiv k^{i_{a}} γ^{i_{a}} (x_{a}) (\mod Γ^{i_{a} + 1})

Запишем каждое сравнение как указанный член плюс поправка и перемножим эти выражения. Выбор указанного члена во всех множителях даёт $k^{w} g$ . Любой другой член содержит для некоторого $a$ поправку из $Γ^{i_{a} + 1}$ , а остальные выбранные члены лежат на тех же ступенях, что и исходные множители. Поскольку номера ступеней при умножении складываются, такой член лежит в $Γ^{w + 1}$ . Следовательно,

ψ^{k} (g) \equiv k^{w} g (\mod Γ^{w + 1})

ψ^{k} (g) \in Γ^{w}

Теперь пусть $c \in Γ^{n}$ . По определению $c$ является целочисленной линейной комбинацией таких произведений с $w \geq n$ . При $w = n$ полученное сравнение уже имеет коэффициент $k^{n}$ . При $w > n$ и $g$ , и $ψ^{k} (g)$ уже лежат в $Γ^{w} \subseteq Γ^{n + 1}$ . Поэтому в обоих случаях

ψ^{k} (g) - k^{n} g \in Γ^{n + 1}

Аддитивность $ψ^{k}$ завершает переход от порождающих произведений к их сумме:

ψ^{k} (c) - k^{n} c \in Γ^{n + 1}

Остаётся нулевая ступень. Операция $ψ^{k}$ естественна, а на $K (pt) = Z$ фиксирует целые классы. Поэтому она сохраняет ранг, и для $x \in K (X)$

rk (ψ^{k} (x) - x) = 0

то есть $ψ^{k} (x) - x \in Γ^{1}$ . Это случай $n = 0$ , поскольку $k^{0} = 1$ .

Для $k \geq 1$ и $n \geq 0$ операция $ψ^{k}$ сохраняет $Γ^{n} K (X)$ и для каждого $x \in Γ^{n} K (X)$ выполняется

ψ^{k} (x) - k^{n} x \in Γ^{n + 1} K (X)

Здесь $k^{n} x$ означает целое кратное класса $x$ , а не его кольцевую степень. Поэтому на факторе соседних ступеней

ψ^{k} : Γ^{n} / Γ^{n + 1} ⟶ Γ^{n} / Γ^{n + 1}, \bar{x} ⟼ k^{n} \bar{x}

Чтобы получить точную формулу для действия операций Адамса на произвольном классе, нужно выбрать внутри $K (X)$ представителей всех этих факторов и разложить класс в их сумму. Операция $ψ^{k}$ уже пометила фактор с номером $n$ числом $k^{n}$ ; следующая часть превратит эти разные метки в проекторы.

Рациональное расщепление γ-фильтрации

Операция $ψ^{k}$ помечает фактор $Γ^{n} / Γ^{n + 1}$ числом $k^{n}$ . Чтобы по этим меткам выбрать представителей факторов внутри самого кольца, нужны два условия. Число возможных меток должно быть конечным, а разности между ними должны быть обратимы. Первое условие даёт следующая теорема.

Используем отдельную теорему о конечности: для конечного CW-комплекса существует число $N$ , для которого

Γ^{N + 1} K (X) = 0

Это единая граница для всех классов и всех генераторов фильтрации. Утверждение сильнее доказанной в предыдущей главе конечности γ-ряда одного фиксированного класса; здесь существенно, что $X$ является конечным CW-комплексом. Это отдельная теорема о γ-фильтрации, а не следствие одной лишь конечности γ-ряда; здесь принимаем её как входной результат.

Зафиксируем $N$ , для которого $Γ^{N + 1} = 0$ . Для второго условия перейдём к рациональным коэффициентам. Тогда ненулевые целые разности $k^{n} - k^{m}$ можно будет делить. Рационализируем и само кольцо, и ступени фильтрации:

K (X)_{Q} := K (X) \otimes_{Z} Q

Γ_{Q}^{p} := Γ^{p} K (X) \otimes_{Z} Q

Тензорное произведение с $Q$ сохраняет вложения, поэтому $Γ_{Q}^{p}$ рассматривается как подпространство $K (X)_{Q}$ . Все операции Адамса продолжаются $Q$ -линейно и сохраняют рационализированные ступени фильтрации.

Выберем $k > 1$ . Для каждого $0 \leq p \leq N$ результат предыдущей части даёт

Γ_{Q}^{p} \overset{ψ^{k} - k^{p} id}{\to} Γ_{Q}^{p + 1}

Начнём с $K (X)_{Q} = Γ_{Q}^{0}$ и последовательно применим стрелки для $p = 0, 1, \dots, N$ . Получим цепочку

K (X)_{Q} = Γ_{Q}^{0} ⟶ Γ_{Q}^{1} ⟶ \dots ⟶ Γ_{Q}^{N + 1} = 0

Поэтому соответствующая композиция является нулевым эндоморфизмом:

(ψ^{k} - k^{N} id) \dots (ψ^{k} - k id) (ψ^{k} - id) = 0

Все множители являются многочленами от одного оператора $ψ^{k}$ , поэтому коммутируют. Итак, $ψ^{k}$ зануляется многочленом $\prod_{p = 0}^{N} (z - k^{p})$ . Его корни $1, k, k^{2}, \dots, k^{N}$ . При $k > 1$ они попарно различны.

Чтобы выделить один корень, для каждого $0 \leq n \leq N$ возьмём многочлен Лагранжа, равный $1$ при $z = k^{n}$ и $0$ на остальных корнях. В произведении индекс $m$ пробегает все числа от $0$ до $N$ , кроме $n$ .

ℓ_{n}^{(k)} (z) := \prod_{m \neq n} \frac{z - k^{m}}{k^{n} - k^{m}}

Π_{n}^{(k)} := ℓ_{n}^{(k)} (ψ^{k})

Именно в знаменателях используется переход к $Q$ : над $Z$ числа $k^{n} - k^{m}$ обычно необратимы, поэтому такие проекторы могут не существовать.

В точках $1, k, \dots, k^{N}$ многочлены Лагранжа принимают только значения $0$ и $1$ . Поэтому по модулю зануляющего многочлена $\prod_{r = 0}^{N} (z - k^{r})$ выполняются тождества

(ℓ_{n}^{(k)})^{2} \equiv ℓ_{n}^{(k)}

ℓ_{n}^{(k)} ℓ_{m}^{(k)} \equiv 0 (n \neq m)

\sum_{n = 0}^{N} ℓ_{n}^{(k)} \equiv 1

После подстановки $z = ψ^{k}$ зануляющий многочлен обращается в нулевой оператор. Поэтому

(Π_{n}^{(k)})^{2} = Π_{n}^{(k)}, Π_{n}^{(k)} Π_{m}^{(k)} = 0 при n \neq m

\sum_{n = 0}^{N} Π_{n}^{(k)} = id

Далее, многочлен $(z - k^{n}) ℓ_{n}^{(k)} (z)$ кратен зануляющему многочлену. Следовательно, образ $Π_{n}^{(k)}$ лежит в ядре $ψ^{k} - k^{n} id$ . Обратно, если $ψ^{k} (x) = k^{n} x$ , то

Π_{n}^{(k)} x = ℓ_{n}^{(k)} (k^{n}) x = x

Поэтому

im Π_{n}^{(k)} = \ker (ψ^{k} - k^{n} id) =: K (X)_{Q}^{(n; k)}

Для любого $x \in K (X)_{Q}$ положим $x_{n}^{(k)} := Π_{n}^{(k)} x$ . Тождества проекторов дают прямое разложение

x = x_{0}^{(k)} + \dots + x_{N}^{(k)}

K (X)_{Q} = ⨁_{n = 0}^{N} K (X)_{Q}^{(n; k)}

ψ^{k} (x_{n}^{(k)}) = k^{n} x_{n}^{(k)}

Получено разложение по собственным подпространствам. Осталось проверить, что его хвосты совпадают со ступенями исходной γ-фильтрации.

В формуле $Π_{n}^{(k)}$ присутствуют множители с индексами $0, 1, \dots, n - 1$ . Если применить их первыми, каждый следующий множитель опускает результат на одну ступень. Остальные множители эту ступень сохраняют. Следовательно, $K (X)_{Q}^{(n; k)} \subseteq Γ_{Q}^{n}$ .

С другой стороны, пусть $x \in Γ_{Q}^{p}$ и $n < p$ . Проектор $Π_{n}^{(k)}$ содержит все множители с индексами $p, p + 1, \dots, N$ . Они последовательно переводят $x$ в $Γ_{Q}^{N + 1} = 0$ , так что $Π_{n}^{(k)} x = 0$ . В разложении класса остаются только компоненты с номерами не меньше $p$ . Следовательно, p-я ступень является суммой всех весовых подпространств с номерами не меньше p; точное равенство записано в итоговом блоке ниже.

Соответствующий проектор уничтожает следующую ступень, поэтому его образ пересекается с ней только по нулю. Фактор соседних ступеней теперь имеет выбранного представителя: это компонента с номером $p$ . Естественное фактор-отображение отождествляет $K (X)_{Q}^{(p; k)}$ с $(Γ^{p} K (X) / Γ^{p + 1} K (X)) \otimes_{Z} Q$ .

Осталось убрать зависимость от первоначального $k$ . Для любого $q \geq 1$ операции Адамса коммутируют по уже доказанному закону композиции. Поэтому $ψ^{q}$ сохраняет каждое $K (X)_{Q}^{(n; k)}$ . Если $x$ лежит в этом подпространстве, то он принадлежит $Γ_{Q}^{n}$ , а пересечение его весового подпространства с $Γ_{Q}^{n + 1}$ равно нулю.

Теорема о действии на факторах γ-фильтрации показывает, что $ψ^{q} (x) - q^{n} x$ лежит в $Γ_{Q}^{n + 1}$ . Коммутативность одновременно оставляет эту разность в $K (X)_{Q}^{(n; k)}$ . Пересечение равно нулю, поэтому $ψ^{q} (x) = q^{n} x$ для всех $q \geq 1$ . Если выбрать другое $q > 1$ вместо $k$ , его собственные значения $1, q, \dots, q^{N}$ снова различны и дают те же подпространства. Поэтому подпространство веса $n$ не зависит от операции, выбранной для первоначального разложения по собственным подпространствам. Обратно, если класс является собственным вектором $ψ^{q}$ со значением $q^{n}$ , разложим его по уже построенным k-весам. Попарная различность чисел $q^{0}, \dots, q^{N}$ заставляет все компоненты, кроме n-й, обратиться в нуль.

Обозначим это не зависящее от выбора подпространство через $K (X)_{Q}^{(n)}$ .

Для $0 \leq n, p \leq N$ имеем

K (X)_{Q} = ⨁_{n = 0}^{N} K (X)_{Q}^{(n)}

Γ_{Q}^{p} = ⨁_{n = p}^{N} K (X)_{Q}^{(n)}

Поэтому любой класс единственным образом записывается как $x = x_{0} + \dots + x_{N}$ с $x_{n} \in K (X)_{Q}^{(n)}$ , и для каждой операции Адамса

ψ^{q} (x) = \sum_{n = 0}^{N} q^{n} x_{n}

Так действие на последовательных факторах превратилось в точную формулу для произвольного рационального K-класса.

Поскольку каждая $ψ^{q}$ является гомоморфизмом кольца, произведение элементов весов $a$ и $b$ имеет вес $a + b$ . Поэтому произведение лежит в подпространстве веса $a + b$ , а при $a + b > N$ равно нулю, поскольку попадает за последнюю ненулевую ступень фильтрации.

Операции Адамса обнаруживают γ-вес

Логарифмическая производная превратила мультипликативный λ-ряд в семейство коммутирующих эндоморфизмов кольца $ψ^{k}$ . На $n$ -й градуированной части γ-фильтрации каждая такая операция действует умножением на $k^{n}$ , а над $Q$ различные множители одновременно расщепляют всё кольцо на весовые подпространства. Так степенные суммы линейных слагаемых дали каноническое весовое разложение рациональной K-теории.

ψ^{k} : Γ^{n} / Γ^{n + 1} ⟶ Γ^{n} / Γ^{n + 1}, \bar{x} ⟼ k^{n} \bar{x}

K (X)_{Q} = ⨁_{n = 0}^{N} K (X)_{Q}^{(n)}

В следующей главе сначала будет сформулировано, что значит сравнивать семейства единичных сфер после добавления тривиальных направлений. Затем операции Адамса и класс Тома дадут необходимое условие для такого сравнения. На каждом слое класс Тома ведёт себя как элемент Ботта, поэтому сферическое вычисление $ψ^{k} (β^{* n}) = k^{n} β^{* n}$ определит ведущий множитель, а конечность γ-фильтрации проконтролирует оставшуюся поправку нулевого ранга.

Операции Адамса

Соглашения

Степенные суммы линейных слагаемых

Степенная сумма вынуждена

Определение операций Адамса

Оператор D

Операции Адамса

Операции Адамса построены

Тождества Ньютона

Рекурсия Ньютона для операций Адамса

Операции Адамса — эндоморфизмы кольца

Кольцевые законы операций Адамса

Операции Адамса на чётных сферах

Действие на чётной сфере

γ-фильтрация

Как строятся элементы степени идеала

γ-фильтрация

Как строится ступень фильтрации

Суммарный γ-вес задаёт фильтрацию

Операции Адамса на факторах γ-фильтрации

Действие на градуированной части

Рациональное расщепление γ-фильтрации

Конечность γ-фильтрации

Одновременное весовое разложение

Операции Адамса обнаруживают γ-вес