Глава 15 · Изоморфизм Тома

Изоморфизм Тома

В предыдущей главе комплекс Кошуля дал класс Тома, ограничение которого на каждый слой является генератором периодичности Ботта. Теперь мы выясним, достаточно ли одного такого класса для описания всей K-теории пространства Тома. Сначала вычислим отображение Тома для тривиального расслоения, затем перенесём результат через клетки базы с помощью точных последовательностей. Нулевое сечение превратит класс Тома в класс Эйлера, а проективный базис и флаговая башня приведут к принципу расщепления, нужному для операций с внешними степенями.

Генератор в каждом слое должен кодировать все классы базы

Пусть $X$ — конечный CW-комплекс, а $p : E \to X$ — комплексное векторное расслоение ранга $n$ . В предыдущей главе на паре $(D (E), S (E))$ был построен класс

λ_{E} \in K^{0} (D (E), S (E)) ≅ {\tilde{K}}^{0} (X^{E})

Обозначим ограничение проекции $p$ на дисковое расслоение через $π : D (E) \to X$ . Класс $a \in K^{q} (X)$ можно поднять вдоль $π$ и умножить на относительный класс $λ_{E}$ . Так возникает отображение Тома

Φ_{E}^{q} : K^{q} (X) ⟶ K^{q} (D (E), S (E))

Φ_{E}^{q} (a) = π^{*} a ⌣ λ_{E}

Действие $K^{*} (X)$ сначала определено именно на относительной группе: $π^{*} a$ умножается на представитель, точный на $S (E)$ . Проекция $D (E) \to X$ не обязана спускаться на фактор $X^{E}$ ; модульная структура переносится на приведённую K-теорию только через изоморфизм пары с фактором.

В формуле у двух множителей разные роли. Класс $π^{*} a$ несёт данные с базы, а $λ_{E}$ задаёт генератор в направлении слоя. Пока это лишь устройство отображения: ещё неизвестно, не обращает ли оно ненулевые классы в нуль и каждый ли класс справа имеет такой вид.

Проверим крайний случай. Если база состоит из одной точки и $E = C^{n}$ , то пространство Тома равно $S^{2 n}$ , а отображение принимает вид

Z = K^{0} (pt) ⟶ {\tilde{K}}^{0} (S^{2 n}), m ⟼ m β^{* n}

Здесь $β^{* n}$ — $n$ -кратное внешнее произведение элемента Ботта на смэш-произведении сфер. Это не внутренняя степень $β^{n}$ в кольце $K (S^{2})$ : та уже при $n = 2$ равна нулю. Ориентация одномерного кошулева комплекса выбрана так же, как генератор $β$ в главе о периодичности.

Для тривиального расслоения отображение Тома — это периодичность Ботта

Сначала пусть расслоение тривиально:

E = X \times C^{n}

Дисковая и сферическая координаты лежат только во втором множителе. После схлопывания сферического края получаем

X^{E} ≅ X_{+} \land S^{2 n}

Кошулев комплекс также разделяется по двум множителям. Поэтому класс Тома тривиального расслоения является внешним произведением единицы базы и генератора слоя:

λ_{X \times C^{n}} = 1_{X} * β^{* n}

Следовательно, всё отображение Тома имеет вид

Φ_{E}^{q} (a) = a * β^{* n} \in {\tilde{K}}^{q} (X_{+} \land S^{2 n})

Повторное применение периодичности Ботта делает это отображение изоморфизмом во всех степенях $q \in Z / 2$ . Тот же вывод верен над любой клеткой базы, потому что клетка стягиваема и ограничение расслоения на неё тривиально.

Одних послойных вычислений для этого недостаточно. K-класс может хранить данные о приклеивании клеток, поэтому следующий шаг должен сравнить точные последовательности до и после умножения на $λ_{E}$ .

Точная последовательность переносит изоморфизм через одну клетку

Обозначим через $X_{r}$ $r$ -й остов $X$ . Для пары подкомплексов $B \subseteq A \subseteq X$ введём короткое обозначение для соответствующей относительной группы над расслоением:

T_{E}^{q} (A, B) = K^{q} (D (E |_{A}), S (E |_{A}) \cup D (E |_{B}))

Если $B = \emptyset$ , будем писать просто $T_{E}^{q} (A)$ . Относительный класс $a \in K^{q} (A, B)$ после обратного образа тривиален на $D (E |_{B})$ , а $λ_{E}$ точен на $S (E |_{A})$ . Их относительное произведение поэтому тривиально на объединении этих двух подпространств и определяет отображение

Φ_{E; (A, B)}^{q} : K^{q} (A, B) ⟶ T_{E}^{q} (A, B)

Рассмотрим переход от $X_{r - 1}$ к $X_{r}$ . Пусть $e_{α}^{r}$ — добавляемые $r$ -мерные клетки. После схлопывания предыдущего остова каждая клетка становится сферой:

X_{r} / X_{r - 1} ≅ \underset{α}{⋁} S^{r}

Обратный образ расслоения на характеристическом диске каждой клетки тривиален. Поэтому после одновременного схлопывания сферического края и предыдущего остова соответствующая клетка пространства Тома получает ещё $2 n$ измерений:

Q_{r} = S (E |_{X_{r}}) \cup D (E |_{X_{r - 1}})

D (E |_{X_{r}}) / Q_{r} ≅ \underset{α}{⋁} S^{r + 2 n}

На каждом слагаемом относительное отображение $Φ_{E; (X_{r}, X_{r - 1})}^{q}$ является умножением на $β^{* n}$ :

⨁_{α} {\tilde{K}}^{q} (S^{r}) \overset{* β^{* n}}{\to} ⨁_{α} {\tilde{K}}^{q} (S^{r + 2 n})

По периодичности Ботта эта стрелка является изоморфизмом. Теперь запишем два точных фрагмента — для остовов базы и для их пространств Тома:

Для краткости положим $D_{r} = D (E |_{X_{r}})$ и $S_{r} = S (E |_{X_{r}})$ .

Одну длинную коммутативную диаграмму разобьём на два соседних квадрата. Первый сравнивает вклад новых клеток, второй — ограничение на предыдущий остов.

j

Φ_{r}

Φ_{rel}

\tilde{j}

Объекты и связи диаграммы

K-группа нового остова основания: Это неизвестный член, для которого требуется доказать обратимость отображения Тома.
относительная K-группа новой клетки основания: Этот член измеряет только классы, добавленные при переходе к следующему остову.
K-группа пространства Тома над новым остовом: Это целевой член клеточного шага.
относительная K-группа новых клеток пространства Тома: Над каждой новой клеткой этот член получается сдвигом на реальную размерность комплексного слоя.
присоединение в последовательности основания: От «относительная K-группа новой клетки основания» к «K-группа нового остова основания».Переносит относительный класс новой клетки в K-группу всего нового остова.
отображение Тома на новом остове: От «K-группа нового остова основания» к «K-группа пространства Тома над новым остовом».Обратимость этой центральной стрелки требуется получить из точности диаграммы.
относительное отображение Тома на новых клетках: От «относительная K-группа новой клетки основания» к «относительная K-группа новых клеток пространства Тома».После разложения по клеткам это внешнее умножение на степень элемента Ботта и потому изоморфизм.
присоединение над расслоением: От «относительная K-группа новых клеток пространства Тома» к «K-группа пространства Тома над новым остовом».Включает относительный класс новых клеток в группу пространства Тома над новым остовом.

i^{*}

Φ_{r}

Φ_{r - 1}

{\tilde{i}}^{*}

Объекты и связи диаграммы

K-группа нового остова основания: Это неизвестный член, для которого требуется доказать обратимость отображения Тома.
K-группа предыдущего остова основания: На этом члене отображение Тома уже является изоморфизмом по индукционному предположению.
K-группа пространства Тома над новым остовом: Это целевой член клеточного шага.
K-группа пространства Тома над предыдущим остовом: Индукционное предположение уже сравнивает этот член с K-теорией предыдущего остова.
ограничение на предыдущий остов: От «K-группа нового остова основания» к «K-группа предыдущего остова основания».Ограничивает класс нового остова на уже построенную часть основания.
отображение Тома на новом остове: От «K-группа нового остова основания» к «K-группа пространства Тома над новым остовом».Обратимость этой центральной стрелки требуется получить из точности диаграммы.
отображение Тома на предыдущем остове: От «K-группа предыдущего остова основания» к «K-группа пространства Тома над предыдущим остовом».Эта стрелка является изоморфизмом по индукционному предположению.
ограничение пространства Тома: От «K-группа пространства Тома над новым остовом» к «K-группа пространства Тома над предыдущим остовом».Ограничивает относительный класс на пространство Тома над предыдущим остовом.

Верхняя строка входит в длинную точную последовательность пары $(X_{r}, X_{r - 1})$ . Нижняя получается из длинной точной последовательности тройки $S_{r} \subset S_{r} \cup D_{r - 1} \subset D_{r}$ . Её третий член имеет нужный вид благодаря вырезанию:

K^{q} (S_{r} \cup D_{r - 1}, S_{r}) ≅ K^{q} (D_{r - 1}, S_{r - 1})

K^{q} (D_{r - 1}, S_{r - 1}) = T_{E}^{q} (X_{r - 1})

Естественность относительного произведения превращает оба квадрата в один фрагмент коммутативной диаграммы длинных точных последовательностей. Теперь индукционный шаг состоит из трёх утверждений:

На относительных членах для $(X_{r}, X_{r - 1})$ вертикальные стрелки являются изоморфизмами Ботта.
На $X_{r - 1}$ вертикальные стрелки являются изоморфизмами по индукционному предположению.
В полном пятичленном фрагменте длинной диаграммы вокруг $X_{r}$ четыре остальные вертикальные стрелки уже являются изоморфизмами: две относительные стрелки в соседних степенях — по периодичности Ботта, а две стрелки над $X_{r - 1}$ — по индукционному предположению. Точность строк тогда вынуждает центральную стрелку $Φ_{r}$ быть изоморфизмом; это утверждение и называется леммой о пяти гомоморфизмах.

Индукция начинается с пустого остова. Поскольку у конечного CW-комплекса лишь конечное число остовов, после конечного числа шагов получаем изоморфизм на всём $X$ .

Класс Тома является свободным образующим над K-теорией базы

Клеточная индукция завершила доказательство, поэтому теперь можно сформулировать результат без отложенных шагов.

Пусть $E \to X$ — комплексное векторное расслоение над конечным CW-комплексом. Для каждого $q \in Z / 2$ умножение на класс Тома задаёт естественный изоморфизм абелевых групп

Φ_{E}^{q} : K^{q} (X) \overset{≅}{\to} {\tilde{K}}^{q} (X^{E})

Слово «свободный» здесь имеет точный смысл: каждый класс $b \in {\tilde{K}}^{q} (X^{E})$ под каноническим отождествлением ${\tilde{K}}^{q} (X^{E}) ≅ K^{q} (D (E), S (E))$ единственным образом записывается как

b = π^{*} a ⌣ λ_{E}, a \in K^{q} (X)

Если объединить обе степени, отображения $Φ_{E}^{0}$ и $Φ_{E}^{1}$ образуют изоморфизм градуированных модулей над $K^{*} (X)$ .

Комплексный ранг $n$ не меняет индекс $q$ . Пространство Тома сдвигает реальную размерность на $2 n$ , но внешнее умножение на $β^{* n}$ поглощает этот сдвиг благодаря двухпериодичности.

Пусть теперь $A \subseteq X$ — подкомплекс. Уже доказанные абсолютные изоморфизмы для $X$ и $A$ образуют вертикальные стрелки между длинными точными последовательностями пары. Лемма о пяти гомоморфизмах даёт оставшуюся относительную стрелку:

K^{q} (X, A) \overset{≅}{\to} T_{E}^{q} (X, A)

По определению её целевая группа равна

K^{q} (D (E), S (E) \cup D (E |_{A}))

Так относительная версия выводится из уже доказанного абсолютного случая, а коммутативность той же диаграммы одновременно даёт совместимость с граничными гомоморфизмами.

Для отображения $f : Y \to X$ и метрики обратного образа возникает отображение дисковых пар, а после факторизации — отображение пространств Тома $f^{E} : Y^{f^{*} E} \to X^{E}$ . Кошулева конструкция даёт

λ_{f^{*} E} = (f^{E})^{*} λ_{E}

(f^{E})^{*} Φ_{E}^{q} (a) = Φ_{f^{*} E}^{q} (f^{*} a)

Тотализация тензорного произведения кошулевых комплексов даёт ещё одну совместимость — внешнюю мультипликативность по прямой сумме расслоений. Удобнее записать её в эквивалентной модели классов с носителем на нулевом сечении. Для проекций $q_{E} : E \oplus F \to E$ и $q_{F} : E \oplus F \to F$ имеем

λ_{E \oplus F} = q_{E}^{*} λ_{E} ⌣ q_{F}^{*} λ_{F}

λ_{E \oplus F} \in K^{0} (E \oplus F, (E \oplus F) ∖ X)

Первый множитель точен при $e \neq 0$ , второй — при $f \neq 0$ . Поэтому их произведение является точным на всём дополнении нулевого сечения, как и кошулев комплекс для $E \oplus F$ .

Выбор эрмитовой метрики нужен только для дисковой модели и стягивающей гомотопии на сфере. Пространство метрик выпукло, поэтому две метрики соединяются путём; соответствующие пары и кошулевы комплексы гомотопны. Класс $λ_{E}$ и изоморфизм $Φ_{E}$ от этого выбора не зависят.

Возврат класса Тома на базу даёт чередующуюся сумму внешних степеней

Теорема описывает классы на пространстве Тома. Теперь вернём сам образующий класс на базу вдоль нулевого сечения

s : X ⟶ D (E), s (x) = (x, 0)

Нулевое сечение не пересекает $S (E)$ , поэтому оно задаёт обратный образ из относительной группы в $K^{0} (X)$ . На нулевом сечении тавтологический вектор равен нулю, а значит, все дифференциалы кошулева комплекса исчезают. От комплекса остаётся его эйлерова сумма:

e_{K} (E) := s^{*} λ_{E} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} [Λ^{k} E]

Например, для линейного расслоения $L$ комплекс имеет только два члена, поэтому

e_{K} (L) = 1 - [L]

Если $E = L_{1} \oplus \dots \oplus L_{n}$ уже разложено на линейные слагаемые, мультипликативность класса Тома даёт

e_{K} (E) = \prod_{i = 1}^{n} (1 - [L_{i}])

У произвольного расслоения такого разложения на самой базе может не существовать. Проективизация $P (E)$ делает первый шаг: выбирает одну прямую в каждом слое. Повторение этого шага построит полный флаг, но возвращать проверенные там равенства на $X$ можно только при инъективности обратного образа. Именно поэтому сначала нужно вычислить свободный базис $K^{*} (P (E))$ .

Тот же клеточный аргумент даёт свободный базис проективного расслоения

Пусть $E \to X$ имеет ранг $n$ , где $n \geq 1$ , $p : P (E) \to X$ — его проективизация, а $H \to P (E)$ — тавтологическая прямая. Положим

t = [H^{*}] \in K^{0} (P (E))

Рассмотрим отображение модулей

Ψ_{E} : K^{*} (X)^{\oplus n} ⟶ K^{*} (P (E))

Ψ_{E} (a_{0}, \dots, a_{n - 1}) = \sum_{j = 0}^{n - 1} p^{*} a_{j} t^{j}

На каждой клетке расслоение $E$ тривиально, поэтому $P (E)$ там имеет вид произведения с ${CP}^{n - 1}$ . Уже известное вычисление проективного пространства показывает, что локально $1, t, \dots, t^{n - 1}$ является базисом. Сравнение точных последовательностей по остовам повторяет доказательство Тома и делает $Ψ_{E}$ глобальным изоморфизмом.

Действительно, на клеточном шаге сравнивается относительное отображение

Положим $P_{r} = P (E |_{X_{r}})$ и обозначим группы

A_{r} = K^{*} (X_{r}, X_{r - 1})

B_{r} = K^{*} (P_{r}, P_{r - 1})

Тогда относительное отображение имеет вид

A_{r}^{\oplus n} ⟶ B_{r}

После схлопывания предыдущего остова целевая пара распадается по клеткам:

P (E |_{X_{r}}) / P (E |_{X_{r - 1}}) ≅ \underset{α}{⋁} (S^{r} \land {CP}_{+}^{n - 1})

На каждом слагаемом относительная стрелка является $r$ -кратной подвеской уже известного изоморфизма

Z^{n} \overset{≅}{\to} K^{0} ({CP}^{n - 1})

(c_{0}, \dots, c_{n - 1}) ⟼ \sum_{j = 0}^{n - 1} c_{j} t^{j}

Периодичность Ботта сохраняет этот изоморфизм после подвески. Поэтому относительная стрелка обратима, а лемма о пяти гомоморфизмах переносит изоморфизм с $X_{r - 1}$ на $X_{r}$ .

Группа $K^{*} (P (E))$ является свободным $K^{*} (X)$ -модулем с базисом

1, t, \dots, t^{n - 1}

Соотношение для образующего можно получить непосредственно из класса Эйлера. Включение $H ↪ p^{*} E$ задаёт нигде не нулевое сечение расслоения $W = H^{*} \otimes p^{*} E$ . Оно порождает тривиальное линейное подрасслоение. Выбор эрмитовой метрики даёт ортогональное дополнение $Q$ и расщепление

W ≅ 1 \oplus Q

e_{K} (W) = e_{K} (1) e_{K} (Q) = 0

Здесь $e_{K} (1) = 1 - [1] = 0$ . Это расщепление одной явно заданной тривиальной прямой, а не применение ещё не доказанного принципа расщепления.

Ненулевое сечение
$e_{K} (H^{*} \otimes p^{*} E) = 0$
Раскрываем внешние степени
$\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} p^{*} [Λ^{k} E] t^{k} = 0$
Результат: Записываем унитарный многочлен
$\sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} p^{*} [Λ^{k} E^{*}] t^{n - k} = 0$

В последнем шаге предыдущее равенство умножается на обратимый класс $(- 1)^{n} p^{*} [det E^{*}]$ . Тождество $[det E^{*}] [Λ^{k} E] = [Λ^{n - k} E^{*}]$ и замена индекса превращают его в унитарный многочлен степени $n$ .

В разложимом случае последняя формула превращается в произведение линейных множителей из главы 12. Здесь она получена для произвольного $E$ без предположения о расщеплении.

Свободный базис даёт ещё одно важное следствие. Обратный образ $p^{*} : K^{*} (X) \to K^{*} (P (E))$ инъективен: класс $p^{*} a$ имеет единственный коэффициент $a$ при базисном элементе $1$ .

Флаговая башня расщепляет расслоение и сохраняет исходные равенства

Расслоение полных флагов $ρ : F (E) \to X$ хранит в каждом слое цепочку

0 = V_{0} \subset V_{1} \subset \dots \subset V_{n} = E_{x}, \dim_{C} V_{i} = i

Его можно построить как башню проективных расслоений: сначала выбрать прямую, затем прямую в факторе и продолжать до полного флага. На каждой ступени обратный образ в K-теории инъективен по предыдущему разделу. Поэтому инъективен и их композит

ρ^{*} : K^{*} (X) ↪ K^{*} (F (E))

На $F (E)$ есть каноническая фильтрация $ρ^{*} E$ с линейными факторами $L_{i} = V_{i} / V_{i - 1}$ . Выбор эрмитовой метрики и ортогональных дополнений расщепляет эту фильтрацию и даёт, вообще говоря, неканонический изоморфизм

ρ^{*} E ≅ L_{1} \oplus \dots \oplus L_{n}

Для конечного набора $E_{1}, \dots, E_{m}$ конструкция выполняется последовательно: после $F (E_{1})$ строится флаговое расслоение обратного образа $E_{2}$ и так далее. Композиция инъективных обратных образов остаётся инъективной.

После подходящей замены базы каждое из конечного набора комплексных расслоений раскладывается в сумму линейных, а обратный образ в K-теории остаётся инъективным. Поэтому равенство естественных выражений от расслоений можно проверить после расщепления и затем однозначно вернуть на исходную базу.

Следовательно, симметрическое тождество, доказанное для линейных слагаемых на вершине флаговой башни, однозначно определяет тождество для исходного расслоения на $X$ .

Внешняя алгебра класса Тома приводит к λ-операциям

В этой главе внешние степени появились дважды. Кошулев комплекс класса Тома состоит из расслоений $Λ^{k} π^{*} E$ , а его ограничение на нулевое сечение даёт чередующуюся сумму $\sum (- 1)^{k} [Λ^{k} E]$ . Принцип расщепления показывает, как проверять формулы с этими слагаемыми после разложения на линейные части.

Следующая задача теперь возникает естественно: определить внешние степени не только для настоящих расслоений, но и для формальных разностей в $K (X)$ .

Изоморфизм Тома

Генератор в каждом слое должен кодировать все классы базы

Для тривиального расслоения отображение Тома — это периодичность Ботта

Точная последовательность переносит изоморфизм через одну клетку

Класс Тома является свободным образующим над K-теорией базы