Глава 18 · Стабильные сферические расслоения

Стабильные сферические расслоения

Изоморфизм векторных расслоений сохраняет их единичные сферические расслоения, но для гомотопических задач это условие слишком сильное. Мы оставим только послойный гомотопический тип сфер и стабилизируем его добавлением тривиальных направлений. Полученную группу обозначим $J (X)$ . Затем пространство Тома и операции Адамса превратят вопрос о нулевом J-классе в вычисление внутри $K (X)$ .

Послойная гомотопическая эквивалентность

В этой главе $X$ — связный конечный CW-комплекс, а все расслоения комплексные. Изоморфизм расслоений сохраняет всю комплексно-линейную структуру слоёв. Для гомотопических задач оставим меньше данных: будем сравнивать только семейства единичных сфер над одной базой.

Выберем на расслоении $E \to X$ эрмитову метрику и обозначим его расслоение единичных сфер через

S (E) = {v \in E ∣ ‖ v ‖ = 1}

π_{E} : S (E) ⟶ X

Если ${rk}_{C} E = r > 0$ , то над каждой точкой $x \in X$ лежит сфера

π_{E}^{- 1} (x) = S (E_{x}) ≅ S^{2 r - 1}

При ранге ноль слой пуст. Таким образом, $S (E) \to X$ — непрерывное семейство сфер, а не одна отдельная сфера. Для второго расслоения $F \to X$ также выберем эрмитову метрику и обозначим проекцию его единичных сфер через $π_{F} : S (F) \to X$ . Сравним два семейства отображениями $f$ и $g$ из следующей диаграммы.

g

f

π_{E}

π_{F}

Объекты и связи диаграммы

расслоение единичных сфер S от E: Единичные сферы слоёв расслоения $E$ образуют пространство над общей базой $X$ .
расслоение единичных сфер S от F: Единичные сферы слоёв расслоения $F$ образуют второе пространство над той же базой $X$ .
общая база сферических расслоений: Оба сферических расслоения и все сравнивающие их отображения лежат над одной базой.
отображение g из S от F в S от E над X: От «расслоение единичных сфер S от F» к «расслоение единичных сфер S от E».Отображение идёт в обратную сторону и совместимо с проекциями: $π_{E} \circ g = π_{F}$ .
отображение f из S от E в S от F над X: От «расслоение единичных сфер S от E» к «расслоение единичных сфер S от F».Отображение совместимо с проекциями: $π_{F} \circ f = π_{E}$ . Поэтому оно не меняет точку $X$ , над которой лежит вектор.
проекция pi E из S от E в X: От «расслоение единичных сфер S от E» к «общая база сферических расслоений».Проекция переводит единичный вектор в точку базы $X$ , над которой лежит его слой.
проекция pi F из S от F в X: От «расслоение единичных сфер S от F» к «общая база сферических расслоений».Проекция второго сферического расслоения имеет ту же базу $X$ .

Коммутативность двух треугольников означает $π_{F} \circ f = π_{E}$ и $π_{E} \circ g = π_{F}$ : отображения не меняют точку $X$ , над которой лежит вектор. Потребуем также, чтобы их композиции были гомотопны тождественным отображениям над $X$ :

g \circ f ≃_{X} {id}_{S (E)}

f \circ g ≃_{X} {id}_{S (F)}

Например, первое соотношение означает, что существует гомотопия $Θ : S (E) \times [0, 1] \to S (E)$ со свойствами

Θ (v, 0) = g (f (v)), Θ (v, 1) = v

π_{E} (Θ (v, t)) = π_{E} (v) (0 \leq t \leq 1)

Расслоения $E$ и $F$ называются послойно гомотопически эквивалентными (fiber homotopy equivalent), если существуют отображения $f : S (E) \to S (F)$ и $g : S (F) \to S (E)$ над $X$ , гомотопически обратных друг другу над базой. В этом случае пишем $E ≃_{fh} F$ .

В частности, послойная гомотопическая эквивалентность сохраняет ранг. Нулевой ранг распознаётся по пустому слою, а при положительном ранге размерность сферы определяется степенью, в которой её приведённая целочисленная гомология ненулевая.

Определение не зависит от выбранной метрики. Пусть нормы $‖ - ‖_{0}$ и $‖ - ‖_{1}$ заданы на одном расслоении, и положим

S_{i} (E) = {v \in E ∣ ‖ v ‖_{i} = 1}, i = 0, 1

Тогда радиальное масштабирование

S_{0} (E) ⟶ S_{1} (E), v ⟼ \frac{v}{‖ v ‖_{1}}

является послойным гомеоморфизмом; обратное отображение задаётся той же формулой с переставленными нормами.

Пусть теперь $φ : E \to F$ — комплексно-линейный изоморфизм расслоений. Он не обязан сохранять выбранные нормы, но нормировка задаёт послойный гомеоморфизм

S (E) ⟶ S (F), v ⟼ \frac{φ (v)}{‖ φ (v) ‖_{F}}

Обратное отображение получается нормировкой $φ^{- 1}$ .

Обратная импликация неверна уже над ${CP}^{1} ≅ S^{2}$ . Пусть $H$ — тавтологическая комплексная прямая, $H^{*}$ — двойственная прямая, а $u = [H] - 1$ . Предыдущее вычисление даёт $K ({CP}^{1}) ≅ Z [u] / (u^{2})$ с базисом $1, u$ . Поэтому

[H] = 1 + u

[H^{*}] = [H]^{- 1} = (1 + u)^{- 1} = 1 - u

[H] - [H^{*}] = 2 u \neq 0

Следовательно, $H ≇ H^{*}$ как комплексные расслоения. Выберем эрмитову метрику на $H$ и снабдим $H^{*}$ двойственной метрикой. В каждом слое отождествление Рисса $H_{x} \to H_{x}^{*}$ является антилинейной изометрией; его ограничение на единичные окружности является послойным гомеоморфизмом. Поэтому $H ≃_{fh} H^{*}$ : сферические расслоения послойно гомеоморфны, хотя комплексно-линейные расслоения неизоморфны.

E ≅ F ⟹ E ≃_{fh} F

H ≇ H^{*}, H ≃_{fh} H^{*}

Послойная гомотопическая эквивалентность не зависит от выбранных метрик и действительно забывает часть комплексно-линейной структуры.

Теперь нужно проверить, совместимо ли это более слабое отношение с прямой суммой. Сфера $E \oplus F$ не является произведением $S (E) \times_{X} S (F)$ ; в следующей части представим сферу прямой суммы как послойное соединение этих двух сферических расслоений.

Послойное соединение

Сначала опишем сферическое расслоение суммы. Если одно из слагаемых имеет ранг ноль, оно является нулевым расслоением $0_{X}$ , и над $X$ существуют канонические гомеоморфизмы

S (0_{X} \oplus F) ≅ S (F)

S (E \oplus 0_{X}) ≅ S (E)

Поэтому случай нулевого слагаемого не требует новой конструкции. Далее предположим, что ${rk}_{C} E > 0$ и ${rk}_{C} F > 0$ .

Снабдим $E \oplus F$ ортогональной суммой выбранных эрмитовых метрик. Тогда точка единичной сферы $S (E \oplus F)$ над $x \in X$ имеет вид $(v, w)$ , где $v \in E_{x}$ и $w \in F_{x}$ , и удовлетворяет равенству $‖ v ‖^{2} + ‖ w ‖^{2} = 1$ . Положим $t = ‖ w ‖^{2} \in [0, 1]$ .

Если обе координаты ненулевые, определим их единичные направления:

u = \frac{v}{‖ v ‖} \in S (E_{x})

u^{'} = \frac{w}{‖ w ‖} \in S (F_{x})

Пара $(v, w)$ восстанавливается из направлений и параметра $t$ по формуле

(u, u^{'}, t) ⟼ (\sqrt{1 - t} u, \sqrt{t} u^{'})

При $t = 0$ вторая координата равна нулю, поэтому направление $u^{'}$ нужно забыть. При $t = 1$ точно так же забывается $u$ . Полученное фактор-пространство называется послойным соединением сферических расслоений:

S (E) *_{X} S (F) = (S (E) \times_{X} S (F) \times [0, 1]) / \sim

(u, u_{1}^{'}, 0) \sim (u, u_{2}^{'}, 0)

(u_{1}, u^{'}, 1) \sim (u_{2}, u^{'}, 1)

Отношения при $t = 0$ и $t = 1$ делают формулу восстановления корректно определённой на классах. Получаем непрерывное отображение над $X$ :

Φ : S (E) *_{X} S (F) ⟶ S (E \oplus F)

Φ ([u, u^{'}, t]) = (\sqrt{1 - t} u, \sqrt{t} u^{'})

Обратное соответствие восстанавливает $t = ‖ w ‖^{2}$ и направления ненулевых координат $v$ и $w$ . При $t = 0$ или $t = 1$ отсутствующее направление не требуется именно благодаря двум отношениям эквивалентности. Поэтому $Φ$ биективно. Поскольку $X$ — конечный CW-комплекс, он компактен. Сферические расслоения над ним компактны; поэтому их расслоенное произведение, произведение с $[0, 1]$ и полученный фактор также компактны. Пространство $S (E \oplus F)$ хаусдорфово. Следовательно, непрерывная биекция $Φ$ является гомеоморфизмом над базой:

S (E \oplus F) ≅ S (E) *_{X} S (F)

Пусть $E^{'} \to X$ и $F^{'} \to X$ — ещё два комплексных расслоения. Если $f : S (E) \to S (E^{'})$ и $h : S (F) \to S (F^{'})$ совместимы с проекциями на $X$ , они задают отображение послойных соединений

f *_{X} h : S (E) *_{X} S (F) ⟶ S (E^{'}) *_{X} S (F^{'})

[u, u^{'}, t] ⟼ [f (u), h (u^{'}), t]

Эта конструкция сохраняет тождественные отображения и композиции:

id *_{X} id = id

(f_{2} *_{X} h_{2}) \circ (f_{1} *_{X} h_{1})

= (f_{2} \circ f_{1}) *_{X} (h_{2} \circ h_{1})

Если $f_{s}$ и $h_{s}$ — послойные гомотопии, то формула $[u, u^{'}, t] \mapsto [f_{s} (u), h_{s} (u^{'}), t]$ задаёт гомотопию отображений соединений над $X$ . Та же формула применяется к отображениям, гомотопически обратным над $X$ . Поэтому соединение послойных гомотопических эквивалентностей снова является послойной гомотопической эквивалентностью. Если $E ≃_{fh} E^{'}$ , то ${rk}_{C} E = {rk}_{C} E^{'}$ ; аналогично для $F$ и $F^{'}$ . Поэтому случаи нулевого ранга, разобранные в начале, охватывают одновременно оба слагаемых соответствующей пары. Вместе с построенным гомеоморфизмом это даёт основной результат части.

Если $E ≃_{fh} E^{'}, F ≃_{fh} F^{'}$ , то

E \oplus F ≃_{fh} E^{'} \oplus F^{'}

Следовательно, прямая сумма корректно определена на классах послойной гомотопической эквивалентности.

Поэтому в следующей части разрешим добавлять тривиальные слагаемые, перейдём к стабильным классам и построим из них абелеву группу $J (X)$ .

Группа J(X)

Расслоения $E$ и $F$ называются стабильно послойно гомотопически эквивалентными, если для некоторых $r, s \geq 0$ выполняется

E \oplus {\underset{―}{C}}^{r} ≃_{fh} F \oplus {\underset{―}{C}}^{s}

Послойная гомотопическая эквивалентность сохраняет ранг, поэтому условие определения влечёт ${rk}_{C} E + r = {rk}_{C} F + s$ . Разрешение выбирать $r$ и $s$ независимо позволяет сравнивать расслоения разных рангов. Проверим, что это действительно отношение эквивалентности. Рефлексивность и симметричность следуют из тех же свойств $≃_{fh}$ . Для транзитивности пусть эквивалентность между $E$ и $F$ реализуют числа $r, s$ , а эквивалентность между $F$ и $G$ — числа $p, q$ . Добавив к первой эквивалентности ${\underset{―}{C}}^{p}$ , а ко второй — ${\underset{―}{C}}^{s}$ , получаем $E \oplus {\underset{―}{C}}^{r + p} ≃_{fh} F \oplus {\underset{―}{C}}^{s + p}$ и $F \oplus {\underset{―}{C}}^{p + s} ≃_{fh} G \oplus {\underset{―}{C}}^{q + s}$ . Поскольку $s + p = p + s$ , средние расслоения канонически изоморфны. Следовательно, стабильная послойная гомотопическая эквивалентность транзитивна.

Обозначим стабильный класс расслоения $E$ через $J (E)$ , а множество всех таких классов — через $J (X)$ и положим $J (E) + J (F) := J (E \oplus F)$ . Если стабильные эквивалентности для пар $E, E^{'}$ и $F, F^{'}$ задаются числами $r, s$ и $p, q$ соответственно, то совместимость прямой суммы с послойной гомотопической эквивалентностью даёт $E \oplus F \oplus {\underset{―}{C}}^{r + p} ≃_{fh} E^{'} \oplus F^{'} \oplus {\underset{―}{C}}^{s + q}$ . Поэтому операция не зависит от представителей. Ассоциативность и коммутативность наследуются от канонических линейных изоморфизмов прямой суммы.

Нейтральным элементом служит класс нулевого расслоения. Для любого $N \geq 0$ выполняется $J ({\underset{―}{C}}^{N}) = J (0_{X}) = 0$ : в определении достаточно взять $r = 0$ и $s = N$ .

По доказанной в главе 4 теореме о тривиальном дополнении для любого расслоения $E \to X$ существует расслоение $F \to X$ и число $N$ такие, что $E \oplus F ≅ {\underset{―}{C}}^{N}$ . Поэтому $J (E) + J (F) = 0$ : класс $J (F)$ обратен классу $J (E)$ .

Сопоставление расслоению его стабильного класса сохраняет прямую сумму и потому является гомоморфизмом моноидов. Универсальное свойство группового пополнения единственным образом продолжает его до гомоморфизма из $K (X)$ :

Стабильные послойные гомотопические классы образуют абелеву группу $J (X)$ , а забывание комплексно-линейной структуры задаёт сюръективный гомоморфизм

J : K (X) ⟶ J (X)

J ([E] - [F]) = J (E) - J (F)

Каждый класс в $J (X)$ представлен настоящим расслоением, поэтому гомоморфизм сюръективен. При $X = {CP}^{1}$ результат первой части даёт $J (H) = J (H^{*})$ при $[H] \neq [H^{*}]$ , так что гомоморфизм неинъективен.

Гомоморфизм обращает классы тривиальных расслоений в нуль. Если $ξ \in K (X)$ и $X$ связно, обозначим через $1$ класс тривиального линейного расслоения. Тогда $ξ - rk (ξ) \cdot 1 \in \tilde{K} (X)$ и $J (ξ) = J (ξ - rk (ξ) \cdot 1)$ . Следовательно, $J$ факторизуется через $\tilde{K} (X)$ .

Определение группы геометрично, но по нему трудно решить, равен ли конкретный класс нулю. Пространство Тома превращает семейство сфер в одно пространство и тем самым открывает путь к вычислениям.

Стабильный тип пространства Тома

Чтобы получить проверяемое необходимое следствие равенства $J (E) = 0$ , перейдём от сферического расслоения к пространству Тома $X^{E}$ . При $E = 0_{X}$ используем соглашение $S (E) = \emptyset$ и $X^{E} = X_{+}$ : фактор по пустой сферической границе снабжается добавленной базовой точкой.

При положительном ранге дисковое расслоение получается стягиванием каждой единичной сферы по радиусу к нулевому вектору её слоя. Поэтому $D (E)$ является моделью отображающего цилиндра проекции $π_{E} : S (E) \to X$ , а после схлопывания внешней сферы $X^{E}$ становится конусом отображения этой проекции. Добавим базовые точки к области и цели и обозначим полученное отображение через $(π_{E})_{+} : S (E)_{+} \to X_{+}$ . В обозначениях главы о конусах отображений получаем формулу, которая охватывает и нулевой ранг:

X^{E} ≅ C_{(π_{E})_{+}}

Если отображение $f$ из определения послойной эквивалентности коммутирует с проекциями на $X$ , то пара $(f_{+}, {id}_{X_{+}})$ индуцирует отображение соответствующих конусов. Аналогично действует $g$ , а послойные гомотопии индуцируют гомотопии композиций. Следовательно,

E ≃_{fh} F ⟹ X^{E} ≃ X^{F}

Добавление тривиального комплексного расслоения ранга $r$ превращается в $2 r$ -кратную приведённую надстройку. Послойная одноточечная компактификация переводит сумму с ${\underset{―}{C}}^{r}$ в смэш-произведение с $S^{2 r}$ :

X^{E \oplus {\underset{―}{C}}^{r}} ≅ S^{2 r} \land X^{E} = Σ^{2 r} X^{E}

В частности, для тривиального расслоения ранга $n$ имеем $X^{{\underset{―}{C}}^{n}} ≅ Σ^{2 n} X_{+}$ .

Пространства с отмеченной точкой $A$ и $B$ назовём стабильно гомотопически эквивалентными и напишем $A ≃_{st} B$ , если для некоторого $N \geq 0$ их приведённые надстройки гомотопически эквивалентны с сохранением базовой точки:

Σ^{N} A ≃ Σ^{N} B

С обеих сторон берётся одно и то же число надстроек. Теперь пусть $d = {rk}_{C} E$ и $J (E) = 0$ . По определению стабильного класса существуют $r, s \geq 0$ такие, что

E \oplus {\underset{―}{C}}^{r} ≃_{fh} {\underset{―}{C}}^{s}

s = d + r

Второе равенство следует из сохранения ранга. Формулы для пространств Тома теперь дают цепочку

Σ^{2 r} X^{E} ≅ X^{E \oplus {\underset{―}{C}}^{r}}

X^{E \oplus {\underset{―}{C}}^{r}} ≃ X^{{\underset{―}{C}}^{s}}

X^{{\underset{―}{C}}^{s}} ≅ Σ^{2 s} X_{+}

Σ^{2 s} X_{+} = Σ^{2 r} (Σ^{2 d} X_{+})

J (E) = 0

⟹ X^{E} ≃_{st} Σ^{2 {rk}_{C} E} X_{+}

Один лишь $K^{0} (X)$ -модуль ${\tilde{K}}^{0} (X^{E})$ не позволяет распознать условие $J (E) = 0$ : изоморфизм Тома делает его свободным модулем ранга один для любого комплексного расслоения $E$ . Поэтому нужно исследовать канонический класс Тома $λ_{E}$ . В следующей части применим к нему операцию Адамса и выделим оставшийся на базе коэффициент.

Каннибалистический класс Ботта

Зафиксируем целое $k \geq 2$ . Изоморфизм Тома утверждает, что приведённая K-группа пространства Тома является свободным модулем ранга один:

{\tilde{K}}^{0} (X^{E}) = K^{0} (X) \cdot λ_{E}

Каждый класс из ${\tilde{K}}^{0} (X^{E})$ имеет единственный вид $λ_{E} a$ , где $a \in K^{0} (X)$ . Это произведение обозначает образ $a$ при изоморфизме Тома. Операция $ψ^{k}$ сохраняет приведённую группу и произведение. Поэтому её значение на образующем $λ_{E}$ обязано быть тем же образующим, умноженным на единственный коэффициент из $K^{0} (X)$ .

ψ^{k} (λ_{E}) = λ_{E} ρ^{k} (E)

Единственный класс $ρ^{k} (E) \in K^{0} (X)$ называют каннибалистическим классом Ботта. Название отражает формулу: операция поглощает класс Тома, а после вынесения того же класса остаётся коэффициент на базе.

Мультипликативность классов Тома и операций Адамса определяет поведение коэффициента на прямой сумме. Проведём вычисление в модели K-классов с носителем на нулевом сечении. Для проекций $q_{E} : E \oplus F \to E$ и $q_{F} : E \oplus F \to F$ класс Тома суммы является произведением обратных образов. Коэффициенты $ρ^{k} (E), ρ^{k} (F) \in K^{0} (X)$ живут на общей базе; в формулах их канонические обратные образы не выписываем.

Класс Тома прямой суммы
$λ_{E \oplus F} = q_{E}^{*} λ_{E} ⌣ q_{F}^{*} λ_{F}$
Применяем операцию Адамса
$ψ^{k} (λ_{E \oplus F}) = q_{E}^{*} ψ^{k} (λ_{E}) ⌣ q_{F}^{*} ψ^{k} (λ_{F})$
Подставляем определяющие равенства
$ψ^{k} (λ_{E \oplus F}) = λ_{E \oplus F} ρ^{k} (E) ρ^{k} (F)$
Сравниваем с определением коэффициента
$λ_{E \oplus F} ρ^{k} (E \oplus F) = λ_{E \oplus F} ρ^{k} (E) ρ^{k} (F)$
Результат: Используем свободный образующий
$ρ^{k} (E \oplus F) = ρ^{k} (E) ρ^{k} (F)$

Для тривиальной комплексной прямой под отождествлением $X^{\underset{―}{C}} ≅ X_{+} \land S^{2}$ класс Тома равен $1_{X} * β$ , где $β$ — элемент Ботта. Поскольку $ψ^{k} (1_{X}) = 1_{X}$ и в предыдущей главе вычислено $ψ^{k} (β) = k β$ , получаем первую формулу; вторая следует из мультипликативности для любого $n \geq 0$ :

ρ^{k} (\underset{―}{C}) = k

ρ^{k} ({\underset{―}{C}}^{n}) = k^{n}

Пусть $f : Y \to X$ — отображение конечных CW-комплексов. Обратный образ расслоения индуцирует отображение пространств Тома $f^{E} : Y^{f^{*} E} \to X^{E}$ . Равенство $(f^{E})^{*} λ_{E} = λ_{f^{*} E}$ и естественность операции Адамса переводят определяющую формулу для $E$ в

ψ^{k} (λ_{f^{*} E}) = λ_{f^{*} E} f^{*} ρ^{k} (E)

Единственность коэффициента при $λ_{f^{*} E}$ даёт естественность каннибалистического класса:

ρ^{k} (f^{*} E) = f^{*} ρ^{k} (E)

При ограничении на точку это равенство показывает, что ранг $ρ^{k} (E)$ равен $k^{{rk}_{C} E}$ .

ρ^{k} (E \oplus {\underset{―}{C}}^{n}) = k^{n} ρ^{k} (E)

Каждое добавленное тривиальное комплексное направление умножает $ρ^{k}$ на $k$ . Поэтому каннибалистический класс ещё не инвариантен относительно стабилизации.

В следующей части удалим этот универсальный множитель, создаваемый тривиальными направлениями.

Нормировка по рангу

Теперь разрешим деление на степени $k$ . Для этого локализуем целые числа:

O_{k} = Z [1 / k]

O_{k} = {\frac{a}{k^{m}} | a \in Z, m \geq 0}

В кольце $O_{k}$ все степени $k^{m}$ обратимы. Если $r = {rk}_{C} E$ , положим

σ^{k} (E) = k^{- r} ρ^{k} (E) \in K^{0} (X) \otimes O_{k}

σ^{k} (E \oplus F) = σ^{k} (E) σ^{k} (F)

σ^{k} ({\underset{―}{C}}^{r}) = 1

Мультипликативность $σ^{k}$ следует из аддитивности ранга и мультипликативности $ρ^{k}$ , а равенство $σ^{k} ({\underset{―}{C}}^{r}) = 1$ — из формулы $ρ^{k} ({\underset{―}{C}}^{r}) = k^{r}$ . Ограничение $ρ^{k} (E)$ на точку равно $k^{r}$ , поэтому $σ^{k} (E)$ имеет ранг один. Запишем его как $1 + z$ , где $z \in {\tilde{K}}^{0} (X) \otimes O_{k}$ . Выберем общий знаменатель и представим $z = k^{- m} x$ для некоторого $x \in {\tilde{K}}^{0} (X)$ . Идеал классов нулевого ранга в $K^{0} (X)$ нильпотентен для конечного CW-комплекса, поэтому $x^{N} = 0$ при некотором $N \geq 1$ . Следовательно, $z^{N} = 0$ и

(1 + z)^{- 1} = \sum_{j = 0}^{N - 1} (- z)^{j}

Значит, нормированный коэффициент всегда является обратимым элементом кольца. Обозначим мультипликативную группу всех обратимых элементов этого кольца через

G_{k} = (K^{0} (X) \otimes O_{k})^{\times}

Таким образом, сопоставление $E \mapsto σ^{k} (E)$ является гомоморфизмом из коммутативного моноида расслоений по прямой сумме в группу $G_{k}$ . Универсальное свойство группового пополнения единственным образом продолжает его на виртуальные классы:

σ^{k} ([E] - [F]) = σ^{k} (E) σ^{k} (F)^{- 1}

Все тривиальные классы переходят в единицу, поэтому добавление тривиального слагаемого не меняет нормированный класс.

Для виртуального класса $ξ \in K^{0} (X)$ вычитание его ранга даёт класс $ξ - rk (ξ) \cdot 1$ , принадлежащий ${\tilde{K}}^{0} (X)$ . Разность с исходным классом тривиальна, поэтому оба класса имеют одинаковый образ при $σ^{k}$ .

σ^{k} : (K^{0} (X), +) ⟶ (G_{k}, \cdot)

σ^{k} (E \oplus {\underset{―}{C}}^{n}) = σ^{k} (E)

σ^{k} (ξ) = σ^{k} (ξ - rk (ξ) \cdot 1)

Последнее равенство означает, что $σ^{k}$ проходит через каноническую проекцию $K^{0} (X) \to {\tilde{K}}^{0} (X)$ .

Однако даже если сферическое расслоение послойно гомотопически тривиально, канонический класс Тома может не совпасть с образующим классом, перенесённым с обычной надстройки. Следующая часть вычислит возникающую поправку.

Смена образующего класса Тома

Нормировка устранила вклад тривиальных слагаемых, но обратный образ стандартного образующего класса надстройки не обязан совпадать с каноническим классом Тома. Вычислим возникающую неоднозначность и затем устраним её переходом к фактор-группе.

Сначала пусть ${rk}_{C} E = r$ и $E ≃_{fh} {\underset{―}{C}}^{r}$ . При $r = 0$ имеем $E = 0_{X}$ и $σ^{k} (E) = 1$ , поэтому далее считаем $r > 0$ . Выбранная послойная эквивалентность индуцирует гомотопическую эквивалентность

X^{E} ≃ Σ^{2 r} X_{+}

На правой стороне стандартным образующим классом служит $u_{0} = 1_{X} * β^{* r}$ , где $β^{* r}$ — $r$ -кратное внешнее произведение элемента Ботта. Обозначим через $u$ обратный образ $u_{0}$ при индуцированном изоморфизме K-групп. Естественность и мультипликативность операций Адамса вместе с равенством $ψ^{k} (β) = k β$ дают

ψ^{k} (u) = k^{r} u

По изоморфизму Тома существует единственный $a \in K^{0} (X)$ , для которого

u = λ_{E} a

Ограничения классов $u$ и $λ_{E}$ на каждый слой являются образующими группы ${\tilde{K}}^{0} (S^{2 r})$ . Поэтому ограничение $a$ на точку равно $1$ или $- 1$ . Так как $X$ связно, знак постоянен. Если ранг равен $- 1$ , то класс $- a$ имеет ранг один. Идеал классов нулевого ранга нильпотентен, поэтому $a$ обратим в обоих случаях. Следовательно, $a \in K^{0} (X)^{\times}$ .

Теперь одно и то же значение $ψ^{k} (u)$ вычислим двумя способами:

Применяем операцию к произведению
$ψ^{k} (u) = ψ^{k} (λ_{E}) ψ^{k} (a)$
Подставляем определение коэффициента
$ψ^{k} (u) = λ_{E} ρ^{k} (E) ψ^{k} (a)$
Используем образующий класс надстройки
$ψ^{k} (u) = k^{r} u = k^{r} λ_{E} a$
Сокращаем свободный образующий класс
$ρ^{k} (E) ψ^{k} (a) = k^{r} a$
Результат: Удаляем вклад ранга
$σ^{k} (E) = \frac{a}{ψ^{k} (a)}$

Любой другой образующий класс свободного $K^{0} (X)$ -модуля получается умножением на единственный обратимый класс $a$ . Поскольку $ψ^{k}$ является гомоморфизмом колец, $ψ^{k} (a)$ также обратим. Соберём все поправки от такой смены образующего класса в подгруппу

H_{k} = ⟨ \frac{a}{ψ^{k} (a)} | a \in K^{0} (X)^{\times} ⟩

H_{k} \subseteq G_{k}

Теперь пусть настоящее расслоение $E$ имеет комплексный ранг $r$ и $J (E) = 0$ . Тогда для некоторых $m, s \geq 0$ выполняется

E \oplus {\underset{―}{C}}^{m} ≃_{fh} {\underset{―}{C}}^{s}

Сохранение ранга даёт $s = r + m$ , поэтому к расслоению слева применим уже доказанный случай. Стабильность нормированного класса даёт

σ^{k} (E) = σ^{k} (E \oplus {\underset{―}{C}}^{m}) \in H_{k}

Наконец, пусть $ξ = [E] - [F] \in K^{0} (X)$ и $J (ξ) = 0$ . Выберем дополнение $F^{'}$ и число $N$ такие, что $F \oplus F^{'} ≅ {\underset{―}{C}}^{N}$ . Аддитивность $J$ , мультипликативность $σ^{k}$ и их значения на тривиальных классах дают

ξ = [E \oplus F^{'}] - [{\underset{―}{C}}^{N}]

J (E \oplus F^{'}) = 0

σ^{k} (ξ) = σ^{k} (E \oplus F^{'})

Таким образом, случай виртуального класса сводится к доказанному случаю настоящего расслоения.

J (ξ) = 0 ⟹ σ^{k} (ξ) \in H_{k}

{\overset{―}{σ}}^{k} : J (X) ⟶ G_{k} / H_{k}

{\overset{―}{σ}}^{k} (J (ξ)) = σ^{k} (ξ) H_{k}

Композиция $K^{0} (X) \overset{σ^{k}}{\to} G_{k} ⟶ G_{k} / H_{k}$ переводит $\ker J$ в единичный класс и потому единственным образом факторизуется через сюръекцию $J : K^{0} (X) ⟶ J (X)$ .

Чтобы применять критерий, осталось научиться вычислять $ρ^{k} (E)$ . По принципу расщепления и естественности $ρ^{k}$ достаточно провести вычисление для линейного расслоения.

Для линейного расслоения коэффициент является геометрической суммой

Пусть $L \to X$ — линейное расслоение. Его послойная одноточечная компактификация является проективным расслоением $P (L \oplus 1)$ . Чтобы получить пространство Тома $X^{L}$ , нужно схлопнуть в одну точку сечение $P (L) ≅ X$ , соответствующее прямой $L$ :

X^{L} ≅ P (L \oplus 1) / P (L)

Поэтому $\tilde{K} (X^{L})$ отождествляется с $K (X)$ -подмодулем в $K (P (L \oplus 1))$ , который обращается в нуль на этом сечении. Обозначим через $H$ его тавтологическую прямую и положим $h = [H^{*}]$ . В этой модели класс Тома имеет вид

λ_{L} = 1 - [L] h

Соотношение проективного расслоения для суммы $L \oplus 1$ принимает вид

(1 - [L] h) (1 - h) = 0

То есть $λ_{L} (1 - h) = 0$ и потому $λ_{L} h^{j} = λ_{L}$ при каждом $j \geq 0$ . Теперь операция Адамса даёт

Возводим линейные классы в k-ю степень
$ψ^{k} (λ_{L}) = 1 - [L]^{k} h^{k}$
Раскладываем разность степеней
$ψ^{k} (λ_{L}) = (1 - [L] h) \sum_{j = 0}^{k - 1} [L]^{j} h^{j}$
Результат: После умножения степени вспомогательного класса исчезают
$ψ^{k} (λ_{L}) = λ_{L} \sum_{j = 0}^{k - 1} [L]^{j}$

ρ^{k} (L) = \sum_{j = 0}^{k - 1} [L]^{j}

Мы не сокращали возможный делитель нуля $1 - [L]$ . Равенство получено непосредственно в свободном $K (X)$ -подмодуле, порождённом классом Тома $λ_{L}$ . Для суммы линейных расслоений мультипликативность сразу даёт

Положим $r_{i} = 1 + [L_{i}] + \dots + [L_{i}]^{k - 1}$ . Тогда

ρ^{k} (L_{1} \oplus \dots \oplus L_{r}) = \prod_{i = 1}^{r} r_{i}

Эта формула превращает абстрактное препятствие в кольцевое вычисление. Проведём его на пространстве с конечной редуцированной K-группой, где условие сводится к делимости целых чисел.

На вещественном проективном пространстве ядро содержит не более двух классов

Пусть $n \geq 2$ , $X = {RP}^{2 n}$ , а $ℓ_{R}$ — тавтологическая вещественная прямая. В комплексной K-теории используется её комплексификация

L = ℓ_{R} \otimes_{R} C

Стандартное клеточное вычисление вещественного проективного пространства даёт

\tilde{K} ({RP}^{2 n}) ≅ Z / 2^{n}

\tilde{K} ({RP}^{2 n}) = ⟨ x ∣ 2^{n} x = 0 ⟩

x = [L] - 1

Поскольку $L^{\otimes 2} ≅ 1$ , выполняется $x^{2} = - 2 x$ . Порядок $2^{n}$ является содержанием клеточного вычисления и не выводится из одного этого квадратного соотношения.

Возьмём $k = 3$ . Операция Адамса фиксирует генератор:

ψ^{3} (x) = [L]^{3} - 1 = [L] - 1 = x

Она также фиксирует единицу, поэтому является тождественной на всём $K (X)$ . Для любого обратимого $a$ отношение $a / ψ^{3} (a)$ равно единице. Следовательно,

H_{3} = {1}

Формула линейного случая даёт $ρ^{3} (L) = 1 + [L] + [L]^{2} = 3 + x$ . После нормировки и перехода к классу $x = [L] - 1$ получаем

Выберем $0 \leq m < 2^{n}$ , так что классы $m x$ пробегают все элементы $\tilde{K} ({RP}^{2 n})$ . При $m = 0$ класс уже нулевой; далее считаем $m \geq 1$ .

Один генератор
$σ^{3} (x) = \frac{3 + x}{3} = 1 + \frac{x}{3}$
Кратный класс
$σ^{3} (m x) = {(1 + \frac{x}{3})}^{m}$
Результат: Сводим все степени к генератору
$σ^{3} (m x) = 1 + \frac{3^{m} - 1}{2 \cdot 3^{m}} x$

Если $J (m x) = 0$ , то критерий предыдущего раздела и равенство $H_{3} = {1}$ требуют $σ^{3} (m x) = 1$ . Элемент $x$ имеет порядок $2^{n}$ , а $3$ обратимо в $Z [1 / 3]$ . Поэтому необходимое условие имеет вид

2^{n + 1} ∣ 3^{m} - 1

Для $n \geq 2$ оно эквивалентно $2^{n - 1} ∣ m$ . Для ненулевого целого $N$ обозначим через $v_{2} (N)$ показатель $a$ наибольшей степени $2^{a}$ , делящей $N$ . При чётном $m$ выполняется $v_{2} (3^{m} - 1) = 2 + v_{2} (m)$ , а при нечётном $m$ число $3^{m} - 1$ делится ровно на $2$ .

Обозначим отображение $J : \tilde{K} ({RP}^{2 n}) \to J ({RP}^{2 n})$ через $J_{n}$ . Тогда

\ker J_{n} \subseteq {0, 2^{n - 1} x}

Ядро содержит не более двух элементов. Равенство с правой частью не доказано: препятствие исключило все остальные классы, но не решило судьбу последнего ненулевого кандидата.

Зафиксируйте размерность пространства и меняйте кратность класса, пока не встретите нулевой и ненулевой остатки. Какой из этих результатов доказывает ненулевой J-класс, а какой лишь оставляет вопрос открытым?

Показано начальное состояние. Включите JavaScript, чтобы пользоваться элементами управления.

Стабильные сферические расслоения

Послойная гомотопическая эквивалентность

Послойная гомотопическая эквивалентность

Строгое ослабление линейного изоморфизма

Послойное соединение

Прямая сумма сохраняет послойную гомотопическую эквивалентность

Группа J(X)

Стабильная послойная гомотопическая эквивалентность

Группа J(X) и забывание линейности

Стабильный тип пространства Тома

Нулевой J-класс даёт тип чётной надстройки

Каннибалистический класс Ботта

Коэффициент действия на классе Тома

Вклад тривиальных направлений

Нормировка по рангу

Нормированный коэффициент

Устранение тривиальных слагаемых

Смена образующего класса Тома

Препятствие для нулевого J-класса

Для линейного расслоения коэффициент является геометрической суммой

Формула для линейного расслоения

На вещественном проективном пространстве ядро содержит не более двух классов

K-группа вещественного проективного пространства

Комплексная K-теория резко ограничивает ядро

Односторонний тест на исчезновение класса